深度学习与SPH方法结合的混合策略，用于加速拉格朗日自由表面流动模拟

《Computational Particle Mechanics》：Hybrid strategy of deep learning and SPH method for accelerating Lagrangian free-surface flow simulations

　　桥本健|西尾真由子
筑波大学科学与技术研究生院

**摘要**
平滑粒子动力学（SPH）是一种基于拉格朗日的粒子方法，在自由表面流动分析中表现出有效性。然而，SPH需要通过核函数进行邻居搜索来计算粒子相互作用，这一过程构成了主要的计算瓶颈。本研究引入了一种深度学习模型，能够在不依赖邻居搜索的情况下预测自由表面流动，从而显著提高计算速度。不过，这种方法的缺点是由于忽略了粒子间的相互作用，可能导致由于粒子聚类而产生的数值误差。为了解决这个问题，我们采用了一种混合策略，在深度学习模型和传统SPH更新之间进行切换。通过结合基于学习的模型的效率和SPH的准确性，我们的方法在自由表面流动预测方面实现了高速度和高精度。所提出的方法使用WaterDrop问题进行了全面和中立的验证，该问题是自由表面流动的标准基准测试。在相同的编程语言和计算环境下，与显式和隐式方法的比较表明，所提出的方法加速效果达到了大约四倍。

**1. 引言**
自由表面流动是一个具有广泛应用的重要问题，包括海洋工程[1]、土木工程[2]以及计算机图形学中的流体表示[3]。这些问题通常涉及大的变形和界面的分裂与合并，对于这些问题，无网格粒子方法具有明显的优势。一种代表性的方法是平滑粒子动力学（SPH）[4],[5]。SPH最初是在天体物理学领域开发的[4],[5]，随后被扩展到自由表面流动的分析[6]。这种方法被称为弱可压缩SPH（WCSPH）方法。相比之下，移动粒子模拟（MPS）方法[7]是一种半隐式的、基于投影的粒子方法，专门用于在不可压缩假设下的自由表面流动分析。然而，随着SPH的隐式公式（如ISPH[8]）和MPS的显式公式（如WCMPS[9]）的发展，这两种方法之间的差异已经减小。正在进行的研究提出了多种旨在提高精度和稳定性的方案，包括δ-SPH[10]、LSMPS[11]和SPH(2)[12]。在计算机视觉领域，基于位置的流体（PBF）[13]被开发出来以高效解决位置约束问题，并且提出了许多改进的变体，如XPBD[14]。此外，计算机视觉社区内的研究还推进了基于SPH的方法，如PCISPH[15]、IISPH[16]和DFSPH[17]。尽管已经开发出了许多高精度的基于粒子的方法，但所有方法的一个共同问题是，随着粒子数量的增加，计算成本会迅速上升。如上所述，SPH公式可以分为显式和隐式方案；然而，两者都面临着同样的主要瓶颈，即需要基于核函数来近似物理量的邻居搜索[6]。即使采用了诸如桶搜索这样的高效算法，邻居搜索的计算复杂度仍然很高。这一特性对进一步加速带来了实际限制。

为了实现更快的模拟，机器学习越来越多地被用于加速自由表面流动的拉格朗日模拟。第一个值得注意的方法是由Ladicky等人提出的[18]，他们使用回归森林来预测流体运动。深度学习作为一种更有前途的方法，能够实现更通用和更快的预测。例如，HRN[19]和DPINet[20]已被应用于机器人学中以模拟复杂的粒子相互作用。为了提高精度，许多深度学习模型纳入了粒子间的相互作用，类似于粒子方法中的相互作用。例如，CConv[21]及其改进版本DMCF[22]利用卷积神经网络（CNN）从邻近粒子中提取特征。此外，基于图神经网络（GNN）的模型被提出以更有效地处理空间分布不规则的粒子。在这些模型中，GNS[23]代表了一个 major 的进步，并启发了许多旨在减少内部迭代次数[24]、结合SPH稳定性技术[25]以及改进压力计算和边界条件处理[26]的扩展。一些研究[24],[26]声称深度模型的预测速度高于传统数值求解器，同时保持相似的精度。然而，这些声明难以验证。之前的评估经常使用不一致或不公平的基准，例如比较隐式和显式方案，或使用不同的硬件或实现，这阻碍了对实际加速效果的可靠结论。值得注意的是，即使在基于学习的方法中，邻居搜索的成本也常常占据了运行时间的大部分。先前的研究[24],[28]表明，学习到的预测器仍然会将大量计算时间用于邻居查询。因此，要利用深度学习实现根本性的加速，需要直接解决明确确定的瓶颈，例如邻居-粒子搜索。

