一种用于具有对称非线性交换的场-路扩散模型的功能不等式方法

《Applied Mathematics Letters》：A functional inequalities approach for the field-road diffusion model with symmetric nonlinear exchanges

　　马修·阿尔法罗（Matthieu Alfaro）| 克莱尔·谢奈-伊莱雷特（Claire Chainais-Hillairet）| 弗洛尔·纳贝（Flore Nabet）
卢昂诺曼底大学（Univ. Rouen Normandie）、法国国家科学研究中心（CNRS）、LMRS UMR 6085、法国卢昂（F-76000）

**摘要**
在这篇简报中，我们研究了所谓的场-路扩散模型（field-road diffusion model），该模型包含两个在不同维度集合上定义的抛物型偏微分方程（PDEs），并通过（对称的）非线性交换项相互耦合。我们提出了一种新的、较为直接的功能不等式方法来证明相对熵的指数衰减，从而证明了解向由初始数据总质量确定的稳态的收敛性。

**引言**
在这篇简报中，我们关注的是所谓场-路扩散模型的解（(v, u) = (v(t, x, y), u(t, x)）在长时间尺度上的行为。该模型定义如下：
$$
\begin{align*}
\partial_t v &= d\Delta_v, & t > 0, \quad x \in \Omega, \quad y \in (0, L), \\
-\partial_y v | y = 0 &= \alpha(\mu_0 u^{\beta} - \nu_0(v | y = 0)\alpha), & t > 0, \quad x \in \Omega, \\
\partial_t u &= D\Delta_u + \beta(\nu_0(v | y = 0)\alpha - \mu_0 u^{\beta}, & t > 0, \quad x \in \Omega, \\
\partial_u/\partial_n' &= 0, & t > 0, \quad x \in \partial_{\Omega}, \\
\partial_v/\partial_n &= 0, & t > 0, \quad x \in \partial_{\Omega}, \quad y \in (0, L),
\end{align*}
$$
其中初始条件为 $(v_0, u_0) \in L^\infty(\Omega) \times L^\infty(\Omega)$。这里 $\Omega \subset \mathbb{R}^N (N \geq 2)$ 是一个有界圆柱体（即“场”），其形状为 $\Omega = \omega \times (0, L)$；$\omega$ 是 $\mathbb{R}^{N-1}$ 中的一个有界凸开集（即“路”），且 $L > 0$。
未知数 $v$ 和 $u$ 分别代表场 $\Omega$ 和路 $\omega$ 上的个体密度；$d$ 和 $D$ 是场和路上的（正的）扩散系数。显然，$\Delta_v$ 应理解为 $\Delta_x v + \partial_y yv$，而 $\Delta_u$ 应理解为 $\Delta_x u$。我们对边界 $\partial_{\Omega}$ 施加零诺伊曼边界条件（$n'$ 表示 $\partial_{\Omega}$ 的单位法向外向量）；对于 $v$，我们在侧边界 $\partial_{\Omega} \times (0, L)$ 和上边界 $\omega \times \{L\}$ 也施加零诺伊曼边界条件（$n$ 表示 $\partial_{\Omega}$ 的单位法向外向量）。在下半边界 $\omega \times \{0\}$，场与路之间的交换由公式 (1.1b) 中定义的外向通量表示，其中 $\mu_0 > 0$ 和 $\nu_0 > 0$ 是传递系数。个体总量的守恒通过公式 (1.1c) 中的零阶项实现，它连接了场和路的方程；这些方程是模型的核心，并在此假设为非线性的，即 $(\alpha, \beta) \in [1, +\infty)^2 \setminus \{(1, 1)\}$。
这种反应-扩散场-路模型最初由 Berestycki 等人 [1], [2], [3], [4] 提出，用于描述在具有快速传播特性（通常 $D > d$）的网络中疾病或入侵物种的扩散。更多细节和参考文献可见 [5]。
最近，一系列研究集中在纯扩散场-路系统上：基本解在 [6] 中得到；PDE 模型被证明是粒子系统的流体动力极限 [7]。具有线性交换项（$\alpha = \beta = 1$）的系统在 [5] 中进行了研究：在连续和离散情况下，都证明了二次熵的耗散，主要工具是改编的庞加莱-维廷格不等式（Poincaré-Wirtinger inequality），见下面的引理 3.1。
请注意，(1.1) 属于体积-表面系统类，例如在 [8], [9] 中通过梯度流技术进行了研究。与我们的方法更为相关的是 [10], [11] 及其中的参考文献。在 [10] 中考虑了非线性交换，并通过（对数）玻尔兹曼熵（Boltzmann entropy）研究了长时间行为。证明过程相当冗长且复杂，我们的目标是提供一种更直接的方法。为此，在这篇简报中，我们考虑了对称非线性交换的情况，即 $\alpha = \beta > 1$。为简化表述，我们使用缩写 $\mu = \alpha\mu_0$, $\nu = \alpha\nu_0$，使得公式 (1.1b) 的右侧简化为 $\mu u^{\alpha} - \nu(v | y = 0)\alpha$。在这个框架下，我们使用了一个（幂）Tsallis 熵（power Tsallis entropy），并依赖两个不同的功能不等式：一个是来自 [5] 的适用于场-路的庞加莱-维廷格不等式，另一个是来自 [13] 的 Beckner 类型不等式 [12]。我们相信这些论证变得更加清晰，并且这种方法还可以用于设计保持系统主要性质的数值方案，线性情况见 [5]。
我们希望这种方法能够适应更复杂的情况。特别是，我们旨在解决非对称交换的问题，即 $\alpha \neq \beta$ 的情况，这在 [10] 中有所讨论。这仍需要改进我们的方法。
这篇简报的结构如下：第 2 节介绍结果，第 3 节证明结果，第 4 节通过数值实验对结果进行验证。

