利用梯度介电常数阻抗匹配技术增强高导电性液体的微波加热效果

《Case Studies in Thermal Engineering》：Enhanced microwave heating of high-conductive liquids using gradient-permittivity impedance matching

　　张静|尹科|范大明|赵善亮|宋双|杨华宇|杨洋|朱华成
四川大学电子与信息工程学院，成都，610065，中国

摘要
微波加热是一种高效且环保的热能技术；然而，它在处理高导电性液体时的效果受到严重限制。空气与样品之间的介电性质存在显著差异，导致阻抗不匹配，从而在界面处产生大量微波反射。为了解决这个问题，本文提出了一种基于金字塔阵列结构的梯度相对介电常数阻抗匹配技术。开发了一种集成金属腔体和所提出的匹配层的高效微波加热系统，以验证其加热性能。通过二维无限界面模型分析了其工作原理，并通过多物理场模拟进一步确认了这一机制。对具有不同相对介电常数的液体进行的实验测试一致显示加热效率超过88%，从而验证了模拟结果的准确性。此外，该系统在液体表面高度和匹配层属性变化的情况下仍能保持良好的运行稳定性和适应性。所提出的设计为大量高导电性液体的微波加热提供了一种可扩展且高效的解决方案，促进了离子液和微波能在化学过程中的协同应用，并推动了新兴微波化学工程技术的发展。

1. 引言
凭借快速加热、操作简便和环境可持续性的优势，微波加热已广泛应用于食品加工[1][2][3][4][5][6][7]、化学合成[8][9][10][11]以及石油热解[12,13]等工业领域。微波辅助的液相反应加热通过快速能量传递加速反应动力学，提高了产品产率和纯度，同时其在多相系统中的选择性加热能力可以抑制不必要的副反应[9,10,14]。这种方法减少了操作时间和废物产生，并节省了成本[15,16]。离子液体（ILs）相比传统有机溶剂具有独特的性能，如离子导电性、优异的溶剂化潜力以及抗生物膜和抗菌活性[17][18][19]。过去的研究表明，微波辅助的离子液体反应具有巨大的发展潜力和广泛的应用前景[20]。例如，一种微波辅助的离子液体合成方法制备了一种三元异质结光催化剂，该催化剂具有优异的抗细菌光催化性能，并且在多次循环后仍能保持活性[21]。对于基于DNA的离子液体推进系统，微波控制实现了精确的点火和燃烧，混合物表现出更高的放热率和更快的加热速率，大幅减少了点火延迟[22]。在离子液体中的微波辅助催化作用使纤维素快速转化为HMF，仅需3.5分钟即可实现51.4%的产率[23]。无卤离子液体催化剂[Bu4N][CO3Me]与微波加热结合使用时，ring-opening合成非异氰酸酯聚氨酯的转化效率提高了93.69%，并且在10次循环后仍保持高活性[24]。

然而，液体的介电性质差异很大。由于样品与周围空气的相对介电常数不匹配，微波能量常常在界面处反射，导致加热效率低下。大多数用于工业应用的液体（如饮料、离子液体和盐水）具有高导电性。这种双重效应不仅增强了微波能量的吸收，还增加了其反射，最终降低了整体效率。为了解决这一问题，研究人员提出了多种优化微波加热性能的方案。例如，基于导波长度控制的动态加热策略可在目标区域实现精确高效的加热[25]；杨等人引入了一种创新的互补频率方法，平衡了功率吸收和加热均匀性，使微波功率吸收率稳定在64.43%到64.79%之间，显著优于单频加热的50.09%的效率[26]；一种开发的单模行波反应器有效减少了反射，使材料即使在条件波动的情况下也能吸收99%的输入微波功率[27]；在双频腔体内集成两个可调金属针可以促进均匀加热，使微波效率相比传统单频方法提高了154.7%到169.1%[28]；尹等人证明，在腔体内优化交错开槽层可以提高能量吸收率55.6%，达到95.7%的整体效率[29]；杨等人设计了一种基于相控阵的腔体，可以实现选择性定向加热并提高加热效率[30]；另一种使用2.45 GHz共振的工业加热自适应控制方法显著提高了能源效率，与传统高功率方法相比总功耗降低了约11%[31]。动态闭环控制系统能有效解决加热过程中的阻抗不匹配问题，例如，自动活塞调节算法可以保持最大共振，使微波效率从40%提高到85%[32]；优化这一自动化策略用于连续色素生产时，微波效率和热效率分别达到了90%和80%[33]；此外，在波导上应用梯度折射率超表面能够实现非对称的微波传播，在不同介电常数下平均加热效率提高了22.5%，乙醇溶液的效率超过了普通波导的60%[34]。然而，这些方法在高效加热高导电性液体（尤其是大量强导电性液体）时可能会遇到挑战。

