致编辑的信：关于海象优化器的方法论考虑

《Expert Systems with Applications》：Letter to the editor: Methodological considerations on the walrus optimizer

　　**Ngaiming Kwok**
**澳大利亚独立研究员**

**摘要**
本文对Han等人在《Expert Systems with Applications》（2024年第239卷，第1224-13页）中提出的Walrus Optimizer（WO）进行了严谨的数学分析。我们指出该算法不具备平移不变性，并且由于其更新操作符和种群重初始化策略而存在固有的寻址 Bias。通过代数分解，我们证明了某些操作符可以简化为随机收缩映射和无记忆的凸组合，这些过程都指向坐标中心。此外，我们还详细描述了这些机制如何在迭代过程中引入系统性结构偏差。进一步分析了在高维空间中固定参数Lévy飞行引起的边界处理悖论，发现可行更新的概率随维度增加而呈指数级下降，从而导致以边界为中心的采样行为。总体而言，分析表明WO的报告性能主要由这种结构偏差与标准基准函数的对称性之间的匹配所解释，而非某种革新的搜索机制，这突显了需要对经过平移和旋转的基准测试集进行评估以确保算法的鲁棒性。

**引言**
受隐喻驱动的元启发式算法的快速发展引发了关于创新性、数学透明性和实证验证的持续方法论关注。特别是，许多提出的算法主要依赖叙述性隐喻，同时重复使用现有的搜索操作符，通常缺乏充分的理论依据或鲁棒性分析（S?rensen, 2015）。大规模的实证审查证实了这一问题的严重性：对最近发表的100多种元启发式算法的分析显示，其中有65%仅仅是现有方法的改进版本，许多所谓的“新颖”算法实际上只是标准进化操作符的简单组合（Velasco, Guerrero, & Hospitaler, 2024）。最近对受隐喻启发的优化器的批判性研究，如Animated Oat Optimization Algorithm（Shi & Kwok, 2026）和Reptile Search Algorithm（Kwok, 2026）的分析，进一步揭示了操作符冗余、结构偏差和不足的基准测试实践等反复出现的问题。更广泛而言，元启发式研究社区被敦促超越基于隐喻的手动设计，因为现在已有超过500种此类算法被发表，但缺乏严谨的理论基础（Camacho-Villalón, Stützle, & Dorigo, 2026）。这些批评强调平移不变性、尺度一致性、无偏采样和统计上有效的基准测试等属性是算法有意义贡献的先决条件。

评估新的元启发式算法的一个核心要求是，它们的搜索行为应归因于明确定义的数学操作符，而非叙述性隐喻。上述属性对于确保算法的性能反映了真实的搜索能力而非坐标选择或基准函数对称性的伪影至关重要。尽管先前的批评已经在概念或实证层面指出了这些问题，但对潜在动态机制的正式描述仍然有限。特别是，在此背景下，收缩类型更新及其对结构偏差的影响尚未得到明确分析。

在这种背景下，Han等人（2024）提出了Walrus Optimizer（WO），这是一种受海象社会行为启发的群集算法。虽然该算法在经典基准函数和CEC 2021问题上的测试结果表现出竞争力，但对其更新机制的更仔细检查发现其强烈依赖于坐标居中和平移对称性。通过将WO的更新规则简化为其明确的代数形式，本文表明某些操作符可以归结为随机收缩映射和参考点的无记忆凸组合。这种视角使我们能够准确地解释观察到的收敛行为，将其归因于寻址动态而非适应性景观探索。本文证明WO表现出明显朝向原点的结构偏差，将其明确归类为之前被警告的那种受隐喻驱动的算法。

**正式分析结构搜索偏差**
设$x \in X \subset \mathbb{R}^d$表示代理在有界搜索域中的位置。向量在整个文本中均用粗体小写字母表示。为了对WO进行精确的数学分析，首先将Han等人（2024）中的算法描述简化为其明确的代数更新规则。尽管原始描述大量使用了生物学隐喻，但下面的分析严格遵循作者的符号和术语以确保一致性和可追溯性。

**可行性的维度坍缩**
方程（15）（Han等人，2024）中使用的Lévy飞行遵循重尾分布$L(s) \sim |s|^{-1}^{-\beta}$。设$x \in [L_B, U_B] \mathbb{R}^d$表示当前位置，$s \in \mathbb{R}^d$表示Lévy步骤。更新公式为$x_{t+1} = x_t + s$。假设各维度之间相互独立，一个D维更新保持在界限$X$内的概率为：
$$
P_{\text{feasibility}(1) = \int_{L_B - x_j}^{U_B - x} f_{LF}(s; \beta) ds, \quad P_{\text{feasibility}(D) = (P_{\text{feasibility}(1})^D.
$$
这里$f_{LF}$表示一维Mantegna Lévy密度，$x_j$是$x$的第$j$个坐标。对于$D=100$的情况，即使是…

**隐喻与数学的冗余性**
WO的所谓新颖性进一步受到其操作符与现有元启发式算法操作符之间密切数学对应关系的挑战。表L.1总结了这些关系，表明所提出的机制在替代生物学隐喻下基本上复制了已知的更新规则。这些对应关系表明，表面的行为多样性并未伴随着数学上的新颖性。此外，围绕WO的行为叙述并不对应于…

**结论**
本文对Walrus Optimizer进行了数学分析，发现其某些更新操作符可以简化为随机收缩映射，这些映射引入了明显的寻址偏差。结果表明，其在标准基准函数上的报告性能主要归因于这种偏差与测试景观的对称性之间的匹配，而非某种根本性的新颖搜索机制。这些发现强调了…

**作者贡献声明**
Ngaiming Kwok：概念化、方法论、初稿撰写、审稿与编辑。

**利益冲突声明**
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