受这些考虑的启发，我们引入了PointNet[29]，这是一种避免邻居搜索的深度学习模型，用于加速SPH预测。然而，由于这种方法没有明确纳入粒子间的相互作用，因此容易发生粒子聚类。相反，SPH通过压力梯度力和粒子位移技术来处理这些问题。为了结合这两种优势，我们引入了一种混合策略[30]，在SPH和PointNet更新之间进行切换。这种方法结合了深度学习模型的计算效率和SPH的鲁棒性，专注于实现准确且高效的自由表面流动预测。在本文中，我们提出了SPH的混合策略，并使用自由表面流动的基准测试来研究其有效性和局限性。为了清楚地展示计算加速效果，我们在统一的框架内使用了显式和隐式SPH公式进行了全面的评估。

**贡献**
我们的主要贡献如下：
• **验证无邻居的深度学习模型**：引入了一种避免SPH主要计算瓶颈的邻居搜索的深度学习模型，并评估了其在自由表面流动预测中的有效性。
• **结合学习和数值模拟的混合策略**：引入了一种交替方案，通过定期的SPH更新来补偿无邻居预测的精度和稳定性降低问题。
• **在统一环境下的全面评估**：深度学习模型和SPH求解器都在PyTorch中实现，并在GPU上进行了测试。随后，在相同条件下比较了显式和隐式SPH方案。

**2. 平滑粒子动力学**
**2.1. 控制方程**
在使用SPH方法对自由表面流动进行数值分析时，控制方程包括纳维-斯托克斯方程的拉格朗日形式以及连续性方程，具体如下：
(1)
(2)
其中，t是时间，v是速度矢量，p是压力，ρ是密度，μ是动力粘度，g是重力。在SPH方法中，物理量及其导数使用核函数来近似，以求解控制方程。下一节将详细介绍SPH。时间积分算法可以分为显式和隐式方案。在显式方案中，下一步的解仅从当前值获得；而在隐式方案中，需要求解涉及未来未知值的方程。在本研究中，我们采用弱可压缩SPH（WCSPH）[6]方法作为显式方案，以及不可压缩SPH（ISPH）[8]方法作为隐式方案；这些方案分别在2.3节和2.4节中概述。

**2.2. SPH近似**
在SPH方法中，任意粒子ρ的物理量φ近似如下：
(3)
其中，i表示主粒子的索引及其邻居粒子，N_i表示粒子i的邻居粒子集，V_i是粒子i的体积，k?相距d_i的粒子i和邻居粒子i之间的核函数。核函数φ是一个平滑函数，决定了粒子i周围区域的影响程度。本研究中使用了常见的五次样条核函数，其表达式如下：
(4)
其中，λ是平滑长度。SPH方法的微分算子如下：
(5)
(6)
这里，方程(5)是梯度的近似，而方程(6)是拉普拉斯算子的近似。φ′表示通过矩阵μ的逆[31],[32]校正后的核函数梯度。尽管传统的SPH梯度近似在粒子分布无序时仅具有零阶精度，但当前的校正方法即使在这样的情况下也能保证一阶精度。

