基于数据驱动的适应性电动汽车负荷预测方法：结合聚类加权推理与局部正则化回归技术

《Results in Engineering》：Data-Driven Adaptive Electric Vehicle Load Forecasting Using Cluster-Weighted Reasoning and Local Regularized Regression

　　卡利勒·戈尔加尼·菲鲁兹贾|贾马尔·加塞米
马赞德兰大学，电气工程系，工程技术学院，巴博尔斯阿，马赞德兰，伊朗

摘要
本文提出了一种基于聚类加权的案例推理（CWCBR）框架，用于同时预测能源需求和停车场内电动汽车（EVs）的数量。首先，通过将原始交易数据映射到向量空间中，将充电会话数据结构化为数字和能量矩阵的形式，以获得动态和累积的特征向量。这一过程通过智能合并直到当前小时的子矩阵来表示每个小时系统的真实状态，而不会泄露未来的信息。为了管理数据复杂性，采用了时态感知的主成分分析（TA-PCA）按小时独立进行降维处理。接下来，通过将测试样本映射到历史邻域空间中，确定流形的最佳学习边界。在此过程中，使用Savitzky-Golay滤波器和斜率阈值控制来去除异常值，提取出一组最相似的情景以预测未来时间步。最后，通过岭回归将选定的邻居建模为局部专家。然后根据它们与测试样本的结构相似性调整各自的权重。该递归循环在ACN-Data数据库上进行了评估。结果表明，所提出的模型平均误差为4.99%，其性能优于参考方法：GRU（5.19%）、LSTM（5.74%）和Persistence（6.45%）。此外，不同时间范围内的误差稳定性在1.08%到1.24%之间，表明该框架对误差传播具有鲁棒性。

术语表
缩写：
ACN – 自适应充电网络（Adaptive Charging Network）
CNN – 卷积神经网络（Convolutional Neural Network）
CWCBR – 聚类加权案例推理（Cluster-Weighted Case-Based Reasoning）
EDA – 探索性数据分析（Exploratory Data Analysis）
EV – 电动汽车（Electric Vehicle）
GRU – 门控循环单元（Gated Recurrent Units）
k-NN – k最近邻（k-Nearest Neighbors）
LSTM – 长短期记忆（Long Short-Term Memory）
MAE – 均方绝对误差（Mean Absolute Error）
MoE – 专家混合模型（Mix of Experts）
NRMSE – 标准化均方根误差（Normalized Root Mean Square Error）
PCA – 主成分分析（Principal Component Analysis）
PICP – 预测区间覆盖概率（Prediction Interval Coverage Probability）
RMSE – 均方根误差（Root Mean Square Error）
SoC – 电池电量状态（State of Charge）
SOM – 自组织映射（Self-Organizing Map）
TA-PCA – 时态自适应主成分分析（Time-Adaptive Principal Component Analysis）
变量：
d – 数据集中特定天的索引
tarr – 单个EV的到达时间
h – 表示到达小时索引的离散时间坐标，其中h∈{1,…,24}
Δt – EV连接到充电设施的连续时间长度
s – 从停留时间派生的离散停留时间类别，其中s∈{1,…,23}
N(d) – 表示每天d的(h,s)坐标上EV到达总数的状态矩阵
E(d) – 表示每天d的(h,s)坐标上累积能源需求的状态矩阵（千瓦时）
Vd – 包含每天d运营期间记录的所有单个EV的集合
I(·) – 如果满足指定的时间条件则返回1的逻辑指示函数，否则返回0
nh,s(d) – 矩阵N(d)中表示在小时h到达的EV数量以及停留类别的元素
es,d – 矩阵E(d)中表示在到达小时h和停留类别s时请求的总能量的元素
Ereq,k – 数据集中第k个EV请求的特定能源需求（千瓦时）
t – 当前决策时间步或观察小时，其中t∈{1,…,23}
Pt – 表示每天d的小时t的系统状态的累积特征向量
Xt(d) – 特征向量Xt(d)的时间依赖维度
vec(·) – 将矩阵展平为单列向量的向量化操作符
⊕ – 用于将多个向量连接成单个增强向量的连接操作符
Nh≤t,?s(d) – 包括从小时1到t的所有行和所有列的到达计数子矩阵
Eh≤t,?s(d) – 包括从小时1到t的所有行和所有列的能源需求子矩阵
Ψtrain,t – 包含在小时t的M个历史特征向量的训练集合矩阵
M – 用于模型训练的历史天（样本）总数
Lt – 时态自适应的潜在特征空间维度
Lcount,t – 保留用于EV到达特征的主动成分数量
Lenergy,t – 保留用于能源需求特征的主动成分数量
μt – 用于时间t的数据中心化的训练实例均值向量
Ct – 时间t的均值中心化训练数据的时间变化协方差矩阵
eigj(·) – 从矩阵Ct中提取第j大的特征值的函数
λj,t – 从Ct获得的第j个特征值，代表时间t的方差
tvj,t – 时间t的第j个特征向量（主动成分方向）
Wt – 由Lt个主导特征向量组成的时间变化投影矩阵
tztest,t – 时间t的测试实例的累积高维特征向量
ztest,t – 时间t的测试实例的投影潜在特征向量（TA-PCA的输出）
zi,t – 时间t的历史Day i的投影潜在特征向量（TA-PCA的输出）
std(·) – 确保均值为零和方差为单位的标准Z-score标准化操作符
Si,t – 时间t的历史Day i的标准潜在状态向量
Stest,t – 时间t的测试实例的标准潜在状态向量
Dt(r) – 表示按排名r排序的欧几里得距离的距离衰减曲线
psg – Savitzky-Golay平滑滤波器的多项式阶数参数
wsg – Savitzky-Golay平滑滤波器的窗口长度参数
Dnorm,t(r) – 时间t映射到[0,1]单位区间的标准化距离衰减曲线
Ldiag(r) – Kneedle算法中使用的线性对角参考函数
Ddiff,t(r) – 表示Dnorm,t和Ldiag之间的垂直间隙的差异函数
Kopt,t – 动态确定的最佳邻居数量（邻域大小）
Kmax – 为确保稳定性而允许的邻居数量的最大阈值
τ – 作为邻域选择的回退约束的预定义斜率阈值
Xtrain,t – 用于时间t的训练的选定最佳邻居特征矩阵
Ytrain,t – 对应于时间t的选定邻居的实际目标负载值向量
Copt,t – 动态确定的最佳局部专家集群数量
st(i) – 评估时间t的样本i的聚类凝聚性和分离度的轮廓系数
bt(i) – 时间t的样本i的平均簇内距离
bt(i) – 时间t的样本i的最小平均簇间距离
Kc,t – 时间t属于特定簇c的历史样本数量
Zc,t – 在时间t专门分配给簇c的潜在邻居特征子矩阵
Yc,t – 时间t的簇c中邻居的目标负载值向量
βc,t – 为时间t的局部专家簇c优化的岭回归系数向量
λ – 为确保数值稳定性而进行的岭回归的正则化参数
μc,t – 时间t计算的簇c的潜在特征质心向量
? – 确保避免除以零的稳定性的小数值常数（10^-6）
wc,t – 为时间t的专家模型c分配概率相关性的标准化软门控权重
y^c,t+1 – 由第c个专家模型独立生成的一步预测负载
yd,t+1 – 时间t+1的测试日的最终聚合目标负载预测值
yd,t – 时间t的测试日d的实际目标值（能源需求或EV数量）
ty^d,t – 时间t的模型为day d生成的预测目标值
T – 给定运营日的预测范围总长度（例如24小时）
RMSE(d) – 为特定测试日d计算的RMSE误差指标
NRMSE(d) – 以百分比表示的day d的NRMSE
dyˉd – 在时间T范围内记录的平均实际目标负载
R2 – 衡量模型解释的方差比例的决定系数
τvar – 用于确定最佳潜在空间维度的累积解释方差阈值
Pmax – Kneedle算法的敏感性参数，用于调整拐点检测的严格性
Xˉt – 时间t的均值中心化训练特征矩阵