本研究介绍了一种使用金字塔阵列结构进行阻抗匹配的新方法。实现阻抗匹配不仅减少了微波反射能量损耗，还实现了多种离子液体的高效加热方法。因此，我们介绍了一种更有效地利用微波加热离子液体的装置，特别适用于高导电性液体。最后，讨论了液体介电性质、动态液面高度和匹配层参数对加热效率的影响。这一设计有助于实现微波辅助离子液体反应工程中的高效加热和实验研究。

2. 梯度介电常数阻抗匹配层设计
2.1. 介电等效
为了说明微波加热中阻抗匹配的基本原理，建立了一个通用模型来描述电磁波在多层介质中的传播方式。在微波加热过程中，微波从源头发出后首先穿过空气，然后到达液体。空气与液体界面处的反射系数Γ可以通过将系统建模为等效传输线来确定。空气和加热样品区域都表现为传输线，分别具有各自的波阻抗Zair和Zliquid。

应用等效传输线方法可以确定空气-液体界面的反射系数。充满空气和加热样品的区域被视为具有波阻抗Zair和Zliquid的传输线。空气-液体界面的反射系数可以表示为：
(1) Γinterface = (Zliquid ? Zair) / (Zliquid + Zair)

材料阻抗可以定义如下：
(2) Z = μr / μ0εrε0

自由空间波阻抗可以计算为：
(3) Z0 = μ0ε0 = 377Ω

其中ε0和μ0分别表示自由空间的介电常数和 permeability；εr表示相对介电常数；μr表示相对 permeability。在本研究中，我们将空气阻抗近似为自由空间波阻抗。当Z = Z0时，阻抗最佳对齐，允许电磁波完全入射到介质中。在微波加热过程中，被加热样品的相对介电常数通常远高于空气，导致空气与加热样品界面处有较大的反射系数。

根据阻抗匹配要求，本文利用金字塔结构的梯度等效电磁参数原理设计和实现了匹配层，从而实现更好的阻抗匹配并减少表面处的电磁能量反射。从传输线的角度来看，通过在传输线和负载之间引入阻抗匹配装置来实现阻抗匹配[35]。在本研究中，选择的辐射波长远大于金字塔吸收器的基底尺寸，从而使吸收器可以近似为沿z方向介电常数变化的层。然后可以将介电对象建模为无限多传输线的级联，如图1(a)所示，其中N表示为确保计算精度的线数。由于其几何形状，金字塔从液体向楔形尖端方向介电常数逐渐减小。因此，每条传输线都具有独特的相对介电常数，从而具有独特的特征阻抗。

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图1. (a) 物体的等效传输线模型；(b) x-y平面上的金字塔阵列。

图1(b)展示了x-y平面上设计好的金字塔阵列的横截面，标注了每个单元的尺寸。根据有效介质理论[34]，图1(a)中第i条传输线的介电常数εi（作为g(y)的函数可以表示为：
(4) εi = (εr ? 1)2 × g2 ? 2 × (εr ? εr) × g + εr
其中εi表示等效相对介电常数；g(y)表示空气所占空间的相对体积。如图1(b)所示，对于沿y坐标的传输线，g可以表示为g = 1 ? y2L2，其中L表示金字塔的总高度，P是其底边长度。

