基于双变量样条拟插值的超收敛数值方法，用于求解二维Hammerstein积分方程

《Mathematics and Computers in Simulation》：Superconvergent numerical methods based on bivariate spline quasi-interpolant for solving two-dimensional Hammerstein integral equations

　　M. Sennour | M. Tahrichi
阿纳大学团队，拉诺分校，穆罕默德第一大学，60000乌杰达，摩洛哥

**摘要**
在本文中，我们开发并分析了两种超收敛数值方法：退化核方法和Nystr?m方法，用于求解二维Hammerstein积分方程。通过使用二次样条和Schoenberg–Marsden样条准插值，所提出的方法能够获得高达八阶的迭代解收敛精度。数值实验与理论预测结果非常吻合，证实了这些方法的高精度和高效性。

**引言**
积分方程在应用数学中至关重要，它们是模拟化学、计算机图形学、天体物理学、工程学和量子力学等众多领域中复杂现象的关键工具。这些方程通常是从与常微分方程和偏微分方程相关的初值问题和边值问题重新表述而来的（参见[1]、[2]、[3]、[4]、[5]）。
特别是，Hammerstein积分方程在描述非线性物理过程（尤其是在具有非线性边界条件的电磁流体力学问题中）方面发挥着重要作用（参见[6]）。Hammerstein积分方程的一般表达式为：
$$
\rho - K\rho = f
$$
其中K表示Hammerstein积分算子，定义为：
$$
K\rho(x) := \int_{\Xi} k(x,y) \phi(y,\rho(y)) \, dy, \quad x \in \Xi
$$
在此表达式中，φ、k和f表示给定的函数，其中φ(x,μ)对μ是非线性的，Ξ=[0,1]×[0,1]。ρ是需要确定的未知函数。

多年来，人们提出了许多计算方法来近似求解方程（1）。例如，[7]将无障碍表面上的辐射度方程视为Fredholm积分方程，并通过使用分段多项式基函数的方法进行了求解；[8]使用移动最小二乘法求解Fredholm-Hammerstein积分方程；[9]检验了基于核的近似策略的准确性；[10]设计的Nystr?m方法用于求解三角形区域上的二维Fredholm方程。其他重要贡献包括[11]使用三角剖分表面上的恒定样条的样条配置方法，以及[12]将Hammerstein型方程转化为代数系统的基于sinc的配置技术；[13]使用B样条小波求解化学反应器模型中的Fredholm-Hammerstein方程；[14]提出了一种高精度的配置方法，能够实现二维Hammerstein积分方程的超收敛。最近，[15]提出了超收敛的Nystr?m方法和退化核方法，通过使用在任意多边形域上构建的Lagrange插值来求解方程（1）。在这种方法中，近似解是在每个三角形上局部定义的，数值离散化严重依赖于网格的局部几何结构。这种方法具有很高的几何灵活性，适用于不规则域和非均匀三角剖分。

在当前的工作中，我们提出了通过定义在矩形域的均匀交叉三角剖分上的样条准插值算子构建的超收敛Nystr?m方法和退化核方法。因此，得到的数值解在整个域上都具有全局C1连续性。相比之下，基于Lagrange插值的方法产生的近似解通常仅在元素界面上是C0连续的。因此，除了构造上的差异之外，所提出的方案还提高了近似解的规则性，这在平滑性起关键作用的问题中可能具有优势（例如稳定性分析、导数计算或进一步的后处理）。

尽管这两种方法都旨在构建用于二维Hammerstein积分方程的超收敛方案，但它们在近似空间、域的灵活性、数值解的规则性以及相关算子的分析处理上存在显著差异。有关理论细节，读者可以参考Zeidler [16]和Atkinson [17]。

样条准插值方法最初由Chui [18]、[19]、[20]、[21]和de Boor [21]、[22]引入，并由Sablonnière及其合作者[23]、[24]、[25]、[26]、[27]、[28]进一步发展。由于其高效性、局部支持和简单的代数结构，样条准插值方法在数值近似中起着基础性作用。与经典插值不同，准插值算子不需要求解线性系统，这使得它们特别适合用于积分方程的数值处理。

在二维情况下，已经提出了基于张量积、交叉或三维三角剖分的多种准插值方法（参见[18]、[21]、[23]、[29]、[30]）。最近，[31]引入了一种使用双变量二次样条准插值的配置技术来数值求解方程（1）。本文的目的是将[31]中介绍的方法扩展到方程（1）的数值处理中。