1. 引言
在智能配电网和电动汽车（EV）技术的发展下，准确预测负载需求以实现最佳充电调度被视为战略上的必要条件。另一方面，到达和离开时间的不确定性以及充电需求复杂化了负载管理[1]。因此，开发预测模型来管理这些不确定性是不可避免的[2]。
已经进行了多项研究来提供EV负载预测的解决方案。Li等人[3]开发了一种基于自组织映射（SOM）聚类、进化算法和长短期记忆（LSTM）网络的混合模型。他们指出，使用多阶段结构显著提高了充电负载预测的准确性。Mohseni Manesh等人[4]提出了一个用于短期EV车队负载预测的混合模型。在提前一天充电需求预测中[5]，研究表明使用全连接深度神经网络（递归网络同时建模日历和时间序列特征）可以显著提高预测准确性。在[6]中，作者结合了贝叶斯网络和深度学习来预测充电能力。关于整体网络负载预测的研究表明，深度序列结构、卷积神经网络（CNNs）和门控循环单元（GRUs）对于多步负载预测是有效的。这些研究还表明，使用图神经网络和时空深度学习模型可以模拟充电站之间的相关性[10]。相关概率框架用于负载预测和场景构建，表明将深度生成模型与基于copula的方法结合可以提高未来负载分布的预测准确性[11,12]。
由于使用了大规模的充电会话数据集，现在可以在研究中更高效地训练深度学习模型。在这些包含驾驶员随机行为的数据库中，可以提到自适应充电网络（ACN）数据[13],[14],[16]。最近开发了数据降维和特征提取技术，以提高预测模型的效率和准确性。这些技术在保持原始方差的同时减少了冗余维度，并显著提高了机器学习模型的性能。Bae等人[17]引入了一个结合了聚类、主成分分析（PCA）和深度神经网络的集成模型。他们的模型适应性地使用降维特征空间进行客户细分和负载预测。Fonseca等人[18]也提出了一个类似的框架来细分网络客户。研究人员还探索了使用降维框架将大型交易数据转换为更紧凑的特征空间，这在EV负载建模的背景下是必要的[19,20]。在基于邻域的方法和局部学习领域，研究人员做出了显著的努力来优化模型参数。在交通和能源的时间序列预测中，广泛使用了加权k最近邻（k-NN）和局部回归技术[21],[22],[23]。此外，基于相似性的预测充电调度框架已被开发出来，以利用历史模式动态管理EV充电负载。在[24]中提出的方法结合了相似性标准和实时优化，以确保在不确定充电需求下的稳健性能。
最近的研究集中在增强局部权重和动态邻居选择[25,26]上。这些研究表明，距离度量、功能权重和异常值过滤的结合可以产生更稳定的预测。此外，使用Savitzky-Golay滤波器进行信号平滑，同时保留负载时间序列中的高阶结构特征，与简单的平滑技术相比具有优势[27],[28],[29]。
将聚类技术应用于识别充电需求中的不同行为模式也引起了关注[30]。充电会话的聚类分析表明，EV充电数据通常具有多模态分布，这是由于出行目的、充电需求和基础设施限制的多样性造成的。最近的研究表明，通过聚类充电模式可以显著简化大规模网络分析中的计算负担，从而简化负载分布计算和网络动态分析的复杂性。[31]中的方法专注于根据相似的行为特征对EV进行细分。这种方法允许网络分析应用于集群的代表，而不是所有EV。使用经典聚类算法（如k均值）以及轮廓系数等指标作为验证标准，可以自动确定簇的数量并检测存在不同的行为模式[32,33]。最近的发展集中在通过元启发式算法（包括和谐搜索和粒子群优化）来提升复杂数据集中的簇质量。例如，Rasouli等人[34]使用这些技术来识别共同特征集。在更最近的研究中，嵌入式深度学习被用来提取充电行为的紧凑表示，然后在潜在空间中对它们进行聚类，揭示了比线性方法更复杂的结构[35]。
尽管取得了这些进展，现有文献仍然存在几个基本的研究空白。一些EV负载预测模型对所有时间间隔使用固定的时间结构，因此无法动态适应一天中不同时间数据的统计复杂性的变化[36]。在其他一些框架中，时间因果关系的原则并没有被系统地应用，训练过程中会使用未来信息来构建特征或调整模型（这会导致信息泄露和过于乐观的性能估计）[37]。传统上，降维和邻域算法是分开研究的。将自适应降维技术、基于多目标的邻域选择以及局部聚类（作为连接这些模块的连贯计算链）结合起来会是一个有效的方法[17,23]。现有的混合模型使用固定的权重方案或赢家通吃的选择来汇总预测结果，这在行为模式之间的边界条件或存在混合负载模式的情况下灵活性和鲁棒性受限[3,9]。一些框架只关注固定的充电站，没有利用自主移动充电器等新技术的灵活性[38]。最近的研究表明，针对自主移动充电器的基于场景的规划可以提高覆盖范围，并对空间需求的变化提供更灵活的响应，尤其是在空间受限的停车环境中[39]。本文提出了基于聚类的加权案例推理（Cluster-Weighted Case-Based Reasoning, CWCBR）方法。它结合了基于差异函数的自适应邻域选择、时间条件下的聚类以及局部回归专家系统。本研究的主要技术贡献总结如下：
- 使用动态累积向量化来显示系统的实时状态，同时保持因果关系的原则，防止未来信息泄露到训练过程中。
- 设计了一种自适应的降维机制，用于自动提取隐藏特征，以便准确模拟每小时间隔内的结构负荷变化。
- 提供了一种智能邻域优化方法，通过基于针状差异函数（Kneedle difference function）的拐点检测来确定每种场景的最佳邻居数量，从而在准确性（偏差）和稳定性（方差）之间建立平衡。
- 开发了一种基于智能聚类和规则化回归的集成自适应预测框架，以识别各种负荷行为模式。

本文的结构如下。第2节详细描述了所提出的方法及其四个组成部分的数学基础。第3节在数据库上展示了仿真结果，并分析了模型的准确性、稳定性和可解释性。最后一节提出了从研究中得出的结论。

2. 提出的方法
基于文献综述中概述的挑战，本文开发了一个数据驱动的电动汽车（EV）负荷预测模型。该模型的目标是管理电动汽车在访问公共停车场并注册请求时的随机行为的固有不确定性。因此，本节提出了一种预测白天到达停车场的电动汽车行为的方法。这种数据驱动技术实现了一个称为CWCBR的计算结构。与传统的确定性模型不同，该方法基于消除系统中的时间相关性并考虑其动态特性。为了解决高维度和复杂的EV行为模式的主要挑战，提出的方法被分为四个顺序计算步骤。第一步是对数据进行随机表示，包括到达时间、所需充电时长以及不同日期之间的充电量等信息。之后，进行累积向量化，将不规则的到达-离开记录转换为标准的数学结构。第二步扩展了这一过程，以减少问题的动态维度和数据量，从而降低计算复杂性并提取隐藏特征。第三步使用学习过程（流形学习）来识别历史数据中的隐藏行为。最后一步利用自适应聚类来进行负荷估计，该步骤整合了局部专家模型以完善预测过程。

2.1. 数据结构和流矩阵公式
算法的第一步将来自某个样本停车场的固有随机、多天的EV数据映射到一个规则的数学结构上。这使得可以在机器学习算法中执行处理操作。在这方面，每一天被视为一个独立的数据集。然后数据被映射到两个矩阵中。这种映射允许提取电动汽车到达和离开的时间模式及其充电需求。

2.1.1. 时间离散化和状态矩阵
如前所述，数据包括电动汽车的到达时间以及它们在停车场内的停留时间（dwell time），按天（d）划分。到达时间（tarr）被映射到离散的小时间隔中，即 h∈{1,…,24}，以创建一个标准基数。同样，停留时间被映射到离散的时间类别中，即 s∈{1,…,23}。在此框架中，连续的 Δtstay 值使用天花板函数和一个固定的时间步长（一小时）映射到离散空间，确保每个充电事件根据关系 s=?Δtstay? 被分配一个整数索引。这种数学逻辑保证了每个停车停留（无论其持续时间如何）至少占用一个停车单位的时间，并被记录在正确的时间类别中。选择23个区间是基于统计分析的结果，旨在平衡建模准确性和计算效率。根据这种矩阵结构，定义了两个基本的状态矩阵来描述每天的负荷：
- EV计数矩阵（N(d)）：该矩阵的元素代表在特定小时 h 和特定停留时间 s 的当天到达的电动汽车的总数。为了准确捕捉流量并考虑同一时间停留区间内的多次到达，元素 nh,s(d) 被定义为所有匹配这些坐标的到达事件的总和：
(1) nh,s(d)=∑k∈VdI(hk=h,sk=s)
其中 Vd 表示当天到达的所有电动汽车的集合，I(·) 是指示函数，如果满足条件（即第 k 辆电动汽车在小时 h 到达并停留时间 s）则返回 1，否则返回 0。
- 能源需求矩阵（E(d)）：该矩阵与 N(d) 相对应，但其元素代表按到达小时和停留时间类别聚合的总请求能量（而不是停留期间的实际充电功率曲线）。每个元素 eh,s(d) 捕获了所有在相同到达小时 h 和停留时间 s 的电动汽车的累积能源需求：
(2) eh,s(d)=∑k∈VdEreq,k·I(hk=h,sk=s)
其中 Ereq,k 表示第 k 辆电动汽车请求的能量（千瓦时）。这种矩阵结构有效地将稀疏和不规则的充电会话数据转换为紧凑的张量格式（从而保留了每天的基本统计特征）。