图2显示了多层传输线的等效模型示意图。根据电磁波传输理论，可以使用多层介质的等效波阻抗方法获得界面处的反射系数[36]。

假设三个无限平面层（即n = 3），该结构形成了夹在两个不同介电常数界面之间的匹配层，厚度分别为l2和l3。通过将区域3和4合并为一个具有波阻抗Zb的单一区域，可以从界面b看到的有效波阻抗Zb表示为：
(5) Zb = Z3Z4 + jZ3tan(β3l3) / (Z3 + jZ4tan(β3l3)

在界面a处观察到的有效阻抗Za可以通过计算得出，从而消除后续的边界影响。这里，Z3和Z4分别表示区域3和4的波阻抗，β3表示区域3内的传播常数。
(6) Za = Z2Zb + jZ2tan(β2l2) / (Z2 + jZbtan(β2l2)

其中Z2表示区域2的特征阻抗，β2表示区域2的传播常数。如图2所示，界面a处的反射系数Γa为：
(7) Γa = Za ? Z1Za + Z1

此外，Z1表示区域1的阻抗。如前所述，界面处的反射系数受介质的相对介电常数和厚度的影响。通过为每种材料选择合适的相对介电常数和厚度，可以实现最小的界面反射。

2.2. 二维界面模型
为了概念验证第2.1节的理论结论，即梯度结构可以有效实现阻抗匹配，构建了一个空气与液体之间无限界面的二维模型，以说明由于阻抗匹配层的作用，平面波电磁能量的吸收得到增强，如图3(a)所示。单元格由一个相对介电常数为4.4、损耗正切为0.02的三角形组成。三角形的底边和高度分别用d和h表示。以εr = 85 - j187的液体为例，设计的吸收器参数如下：d1 = 10 mm，h1 = 20 mm。同时，本研究基于有效介质理论和传输线理论以及数值模拟开发了一个离散理论模型。如图3(b)所示，连续的三角形匹配层和液体过渡区域被离散为沿微波传播方向等厚的10个水平层。根据有效介电常数模型，第i层的有效介电常数可以表示为：
(8) εeff,i = (ε1 ? ε2)2 × g2 ? 2 × (ε1 ? ε1) × g + ε1

其中ε1和ε2分别表示匹配层和液体的介电常数，g(i) = i ? 0.5表示第i层内的液体体积分数。对于任意给定的第i层（i = 1, 2, ……, 10），其特征波阻抗和复传播常数可以表示为：
Zc,i = Z0εeff,i 和 γi = jk0εeff,i

根据方程(5)和(6)，可以推导出计算等效输入阻抗的公式：
(9) Zin,i = Zc,iZin,i+1 + jZc,i×tan(γidi) / (Zc,i + jZin,i+1tan(γidi)

其中物理参数定义如下：Zin,i是第i层上界的等效输入阻抗；Zc,i是第i层混合介电层的固有特征波阻抗；γi决定了第i层混合介电层的复传播常数；di表示第i层的物理厚度，计算为2 mm。在顺序确定每个接口的输入阻抗后，当微波从第i-1层垂直入射到第i层的上界面时，反射系数可以如下精确计算：(10)Γi=Zin,i?Zc,i?1/Zin,i+Zc,i?1。每层的计算结果总结在表1中。

表1. 10层离散匹配结构的理论参数。
第i层 εeff,i Γi|Γi|
16.57 - 2.12j -0.18 28 + 0.3396j 38.57%
21 1.50 - 8.49j -0.20 14 + 0.2211j 29.91%
317.21 - 17.94j -0.13 68 + 0.1272j 18.68%
423.70 - 30.47j -0.10 20 + 0.0796j 12.94%
530.98 - 46.08j -0.08 09 + 0.0527j 9.65%
639.04 - 64.77j -0.06 71 + 0.0362j 7.62%
747.88 - 86.54j -0.05 74 + 0.0254j 6.28%
857.51 - 111.39j -0.0501 + 0.0181j 5.33%
967.92 - 139.32j -0.0450 + 0.0140j 4.71%
1079.11 - 170.34j -0.0441 + 0.0078j 4.48%

