一种基于深度学习的偏差校正数据同化方法，用于河流水深反演

《Journal of Hydrology》：A bias-corrected deep learning-based data assimilation method for riverine bathymetry inversion

　　杨润毅|张江江|姚磊|张洪武
清华大学水利水电工程国家重点实验室，北京，中国

摘要
河流水深测量对于防洪、航行规划及生态管理至关重要，但其直接测量往往成本高昂或实施不便。利用易于获取的观测数据（如流速和水面高度）进行基于模型的反演提供了一种有前景的替代方案。然而，传统的确定性方法对观测误差和模型误差较为敏感，无法完全量化不确定性。在贝叶斯框架下，水深反演可以被视为一个随机逆问题，从而产生更可靠、考虑不确定性的估计结果。基于集合的方法，包括基于卡尔曼的集合平滑器（ES(K)和基于深度学习的集合平滑器（ES(DL)），提供了计算效率高的实现方式，其中ES(DL)更能捕捉非高斯特征。不过，这两种方法在极端值预测时可能产生偏差。为了解决这个问题，我们提出了一种简单有效的偏差校正策略，用于ES(DL)，从而发展出了新的EC(DL)方法。全面的数值实验表明，在高斯环境下，ES(DL)与ES(K)表现相当，而在涉及极端值的非高斯场景中，EC(DL)的表现优于两者。所提出的EC(DL)方法在多种噪声水平和观测布局下均表现出稳健的性能，凸显了其在河流水深反演中的可靠性、适应性和实际应用价值。

引言
精确的河流水深测绘对于有效的洪水控制、安全的航行规划以及可持续的生态管理至关重要（Duffin等人，2023；Lane等人，1994；Ma等人，2022）。测量技术的进步使得使用安装在船舶上的声纳系统实现高分辨率的河床高度测绘成为可能（Ghorbanidehno等人，2021；Ma等人，2020；Nittrouer等人，2008）。然而，这些系统的空间覆盖范围有限，需要多次测量才能完成长而宽的河流段，这增加了时间和成本（Casas等人，2006；Collins等人，2020；Fonstad和Marcus，2005）。为了克服这些限制，越来越多的遥感技术（如多光谱光学成像（Crivellaro等人，2024；Legleiter和Harrison，2024）、高光谱成像（Gwon等人，2023；Kwon等人，2023；Gwon等人，2023）以及激光雷达（Andualem等人，2024；Legleiter等人，2016）被应用于水深测绘。这些技术通过无人机或卫星平台部署，提供了广泛的空间覆盖和足够的精度，同时大幅提高了测绘效率。然而，在浑水中，强烈的光谱衰减和高噪声水平限制了其有效性（Almeida等人，2018；Landon等人，2014）。此外，尽管观测数据反映了实际情况，但仅依赖观测数据是不现实的，因为大规模的全覆盖监测很少能够实现。

与此同时，基于过程的理解进展使得能够以河床高度为边界条件求解浅水方程，从而实现开放渠道流动动力学的时空预测。多种基于物理的模型（如SRH-2D（Lai，2010）、HEC-RAS 2D（Brunner，1995）、MIKE 21（Warren & Bach，1992）、TUFLOW（Huxley & Syme，2016）、LISFLOOD（Van Der Knijff等人，2010）和PAWS（Shen & Phanikumar，2010）已在学术研究和工程实践中得到应用。这些发展为解决水深测绘问题提供了新的视角：河床地形可以被视为未知的模型参数，并从容易获取的间接观测数据中推断出来。具体而言，可以从先验知识中获得河床高度分布的初始估计值，用作水动力模型中的边界条件来模拟目标河流段的流动 dynamics。随后，通过低成本方法（如现场测量仪、漂流器跟踪或遥感）收集的易获取的观测数据（如流速和水面高度）与模型模拟输出进行比较。利用模拟数据与观测数据之间的差异来更新与水深相关的模型参数。这种反演方法提高了模型在实际应用中的预测精度，同时保持了成本效益和实施的便利性（Garambois和Monnier，2014；Lee等人，2018）。