2.1.2. 因果累积向量化
在预测过程中，遵循时间因果关系的原则被视为一个技术要求。这确保了在每个决策时间步骤（t）时，算法严格限制使用直到该时刻发生的信息和事件。这一约束防止了前瞻性偏差和信息泄露。因此，实施了累积向量化策略。具体来说，为一天中的每个小时构建了一个动态特征空间，而不是一个静态特征集。对于任何给定的决策时间 t，特征向量 Xt(d) 是通过从一天开始到时间 t 记录的事件进行聚合生成的。使用向量化（vec）和串联（⊕）运算符，该向量的数学公式定义如下：
(3) Xt(d)=[vec(Nh≤t,?s(d))⊕vec(Eh≤t,?s(d))]
其中 Nh≤t,?s(d) 表示 N(d) 中从第 1 小时到 t 的所有行和所有停留时间列 s 的子矩阵。同样，Eh≤t,?s(d) 代表相应的能源需求子矩阵。Xt(d) 是时间 t 时第 d 天的累积状态向量。例如，在 10:00（t=10）时，输入向量严格包含了在这个时间之前到达的电动汽车的到达模式和能源需求（不包括此时间边界之后的信息）。因此，随着 t 的推进，特征向量的维度线性增加（Pt=2×2^3t=4^6t），在最后运营小时达到最大值 Pmax=10^4。这种维度增长需要集成自适应降维方法以保持计算效率。

2.2. 自适应降维
前一步中使用的程序使得特征向量的累积变得不可避免。尽管在建模过程中考虑了因果关系条件，但向量 Xt 随着时间的推移而增长。这种维度的增长将导致维度诅咒现象，并因此破坏欧几里得距离标准在区分相似场景时的效率。同时，状态变量（计数和能源）之间的相关结构在一天中也不会保持不变，除了维度挑战之外。实际上，高峰时段的负荷协方差模式与非高峰时段的模式不同。因此，实施了一种时间自适应 PCA（TA-PCA）框架来进行特征提取和降维，考虑到这种非平稳性。与标准 PCA（对所有数据使用固定和统一的方法）不同，TA-PCA 为每个时间段采用不同的合适方法。这种方法每小时调整数据，使得每个时间段的隐藏特征与其特定结构对齐。系统不断更新数据映射，以准确地反映电动汽车需求的主要行为，并减少来自不同时间的信息之间的干扰。此外，这种方法为每个时刻创建了一个最佳且独立的空间，从而允许更快地在数据中搜索相似信息，而不降低结论的准确性。

2.2.1. 特征空间分析和时间自适应投影
在这个阶段，为每个小时决策步骤 t 独立地制定降维过程，以实现自定义的时间变化投影。设 Ψtrain,t∈RM×Pt 是时间 t 的训练集合并矩，其中包含 M 个历史特征向量。它被定义为 Ψtrain,t=[X1,t,X2,t,…,XM,t]?，其中每行 Xi,t 代表历史日子 i 的系统状态。该阶段过程的目标是找到一个正交线性变换，将高维数据映射到低维的潜在子空间（Lt）。这种变换必须设计得能够保留数据中的最大方差。为了考虑 EV 需求的非平稳性质，采用了 TA-PCA。首先，使用均值向量 μt 对训练数据进行中心化。数学推导从构建时间变化协方差矩阵 Ct 开始：
(4) Ct=1/M?1∑i=1M(Xi,t?μt)(Xi,t?μt)?
与主方向相关的方差通过从 Ct 中提取特征值 λj,t 及其对应的特征向量 vj,t 来确定。值得注意的是，保留组件的最佳数量 Lt 并不是固定的，它是时间 t 信息熵的动态函数。因此，Lt 在每个时间点确定，以满足 τvar，通常设置为 0.95。这确保了潜在空间维度适应充电模式的复杂性：
(5) min?Lts.t.∑j=1Ltλj,t∑j=1Ptλj,t≥τvar
根据这一选择，通过串联领先的 Lt 特征向量形成变换矩阵 Wt=[v1,t,v2,t,…,vLt,t]。这种机制确保潜在表示与系统动态的演变统计结构保持同步。

2.2.2. 潜在空间映射和统计完整性
在推导出投影参数之后，高维数据被映射到潜在子空间。在这个过程中，一个关键要求是严格遵循训练集和测试集之间零信息泄露的原则。为了避免前瞻性偏差，统计参数是在不使用任何未来（测试）数据的情况下计算得出的。因此，时间自适应参数（特别是均值向量 μt 和变换矩阵 Wt）仅从训练集合并 Ψtrain,t 中得出。每个测试实例 xtest,t 使用这些固定参数映射到潜在特征空间：
(6) ztest,t=Wt?(xtest,t?μt)
其中 ztest,t 表示时间 t 的测试实例的投影潜在特征向量。这种自定义的时间变化投影减少了维度并抑制了相关噪声，同时保持了时间分割，以将特征空间与未来信息隔离开来。这一过程为后续的自适应邻域选择阶段提供了稳健、标准化的输入。