使用商业软件COMSOL Multiphysics（COMSOL Inc., 斯德哥尔摩，瑞典）构建了相应的2D连续和离散仿真模型，如图3所示。在仿真中，x方向应用了Floquet周期性边界，而y方向应用了完美匹配层[37]。入射的电磁波沿y方向传播，并垂直入射到匹配层上，其电场沿x轴极化，输入功率Pin = 1000[W/m]，频率为2.45 GHz。离散模型的仿真结果显示S11为-4.4916 dB，能量吸收效率为64.48%。相应的能量反射率为35.52%，与理论推导的38.57%相比偏差了3.05%。这种微小差异在可接受的误差范围内，充分证明了三角阵列结构可以通过介电常数等效性和分层理论实现阻抗匹配。

使用三角阵列的波动S11为-12.350 dB，总能量吸收效率高为94.18%，其中匹配层和液体负载分别吸收了3.90%和90.28%的能量。相反，没有匹配层的模型的S11为-1.0167 dB，能量吸收率仅为20.92%。图4显示了三角阵列对电场分布的影响。显然，引入匹配层显著降低了空气区域中的电场强度。

在仿真模型中，为了考虑损耗区域与空气区域之间的热交换，在非匹配模型的液体表面和匹配模型的三角形底部应用了热流边界条件，热传导系数为10W/(m2·K)。计算了在20秒微波照射下液体的温度升高情况，起始温度为293.15 K。

如图5所示，没有匹配层时严重的阻抗不匹配会导致强烈的界面反射，最大温度升高仅为3 K。相反，引入三角阵列后将最大温度升高到5 K，形成了与阵列几何形状相匹配的周期性V形加热模式。这种改进源于双重机制的协同作用：从电磁学角度来看，阵列构建了一个空间渐变的阻抗过渡区以最小化反射；从几何学角度来看，充满液体的间隙将平坦边界转变为周期性的凸出结构，显著扩大了有效加热面积。这两种机制共同克服了基线模型的严重反射和低效率问题，确保了液体能高效吸收电磁能量。

基于上述分析，提出了一种包含梯度介电常数阻抗匹配层的加热系统。微波加热反应器的示意图如图6所示。它由金属腔体、BJ22波导和放置在液体表面的金字塔阵列板组成。圆柱体的总高度为h2 = 225 mm，半径r2 = 110 mm。一个半径为110 mm的半球形壳位于波导和圆柱体之间。该系统在2.45 GHz的TE10模式下工作。为了平衡低反射系数和工程实用性，使用了相对介电常数为4.4、损耗正切为0.02的FR4环氧树脂片。匹配层位于空气和液体之间，由一个厚度为d2的底座和顶部长度为m1、底部长度为m2、高度为h3的截顶金字塔组成。虽然第2.1节中的方程从理论上表明了这种梯度金字塔形状的必要性，但复杂3D腔体内的确切尺寸是通过参数扫描定量确定的。通过优化底板的厚度、金字塔的高度和边长，确定了阻抗匹配参数以最小化反射系数。经过仿真优化过程后，确定d2 = 12 mm、m1 = 3 mm、m2 = 15 mm和h3 = 30 mm为最佳结果。考虑到匹配层必须放置在腔体内，其边半径为107.5 mm，略小于腔体半径。

3.2. 多物理场仿真
3.2.1. 边界条件和输入参数
在本研究中，通过数值求解亥姆霍兹方程(11)?×μr?1(?×E→)?k02(εr?jσωε0)E→=0来确定包含电磁-热耦合现象的电磁场空间分布，该方程涉及电场强度E→、相对磁导率μr、自由空间波数k0=ωε0μ0、相对介电常数εr、真空介电常数ε0、角频率ω和电导率σ等变量。以下方程控制了系统内加热材料的能量损失和热传递：(12)12ωε0ε″|E→|2=ρCp?T?t?k?2T=Qe
在此背景下，符号定义如下：ε″表示材料相对介电常数的虚部，ρ、Cp和T分别对应密度、热容量和温度，T表示温度。Qe表示电磁功率耗散。在整个数值模型中，波导端口的激发设置为TE10模式。同时，波导和腔体的金属表面被赋予完美导体的属性。