**2.3. WCSPH算法**
在WCSPH方法中，方程(1)中的纳维-斯托克斯方程可以如下离散化：
(7)
其中，μ_v包括人工粘度项。通常，粘度项表示为
(8)
(9)
(10)
其中，c_s是声速，α和β是参数。通过将上述表达式与方程(2)中的连续性方程结合起来求解这些方程。然而，在WCSPH框架中，仅凭这两个方程无法封闭方程组，因为密度也被视为一个变量。因此，需要一个状态方程来关联压力、密度和内能（如可压缩流体求解器中的做法），以确定压力。通常使用Tait状态方程：
(11)
其中，p_ref是参考压力，ρ_init是初始密度。这些方程通过时间积分依次求解。具体来说，速度使用显式欧拉方法积分，而粒子位置使用隐式欧拉方法更新。这种组合构成了辛欧拉方法。因此，WCSPH方法是一种显式方案，下一步的解可以仅从当前值获得。显式方案的主要优点是它们的计算效率高，因为可以依次更新值，从而实现快速的计算。然而，时间步长受到Courant-Friedrichs-Lewy（CFL）条件[33]的限制（见下文）。
(12)
其中，κ是Courant数，d_p是粒子直径。因此，显式方案允许的时间步长必须小于后面讨论的隐式方法的时间步长。

**2.4. ISPH算法**
在ISPH中，通过假设流体密度随时间保持不变来应用不可压缩性近似。控制方程如下：
(13)
(14)
在ISPH方法中，时间积分基于投影方法[34]进行，也称为分数步长方法（见下文）。
(15)
(16)
(17)
其中，v_temp是 tentative 速度。方程(15)（称为预测器）通过考虑粘性和外力来计算 tentative 速度。方程(16)（称为压力泊松方程）根据 tentative 速度计算下一时间步的压力。最后，方程(17)（称为校正器）更新下一时间步的速度场。压力泊松方程是一个椭圆型偏微分方程，采用隐式求解。因此，ISPH方法是半隐式方案，它显式计算速度而隐式计算压力。隐式计算放宽了CFL条件，从而允许更大的时间步长。然而，求解隐式方程需要计算矩阵逆作为线性系统解的一部分。由于这种逆运算通常涉及迭代过程，因此每个时间步的计算成本高于显式方案。

**3. 混合策略**
**3.1. 无邻居搜索的深度学习模型**
一些深度学习模型不需要邻居-粒子搜索。对于基于粒子的模拟，合适的模型应对粒子数量和输入顺序的排列具有不变性。其中一个模型是PointNet[29]，它由共享多层感知器（Shared-MLP）和池化操作组成，具体如下：
(18)
(19)
其中，i是粒子的索引，x是输入，f_x是点态特征，f_g是全局特征，f MAV是共享MLP，p是池化操作。共享MLP和池化操作都不依赖于粒子邻居信息。因此，使用PointNet模拟拉格朗日自由表面流动时，无需进行计算成本高的邻居搜索即可获得解预测。PointNet的一个关键特性是其排列等变性，这意味着输出不会随输入数据的排列而改变。此外，该架构与输入粒子的数量无关。这些特性允许在不同分辨率下进行预测。

先前的研究已将PointNet探索作为物理模拟的替代方案[35],[36]。然而，本研究的不同之处在于粒子运动是以拉格朗日方式明确跟踪的。本研究中用于拉格朗日自由表面流动的PointNet模型架构如图1所示。PointNet的模型架构。每个粒子的输入是当前状态前五步的位置和速度序列，输出是加速度。通过使用辛欧拉方法对获得的加速度进行时间积分来更新粒子的位置和速度，具体步骤如下：(20)(21)此外，输入的速度场使用训练数据的最大值和最小值进行了最小-最大归一化。需要注意的是，尽管PointNet在本研究中作为一个代表性的例子，但其他不依赖邻居粒子搜索的模型，如DeepSets [37]和DeepONet [38]，也适用于此场景。

3.2. 混合策略
混合策略在数值求解器和深度学习模型之间交替使用，以互补彼此的缺点。图2展示了混合策略的示意图，图3展示了其流程图。如前所述，PointNet预测具有高计算效率，因为不需要进行邻居搜索。然而，缺乏显式的粒子-粒子相互作用会导致粒子聚集，从而产生误差积累，并最终导致长期预测失败。相比之下，SPH方法显式地模拟了粒子相互作用。当粒子相互接近时，局部密度增加，产生排斥力。这种机制有助于保持粒子间距，引入的粒子移动技术进一步通过抑制聚集来增强这一效果。因此，通过交替使用PointNet和SPH，混合策略可以在不发生粒子聚集的情况下预测粒子运动。