2.3. 流形学习和邻域校准
将数据传输到上一步的降维特征空间（zi,t 和 ztest,t）之后的下一个关键步骤是识别一组历史场景。该过程应设计与测试天的条件最佳协调。在传统的基于案例的推理方法中，邻居数量（K）的参数通常被确定为固定值。这种确定性方法在处理随机数据时存在局限性，因为 K 的选择直接影响预测精度。K 的较小值会导致场景多样性丧失（欠拟合），而选择较大的 K 值则会将不相关的数据引入过程（过拟合）[40]。基于流形假设，负载数据位于高维欧几里得空间中，但有效和物理数据分布在一个自由度有限的曲线子空间中。因此，使用基于信号肘点检测分析的方法来确定Kopt,t，该值定义了流形上这个局部邻域的边界。2.3.1. 特征集成和距离剖面分析TA-PCA阶段产生了一个压缩表示，它无缝地整合了两种不同数据模式（电动车数量和能源需求），这两种数据模式具有不同的物理维度。为了确保所有潜在维度对相似性度量的贡献相等，首先对特征空间应用Z分数标准化步骤，使所有维度的均值为零且方差为单位值。因此，每个历史情景i在时间t的最终状态向量（Si,t）被定义为潜在向量的标准化版本：(7)Si,t=std(zi,t)，其中std(·)表示潜在空间中的Z分数标准化特征向量。然后，对于目标测试实例（Stest,t），计算与所有历史情景i∈{1,…,M}的欧几里得距离，并按距离值升序排序。这个过程的结果形成了一个相似性衰减曲线，其中Dt(r)表示排序距离数组中的第r个元素，r是邻域排名。这个过程代表了从目标日的中心逐渐移动到数据流形上的远端区域。(8)Dt=sort({∥Stest,tSi,t∥2}i=1M)2.3.2. 基于针线的最优邻域选择距离曲线的检查显示，这些曲线通常包含高频噪声，这使得数值差异分析难以确定行为变化的点。使用简单的平滑方法（如移动平均）会在曲线的初始点导致失真，而这些初始点包含了最重要的邻域信息。为了解决这个问题，对曲线应用了滤波（使用Savitzky-Golay滤波器）。该滤波器通过将多项式psg拟合到长度为wsɡ的局部数据窗口上，从而保留数据的原始统计特性，并有效去除曲线Dt(r)中的高频噪声。这条曲线Dt(r)实际上是按排名r排序的欧几里得距离的数学表示，显示了随着远离最接近的历史模式，相似度的衰减率。平滑这种结构对于针线肘部检测算法在确定最优邻居数量时的稳定性能至关重要。目标是找到肘点（相似度变化率突然变化的点），以便捕捉不同物理模式之间的转换。这种在簇凝聚力和模型复杂性之间的平衡防止了不必要的划分。在这个阶段，确定了有意义的邻域和分化特征向量之间的边界。这样，算法通过识别曲线的肘点，离开了稳定和线性的部分，并防止异常值进入训练过程。为此，首先将平滑后的曲线归一化到区间[0,1]。然后，基于针线算法[41]，计算差异函数，即归一化曲线（Dnorm,t）与对角线（Ldiag）之间的垂直距离：(9)Ddiff,t(r)=Dnorm,t(r)?Ldiag(r)最优值rt*被定义为针线差异函数最大化的排名：(10)rt*=arg?max?r∈{1,…,M}(Ddiff,t(r))为了与后续的预测阶段保持一致，这个最优值被表示为Kopt,t，它定义了局部回归的自适应邻域的大小。值得注意的是，为了提高模型对异常值的稳定性，还内置了一种基于斜率的控制机制。如果针线算法建议的值超出了允许的最大限制（Kmax），则根据距离曲线的斜率首次小于预定义斜率阈值（τslope）的排名来修改断点。因此，选定情景的数量将直接取决于目标点周围的数据密度；系统在模式稀少的日子自动限制邻居的数量，在模式常见的日子扩大搜索范围。这一步的最终输出是最优邻居特征矩阵（Xtrain,t）和相应的目标值向量（Ytrain,t），它们构成了自适应预测模型的输入。2.4. CWCBR框架：局部专家聚合所提出的CWCBR框架以递归方式进行一步预测。在每个时间步骤（t），利用累积更新的特征空间（该空间代表了系统从时间区间1到t的状态演变），对下一个时间范围（小时t+1）的充电需求进行精确预测。这种单步预测在运营日的24小时内迭代执行，以生成完整的次日负载轨迹。所提出框架的最后一步涉及在提取缩减特征空间内的最优邻居后，对未来时间步骤（t+1）的负载需求进行预测。与将所有邻居视为单个数据集的传统局部回归方法不同，当前方法假设这些邻居可以属于不同的行为状态。因此，提出了使用专家混合（MoE）模型的CWCBR。2.4.1. 自适应聚类和模式识别在这一步中，分析由提取的邻居（Xtrain,t）组成的局部数据集，以揭示它们的内部结构。然后，必须将这些邻居分成表现出相似统计行为的子组。因此，使用K-Means算法根据它们的统计相似性将邻居划分为不同的子组。然而，最优簇数（Copt,t）不是预先确定的，而是为每个时间步骤动态确定的。为了确定Copt,t，对不同数量的簇（C∈{2,…,9}运行聚类算法，并使用轮廓系数指标评估分离的质量。时间t每个样本i的轮廓值定义为[42]：(11)st(i)=bt(i)?at(i)max?{at(i),bt(i)}其中a(i)是样本i与其他同一簇中点的平均距离，b(i)是与其他簇中点的最小平均距离[42]。获得最高平均轮廓分数的簇数被选为Copt,t。如果数据具有弱的聚类结构（分数低于阈值），算法会恢复到单簇模式以避免过拟合。2.4.2. 局部岭回归训练在将邻居分成Copt,t个簇之后，为每个簇训练一个专门的预测模型。由于每个簇中的样本数量可能有限，使用普通最小二乘回归方法可能会出现问题。这个问题表现为数值不稳定和高误差方差。因此，本文使用岭回归。对于每个第c个簇，通过解决优化问题来提取回归系数矩阵（βc,t）：(12)βc,t=(Zc,tTZc,t+λI)?1Zc,tTYc,t在这种公式中，Zc,t∈RKc,t×Lt表示属于簇c的Kc,t个历史邻居在Lt维潜特征空间上的投影。同样，Yc,t∈RKc,t×1代表同一子集邻居的目标值向量，对应于时间t+1的实际负载。参数λ作为正则化器，通过解决共线性问题来控制模型的复杂度并确保学习过程中的数值稳定性。I∈RLt×Lt是单位矩阵。基于这种公式，每个专家模型都能以高数值稳定性学习其相应负载模式的特定动态。2.4.3. 软门控和预测合成在最后阶段，使用软门控机制进行聚合负载预测。测试特征向量（xtest,t∈R1×Pt）及其累积和动态维度Pt通过每小时变换矩阵Wt∈RPt×Lt进行投影。这种映射将上述向量转换为维度为Lt的潜特征空间，以便进行降维和后续分析。在每个时间步骤都会应用动态检查维度一致性。这些检查确认输入向量（1×Pt）的维度确实与PCA变换的相应行相匹配。而不是将测试样本明确分配给某个特定簇，而是评估其与该缩减空间中所有簇中心Copt,t的相似性。然后，将欧几里得距离的倒数平方进行归一化，以形成加权组合，确定分配给每个专家模型的相对权重（wc,t）。门控权重公式定义如下：(13)wc,t=(∥ztest,t?μc,t∥22+?)?1∑j=1Copt,t(∥ztest,t?μj,t∥22+?)?1其中∥ztest,t?μc,t∥22表示当前查询状态ztest,t与潜空间中第c个簇中心μc,t之间的欧几里得距离的平方。?是一个稳定常数，用于防止除以零。这种归一化使权重之和等于1，并创建一个标准的概率尺度。目标小时的最终系统预测（y^test,t+1）是所有专家模型输出的加权和：(14)y^test,t+1=∑c=1Copt,twc,t·y^c,t+1其中y^c,t+1是第c个簇的专家模型进行的独立负载预测。这种混合结构在目标日的行为结合多种模式时提供了连续的估计。这种方法减少了因选择单一错误情景而导致的错误。所提出方法的结构在两个方面与常见的MoE模型和局部回归有根本的不同。与依赖于固定门控网络来划分数据空间的经典MoE模型不同，所提出的框架使用基于针线差异函数的自适应邻域选择。这一特性允许每个专家的活动领域（而不是静态聚类）根据历史数据的密度动态变化。2.5. 计算流程图所提出算法的集成架构和数据流如图1所示。过程从将原始充电会话日志中的连续变量到达时间（tarr）和停留时间（Δtstay）离散化开始。这种离散化为算法的后续处理奠定了基础。然后，这些处理过的数据被转换为两个基本的状态矩阵，包括电动车数量矩阵（N(d)）和能源需求矩阵（E(d)）。为了遵守预测中的时间因果约束，应用了累积向量聚合策略。在这个过程中，通过连接从小时1到t的历史数据来形成累积特征向量Xt(d)。这些向量在根据严格的时间顺序划分为训练集和测试集后，进入第二阶段（动态降维）。在这个阶段，计算协方差矩阵Ct及其相应的特征值（λj,t）。下载：下载高分辨率图像（899KB）下载：下载全尺寸图像图1. 所提出的CWCBR框架的计算流程图。此外，根据每个时间步骤保留95%的累积解释方差的标准，确定潜空间的自适应维度（Lt）。然后，使用投影矩阵Wt将高维数据映射到潜特征空间（zi,t和ztest,t）。这个过程的设计方式是，仅依赖于训练集的统计信息（Ψtrain,t和μt）可以防止信息泄漏。在第三阶段，算法进入流形学习和邻域优化阶段。首先，使用Z分数方法对潜空间数据进行标准化，形成Si,t，并计算目标测试实例与历史情景之间的欧几里得距离（Dt(r)并按排名r进行排序。为了去除噪声并提取流形的固有几何趋势，应用Savitzky-Golay平滑滤波器。然后使用针线算法确定最优邻居数量（Kopt,t），从而定义局部邻居特征矩阵（Xtrain,t）和相应的目标向量（Ytrain,t）。最后，在第四阶段激活CWCBR预测框架。使用自适应K-Means将局部训练数据聚类为Copt,t个子组，并使用轮廓系数（st(i)评估分离质量。最终聚合的系统预测（y^test,t+1）是通过组合局部岭回归专家（y^c,t+1）的独立输出，并使用与到簇中心（μc,t）的欧几里得距离的倒数平方成比例的软门控权重（wc,t）来计算的。3. 仿真结果和讨论在本节中，通过在包括大量电动车的综合数据库上进行广泛的仿真，展示了所提算法的性能并量化了其稳定性。这些评估在独立的运营日上进行，以应对多种情景下的固有不确定性挑战。验证过程旨在从三个方面评估模型，包括预测的准确性、模型随时间的稳定性以及其检测变化模式的能力。所提方法的性能使用标准统计指标进行量化。3.1.实验设置与数据
在本文中，使用了由Gholizadeh和Musilek [13] 提供的高精度合成参考数据集。该数据库是利用生成模型和基于ACN Caltech充电中心[43]实际运营记录的核密度估计（KDE）方法开发的。使用这种精确的数据生成方法可以确保随机变量之间的内在相关性与真实世界数据完全一致。考虑到实际电站的限制和复杂的需求行为，该数据库提供了29,600天的多样化场景，用于训练智能模型。然而，为了平衡计算效率和统计显著性，从这个庞大的数据库中提取了4,736个代表性的日负荷剖面作为完整的数据集（包括训练和测试阶段）。这个选定的子集经过数据清洗过程，去除了非活跃时段和充电会话记录不完整的剖面。这种预处理提高了数据质量，为潜在空间中稳定特征表示提供了必要的基础。因此，TA-PCA算法可以专注于提取关键特征并减少数据维度，以便在后续建模阶段使用，而不仅仅是简单可视化。在准备过程中，原始充电会话数据被转换为累积特征向量，其中维度Pt随着一天的进展而增加。数据清洗后，特征空间在最后一小时（t=23，代表最大电动汽车到达时间，每日时间范围截止于24:00）扩展到最大值Pmax=1104。为了确保评估的真实性，数据集被划分为训练（Dtrain）和测试（Dtest）两个子集，使用时间分割方法。这种方法在向量化和非线性变换（PCA）实现之前执行，以防止信息泄露。同时 also 确保模型在从未出现过的未来场景上进行评估。