在模型的外部表面（特别是匹配层的暴露顶面和侧壁以及液体域的侧壁和底部表面）应用了自然对流边界条件。这些边界处的对流热传递由以下方程控制：(14)?k?T?n=h(T?Tair)，其中k表示热导率，T表示局部表面温度，n表示外表面法线向量。对流热传递系数h定义为10W/(m2·K)，环境空气温度Tair保持在293.15 K。

微波加热仿真模型的输入参数如表2所示。在本研究中，使用有效复合介电常数对2.45 GHz微波照射下高导电液体的能量耗散进行了建模。在微波频率下，离子导电性对总加热损耗的贡献被数学上结合到有效介电损耗因子εeff″中，由关系εeff″=εd″+σωε0控制，其中εd″是极化损耗，σ是电导率，ω是角频率，ε0是真空介电常数[38]。因此，为了避免在多物理场仿真中重复计算能量耗散，显式静态电导率参数被设置为0 S/m。

3.2.2. 网格大小
对于2D仿真模型，具有三角阵列匹配层的整个几何结构被离散为33,581个元素。具体来说，液体区域的最大网格元素尺寸为3.06 mm，匹配层为7.29 mm，空气区域为15.3 mm。同样，具有金字塔匹配层的整个3D模型被划分为1,039,119个域元素。在这个3D模型中，液体区域的最大网格元素尺寸设置为4.895 mm，匹配层为11.67 mm，空气区域为24.47 mm。

为了进一步验证数值可靠性，对研究中最复杂的几何结构（即集成有金字塔匹配层的3D多模腔体）进行了严格的网格独立性测试。使用归一化功率吸收（NPA）作为评估指标，它定义为损耗介质中平均模拟耗散功率与有效输入功率的比率[41]。当计算的NPA波动在进一步细化后变得可以忽略时，认为满足网格独立性标准。如图7所示，当总元素数量接近197,833时，NPA趋于稳定并收敛。实际仿真中使用的1,039,119个元素远远超过了这一收敛阈值，从而保证了计算结果严格依赖于网格。

图9比较了没有（图9(a)）和有匹配层（图9(b)）配置下加热20秒后液体的温度升高情况。引入匹配层后，最大温度升高达到了33.8 K，比没有匹配层的系统高约32 K。y-z和x-z平面截面进一步显示，匹配层促进了更深的纵向热传递。重要的是，如图9(b)中所明显展示的，温度升高几乎完全发生在液体相内，而不是匹配层结构中。这证实了所提出的阻抗匹配层有效地将微波能量引导到高导电性液体中，且自身介电损耗很小。

为了验证仿真结果，构建了一个实验装置，其配置如图10所示。实验涉及在专门设计的加热系统中加热不同相对介电常数的液体，每种液体的体积均为4 L。液体的初始温度为293.15 K。我们使用微波功率计（AV2433 Power Meter，中国电子科技仪器有限公司，山东）来测量输入和反射功率。加热样品由两种溶液组成：不同体积比的乙醇和不同浓度的氯化钠。