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图2. 混合策略示意图
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图3. 混合策略的算法流程图

图3详细展示了所提出的混合策略的实现流程。由于PointNet模型需要输入前五个时间步的粒子位置和速度序列，因此前五个时间步仅使用SPH计算。得到的位置和速度被存储起来，随后作为PointNet的输入。在这个初始化阶段之后，每个时间步都会根据当前步骤决定是使用SPH还是PointNet进行计算。SPH和PointNet的使用比例可以灵活指定，并通过数值实验详细评估了其影响。无论选择哪种求解器，得到的位置和速度都用于更新PointNet的输入序列。这个过程重复进行，直到模拟完成。

4. 数值实验设置
4.1. 数据创建
本研究使用WaterDrop问题[23]进行验证，该问题涉及矩形域内水柱的坍塌。这一场景涉及由于水柱下落而产生的自由表面流动。在本研究中，我们考虑了一个二维设置，并关注在先前研究中探讨的情景，即一个宽度为0.1米至0.3米、高度为0.2米至0.4米的水柱落入边长为0.8米的正方形域中。初始条件基于水柱的尺寸和质心位置确定。在不同初始条件下获得的数值结果被用作训练数据，以开发一个能够为新初始配置重建流动的深度学习模型。数据集中包含的训练集、验证集和测试集的数量分别为1000个、30个和30个。训练数据是使用改进的ISPH方法[39]生成的，该方法是ISPH方案中在压力泊松方程的源中添加了一个密度项，以减少粒子聚集。模拟中使用的参数列在表1中。

表1. 创建训练数据集的参数
名称 值
时间步长 [s] 粒子间距 [m]
有效半径 [m] 动能粘度 []
稳定参数

用于创建训练数据集的SPH求解器是用PyTorch[40]实现的。模拟进行了5000步，并且每隔五步捕获一次训练数据的快照。对于验证集和测试集，使用了训练集中未包含的初始条件下的模拟数据。训练集、验证集和测试集中的样本数量分别为1000个、30个和30个。

4.2. 训练PointNet
模型使用前一节描述的数据集进行训练。训练批量大小为12,000，共进行了3,000个周期。采用了Adam[41]优化器，学习率为0.0001。深度学习模型的超参数与先前研究[29]中使用的参数保持一致。在训练过程中预测多个未来步骤可以减少长期误差[23]。因此，在本研究中，将预测的未来五步的速度场与参考SPH速度场进行了比较。损失函数定义为预测速度场与从SPH方法获得的真实数据之间的均方误差（MSE），表示如下：

4.3. 验证概述
通过将混合策略的结果与SPH模拟生成的真实数据进行比较来评估其有效性。使用ISPH生成真实数据。此外，还采用了显式的WCSPH和隐式的ISPH来实现混合策略。对30个不同的初始条件进行了数值模拟，这些初始条件都与训练集和验证集中使用的条件不同。比较了四种不同的方法：ISPH（真实值）、WCSPH、基于ISPH的混合策略和基于WCSPH的混合策略。测量并记录了每次模拟的计算时间。为了评估在训练时未使用的分辨率下的预测准确性和效率，使用了不同的粒子间距进行了模拟。所有模拟都进行了5000时间步。其他参数与表1中列出的参数相同。

表2. 初始粒子间距及相关参数的信息
粒子间距 [m] 时间步长 [s] 最大时间 [s] 粒子数量 [-]
0.02 0.001 558 178 266
0.01 0.0005 251 126 92
0.005 0.0002 51 143 65
0.002 0.0001 105 197 63