3.1.1. 探索性数据分析（EDA）
在预测之前理解输入数据的动态对于验证负荷管理策略至关重要。图2显示了数据集的关键统计特征。如子图（a）所示，电动汽车到达的模式呈双峰结构。第一个峰值强度较低，出现在清晨时段，而主要峰值（强度较高）出现在傍晚时段。这种模式反映了电动汽车所有者的通勤行为。子图（b）显示了电动汽车能量需求的概率密度。子图（b）中的分布表明，大多数充电会话所需的能量少于20千瓦时。然而，存在一个延伸到60千瓦时的长尾，表明尽管频率较低，但这些高需求在削峰和维持变压器的热稳定性方面起着关键作用。子图（c）展示了平均日负荷特征。所有模拟天数内的负荷累积显示，在16:00左右有一个明显的峰值负荷。这个峰值负荷与配电网通常的峰值负荷时间重合，被认为是对网络运营商最具挑战性的场景。图3中电动汽车停留时间（或停留时长）的分析，在工程上对于确定模型维度起着决定性作用。在这张图表中，观察到最早的时间段数据密度最高。结果显示大约95%的电动汽车在第八个小时前离开站点。这种高数据浓度证明了所提出方法中选择一小时分辨率的合理性。这个尺度准确捕捉了数据的快速动态，并完全符合能源市场的结算标准。对累积覆盖曲线的定量分析表明，前八个时间段（代表长达8小时的停留时间）占所有事件的95%以上。

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图2. 输入数据集[13]的EDA。

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图3. 电动汽车停留时间的统计特性：频率分布和累积覆盖。

3.1.2. 评估指标
为了评估预测值与实际数据的符合程度，采用了一组标准统计指标。这些标准用于评估系统在估计负荷和能量方面的性能准确性。在这些定义中，yd,t表示测试日d和小时t的实际负荷值（电动汽车数量或能量量）；而y^d,t是算法预测的相应值。因此，这些指标定义如下：
a) 均方根误差（RMSE）
这个指标（15）用于衡量模型误差的标准差。公式中的T代表预测时间范围。由于公式中的二次项，RMSE对大和突然的误差非常敏感：
(15) RMSE(d) = ∑(t=1)^T (yd,t ? y^d,t)^2
b) 标准化RMSE（NRMSE）
为了提供系统相对于任何给定日平均运行容量的相对误差的直观理解，使用了标准化的误差定义。这里，RMSE值除以该日的平均实际负荷（yˉd）。这个度量显示了相对于平均能量需求的误差大小，为不同负荷量的日子提供了统一的尺度：
这个指标用于清晰地了解系统相对于每天平均运行容量的相对误差。在（16）中，RMSE值除以当天的平均实际负荷。这个指标显示了相对于平均能量需求的误差大小，并为不同负荷量的日子提供了统一的尺度：
(16) NRMSE(d) (%) = RMSE(d) / yˉd × 100
其中 yˉd = ∑(t=1)^T (yd,t)
c) 决定系数（R2）
这个系数用于评估预测方差与实际数据方差之间的一致程度，有效地衡量了模型在跟随负荷趋势方面的拟合质量。根据（17），接近1的值表明模型具有高能力提取控制负荷的行为模式和动态。
(17) R2 = 1 ? ∑(t=1)^T (yd,t ? y^d,t)^2 / ∑(t=1)^T (yd,t ? yˉd)^2
d) 均绝对误差（MAE）
这个标准提供了平均误差值的直接物理解释。（18）得到的值表示预测值与实际值之间的线性残差。与RMSE和MAE不同，这个指标不对大的偏差施加平方惩罚。因此，它成为模型误差中心分布的强大指标。
(18) MAE(d) = ∑(t=1)^T |yd,t ? y^d,t|

3.1.3. 模型配置和参数
所提出框架中使用的结构和关键参数在表1中给出。这些值是在模型训练阶段进行校准过程的结果，以实现预测准确性和计算效率之间的最佳平衡。
表1. 所提出的CWCBR模型的模拟参数和配置。
类别 参数 描述 符号 值 / 设置
数据集和时间设置 原始电动汽车数据集的总时间跨度 -29,600天
数据清洗后的有效运营天数 M 4,736天
电动汽车到达的离散小时区间 h {1, 2, …, 24}
电动汽车停留持续的离散时间类别 s {1, 2, …, 23}
特征提取和PCA 最大特征空间维度（在t=24时） Pmax 1104
潜在提取的方差保留阈值 τvar ≥95%
时变维度降低方法 -TA-PCA
流形学习和Kneedle 历史场景距离的相似性度量 -欧几里得范数（L2）
距离曲线的噪声抑制滤波器 -Savitzky-Golay
SG平滑滤波器的移动窗口长度 wsg 51
局部SG曲线拟合的多项式程度 psg 3（三次方）
膝点检测的敏感度因子 S2.3
自适应邻域大小的上限 Kmax 1,000
相似性衰减的最小斜率阈值 τslope 0.05
距离衰减缩放的范围 -最小-最大 [0,1]
CWCBR专家聚合 用于制度识别的聚类技术 -自适应K-Means
质心收敛的容忍阈值 -10^?4
迭代聚类循环的上限 100
专家数量的最优搜索范围 C {2, 3, …, 9}
簇验证的最小轮廓得分 τsil 0.25
每个簇的最小样本计数 Nmin 10
用于局部专家训练的回归模型 -岭回归
专家的L2正则化惩罚 λ 0.1
权重归一化的稳定性常数 ? 10^?6

计算环境
用于模拟和分析的计算平台 -MATLAB
并行执行的CPU规格 -Intel Core i7-11800H
用于高维操作的可用RAM -16 GB DDR4

根据表1，PCA中的累积方差阈值设置得当，以确保在特征空间压缩过程中至少保留95%的结构负荷信息。在邻域搜索模块中，膝点检测灵敏度参数和滤波器窗口长度（wsg）分别设置为2.3和51。因此，这种参数化使算法能够抵抗高频噪声，并且只将显著的结构变化识别为邻域边界。此外，在专家训练阶段，设置了岭回归惩罚（λ=0.1）以防止小局部簇中的过拟合，从而实现专家模型的收敛。

3.2. 潜在特征空间的可解释性
本小节专门解释了基于累积方差分析和隐藏负荷模式提取动态调整潜在空间（Lt）维度的机制。图4旨在解释模型的统计基础，展示了每天每个小时的23个独立子图中的结构信息累积情况。在这些图表中，横轴代表选定的组件数量（Lt），纵轴表示解释的累积方差百分比。该轴上的值是通过将选定组件的总方差（特征值）除以该小时初始数据中的总方差获得的。实际上，这个比率简单地表明了模型通过添加每个新组件捕获和表示的负荷细节和统计波动的程度。在这种结构中提取潜在空间维度的逻辑是，当累积方差百分比超过95%阈值时，算法会停止。设置这个阈值允许模型忽略噪声，只保留负荷的关键和有影响力的特征以供后续阶段使用。观察图4中曲线的形状可以看出，在一天中的早些时候（如凌晨1点到3点），数据表现出更简单的行为，陡峭的曲线仅用11到39个组件就达到了饱和。然而，当到达晚间的高需求区间时（意味着信息在不同组件之间的分散较大），曲线变得更加平滑。由于这种行为，模型被迫选择超过100个组件的特征空间维度，以保持准确性和正确表示车队的行为复杂性。此外，最终的Lt值是数据压缩和信息质量保持之间平衡的直接输出。基于这种评估，图5展示了输入变量在形成最终维度Lt=Lcount,t+Lenergy,t时的定量组成和不同贡献。如图5所示，特征空间维度表现出高度动态的行为。这个数量从一天开始的11个组件开始，并随着时间的推移呈增长趋势，在14:00达到峰值（153个组件）。这个结果与特征的累积行为完全一致。因为随着时间的推移，历史向量的长度增加，准确表示数据流形需要更多的组件。除了这些结果和发现之外，能量相关组件（Lenergy,t）在所有时间点上都占主导地位，超过了电动汽车数量（Lcount,t）。例如，在14:00，总共153个组件中，有103个组件（相当于总空间的67%）专门用于表示能量需求（电动汽车到达组件仅占50个组件）。这种数值差异表明，与到达模式相比，能量变量占据了更广泛和更随机的空间。这种复杂性的主要原因是能量对不可预测参数（如充电状态（SoC）和电池多样性）的强烈依赖。实际上，电动汽车到达的模式结构要简单得多。