一般来说，反演方法可以分为确定性和随机性方法。确定性方法（如最小二乘回归（有或无正则化）和变分数据同化）旨在通过基于优化的技术从观测数据中估计模型参数或状态变量。这些方法已被广泛用于水深反演（Almeida等人，2018；Larnier等人，2021；Liu等人，2024）。在实际应用中，观测数据通常较为稀疏且不可避免地受到噪声污染，而基于过程的理论模型很少能完美再现真实的水动力过程，从而引入了认识论不确定性。在这种情况下，水深反演可能成为一个病态且复杂的问题（Vasan和Deconinck，2013；Wu等人，2023），确定性方法会得到有偏的估计结果，无法捕捉到潜在的不确定性。为了解决这些限制，越来越多地采用了随机反演方法。在贝叶斯框架下，这些方法为量化反演不确定性提供了严谨 and 全面的基础。在贝叶斯反演技术中（Reich & Cotter，2015），马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）和粒子过滤（PF）因其理论严谨性和实施的鲁棒性而特别受到重视。当应用于水深反演时，这些方法显示出了有希望的结果（Ardani和Kaihatu，2018；Barkby等人，2012）。然而，水深反演本质上是一个高维且数据密集的问题，给MCMC和PF方法带来了巨大的计算负担。具体来说，MCMC常常受到低采样效率、高样本自相关和在高维逆问题中收敛缓慢的困扰。同样，PF也面临粒子简并问题，需要指数级增加样本量——这一挑战通常被称为“维度灾难”（Carrassi等人，2018；Snyder等人，2008）。

当模型动力学及其相关误差可以通过高斯分布合理近似时，随机反演可以高效进行。Evensen（1994）引入了集合卡尔曼滤波器（EnKF），它结合了蒙特卡洛采样和卡尔曼滤波框架，依次更新模型状态变量。EnKF方法通过集合衍生的协方差统计量来表示线性化效应，从而避免了显式的雅可比矩阵计算。此外，它使用有限集合构建误差协方差矩阵的低秩近似，从而降低了存储和计算成本。对于涉及时不变模型参数估计的问题，van Leeuwen和Evensen（1996）提出的EnKF批处理变体——即基于卡尔曼的集合平滑器（ES(K)——通常更为适用。ES(K)可以通过单次全局更新同时吸收所有可用观测数据，从而降低计算成本的同时保持估计精度。基于卡尔曼框架的集合数据同化方法已广泛应用于水深反演及相关水动力参数估计问题（Durand等人，2008；Wilson和?zkan-Haller，2012；Yoon等人，2012）。尽管取得了成功，但卡尔曼方法基于的高斯假设在真实系统行为偏离高斯性时可能导致次优或有偏估计（Zhang等人，2020；Zhang等人，2024）。在复杂的河流系统中，水深特征通常高度异质，常常表现出非高斯特性，这限制了这些方法的应用性和准确性。

随着深度学习（DL）的快速发展，设计不依赖于高斯假设的数据驱动更新方案已成为可能。基于这一思想，Zhang等人（2020）用基于DL的算子替换了传统的卡尔曼更新公式，开发了一种新的集合数据同化方法，称为ES(DL)。他们的结果表明，在高斯条件下，ES(DL)的表现与ES(K)相当，但在非高斯场景中表现更佳。由于其强大的泛化能力，ES(DL)已被应用于多个领域，特别是在水文和环境建模中。例如，Man等人（2022）使用ES(DL)估计蒸汽入侵点的有效扩散系数和排放率的空间分布。为了准确预测河流流量，Yao等人（2025）在降雨径流建模中采用了ES(DL)进行稳健的参数校准。最近，Cao等人（2026）在ES(DL)框架内引入了一种混合先验策略，以解决先验假设的偏差问题，从而实现对异质含水层水力特性的稳健估计。