实验使用配备了Core Ultra 9 285 K CPU和GeForce RTX 5090 GPU的平台进行。PointNet和SPH求解器都是用PyTorch实现的，并在同一GPU计算环境中执行。这消除了CPU和GPU之间的通信时间，从而实现了更公平的评估。邻居粒子搜索是最显著的算法差异。对于这一步，我们采用了桶搜索算法，这是一种快速的邻居搜索算法。如前所述，混合策略在相同的条件下进行了验证。

混合策略的应用使得SPH求解器和PointNet的使用比例可以灵活调整。在以下部分中，由SPH步骤后跟随着PointNet步骤组成的混合策略表示为。例如，图2表示1:1的情况，而图4展示了1:2的情况，即在单个SPH步骤之后执行两个PointNet步骤。对于验证，使用了1:0、3:1、2:1、1:1和1:3的使用比例。选择这些比例是为了捕捉计算精度和效率之间差异最大的区域。初步观察表明，对于SPH占主导的比例较大的情况（例如4:1或更高），计算成本增加，但精度没有明显提高；而对于神经网络使用比例较高的情况（例如1:4或更高），误差会迅速增加。因此，本研究关注的比例范围是1:3到3:1。对于每个比例，对表2中列出的所有初始粒子间距进行了模拟。由于PointNet的输入需要当前步骤前四个步骤的快照，因此所有比例的前五个步骤都仅使用SPH计算。因此，计算成本是在排除前五个步骤后，基于4995步来评估的。

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图4. 使用比例为1:2的混合策略示意图

4.4. 度量标准
计算成本通过每步的平均墙钟时间来评估，定义为总运行时间除以总步骤数（即4995步）。加速比定义为混合策略的每步平均时间与仅使用SPH的模拟的每步平均时间的比率。理想的加速比定义为理论加速比，假设PointNet的计算时间可以忽略不计。在这个假设下，理想的加速比可以表示为，其中是总步骤数，是混合策略中的SPH步骤数，是仅使用SPH的单步计算时间。通过将测量到的加速比与理想值进行比较来评估混合方法的有效性。

使用归一化的均方根误差（RMSE）和斜边距离（CD）作为预测准确性的评估指标，具体如下：
(23)(24)
其中表示预测的流体粒子，表示快照时的真实流体粒子，和分别表示每组粒子的位置。使用ISPH获得的预测结果作为真实数据。RMSE用于通过比较具有相同ID的粒子位置来评估局部点精度。虽然这个指标需要数据顺序一致，但在这里适用，因为本研究中的粒子索引是相同的。然而，RMSE对极端异常值（如溅出的粒子）很敏感。相比之下，CD评估了点云的整体几何相似性，而不考虑数据顺序或点对点对应关系。因此，这些评估是从局部精度和全局表示两个方面进行的。

5. 数值实验结果
5.1. 计算时间
图5显示了（a）基于ISPH的求解器和（b）基于WCSPH的求解器的粒子间距与单步计算时间之间的关系。同样，图6展示了（a）基于ISPH的混合策略与ISPH的加速比，（b）基于WCSPH的混合策略与ISPH的加速比，（c）基于ISPH的混合策略与WCSPH的加速比，以及（b）基于WCSPH的混合策略与WCSPH的加速比。两种图中的颜色表示求解器使用比例的差异。在图6中，实线表示测量的加速比，虚线表示理想的加速比。