**结果证明**
我们从一些基本事实开始。假设 $v_0 \in L^\infty(\Omega)$, $u_0 \in L^\infty(\omega)$，两者均非负且不同时为零。因此，初始时总质量为正，即 $M_0 := \int_{\Omega} v_0(x, y) \, dx \, dy + \int_{\omega} u_0(x) \, dx > 0$。
关于柯西问题（Cauchy problem）的弱解的定义、存在性和唯一性，我们可以参考 Egger 等人 [11] 或 Alfaro 和 Chainais-Hillairet [5] 的方法（基于单次空间分部积分），但为了简洁起见，我们采用了 [10] 第 2 节的结果（基于...）

**功能不等式方法**
我们证明了定理 2.1。在此，符号 $A \leq B$ 表示存在某个正常数 $C = C(N, \Omega, \omega, \mu, \nu, d, D, v_0, u_0, \alpha)$ 使得 $A \leq B$。
通过对表达式 (2.4) 关于时间求导，利用方程 (1.1) 和分部积分，我们得到：
$$
\alpha\alpha + 1 \frac{d}{dt} H(t) = \frac{1}{v^{\infty}\alpha}\int_{\omega} (\mu u^{\alpha} - \nu(v | y = 0)\alpha)v^{\alpha} - \int_{\Omega}\alpha\nabla v \cdot v^{\alpha} - 1\nabla v + \int_{\omega}\alpha\nabla u \cdot u^{\alpha} - 1\nabla u + \int_{\omega}(\nu(v | y = 0)\alpha - \mu u^{\alpha})u^{\alpha}.
$$
利用 (2.2) 可以将两个非梯度项合并，得到：
$$
\frac{d}{dt} H(t) \leq -\int_{\Omega}|\nabla(v^{\alpha} + 1/2)|^2 - \int_{\Omega}|\nabla(u^{\alpha} + 1/2)|^2 - \int_{\omega}\nu(v | y = 0)\alpha - \mu u^{\alpha}^2 \leq -D(t).
$$

**数值实验**
本节的目标是验证定理 2.1 中定义的相对熵 $H$ 的指数衰减行为，适用于具有对称交换（$\alpha = \beta$）的非线性场-路模型 (1.1)。我们还将研究具有非对称交换（$\alpha \neq \beta$）情况下的类似相对熵的行为。为了进行数值研究，我们使用了两点通量近似（TPFA）有限体积方案和向后时间推进的欧拉方法（Euler method），如 [5] 中所介绍的。

**致谢**
我们感谢两位审稿人的宝贵意见，这些意见有助于改进手稿。C. Chainais-Hillairet 感谢 CDP C2EMPI、法国政府在 France-2030 计划下的支持、里尔大学（University of Lille）、里尔大学卓越计划（Initiative of Excellence of the University of Lille）以及欧洲大都市区（European Metropolis of Lille）对 R-CDP-24-004-C2EMPI 项目的资助和支持。