本文的其余部分安排如下：第2节介绍分析过程中使用的所有基本符号和算子；第3节阐述方程（1）的数值形式以及由所提出的基于准插值的近似方法导出的离散非线性系统；第4节建立关于近似解和迭代解的收敛性和超收敛性质的主要理论结果；最后，第5节报告了几项数值实验，验证了理论发现并展示了所提方法的准确性和效率。

**关于函数k、f和φ的假设**
1. $ k \in C(\Xi \times \Xi) $
2. $ M := \sup_{x \in \Xi} \int_{\Xi} |k(x,y)| \, dy < \infty $
3. $ f \in C(\Xi) $
4. 映射$\phi: \Xi \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$在$y \in \mathbb{R}$上是连续的，并满足均匀Lipschitz条件；具体来说，存在一个常数$\eta_1 > 0$，使得$| \phi(x,y_1) - \phi(x,y_2) | \leq \eta_1 | y_1 - y_2 |$，对所有$y_1, y_2 \in \mathbb{R}$成立。
5. $\phi$关于第二个变量的偏导数存在且是Lipschitz连续的，即存在一个常数$\eta_2$，使得$| \frac{\partial \phi}{\partial y}(x,y_1) - \frac{\partial \phi}{\partial y}(x,y_2) | \leq \eta_2 | y_1 - y_2 |$，对所有$y_1, y_2 \in \mathbb{R}$成立。

如果满足上述假设，则方程（1）有唯一解$\rho^* $ [16]。

**样条准插值算子**
为了使本文自成体系，我们在本节回顾了[19]中介绍的样条准插值算子的定义和性质。设$\Xi = [0,1] \times [0,1]$表示通过以下划分划分为$m \times n$个子矩形的矩形域：
$$
X_m = x_i \quad \text{对于} 0 \leq i \leq m, \quad Y_n = y_j \quad \text{对于} 0 \leq j \leq n, \quad x_0 = 0, \quad x_m = 1, \quad y_0 = 1
$$
众所周知的交叉三角剖分$T_{m,n}$是通过将每个子矩形的对角线连接起来构造的（见图1）。

**方法描述**
在本节中，我们讨论基于上一节中定义的QI样条的超收敛Nystr?m方法和退化核方法。为此，我们定义以下退化核：
$$
Q_k(s, \cdot) := \sum_{\alpha \in \mathcal{N}_k(s, M)} L_\alpha(t), \quad \text{其中} \alpha = (i,j)
$$
相应的退化核算子定义为：
$$
K_n,1(\rho(s)) := \int_{\Xi} k_n(s,t) \phi(t, \rho(t)) \, dt
$$
与Q相关的Nystr?m算子也可以表示为：
$$
K_n,2(\rho(s)) := \sum_{\alpha \in \mathcal{\Phi}_\alpha} k_n(s, M_\alpha) \phi(M_\alpha, \rho(M_\alpha)), \quad \text{其中} \phi(\alpha, t) = \int_{\Xi} L_\alpha(t) \phi(t, \rho(t)) \, dt
$$
**收敛性分析**
本节致力于研究近似解的存在性及其收敛性。条件（E5）确保算子$K$是Fréchet可微的。我们用$\hat{K}(\rho^*)$表示其在$\rho^*$处的Fréchet导数。此外，$\hat{K}$是一个Lipschitz连续算子，Lipschitz常数为$M_{\eta_2}$。接下来，我们引用Vainikko [35]给出的重要结果：

**定理5**
设$\rho^*$是精确方程（1）的唯一解，并假设1不是$K'(\rho^*)$的特征值。那么，存在……

**数值结果**
为了验证前面章节中建立的理论收敛结果，我们提供了两个数值示例，展示了所提出的超收敛Nystr?m方法和退化核方法的准确性和效率。对于不同的离散化水平$n$，这两种方法及其迭代形式都已实现。所得到的最大误差和观察到的收敛速率分别报告在以下表格中。为了比较，我们还报告了……

**作者贡献声明**
M. Sennour：负责撰写——原始草稿、软件开发、方法论、资金获取、概念构思。
M. Tahrichi：负责撰写——审阅和编辑、验证、监督、调查、形式分析、概念构思。