首先，如图5所示，检查了计算时间。当每种混合策略与其相应的基线求解器进行比较时，观察到计算速度明显提高。这种趋势在所有初始粒子间距和基线求解器中都是一致的，表明性能稳定且良好。值得注意的是，混合策略的比例增加会导致加速比 proportional 增加。换句话说，计算加速度的增加与混合框架中PointNet使用的增加成正比。基于这一观察，我们分析了图6中显示的加速比。在混合框架内与相同的SPH求解器进行的比较中（如图6(a)和(d)所示），随着分辨率的增加，即粒子数量的增加，加速比接近理想值。这种行为不仅适用于隐式ISPH求解器，也适用于显式WCSPH求解器。这些结果表明，不进行邻居粒子搜索的PointNet其计算时间可以忽略不计，远快于基于SPH的求解器。接下来，通过关注图6(c)，我们确认在使用ISPH求解器作为基线求解器时，混合策略实现了比WCSPH更高的计算速度。ISPH在体积守恒、压力分布的平滑性以及允许的时间步长方面通常优于WCSPH，这是由于压力泊松方程的隐式求解。然而，这种隐式计算的迭代性质导致每步的计算成本高于WCSPH。提出的混合策略克服了这一限制，使得计算速度比WCSPH更快，同时保留了ISPH.5.2的理想特性。计算精度：图7和图8显示了随着粒子间距变化，RMSE和CD的变化情况。两个图表分别展示了（a）基于ISPH的求解器和（b）基于WCSPH的求解器。黑线表示仅使用WCSPH的情况（即1:0），没有采用混合策略。红色圆圈表示3:1，蓝色方块表示2:1，绿色菱形表示1:1，浅蓝色三角形表示1:2，橙色倒三角形表示1:3的混合模拟。图7和图8中呈现的RMSE和CD值是通过平均所有测试案例和整个模拟时间得到的。首先，图7中的RMSE结果表明，基于ISPH和WCSPH的方法在所有比率下都获得了稳定的解，且没有数值发散。此外，随着粒子间距的减小，RMSE也有所降低。由于RMSE是根据具有相同索引的粒子之间的距离计算的，因此更细的粒子分辨率自然会导致更小的位置差异，这解释了这一趋势。通过检查每个比率的RMSE，可以观察到随着SPH比例的增加，基于ISPH的模型的精度更高。相比之下，对于基于WCSPH的模型，1:0、3:1和2:1的RMSE值几乎相同。然而，1:1的RMSE略有增加，而1:2和1:3的RMSE值更大。这些较大的误差可能是由于ISPH真实数据中不存在的溅射粒子等差异造成的。图8中的CD也显示了所有情况下的计算稳定，没有发散。关于粒子间距，基于ISPH的模型在所有分辨率下保持了较低的CD值，而基于WCSPH的模型随着粒子间距的减小显示出较大的CD值。这种行为是因为PointNet是使用ISPH数据训练的，因此其预测与ISPH模拟更加一致。关于SPH–PointNet比例的依赖性，基于ISPH的模型在大约3:1、2:1和1:1的比率下显示出可比的CD值，而基于WCSPH的模型在大约3:1和2:1的比率下保持了相似的CD值。这一趋势与RMSE结果一致，表明在大约1:1的比率下没有显著的精度损失，而超过这个比率后，随着PointNet使用的增加，误差开始增加。

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图7. 不同比率下粒子间距与RMSE之间的关系。

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图8. 不同比率下粒子间距与CD之间的关系。

更多细节如图9和图10所示，它们展示了每个比率下RMSE和CD的时间演变。作为代表性的案例，本文展示了粒子间距为0.01时的结果。图9和图10中绘制的线条颜色与图7和图8中的线条相同，图9和图10中呈现的RMSE和CD是通过平均所有粒子间距为0.01的测试案例得到的。图9中的结果表明，随着时间的推移，RMSE逐渐增加。由于RMSE是根据具有相同索引的粒子之间的距离计算的，因此随着模拟的进行，位置偏差逐渐累积，导致误差增加。尽管如此，在任何比率下都没有观察到显著的发散，确认所有情况下都获得了稳定的解。图9中的CD结果显示，随着时间的推移存在局部波动。在某些时刻，CD值变大，这对应于下降的水柱沿底部表面扩散并随后与侧壁碰撞的情况。这些高度动态的事件导致了更大的几何差异，从而增加了CD值。然而，之后CD值再次减小，表明整体流体形状得到了保持，预测仍然相当准确。对于RMSE和CD，大约3:1、2:1和1:1的比率下观察到了可比的误差水平，而在1:2和1:3的情况下出现了明显的误差累积。这些结果进一步证实，当优先考虑精度时，PointNet使用的实际上限约为1:1。