尽管ES(DL)方法取得了许多成功应用，但它尚未应用于河流水深反演，仍有进一步算法改进的空间。特别是，ES(DL)依赖于深度神经网络更新未知参数，这在存在极端值时可能会引入偏差估计。这一限制源于DL模型中未充分量化和校正的结构误差。为了解决这个问题，我们提出了一种简单有效的偏差校正策略，用于ES(DL)，从而发展出了新的EC(DL)方法。通过学习大样本集上ES(DL)反演结果（基于合成观测数据）与相应参考值之间的系统关系，构建了一个次级DL模型来识别和表征ES(DL)中的结构误差模式。该策略量化并减轻了这些系统误差，从而提高了河流水深反演的准确性。本研究的主要目的是评估ES(DL)在高斯和非高斯条件下的适用性，并量化EC(DL)相对于ES(DL)和传统ES(K)方法所取得的改进，同时探讨这些改进的机制。此外，系统地研究了观测误差大小和布局策略对所提方法性能的影响。最后，进行了基于方差的Sobol全局敏感性分析，以研究观测创新对水深更新的影响。

本文的其余部分组织如下：第2节描述了水动力模型和案例设置；第3节介绍了本研究中使用的数据同化方法，包括ES(K)、ES(DL)和EC(DL)；第4节详细评估了每种方法在高斯和非高斯条件下的性能；第5节研究了观测误差大小和布局策略对反演性能的影响，并通过基于方差的敏感性分析评估了观测创新的影响；第6节总结了主要结论并讨论了研究的局限性。

水动力模型
为了提供河流水深反演所需的模型框架，本研究采用了广泛使用的二维浅水方程（LeVeque，2002；Stoker，2019）来描述开放河流通道中的流动动力学：

?h?t + ?hu?x + ?(hv)?y = 0,
?(hu)?t + ?(hu2)?x + ?(huv)?y = ?(hTxx)?x + ?(hTxy)?y - gh?zw?x - τxρ,
?(hv)?t + ?(huv)?x + ?(hv2)?y = ?(hTxy)?x + ?(hTyy)?y - gh?zw?y - τyρ,
其中 x 和 y 是水平笛卡尔坐标；zw = zb + h 是水面高度；zb 是河床高度；h 是水深；t 是时间。

数据同化方法
一般来说，开放渠道水动力系统的观测过程可以简洁地表示为：
?y ～ = F(θ;m) + ?，
其中 y～∈RNy 表示观测数据，θ∈RNθ 表示模型输入变量，m∈RNm 是模型参数，??∈RNy 表示观测误差。函数 F(·) 表示模拟开放渠道系统动力学的数值模型。为简单起见，我们使用 y=F(m) 来表示模型的参数-响应关系。

在高斯情况下
基于上述模型设置和方法，我们首先在第2.2.1节中评估了所提出的方法在高斯情况下的表现。图3b显示了作为真实值的参考河床（zb场），而图3f–h分别展示了ES(K)、ES(DL)和EC(DL)获得的估计平均zb场。所有数据同化方法都捕捉到了河床的主要形态特征，识别了诸如波纹、沙丘和冲刷坑等结构。图3c–e显示了...

观测误差大小的影响
在前面的章节中，我们比较了三种数据同化方法在高斯和非高斯条件下的性能。除了算法框架外，观测数据的质量和数量对于确定同化性能也起着重要作用。在这方面，观测误差大小（特别是其标准差）的指定是一个关键因素，这取决于测量技术、仪器精度和环境等因素。

结论
准确表征冲积河流的水深对于有效的洪水控制、安全的航行以及可持续的生态管理至关重要。然而，自然河床复杂的形态——受水动力变化和人为影响的影响——给基于现有观测数据的可靠表征带来了重大挑战。传统的数据同化方法常常难以处理非线性过程和非高斯参数分布。

作者贡献声明
杨润毅：撰写——原始草稿、软件、方法论、概念化；
张江江：撰写——审阅与编辑、监督；
姚磊：验证、软件；
张洪武：撰写——审阅与编辑、监督。

利益冲突声明
作者声明他们没有任何已知的竞争性财务利益或可能影响本文工作的个人关系。

致谢
本研究得到了中国国家重点研发计划（2023YFC3208603）和中国国家自然科学基金（42472329）的支持。