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图4. 通过累积方差解释每小时潜在维度

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图5. Lt的动态演变和组成分解

3.3. 膝点驱动的邻域校准
在数据投影到潜在特征空间之后，进行邻域校准。这一步骤的目的是在动态维度空间（Lt）中定义一个最优的相似性指标。这种校准的主要目的是确保识别出的历史邻居真正代表当前的负荷条件。图6显示了样本测试日连续向量的轮廓。在这张图中，潜在空间中的标准化欧几里得距离（zi,t）与邻居排名（r）绘制在一起。标记点（标记器）是通过DDiff,t(r)最大化运算符提取的Kopt,t的确切位置。根据该图，从t=3到t=14（代表午夜和中午时间段），距离曲线具有一个尖锐且较早的拐点。在这些时间段内，算法由于基础负载模式的高度重复性，只收敛于有限数量的邻居。在晚间高峰时段（具体在t=16、t=17以及t=19到t=23），行为距离曲线显示出更平稳的轮廓和逐渐增长的速率。Kopt点之后的曲线饱和表明，相邻邻居之间的距离增加速率急剧下降，而较远样本之间的距离分布达到相对稳定。基于这种行为，尽管这些点不一定是异常值，但由于它们与模式中心的核心相距较远，因此缺乏明显的局部信息。因此，在建模过程中考虑这些点只会在相似特征的表示中引入噪声。

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图6. 欧几里得距离衰减曲线和动态Kopt选择

3.4. 自适应聚类动态
模型配置与数据中隐藏的波动和复杂性的动态匹配是所提算法的基本特征之一。该框架持续监控特征空间，自动评估相邻数据中模式的相似性和一致性。相应地，模型智能地将相邻数据组织成一个单一的行为模式。此外，为了提高表示现有复杂性的准确性，数据被重新聚类成不同的微簇。

本节专门探讨确定最佳簇数（Copt,t）及其在潜在空间中分离准确性的方法。该分析基于统计特征和几何结构，展示了训练数据（zi,t）和测试数据（ztest,t）的分类成功率。

3.4.1. 负载模式的时间演化
图7显示了簇使用概率分布（选定簇的频率），以评估模型对一天中负载变化适应性的能力。图表的定量分析表明，在时间步长t=1时，算法通过选择最低复杂度级别（Copt,t≈2），使模型结构与数据的均匀性对齐。在t=2到t=14的范围内，簇的平均数量增加到3并稳定在这一水平。这种变化表明在午间消费高峰之前，模型已经早期识别出充电模式的多样性。虽然在t=2到t=14期间平均值集中在3附近，但也观察到了簇4和簇5的同时存在。这个结果表明，模型在不同维度级别之间不断波动，以准确表示复杂性。从学习的角度来看，这种行为在低方差时段防止了过拟合。实际上，算法仅在统计异质性存在时增加子组的数量。在过渡到晚间时段（t=15及以后），出现了明显的行为变化。在这个时期，簇的平均数量减少到2（两个簇占总分布的80%以上）。这一现象表明，在一天中的晚些时候，一个主导行为模式占主导地位，使模型能够在信息饱和条件下通过简化计算结构并关注更有限的子组来保持预测的稳定性。

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图7. 选定簇的概率分布

3.4.2. 基于轮廓的簇验证
为了确保聚类基于数据的真实结构，这种评估直接在原始特征空间（zi,t和ztest,t）中进行。这种方法防止模型受到噪声和过拟合的影响。因此，全天严格监测簇的内部密度和外部分离，以确保结构完整性。这种持续评估使算法能够随着数据模式复杂性的演变有效地调整其搜索空间。这种监控将为选择最佳簇数提供必要的依据。此外，决策基于这样的原则：只有当簇之间存在统计上显著的分离时，增加模型复杂性才会提高性能。图8显示了在不同运行时间范围内，不同簇变量数量（C∈{2,...,9}）的轮廓系数值的变化趋势。在此图中，红色虚线表示验证阈值（τsil=0.25）。在清晨时段（t=1），C=2的轮廓得分接近1.0，这证实了在网络稳定期间存在两种完全不同且连贯的行为，且重叠最小。然而，随着系统过渡到中午时段和高峰活动期，轮廓得分显著下降并接近阈值波动。随着行为变得更加复杂和随机，简单的双模型不再有效。因此，为了实现适当的分割，必须增加簇的数量（例如增加到Copt,t∈{3,4}）。最后，分析最佳簇数的演变趋势揭示了模型对系统变化熵的智能适应机制。

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图8. 使用轮廓系数对代表性日子的聚类质量进行验证

3.4.3. 拓扑和门控机制
图9显示了潜在特征空间（zi,t和ztest,t）中数据的几何结构，以理解软门控机制的性能。可以清楚地看到数据的位置及其之间的几何关系。彩色点代表历史邻居，它们根据所属的不同簇进行着色。星号符号表示当前测试实例的位置（ztest,t），黑色方块表示每个簇的质心（μc,t）。图9显示，负载数据分布在一个非线性流形上。例如，在t=5时，数据密集，可以看到一个主导簇；但在t=15时，数据散布在潜在空间中并形成了三个不同的簇。分配给每个专家的最终门控权重（wc,t）直接由测试实例相对于簇质心的位置决定。换句话说，测试实例与每个簇的质心之间的距离和相对位置决定了每个专家对最终预测的影响。有时，当测试实例位于两个簇的边界上时，模型会为两个专家分配大致相等的权重。这种方法产生了一个综合估计，从而降低了错误选择特定场景的风险。

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图9. 选定日子中前三个主要成分的特征空间拓扑可视化

3.5. 全局性能评估
本节通过将算法应用于测试数据集来评估所提模型的性能。在此过程中，计算了分析系统行为的重要统计参数，如平均值、最大值和标准差。

3.5.1. 回归结构和相关性
本节检查预测值（y^test,d,t）与实际值（yd,t）之间的线性一致性程度。回归散点图和趋势分析显示在图10中。靠近y?=y线的点表示预测精度高，预测值与实际值之间的一致性紧密。相应地，电动汽车数量（EV count）和能量的预测R2分别为0.670和0.534。从图10中提取的细节排除了系统性地高估或低估负载的偏差。此外，阴影区域反映了数据中的内在方差和不可減少的噪声，这些噪声来源于随机参数，如tarr和E(d)。该框架通过流形学习和PCA模块过滤随机噪声，解决了偏差和方差之间的权衡。推理是，影响充电需求的数据本身难以预测，因此需要使用模式挖掘方法来进行准确预测。另一个点是，当消费量非常高时（即请求的充电量很高），模型的预测精度会下降。这种变化源于消费高峰是罕见事件，由于流形在高需求区域的稀疏性，使得预测更加困难。结果表明，模型能够识别出消费量增加的一般趋势并成功进行了预测。相比之下，预测下一小时电动汽车数量的模型具有更高的精度（0.670），因为电动汽车的到达和离开模式比它们的能量消耗更易于预测。实际上，能量消耗是一个连续且不断波动的量，而到达和离开模式则更为离散。调查显示，点在理想线上方和下方对称分布，预测之间的差异很小。

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图10. 比较预测值与实际数据的回归分析散点图

3.5.2. 统计误差分布和校准分析
图11展示了预测误差的统计分布。子图（a）显示了绝对误差的直方图。分布围绕零点的强对称集中表明误差具有高斯状行为。特别是对于能源需求（子图b），平均误差为-1.84 kWh，与负载变化范围（高达400 kWh）相比几乎可以忽略不计。模型的敏感性和稳定性分析通过子图（c）和（d）中的NRMSE分布呈现。通过在不同天数的性能稳定性评估来识别特定日期可能存在的显著误差。子图（d）中的NRMSE能量分布显示，μ的平均值为4.99%，σ2为11.69。分布趋势显示出明显的正偏斜，表明模型在大多数日子里的误差非常低（低于5%）。实际上，只有在少数日子（分布的右侧尾部）误差才会达到较高值。这些异常日子通常对应于网络中未在Dtrain中完全表示的不寻常使用模式或特定事件。尽管如此，模型在异常运行条件下仍保持了其结构稳定性，限制了输出的分歧。

