基于平滑性约束的图盲源分离技术

《Digital Signal Processing》：A Graph Blind Source Separation Technology Based on Smoothness Constraint

　　徐丽云|王宁远
山西大学人工智能学院大数据科学与产业研究所，太原，山西，030006，中国

摘要
图信号盲源分离（Graph BSS）旨在恢复定义在图结构上的潜在独立源，同时利用统计独立性和结构依赖性。本文介绍了一种新的分离框架SmoothGraphJADE，该框架通过从图拉普拉斯矩阵导出的平滑正则化项，将高阶统计特征与结构先验相结合。所提出的方法联合对图自相关矩阵和四阶累积量矩阵进行对角化，同时对相邻节点之间的突变进行惩罚，从而提高了分离精度和鲁棒性。为了在噪声条件下进一步提高性能，我们集成了一种非线性图压缩变换（GraphBCT）预处理模块，该模块能够在保持图一致性的同时抑制脉冲噪声和高斯噪声。在涵盖多种结构和统计设置、噪声环境以及复数值扩展的合成和真实世界图信号上的广泛实验表明，所提出的框架在分离质量和鲁棒性方面始终优于传统的基于ICA、基于图和基于平滑性的方法，突显了其在实际图信号处理应用中的强大潜力。

引言
盲源分离（BSS）[1]、[2]、[3]是一种从混合观测中恢复原始独立源信号的技术。它在语音处理、生物医学信号分析等领域得到广泛应用。传统的BSS方法主要基于独立成分分析（ICA）[3]，利用源信号的非高斯性或时间结构。一些著名的ICA算法包括JADE[4]，它使用四阶累积量矩阵的联合对角化（JD）[4]、[5]、[6]，以及Infomax[7]或FastICA[8]，后者通过最大化非高斯性来提取独立成分。如果数据表现出时间依赖性，那么像SOBI[9]这样的方法可以利用这一点进行分离。此外，非负矩阵分解（NMF）[10]、[11]也广泛用于盲源分离。这些传统的BSS方法在某些理想假设下表现良好：源信号在统计上是独立的、非高斯的，并且是线性和瞬时混合的。在这种条件下，信号之间不存在额外的空间或结构依赖性，因此纯粹的统计方法足以进行分离。然而，在许多现实世界场景中，信号本质上是结构化的（例如空间相关或基于图的），这限制了传统基于ICA的方法的有效性。

为了应对这些限制，提出了各种先进的BSS框架。Gertosio[12]和Gu[13]引入了一种半盲BSS方法，该方法结合了部分先验知识来直接最大化信噪比。同样，Niknazar[14]开发了一种基于源信号动态相似性的方法，该方法在癫痫发作预测等生物医学信号中证明是有效的。这些方法表明，整合额外的先验信息或领域特定标准可以提升BSS性能，超越了经典假设。与此同时，随着图信号处理（GSP）[15]、[16]、[17]的兴起，研究人员逐渐开始将图结构信息纳入BSS问题中。利用图结构先验，提出了基于图的BSS算法，如图去相关（GraDe）[18]、[19]和GraphJADE[6]、[20]。这些方法通过将邻接信息或图自相关融入分离过程来提高分离精度，尤其是在信号表现出固有图结构相关性的情况下。例如，GraphJADE通过联合对角化图协方差矩阵和高阶累积量矩阵来融合图结构和非高斯统计特性[20]，其性能优于仅依赖统计属性或仅依赖图结构的方法。尽管GraphJADE在各种图信号模型中表现出良好的性能，但对其优化目标的仔细检查揭示了一些局限性：

• 缺乏局部一致性建模：GraphJADE没有编码相邻节点值在底层图上应该相似的先验，因此没有惩罚邻居之间的局部变化。在许多实际场景中，源在图上是局部一致的；忽略这一先验可能会限制分离性能。
• 对异常值和噪声的敏感性：GraphJADE主要依赖于估计过程中的高阶统计量（例如四阶累积量），这可能对异常值或干扰（如脉冲噪声）敏感。在非高斯噪声存在的情况下，累积量矩阵的估计可能会偏离真实值，从而导致分离性能下降。

另一方面，Mohammadi[21]和Yarandi[22]最近提出了一些主要依赖于图平滑性的图信号分离方法，这是上述局部一致性的形式化。他们的模型假设单个观测信号x由定义在不同图层上的多个图信号xi组成，即x=∑xi，且每个xi在其对应的图上是平滑的。这种方法不依赖于统计独立性，而是利用平滑性作为唯一先验。实际上，许多现实世界的源信号在相邻图节点之间表现出相似性，即信号在图上是平滑的。这种现象在EEG信号、语音帧序列、地理感测数据等任务中很常见。此外，平滑性假设的有效性可以通过统计方法进行验证，这支持在实践中使用此类先验[23]。然而，仅依赖平滑性的方法也有其问题：
• 平滑性只是一个结构约束，并不能确保分离后的信号在统计上是独立的。仅依靠平滑性先验无法解决源解混或独立性估计问题。
• 过度平滑可能会发生，可能会模糊有用的信号细节或导致有效信息的丢失。
• 平滑性是一个局部一致性假设；如果图结构的信息能力较弱，例如几乎是完全连接的图或学习不良的图，平滑性项的指导作用将会减弱，分离性能可能会变得不稳定。