微波固态源（型号PA2425-1000S，嘉兴 Linguang Technology，中国）在2450 MHz频率下输出100 W的功率。生成的微波能量通过波导传输。在实验中，同轴电缆的一端通过波导-同轴适配器（CAWG-26-N，成都麦萍电力技术有限公司，中国）连接到波导，另一端通过同轴-波导适配器（CNWG-26-N，成都麦萍电力技术有限公司）连接到波导转换器。为了保护微波源，使用了带有水负载的循环器。通过定向耦合器建立了连接。本研究忽略了微波传输过程中的热导率和辐射损耗，而是关注基于微波能量利用效率的加热效果评估。微波能量利用率可以表示为：(15)η=1?pr/pi，其中η是微波的能量利用率，pr是反射功率，pi是入射功率。乙醇的相对介电常数较低，而水的相对介电常数则显著较高。通过调整水溶液中乙醇的浓度，可以获得一系列不同的相对介电常数，这些介电常数表现为较小的虚部值和较宽的实部分布。表3展示了乙醇体积分数与复相对介电常数之间的相关性。作为强电解质，氯化钠在水溶液中会完全解离。调节其浓度可以得到具有较高虚部介电常数的溶液，同时保持广泛的实部介电常数值范围。不同浓度的氯化钠水溶液的介电特性列在表4中。使用设计的微波加热系统，对不同浓度的乙醇-水混合物和氯化钠水溶液进行了微波辅助加热实验。

表3. 不同浓度乙醇溶液的复相对介电常数。

| 浓度 | 相对介电常数 | 参考文献 |
|------|-----------|---------|
| 0% | 83.77–j10.05 | [34] |
| 10% | 76.00–j11.51 | |
| 20% | 65.52–j12.59 | |
| 30% | 60.72–j14.09 | |
| 40% | 55.16–j15.74 | |
| 50% | 45.75–j15.52 | |
| 60% | 38.45–j15.45 | |
| 70% | 31.49–j15.23 | |
| 80% | 18.74–j12.87 | |
| 90% | 14.41–j11.56 | |
| 100% | 8.48–j7.64 | |

表4. 不同浓度氯化钠水溶液的相对介电常数。

| 摩尔浓度（mol/L） | 相对介电常数 |
|------------|-------------|
| 0.1 | 6.4–j16.3 |
| 0.2 | 5.7–j19.7 |
| 0.3 | 3.3–j30.1 |
| 0.4 | 6.7–j32.6 |
| 0.5 | 3.2–j36.8 |
| 0.6 | 9.7–j41.0 |
| 0.7 | 3.6–j50.3 |
| 0.8 | 5.6–j55.0 |
| 0.9 | 5.6–j63.7 |

如图11所示，评估了有无匹配层的能量效率，并将实验结果与模拟结果进行了比较。带有匹配层的系统在整个乙醇浓度范围（10-100%）内保持了超过88%的微波能量利用率。相比之下，没有匹配层的系统通常加热效率低于70%。同样，在测试氯化钠溶液（0-1 mol/L）时，带有匹配层的系统能量利用率保持在95%以上，实验结果与模拟结果的差异在8%以内。测量到的效率略微高于模拟值，这可能归因于氯化钠溶液中加热增强的电离作用，提高了其吸收能力。没有匹配层时，大多数情况下加热效率降至40%以下。因此，匹配层将效率提高了大约50%，同时显著提高了系统的稳定性。这些发现表明，匹配层能够在广泛的介电特性范围内实现高效加热，特别是对于高导电性液体。此外，模拟结果与实验结果的高度一致性验证了模型的可靠性。

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图11. 不同浓度乙醇水溶液的能量效率。(a) 乙醇；(b) 氯化钠溶液。

3.4. 微波加热反应器的鲁棒性

3.4.1. 液体介电特性的影响
物质的介电常数对温度敏感，在不同材料之间存在显著差异。这种介电常数的变化对加热过程的效果有很大影响。为了确定加热系统的鲁棒性，我们进一步研究了被加热材料介电常数变化的广泛范围对其性能的影响。在模拟框架内，系统地改变了材料参数，相对介电常数的实部从5变化到85，损耗正切从0.2变化到2.2，同时保持液体高度恒定为150毫米。如图12所示，没有匹配层时，随着相对介电常数的实部和损耗正切的增加，液-气界面的阻抗不匹配逐渐增强，导致加热效率逐渐降低。然而，在引入匹配层后，高相对介电常数液体的加热效率显著提高，保持在90%以上。此外，在低相对介电常数范围内，加热效率也可达到80%。这表明该加热系统适用于多种不同的负载。