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图11. CWCBR方法的统计性能评估。(a) 电动汽车数量绝对误差；(b) 能源绝对误差；(c) 每日电动汽车数量NRMSE；(d) 每日能源NRMSE
为了准确评估TA-PCA模块的结构必要性并确定其对模型鲁棒性的贡献，进行了有针对性的消融研究。在这个实验中，通过省略降维层，模型直接暴露在原始特征空间中，从中获得的结果显示在图12中。

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图12. 不含TA-PCA模块的CWCBR方法的统计性能评估。(a) 电动汽车数量绝对误差；(b) 能源绝对误差；(c) 每日电动汽车数量NRMSE；(d) 每日能源NRMSE
通过直接比较这些结果，观察到预测稳定性的下降。定量分析表明，这种移除的影响是显著的。因此，没有TA-PCA模块时，能源需求的每日NRMSE从4.99%增加到8.31%（意味着系统平均误差增加了66%）。然而，σ2的分析表明，数值从11.69上升到32.77，显示出显著的增加。这种广泛的分散表明，模型在全维空间运行时对噪声非常敏感。如果不利用TA-PCA压缩的特征，算法无法区分有意义的信号和随机干扰。这种差异表明PCA层对稳定预测有显著贡献。

通过对预测误差的95%置信区间进行计算，进行了模型不确定性的定量评估。根据获得的统计分布，能源需求误差的范围非常有限，位于[4.89%，5.08%]区间内，表明所提模型的确定性输出得到了精确校准。此外，为了在实际条件下评估这些不确定性边界的校准情况，对预测区间进行了补充分析，其结果显示在图13中。在子图(a)中，展示了一个最优的四天性能范围，其中阴影区域（95%预测区间）有效地覆盖了实际需求的剧烈波动。子图(b)中的校准散点图也证实了预测区间覆盖概率（PICP）为94.8%。这个值与目标置信水平（95%）的接近对齐表明残差呈正态分布，以及模型在估计误差范围方面的稳定性。对散点图的更详细分析显示，大多数低需求区域（少于100千瓦时）的数据点高度集中在理想线上，这表明模型在重构基线模式方面的准确性很高。尽管当需求接近最大值时数据分散度自然会增加，但预测区间边界（实线蓝色线条）仍然能够包含94.8%的所有测试样本。这证明了该模型不仅在预测平均值时避免了系统性偏差，在估计潜在偏差时也避免了偏差，从而在计算准确性和统计可靠性之间建立了适当的平衡。下载：下载高分辨率图像（475KB）下载：下载全尺寸图像

图13. 不确定性分析：(a) 代表性4天最优性能窗口；(b) 校准散点图。

根据图14中呈现的结果，预测电动汽车数量的平均绝对误差（MAE）为1.40辆，方差为0.17，最大误差为3.15。其累积概率表中从0.5到3.0的误差值分布清楚地表明误差在非常低的值处有较高的集中。对于能源需求的预测，平均MAE为15.44千瓦时，方差为36.48，最大值为78.87。这一结果表明模型在估计能源消耗方面的准确性令人满意。下载：下载高分辨率图像（389KB）下载：下载全尺寸图像

图14. MAE的统计分布；(a) 电动汽车数量；(b) 能源需求。

3.5.3. 邻域参数敏感性
为了确保模型的准确性不是由于偶然性或特定设置，其性能是通过结构稳定性来评估的。在提出的多用途学习模块中，Kneedle算法中的敏感性参数（S）作为一个过滤器，用于平衡模式识别准确性和噪声敏感性。该参数表示算法对距离曲线斜率变化的敏感性，以便识别拐点。图15展示了上述分析。该图显示，相对于参数S的标准化均方根误差（NRMSE）的变化呈现出凸形（U形）行为。在S的值较低时，基于斜率的控制机制非常敏感，并会将瞬态和非结构性噪声误解为新的行为模式。这种现象会导致流形过度分割和误差方差增加。相反，极高的值（图表右侧）会使控制机制变得过于严格，从而忽略微妙（但重要的）负载模式，并丢失重要信息。根据图表，存在一个平坦的稳定区域[1.8, 2.8]。在这个区域内，误差对参数变化的敏感性最小，表明模型对变化的稳定性。选定的操作点S=2.3（列在表1中）正好位于这个稳定区域内的全局最小位置。这个值表明选定的量不是随机的，而是一个最优点。下载：下载高分辨率图像（219KB）下载：下载全尺寸图像

图15. 相对于拐点敏感性阈值的NRMSE敏感性分析

3.6. 时间稳定性和场景分析
在实时能源管理系统中，仅有低平均误差不足以证明效率。数据驱动方法中的一个基本挑战是时间稳定性问题。也就是说，模型在面对不寻常的日子或驾驶员行为模式的突然变化时，不应出现偏差或将误差带入后续日子。在本节中，分析了CWCBR算法在模拟时间范围内的弹性以及在不同场景下负载剖面重构的质量。

3.6.1. 长期误差稳定性
图16显示了能源需求和电动汽车数量的NRMSE。图中还显示了整个时期的平均误差。模型性能中的平均回归行为显而易见。尽管有些特定日子的能源误差急剧上升超过20%，但第二天误差水平会回到正常范围（低于5%）。结果表明，所提出的模型在评估期间保持了准确性。此外，这些异常值不会导致后续日子的聚类或加权参数出现系统性偏差。这些峰值通常对应于电动汽车到达模式与Dtrain中的任何历史记录都不匹配的日子，模型被迫使用全局回归模式。比较图16中的两个子图可以看出，预测电动汽车数量的误差方差远小于能源需求的误差方差。这种差异是由于变量的物理性质；电动汽车数量是一个离散且可观察的变量，而能源需求是初始电池状态（SoCinit）的函数。然而，一年中超过95%的日子都能将能源误差水平保持在10%以下，这证明了该模型在网络资源规划方面的可靠性。下载：下载高分辨率图像（953KB）下载：下载全尺寸图像

图16. 日度NRMSE的纵向稳定性分析；(a) 能源需求；(b) 电动汽车数量

3.6.2. 微尺度日常分析
图17显示了最佳情况和中等情况场景的结果。子图(a)和(b)表明，在最佳运行日，能源和电动汽车数量的估计误差分别降低到了1.09%和2.5辆。在这些条件下，模型能够以显著的准确性重构实际消耗和电动汽车到达模式。即使在非高峰时段（如10:00至12:00），模型也能准确跟踪细微波动。这种情况表明，邻域搜索算法成功识别出了数据库中结构非常相似的日子。子图(c)中的中等情况分析显示，系统在大多数日子的实际和预期性能误差为4.1%。在这种情况下，尽管模型略微高估了电动汽车数量并在高峰时段低估了能源数量，但正确识别了高峰负荷的时间阶段。应当注意的是，对于配电网络运营来说，准确识别高峰时间与其精确估计其幅度同样重要，因为需求响应策略是根据时间激活的。因此，通过使用聚类加权机制，CWCBR模型准确保留了动态负荷波形及其时间转换。它还有效防止了传统平均方法中常见的过度平滑现象。下载：下载高分辨率图像（891KB）下载：下载全尺寸图像

图17. 代表性场景的详细剖面比较

3.7. 预测时间范围分析
在现实世界的网络管理应用中，运营商通常需要不仅估计下一个小时的状态，还需要估计直到运营日结束的负载路径。这种多步预测的主要挑战是误差传播现象；也就是说，第一步的估计误差作为错误输入被传递到第二步，导致预测路径与实际情况呈指数级偏离。分析了CWCBR算法在一天中四个关键决策点预测未来负载路径的性能，以评估所提出模型对此现象的抵抗力。这种递归模拟的结果如图18所示。下载：下载高分辨率图像（1007KB）下载：下载全尺寸图像