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图9. 粒子间距为0.01时RMSE的时间演变。

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图10. 粒子间距为0.01时CD的时间演变。

图11和图12分别展示了在600步和2000步后的结果。在每个图中，左侧显示了初始状态，上方显示了基于ISPH的结果，下方显示了基于WCSPH和WCSPH混合策略的结果。颜色等高线代表速度大小。图11表明，混合策略产生了稳定的解，没有发散。这一发现证实了SPH可以有效缓解PointNet预测中由于粒子聚类引起的误差累积，从而实现稳定的时间积分。此外，结果的比较显示，ISPH和基于ISPH的混合策略以及WCSPH和基于WCSPH的混合策略通常可以得到一致的结果。这一结果表明，即使引入了PointNet，也可以实现稳定的时间演化。然而，使用基于ISPH的混合策略得到的水柱沿右侧墙的最大高度与使用基于ISPH的求解器得到的结果有所不同。这种差异可能是由于PointNet在捕捉局部结构时的局限性所致。与图神经网络不同，PointNet仅对点状和全局情况进行特征编码，没有明确建模相邻点之间的局部连接。因此，PointNet可能难以预测如水沿墙壁攀爬这样的局部运动。此外，这些爬墙事件在训练数据中相对较少发生；因此，有限的样本数量也可能导致预测误差。

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图11. 在600步后的可视化结果。GT表示用于评估的真实值。

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图12. 在2000步后的结果。GT表示用于评估的真实值。

接下来，如图12所示，使用混合策略得到的结果与使用每种SPH求解器得到的结果在质量上是一致的。通过关注中心水团向上溅射的那一刻，可以观察到混合策略的结果与每种混合策略中使用的相应基线求解器的结果非常接近。这表明混合策略可以适当地继承底层求解器的特性。相比之下，在基于ISPH和WCSPH的案例中，中心水团的速度更高。虽然单独的求解器显示水溅射几乎达到了峰值，但混合结果显示溅射尚未完全发展，表明向上运动有所延迟。这一观察表明，较高的PointNet比率会导致流动进展的延迟。为了提高精度，应在混合策略中引入更大比例的SPH步骤。然而，所有混合策略的比率都进行了稳定的模拟。总之，对于所有混合策略的比率，都实现了稳定的模拟。因此，当需要高预测精度时，建议使用大约1:1的比率；而当优先考虑更快的计算速度时，可以使用更高的PointNet使用比率，尽管会有一些精度损失。

5.3. 速度-精度权衡
本节探讨了计算速度与精度之间的关系。图13和图14使用（a）RMSE和（b）CD展示了不同混合策略比率的速度-精度权衡。图13展示了基于ISPH的求解器的结果，图14展示了基于WCSPH的求解器的结果。在这些图中，水平轴表示每个时间步长的计算时间，垂直轴表示相应的评估指标，所有测试案例的结果都为每个比率绘制在图上。研究的混合策略比率范围从3:1到1:3，并通过颜色区分开来。为了简洁起见，这里仅展示了初始粒子间距为0.01时的结果。在速度-精度权衡的背景下，最优状态的特点是计算时间短且精度高，对应于图表左下角的点。

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图13. 粒子间距为0.01时所有情况的速度-RMSE权衡。

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图14. 粒子间距为0.01时所有情况的速度-CD权衡。

RMSE和CD的结果表明，随着PointNet使用比率增加到1:1，计算速度显著提高，同时保持了相同的精度水平。超过1:2的比率后，虽然计算速度继续增加，但RMSE和CD都略有下降。然而，不同比率的密度偏差没有显著增加，也没有出现大的误差或不稳定现象，如发散。这些发现证实，在不牺牲精度的情况下，可以实现大约两倍的加速。为了实现至少三倍的加速，不可避免地会有一定的精度损失。这些趋势对于WCSPH和ISPH都是一致的，证明了混合策略的有效性，无论底层数值方案如何。

