一种用于定位梯度损伤模型的自适应缩放边界有限元方法

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：An adaptive scaled boundary finite element method formulation of localizing gradient damage models

　　阿比纳夫·蒂亚加拉詹（Abhinav Thiyagarajan）、斯姆里蒂（Smriti）、梁显宝（Leong Hien Poh）、伊安·塔特·欧伊（Ean Tat Ooi）和桑达拉拉詹·纳塔拉詹（Sundararajan）
印度泰米尔纳德邦金奈马德拉斯印度理工学院机械工程系，邮编600036

**摘要**
非局部积分和梯度增强损伤模型被广泛用于解决标准连续介质损伤力学公式中固有的网格依赖性问题，这些公式适用于准脆性材料。虽然这些方法能够得到与网格无关的全球响应，但它们可能会出现虚假的损伤增长。文献中已有充分记载，通过使用局部化梯度损伤增强技术可以避免上述问题。损伤力学问题主要采用有限元方法（FEM）来解决。然而，网格大小受到内部长度尺度的限制，在损伤局部化区域需要非常精细的离散化。由于损伤起始位置通常事先未知，这导致计算成本很高。此外，传统FEM的固定节点结构使得处理悬挂节点变得复杂，从而难以实现自适应细化。在这项工作中，我们在尺度边界有限元方法（SBFEM）框架内实现了一个局部化梯度损伤模型，其中损伤演变由弹性应变驱动。SBFEM是一种半解析技术，允许在元素边界上有任意数量的节点，并自然能够处理悬挂节点。所提出的框架实现了高效的自适应离散化，并通过基准示例证明了其实用性和有效性。

**引言**
材料中的微裂纹和微孔在应变软化过程中会生长并合并形成宏观裂纹，从而降低材料的机械性能。连续介质损伤力学（CDM）提供了一个宏观框架，用于表征和模拟这些分布式缺陷及其对材料行为的影响。在标准损伤模型中，某一点的损伤演变通常是根据同一位置的运动学来制定的，因此也常被称为“局部”损伤模型。在准静态问题的峰值载荷之后，损伤引起的应变软化会导致切线刚度矩阵的正定性丧失，从而导致局部模型的椭圆性丧失[1]。从数值上看，解会依赖于网格。这促使人们使用所谓的“非局部”增强技术，即采用驱动运动学场的加权平均值来驱动给定点的损伤演变过程。非局部公式最初以积分形式提出[2]，后来被重新表述为梯度增强形式[3]，其中相互作用（平均）域大小表征了物理裂纹发展的微观过程区域。非局部积分和梯度增强已被证明可以规范各种问题的数值结构响应[2][3]。然而，传统的非局部增强方法存在虚假损伤增长的现象[4][5]，即损伤在断裂过程中没有按照预期局部化，导致对材料失效行为的预测出现偏差。

文献中提出了多种方法来减少虚假损伤增长，尤其是在接近完全失效时。这些方法在理论公式、计算复杂性和鲁棒性方面存在显著差异。一类方法引入了局部变量和非局部变量的加权组合，其中权重随损伤而变化[6]。尽管这种策略改善了从扩散损伤到局部损伤的过渡，但由于权重参数的演变规律通常依赖于具体问题，从而限制了其通用性。瞬态梯度损伤模型最初由Geers等人提出[4]，后来在[7]中为了便于数值实现而进行了重新表述。基于应变的瞬态梯度损伤模型引入了一个随损伤增加而变化的内部长度尺度。虽然这增强了局部化行为，但不断变化的内部长度尺度机制可能不满足热力学一致性。最近，开发了基于各向异性应力的非局部相互作用模型，以更好地捕捉局部化损伤带宽[8][9]。在参考文献[8]中，提出了一种非局部等效应力模型的修补公式，用于抑制加载高级阶段的微观形态或非局部等效应变场的振荡。然而，这种修补程序本身特定于元素，缺乏对任意有限元离散化的直接通用性。此外，这类模型通常需要更高阶的有限元，因为使用低阶元素可能导致各向异性非局部相互作用的表现不准确。在[9]中提出的平滑隐式梯度模型结合了不断变化的各向异性相互作用，特别适合与低阶有限元结合使用。尽管如此，它涉及数值空间平均和梯度计算，从而增加了计算成本和实现复杂性，尤其是在通用有限元框架中。

**梁显宝和孙某人的工作**
梁显宝和孙某人基于广义微观形态框架[11]开发了局部化梯度增强技术[10]。他们观察到随着微裂纹合并成宏观裂纹，活跃的微观过程区域逐渐缩小，因此提出了一个随损伤演变而减小的损伤依赖性相互作用函数，以增强非局部能量贡献。由此产生的热力学框架得出了一个微观力平衡方程，该方程与传统非局部梯度增强非常相似，尽管其相互作用函数在损伤演变过程中消失。结果表明，这种局部化梯度增强损伤模型在模拟复杂混合模式加载条件下的混凝土断裂时表现良好[12]。此外，它已成功应用于多种场景，包括复杂加载下的水泥基材料[13][14]、多物理问题[15][16]、正交各向异性损伤公式[17]以及正交各向异性三维弹性塑性分析[18]。广义微观形态框架可以轻松整合其他类型的相互作用函数，例如在参考文献[19]中提出的基于应力的各向异性局部化梯度损伤模型。在这样的背景下，参考文献[8][9][19]中的各向异性梯度模型实际上是参考文献[10]中的各向同性局部化梯度增强损伤模型的扩展。在这些模型中，微观力方程的形式与[10]中的相同，只是采用了各向异性局部化相互作用函数，以更好地控制非局部相互作用对损伤演变的方向影响。