为了解决现有方法的局限性，我们首先明确了我们工作的核心假设：每个潜在源信号zp（对于p=1,…,P）假设在其关联的图Gp = {V,Ep, Wp}上是平滑的，其中Wp是Gp的邻接矩阵，Lp是相应的图拉普拉斯矩阵。这一假设允许两种灵活的场景：（1）共享图结构，其中所有源都定义在相同的图上（即Gp=G且Lp=L对于所有p），这在传感器网络等应用中很常见，因为信号具有空间相关性；（2）独立的图结构，其中每个源都在不同的图上（即Gp ≠ Gq对于p ≠ q），这适用于多说话者语音分离等场景，因为每个说话者的声音具有独特的时间相关模式。这种灵活性对于实际应用至关重要，因为图结构化信号可能具有共同的底层结构或表现出源特定的拓扑依赖性。例如，模型1、2、4（第4.1节）中的合成信号使用相同的图（Li=L），而模型3使用特定于源的图（Lp ≠ Lq）。

然后我们提出了一种基于平滑正则化框架的图信号BSS方法，该方法在保持原始对角化分离机制的同时，引入了结构正则化项以增强信号一致性和鲁棒性。这种平滑项以涉及每个估计源信号和拉普拉斯矩阵的二次形式实现，有效地促进了相邻节点值之间的相似性。通过调整正则化权重，我们的模型可以在统计独立性和结构平滑性之间取得平衡，从而提高分离精度和对现实世界图结构数据的适应性。值得注意的是，该方法在面对各种噪声类型（如高斯白噪声和脉冲噪声）时表现出更强的稳定性和分离性能，证明了结合平滑性建模与高阶统计联合优化的有效性。

首先通过仿真实验验证了所提出方法的有效性，结果显示其分离性能优于GraphJADE和其他基线方法。然后我们在更具挑战性的条件下评估了该方法，这些条件包括脉冲噪声和加性白高斯噪声（AWGN），这两种噪声严重破坏了信号的统计和结构特性。最后，我们在真实语音分离任务上测试了该方法。结果表明，在这些场景中鲁棒性有显著提升。本文的主要贡献如下：
• 我们提出了SmoothGraphJADE，这是一种图信号BSS方法，它通过将基于图拉普拉斯矩阵的结构感知正则化项纳入分离过程，充分利用了图结构化数据的内在拓扑。这种设计增强了模型捕捉信号组件之间结构依赖性的能力，并提高了对图扰动的鲁棒性；
• 为了解决高阶统计量对非高斯干扰的脆弱性，我们引入了一种基于图压缩变换（BCT）的图适应预处理策略。由于这种策略专门为图信号量身定制，可以在抑制噪声的同时保持结构一致性，我们将其称为GraphBCT。这一组件可以在保持图一致性的同时减轻脉冲噪声和高斯噪声的影响，显著提高了所提方法的鲁棒性；
• 我们验证了SmoothGraphJADE与经典ICA算法、基于图的BSS方法和基于平滑性的BSS方法的有效性，并根据扩展的实验结果讨论了其在可扩展性和全面性方面的优势。

本文的目的是提供一种具有更强结构感知能力和更好分离性能的图信号BSS方法，从而为图学习和稀疏性约束等后续研究方向奠定了基础。

本文的其余部分组织如下。第2节回顾了图信号处理和基于图的BSS方法的背景。第3节介绍了所提出的SmoothGraphJADE算法，详细说明了其公式并分析了其噪声鲁棒性。第4节提供了仿真研究和真实数据实验来评估性能。最后，第5节以总结和未来方向结束。

**图信号处理基础**
图信号处理将传统信号处理扩展到定义在图上的数据。一个具有N个顶点的加权无向图G通常由顶点集V、边集E和邻接矩阵W∈RN×N表示，即G = {V, E, W}。{wij≥0}i,j=1N,N指定了第i个和第j个顶点之间连接边的权重，而对于没有自环的图，{wii=0=0}i=1N。图信号为图的每个顶点分配一个实数值，即一个函数f : V→RN×1，为每个顶点提供一个实数值。

**SmoothGraphJADE：方法和噪声鲁棒性公式**
尽管GraphJADE在不同图信号模型中实现了强大的分离性能，但它并没有明确捕捉图信号中固有的局部结构特征。这一限制降低了其充分利用图诱导依赖性进行鲁棒恢复的能力。为了解决这个问题，我们提出了SmoothGraphJADE，这是一种新的BSS方法，它结合了高阶统计、图结构依赖性和平滑正则化。这种集成使得...

**实验**
为了全面评估所提出的SmoothGraphJADE方法的有效性、鲁棒性和实际适用性，我们进行了一系列涵盖模拟和真实世界场景的实验。我们的实验设计涵盖了多个评估维度，包括在不同图统计关系下的分离性能、在不同类型和强度的噪声下的鲁棒性、参数敏感性分析以及在实际语音数据上的验证。

**结论**
在本文中，我们提出了SmoothGraphJADE，这是一种图BSS方法，它通过基于拉普拉斯的正则化项引入了平滑性先验。该方法保留了联合对角化框架，同时增强了分离源的局部一致性和结构感知。在合成和真实世界语音数据上的实验结果表明，SmoothGraphJADE在分离精度和噪声鲁棒性方面始终优于现有方法。

**作者贡献声明**
徐丽云：概念化、方法论、形式分析、撰写——原始草稿、撰写——审查与编辑、资金获取。
王宁远：概念化、数据管理、可视化、验证、撰写——原始草稿。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的可能影响本文工作的竞争财务利益或个人关系。