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图12. 不同介电常数液体的能量效率。

3.4.2. 动态液体高度的影响
加热腔本质上是一个谐振腔结构。液体高度的变化会导致共振点变化，从而影响系统的加热性能。当液体相对介电常数为85–j187时，讨论了液体高度在40毫米到180毫米之间变化时的加热效率变化。如图13所示，没有匹配层时，加热效率不超过70%，并且随着液体高度的变化而急剧变化，在共振状态下高度为105毫米和180毫米时达到最大效率。然而，引入匹配层后，加热效率保持在80%以上，不再随液体表面的高度剧烈波动。这表明匹配层的引入提高了腔体的加热效率，并减少了其对液体表面高度变化的敏感性。

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图13. 不同液体高度下的能量效率。

3.4.3. 匹配层属性对加热效率的影响
本文研究了三种匹配层参数：基底厚度、匹配层相对介电常数和金字塔高度，以观察它们对加热效率的影响。图14显示了不同基底厚度（从6毫米到18毫米）下的加热效率。基底越厚，效率首先会增加到一个最高点，然后下降，但永远不会低于74%。

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图14. 不同基底厚度的能量效率。

图15显示了匹配层相对介电常数变化对加热效率的影响。匹配层的介电常数值在2.2到6.7之间进行了微调，步长为0.5，以全面评估其效果。随着相对介电常数的增加，加热效率也随之提高。当相对介电常数达到4.7时，加热效率的提高停止。之后，效率开始下降。在匹配层材料的相对介电常数变化范围内，系统的加热效率仍保持在70%以上。

此外，讨论还包括了金字塔高度的影响，金字塔高度范围从15毫米到45毫米。图16展示了不同金字塔高度下加热反应器的能量利用率。系统在整个高度升高过程中保持了超过97%的能量利用率。模拟结果表明，金字塔高度的变化与加热效率之间没有正相关关系。这可能是因为波长尺度超过了金字塔的高度。金字塔高度的变化并没有导致波的折射次数增加。金字塔高度变化的鲁棒性使得匹配层即使在存在制造误差的情况下也能显著提高系统的加热效率。

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图16. 不同金字塔高度下的能量效率。

4. 结论
在这项工作中，提出了一种梯度介电常数匹配层，以有效改善阻抗匹配，从而提高微波加热反应器的效率。基于相对介电常数等效性和传输线理论，证明了匹配层的功能。微波加热模拟和后续实验表明，匹配层在加热过程中实现了高传输效率，并减少了能量反射。该系统在加热从0%到100%浓度的乙醇水混合物时，能量利用率超过88%。此外，在加热0.1到1 mol/L浓度的氯化钠溶液时，能量转换率达到了惊人的95%。

此外，还研究了材料的相对介电常数和加热体积的影响。对于相对介电常数的实部在5-85之间、虚部在0.2-2.2之间、液体高度在30毫米到180毫米之间的材料，所提出的加热系统的效率保持在80%以上，在稳定性和效率方面优于没有匹配层的系统。此外，这项分析还探讨了匹配层设置的变化如何影响系统的加热性能，发现匹配层的相对介电常数对加热结果有最大的影响。尽管如此，系统的最低效率仍然超过70%。这项研究为阻抗匹配微波加热引入了一项开创性技术，为设计高电导率材料的微波加热系统提供了宝贵的指导。

cRediT作者贡献声明：
Zhang Jing：写作——审阅与编辑、写作——原始草稿、可视化、软件、方法论、调查、数据整理。
Yin Ke：写作——审阅与编辑、可视化、方法论、资金获取。
Fan Daming：验证、数据整理。
Zhao Shanliang：验证、资源准备。
Song Shuang：写作——审阅与编辑、调查。
Yang Huayu：调查、数据整理。
Yang Yang：项目管理、资金获取。
Zhu Huacheng：写作——审阅与编辑、监督、项目管理、方法论、资金获取、概念化。