雷诺-埃尔罗德-亚当斯系统在动态载荷轴承中的无网格离散化方法

《Applied Mathematics Letters》：Meshless discretisation of the Reynolds–Elrod–Adams system for dynamically loaded bearings

　　A. García | M. Negreanu | F. Ure?a | A.M. Vargas
UNED, ETSII, 马德里，西班牙

**摘要**
我们将广义有限差分法（GFDM）扩展应用于具有Elrod-Adams质量守恒空化模型和耦合轴颈动力学的瞬态雷诺方程。该方法通过移动最小二乘算子处理任意点云，无需结构化网格。我们推导出了压力更新P0和油膜含量更新Θ0的显式闭合形式表达式。三个示例验证了该方法的有效性：一个在规则和不规则点云上的静止轴承，证明了其对网格的依赖性；一个与精确空化边界相匹配的振荡挤压油膜；以及一个在圆周谐波激励下动态加载的轴承，其中轨道接近圆形，证实了其物理一致性。

**引言**
流体动力润滑控制着轴颈轴承、活塞环和推力垫的载荷支撑。当油膜压力降至润滑剂 vapor 压力以下时会发生空化现象，这会严重影响载荷能力和油膜稳定性。经典的边界条件（Reynolds, Swift–Stieber）无法守恒润滑剂质量。物理上正确的Jakobsson–Floberg–Olsson（JFO）模型[1],[2]在破裂前沿（p|Σ?=0, ?p|Σ??n=0）和重构前沿（h32?xp|Σ+=h(θC?12)Σ?）施加了约束条件。Elrod和Adams[3]证明，这些条件可以直接从统一方程??x(h3?p?x)+??z(h3?p?z)??(hθ)?x=2?(hθ)?t得出，并附加了互补条件p≥0, θ∈[0,1], p(1?θ)=0，而无需显式追踪Σ。通过对整个域积分（1）可以实现全局质量守恒。

Ausas等人[4]在结构化有限差分网格上实现了（1）的逐点松弛。后续工作在多个方向上扩展了质量守恒求解器：Woloszynski等人[5]在结构化网格上开发了一种高效的基于互补性的求解器，而Almqvist等人[6]将空化问题重新表述为线性互补问题（LCP）。Profito等人[7]提出了一种基于单元的有限体积方法，可以同时处理非结构化网格和质量守恒的空化问题，显示出对纹理表面几何形状的优势。最近，Gravenkamp等人[8]引入了一种基于变分多尺度方法的雷诺-Elrod方程的稳定化有限元公式，在网格细化时实现了最优收敛性。然而，这些基于网格的方法仍然需要对域进行保形离散化；而GFDM完全避免了这一要求。对于任意几何形状——纹理表面、轮廓垫、凹槽等——需要使用非结构化方法。广义有限差分法（GFDM）[9]通过移动最小二乘（MLS）在任意点云上构建微分算子，无需网格或数值积分。本文将GFDM应用于包含耦合轴颈动力学的完整瞬态雷诺-Elrod-Adams系统（1）。作为初步验证，下面的示例使用了矩形域；第3.1节中的不规则点云测试展示了GFDM的几何灵活性，其中扰动30%的点云结果与规则网格的结果无差异。对真正非矩形几何形状（有槽表面、纹理垫）的测试将留待后续工作完成。本文的贡献包括：(i) 一种校正了分母D0>0的GFDM算子的逐点松弛方案；(ii) 显式表达式Θ0，其中隐含了JFO条件；(iii) 三个验证示例。

**数值示例**
所有示例均使用ns=8、wl=‖xl?x0‖?6的松弛因子以及每次迭代的收敛容忍度10?6。在β=0.7、N1=21的静止轴承上进行的研究表明，当ns∈{6,8,10,12}时，pmax的变化小于0.5%，且迭代次数在所有选择下都相当，这与[10]对椭圆问题的研究结果一致；因此整个研究中均使用ns=8。

**结论**
我们将GFDM应用于具有轴颈动力学的瞬态雷诺-Elrod-Adams方程，处理任意点云。核心结果是P0（3）–（5）和Θ0（6）–（7）的显式公式。Θ0公式在不追踪自由边界的情况下编码了JFO条件。三个示例证实了该方法的单调收敛性和对网格的依赖性（静止轴承）；以及与Ausas FD方法相比仅有4.2%偏差的精确空化边界，这归因于MLS模板中缺乏迎风扩散。

**致谢**
本项目得到了西班牙科学与创新部（Project PID2022-141114NB-I00）的支持（M.N, A.M.V）。