图18. 多步递归预测性能评估
图18中的图表包括观察到的历史数据直到决策点、未来的实际负载以及以递归方式生成的模型输出。在子图(a)的早晨开始场景中，CWCBR模型依靠夜间非高峰数据，成功重构了整个日常负载剖面，并准确地识别了13:00的负载增加开始时间和15:00的峰值。尽管对峰值幅度的估计略有降低，但在这段长达18小时的时间内记录的时间范围误差为1.08%，证明了算法能够识别清晨的行为模式。子图(b)和(c)的分析显示，模型能够很好地适应下午早些时候和早期高峰时段的需求变化，将误差稳定在1.23%和1.24%的低水平。这一在一天中间的准确性能表明了层次结构在达到高峰消费之前识别负载变化模式的高能力。在子图(d)中，CWCBR模型通过准确跟踪次要波动并预测6:00之后的负荷急剧下降，记录的时间范围误差为1.16%。1.08%到1.24%的误差范围表明CWCBR模型在预测路径中没有偏离。通过过滤噪声，它为网络管理提供了可靠的预测。

3.8. 对比基准分析
为了准确评估所提出框架在研究领域中的功能位置并符合精确的验证标准，本节将CWCBR方法与三种预测模型进行了比较，包括LSTM、GRU和持久性模型。持久性模型被用作最小的基准，用于衡量相对于延迟的稳定性。深度学习模型（GRU和LSTM）被配置为多步序列到序列回归器。这项比较的目的是为了展示所提出方法在处理电动汽车充电不确定性方面的优越性，无论是在收敛准确性还是方差稳定性方面。

3.8.1. 持久性模型
持久性模型基于前一天负载模式的线性重复性假设（Loadt=Loadt?24h），被认为是评估模型理解即时变化能力的关键指标。这一比较的结果如图19和图20所示。图19中统计误差分布的分析表明，持久性模型的NRMSE为6.45%，能源需求的误差方差为29.70%，未能跟踪随机负载波动。这种误差分散大约是CWCBR方法（11.69）的三倍。这表明仅依赖历史数据会增加对行为变化的敏感性。相比之下，测试场景中的时间行为分析（图20）显示，CWCBR方法利用PCA过滤和动态聚类将随机噪声与主要负载结构分离。结果表明，所提出的模型超越了简单的记忆功能，能够学习非线性模式。下载：下载高分辨率图像（366KB）下载：下载全尺寸图像

图19. 持久性模型的统计误差分布分析。(a) 电动汽车数量绝对误差；(b) 能源绝对误差；(c) 电动汽车数量日NRMSE；(d) 能源日NRMSE

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图20. 最优和中等预测场景中CWCBR和持久性模型的性能比较

3.8.2. LSTM网络
为了评估所提出框架与先进深度学习方法的性能，本节进行了使用LSTM神经网络的比较分析。在此过程中，所有模拟都使用了更新的随机种子，以消除对初始条件的任何潜在依赖。使用的模型是具有100个隐藏单元的第一个LSTM层和50个隐藏单元的第二个LSTM层，其间放置了0.2的丢弃层。这种设计用于层分离和减少内部依赖性。输出层也是一个具有24个神经元的全连接层，用于将输出映射到日常时间范围。训练过程使用Adam优化器进行。这些标准设置确保基线模型具有足够的学习能力来模拟非线性负载动态。从LSTM模型获得的模拟结果如图21所示。尽管LSTM模型性能的统计分析展示了网络在学习整体负载模式方面的能力，但与其比较显示出在处理负载的随机性质方面的弱点。如子图(b)所示，LSTM预测存在系统性正偏差，其μ为17.41千瓦时（相比之下，所提出方法的偏差可以忽略不计，μ=?1.84千瓦时），表明累积误差显著。高方差（提议方法中的1235与883相比）表明LSTM网络在过滤瞬时噪声和适应严重波动方面不够稳定。子图(d)中的NRMSE能量分布显示μ的平均值为5.74%。下载：下载高分辨率图像（394KB）下载：下载全尺寸图像

图21. LSTM模型的统计误差分布分析。(a) 电动汽车数量绝对误差；(b) 能量绝对误差；(c) 电动汽车数量日NRMSE；(d) 能量日NRMSE。

3.8.3 GRU网络
在本小节中，还评估了CWCBR模型与GRU神经网络的性能。该模型的误差统计分布如图22所示。结果分析表明，GRU网络的平均误差为能源需求5.19%，电动汽车数量4.78%，其性能优于标准的LSTM网络。然而，将这些值与提议模型的输出（分别为4.99%和3.77%）进行比较后，可以确认CWCBR在预测准确性方面仍然表现更好。这次比较的重要点是绝对误差行为的分析。如图22的子图(a)和(b)所示，GRU网络的绝对误差分布有显著的μ值（能源为12.93千瓦时，电动汽车数量为1.43千瓦时）。这意味着GRU网络在面对严重波动时倾向于系统性高估或低估。此外，GRU模型预测的能量误差方差计算为1044.8，明显大于提议模型的方差（883.7）。下载：下载高分辨率图像（516KB）下载：下载全尺寸图像

图22. GRU模型的统计误差分布分析。(a) 电动汽车数量绝对误差；(b) 能量绝对误差；(c) 电动汽车数量日NRMSE；(d) 能量日NRMSE。

3.8.4 基准性能总结
在分别审查了基线模型之后，通过四个关键指标对CWCBR框架与先进的GRU模型、LSTM模型和持久性方法的最终性能进行了比较。根据图23中的关键指标比较分析，提议方法的平均NRMSE最低（4.99%），优于GRU、LSTM和持久性模型。LSTM网络在R2得分（0.162）上的表现较差，表明其在面对稀疏数据时缺乏收敛性。虽然GRU基线在捕捉时间动态方面表现更好，R2得分为0.340，但仍然远低于提议框架。相比之下，CWCBR在解释数据方差方面表现出最高的能力（R2=0.534）。

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图23. CWCBR、LSTM、GRU和持久性模型的性能比较：(a) 预测误差（NRMSE），(b) 拟合优度（R2得分）。

最后，为了评估负载曲线跟踪性能，图24展示了三种基准场景下的预测时间行为。如图24的子图(a)所示，在最佳性能场景中，CWCBR模型比GRU和其他基线模型更准确地与实际负载对齐。此外，在表示中等性能的子图(b)中，尽管GRU模型的跟踪趋势具有竞争力，提议方法的表现更加稳定。下载：下载高分辨率图像（396KB）下载：下载全尺寸图像

图24. 运行场景中负载曲线跟踪能力的比较评估。(a) 最佳性能场景；(b) 平均性能场景。

4. 结论
本文开发了一个基于CWCBR的计算框架，用于预测下一小时的电动汽车数量（按停留时间模式分类的累计到达量）以及相应的能源需求。主要目标是克服确定性模型在面对电动汽车行为固有不确定性时的局限性。该系统通过集成顺序模块来实现，这些模块包括累积向量化、基于TA-PCA流形的邻域选择的时间变异性降维，以及自适应专家融合机制。该系统能够保留时间相关结构，并自适应地考虑电动汽车的停车模式。评估显示，提议模型在负载估计方面非常准确（能源需求的NRMSE约为4.99%，电动汽车数量的NRMSE约为3.77%）。此外，能源和电动汽车数量的预测R2值分别为0.534和0.670。这证实了模型解释系统方差和提取主导模式的能力。条件分位数图的分析表明，模型的预测没有系统性偏差。算法根据数据方差动态调整其结构。聚类动态分析表明，在模式稳定的时段（如夜间），算法会收敛到只有2个簇的简单状态，以避免不必要的复杂性。在不稳定时段，簇的数量增加到4个，以覆盖更广泛的消费行为范围。在关键决策点对模型进行的评估显示，该模型对误差传播具有显著的抵抗力（预测误差稳定在1.08%到1.24%的范围内）。此外，在高峰和非高峰时段对负载路径的精确跟踪（误差为1.16%）表明累积特征向量在防止路径偏差方面的有效性。提议模型在能源预测方面的表现优于基准模型，平均误差最低（4.99%），而持久性模型为6.45%，LSTM为5.74%，GRU为5.19%。此外，该模型的R2值为0.534，优于持久性模型（0.403）、LSTM（0.162）和GRU（0.340）。实际考虑的分析表明，提议模型（具有较短的响应时间）在实时应用中的能力更快。然而，要达到这种准确性需要高分辨率数据（用于重构流形）和微调参数（以实现簇中的最佳偏差-方差权衡）。

声明
作者感谢在准备本手稿过程中使用AI工具进行语言编辑辅助。

未引用的参考文献
[44]CRediT作者贡献声明
Khalil Gorgani Firouzjah：写作——审阅与编辑、写作——初稿、可视化、验证、监督、软件、资源、项目管理、方法论、研究、资金获取、形式分析、数据管理、概念化。
Jamal Ghasemi：写作——审阅与编辑、写作——初稿、可视化、验证、监督、软件、资源、项目管理、方法论、研究、资金获取、形式分析、数据管理、概念化。