6. 结论
在SPH模拟中，提高计算效率仍然是一个关键挑战，其中邻居搜索构成了显式和隐式公式总计算成本的主要部分。在这项研究中，我们提出并系统地评估了一种混合策略，该策略在传统的SPH求解器和深度学习模型之间交替使用，以加速基于粒子的模拟，同时保持数值稳定性。所提出的框架利用PointNet处理粒子集，无需进行邻居搜索，从而绕过了SPH的主要计算瓶颈。SPH求解器定期被调用来纠正累积的预测误差。此外，本研究在考虑计算性能时明确区分了隐式和显式SPH方案。尽管这对于进行公平和严格的评估至关重要，但在之前的研究中往往被忽视了。使用WaterDrop基准问题进行了大量的数值实验，涉及多个粒子间距和混合比率。结果表明，所有混合配置都实现了稳定的模拟。在精度方面，RMSE和Chamfer距离表明，对于大约1:1的混合比率，误差与纯SPH解决方案相当；而更大的神经网络使用会导致逐渐的误差累积。尽管如此，即使是这些情况下，全局流动特征也得到了很好的保留，且没有观察到数值发散。从计算性能的角度来看，混合策略相对于相应的基线SPH求解器，一致减少了每步的计算时间。随着神经网络使用比率的增加，加速效果呈单调增加，表明加速与PointNet步骤的比例直接相关，最大加速约为四倍。此外，随着粒子分辨率的提高，测得的加速接近ISPH和WCSPH基于混合式的理想值。这一趋势证实，与SPH相比，PointNet的计算成本可以忽略不计，主要是因为它避免了邻居搜索，而邻居搜索是SPH计算的主要耗时部分。对于基于ISPH的混合策略，还观察到了另一个优势。尽管ISPH由于压力泊松方程的迭代求解而每步成本较高，但混合公式实现的计算时间比WCSPH更短，同时保留了ISPH的有利特性，如更好的体积守恒和更平滑的压力场。特别是，结果显示，基于ISPH的混合框架的计算速度大约是WCSPH求解器的3.5倍。这些发现表明，所提出的框架在精度和计算速度之间提供了可控的权衡。当需要高保真度时，混合比例达到大约1:1是合适的；而更激进的神经网络使用方法可以在可接受的性能损失下显著提高计算效率。总体而言，所提出的混合策略为加速基于粒子的模拟提供了一种实用且灵活的方法。由于该框架旨在弥补数值求解器和神经网络的互补缺陷，因此它不仅限于PointNet，还可以扩展到更先进的深度学习架构和其他粒子方法。这表明在大规模计算力学应用中，这种策略具有实现可扩展、高性能粒子模拟的巨大潜力。然而，本研究也存在一些局限性。特别是PointNet模型由于避免了邻居搜索，对于训练期间未使用的几何形状或训练数据中未包含的边界条件，其预测能力有限。值得注意的是，当前模型在没有重新训练的情况下无法展现出强大的泛化能力，因为本研究关注的是在同一物理条件下的初始条件变化，并没有纳入材料参数或边界条件变化的机制。因此，其在涉及强冲击或多相流相互作用等更复杂场景中的适用性目前仍然有限。此外，三维（3D）情况下的计算效率仍然是一个重要问题。如图6所示，混合策略的最大加速效果受到PointNet使用比例的限制。在3D模拟中，邻域搜索的成本变得更加显著；因此，消除这一成本有望将加速效果接近理论极限。然而，随着问题规模的增加，训练成本也会增加。特别是在3D场景中，粒子数量增加时，需要减小批量大小，从而导致训练时间延长。尽管这一计算成本不可忽视，但在大多数深度学习应用中这种情况都很普遍，而且加速带来的好处应该能够抵消成本。因此，未来的研究将重点提高学习模型对训练数据集中未包含的几何形状和边界条件的泛化能力。增强这种泛化能力有望提高预测精度，并使基于神经网络的更新在混合框架中占据更大的比例。

**作者贡献声明：**
- Mayuko Nishio：写作、审稿与编辑、监督、资金争取
- Gen Matono：写作、原始草案撰写、可视化、验证、软件开发、资源管理、项目管理、方法论研究、资金争取、正式分析、数据管理、概念化

**未引用参考文献：[27]**

**利益冲突声明：**
作者声明没有影响本研究工作的财务利益冲突或个人关系。