**文献中的损伤模型**
文献中报道的局部化梯度增强损伤模型主要采用有限元（FE）方法求解。为了获得网格收敛的结果，元素大小通常需要至少是长度尺度参数的三到四倍。由于损伤起始位置通常事先未知，因此整个域内通常使用均匀细化的网格，这导致计算成本显著增加。为了解决这个问题，FE框架内开发了几种自适应细化策略，包括悬挂节点技术、基于模板的细化和多尺度方法（如MsFEM[20]）。尽管这些方法提高了效率，但其有效性仍取决于所选择的细化策略和相关的实现细节。此外，还存在多级hp自适应方法[21]等一致的替代方法，通过结合网格细化和多项式增强来系统地提高精度。虚拟元素方法提供了更大的灵活性，因为它自然支持多边形网格，并且无需特殊处理即可处理悬挂节点[22][23][24]。类似地，多边形有限元方法[25]和尺度边界有限元方法（SBFEM）[26][27]允许更一般的元素几何形状，并在处理复杂离散化时具有额外优势。从网格生成的角度来看，通常使用四叉树分解来高效创建具有局部细化的网格[28]。然而，在标准FE公式中，悬挂节点的存在可能会引入兼容性问题。在这些方法中，由于SBFEM的半解析性质及其准确捕捉强梯度和奇异性的能力，同时自然适应多边形离散化而不需要特殊处理悬挂节点，因此对于当前的工作尤其具有吸引力。

**SBFEM的性质**
SBFEM是一种用于求解偏微分方程的半解析方法[26][27]。它结合了FEM和边界元素方法（BEM）的关键优点。在SBFEM中，计算域被划分为尺度边界元素（S元素），每个元素仅沿其边界离散化，并以类似于FEM的方式进行数值求解，而在每个S元素的径向方向获得解析解。因此，该方法减少了问题的空间维度和相关计算工作量。与BEM不同，SBFEM不需要基本解，并且其能够在无穷远处精确满足辐射条件，特别适合建模无界域。Wolf和Song最初是为无界域问题的动态分析开发这种方法[26][29]。目前，SBFEM被用于求解断裂力学[30][31]、弹塑性分析[33][34]、多孔弹性[35]、流体力学[36]、无限棱柱问题[37]、机电问题[38]、随机力学[39]和岩土工程问题[40]等领域的广泛问题。

**SBFEM的优势**
SBFEM允许具有任意形状和节点的多面体子域，使其适用于任何几何形状和局部细化。与传统FE方法不同，不需要显式处理悬挂节点，因此可以在2D中使用四叉树结构，在3D中使用八叉树结构来离散化具有多级大小的子域[41][42]。因此，可以通过简单参数控制局部区域的细化，并能够高效地在大尺寸子域和小尺寸子域之间转换[43][44]。这使得它特别适合与基于四叉树的自适应细化结合使用，因为在梯度损伤模型中准确解析局部损伤区域至关重要。

**本文的工作**
本文提出了一个用于局部化梯度损伤模型的尺度边界有限元框架。主要贡献在于将基于四叉树的自适应网格细化策略集成到SBFEM公式中以实现局部化梯度损伤。此外，采用了一种简单的交错求解方案来评估损伤参数，该方案显示出不需要完全耦合的 monastery 方法（Newton–Raphson）即可提供稳定和稳健的收敛性。论文的结构如下：第2节介绍了通过局部化梯度损伤模型受损的弹性连续体的控制方程；第3节介绍了几何形状的尺度边界有限元表示；第4节简要讨论了所提出的交错方法和自适应空间离散化策略；第5节通过一组基准问题展示了所提方法的优势；最后一部分是结论。

**参考文献**
（具体参考文献在文档中列出）采用了一种分阶段解决问题的方法，假设在一个子域内的损伤程度是均匀的，并根据缩放中心的等效应变来计算该损伤程度。这种公式化方法在保持数值实现简单和稳健的同时，能够有效规范应变局部化现象。强化梯度的损伤模型通常采用较小的长度尺度。

**作者贡献声明：**
Abhinav Thiyagarajan：负责撰写原始草稿、验证、调查以及进行形式分析。
Smriti：负责撰写原始草稿、调查以及进行形式分析。
Leong Hien Poh：负责审稿和编辑工作，同时提供监督与方法指导。
Ean Tat Ooi：负责审稿和编辑工作，同时提供监督与方法指导。
Sundararajan Natarajan：负责审稿和编辑工作，并提供资源支持与方法指导。

**利益冲突声明：**
作者声明他们没有已知的财务利益冲突或个人关系可能影响本文所报告的工作内容。