将蒙特卡洛方法应用于直线模型传感器的校准 佩德罗·M·拉莫斯（Pedro M. Ramos）和 费尔南多·M·雅诺（Fernando M. Janeiro）

《Sensors》：Applying Monte Carlo Method for Straight-Line Model Sensor Calibration Pedro M. Ramos and Fernando M. Janeiro

　　摘要 传感器用于测量系统中，以实现对物理参数的估算。它们的校准是必不可少的要求，为了进行整个系统/传感器的校准，需要在改变输入的同时测量输出。然后根据这些测量结果来确定来自适当传感器模型的参数。如果模型是一条直线，通常使用一阶最小二乘线性回归来估计斜率和偏移量——这通常被称为简单线性回归。然而，这种方法无法考虑传感器/系统输入测量中的不确定性。本文回顾了考虑输入和输出测量中不确定性来估计最优直线参数的可能方法。蒙特卡洛方法（Monte Carlo Method）可以处理每种测量中的所有类型不确定性，无论是传感器输入还是输出，并且还能考虑这些测量的可能相关性。这项工作的一个关键方面是应用于异方差情况，其中测量不确定性在不同观测值之间变化。提出了一种基于MCM的策略，以优化新的测量输入值的选择，从而最小化估计的斜率不确定性。在所展示的情况下，该策略显著减少了所需的测量值数量。 1. 引言传感器已经变得无处不在，因为它们被广泛用于工业系统、太空探索、研发设施、运输工具、机器人系统、家用电器和个人设备中。它们是无线传感器网络（WSNs）、物联网（IoT）、信息物理系统和工业4.0的基石。随着世界变得更加互联互通，传感器成为了使系统与现实物理世界相互连接的关键元素。几乎所有系统/设备都配备了传感器，其中许多传感器包含数十个或数百个传感器，用于测量和监测不同的参数，然后这些数据由微控制器或处理器单元处理。大多数传感器将待测量的物理量转换为电信号，通常是电流或电压，然后可以将其转换为数字域进行处理。为了使处理器单元能够估计物理量，它需要知道传感器的传输函数，因此在使用前必须对其进行正确的校准。这种校准程序至关重要，因为它决定了传感器的关键性能特征，包括静态和动态参数，而传感器的整体质量也是基于这些特性进行评估的。传感器的实用性取决于诸如灵敏度、响应性、非线性、漂移、滞后和偏置等参数[1]。在测量链路中包含一些模拟信号调节也是常见且有用的做法，在数字化之前进行。在这种情况下，校准程序可以仅应用于传感器或整个测量链路。在本文的背景下，使用了“传感器校准”这一术语，但它可以普遍应用于整个测量系统。VIM [2]在第4.31段中将校准曲线定义为“指示值与相应测量值之间关系的表达”，其中“测量值”可以被“测量结果”替换。包含在测量系统中的传感器需要确定这种校准曲线。校准过程包括向传感器提供一组输入并测量相应的输出，以获得适当的模型校准曲线。这一过程对于最小化系统测量误差以及实现传感器所测量物理量的估算至关重要。确定传感器校准曲线是必不可少的，其优化在计量学中是基础性的。在[3]中，提出了一套使用统计估计算法校准传感器的方法，并提供了示例。该过程分为三个步骤：(i) 用统计模型描述感应过程；(ii) 估计模型参数；(iii) 处理新的测量数据以改进估计参数的统计特性。[4]分析了线性、二次、三次和四次输入/输出传感器关系的最佳测量点选择。其中得出结论，对于具有相同标准差的零均值正态分布变量：(i) 传感器输入的最佳位置并不对应于输入范围内等间隔的值；(ii) 增加测量次数可以减少校准系数的不确定性；(iii) 随着相同传感器输入的重复次数增加，校准参数的标准差会减小，但无限增加重复次数并没有进一步改善。[5]中讨论了优化校准过程的实验设计技术，其中考虑了一个相对湿度传感器和一个热量计。该过程基于1993年版本的《不确定性表达指南》(GUM) [6]中建议的现已废弃的误差传播方法，而在更新的GUM版本[7]中已用不确定性传播定律替代了这种方法。[8]使用A-最优性标准来选择理想的校准测量点。该方法适用于使用经典最小二乘（LS）方法校准具有二次多项式输入/输出关系的差压表。所考虑的测量误差是零均值正态分布的。[9]中使用基于相对湿度（RH）的电阻式和电容式传感器和不同饱和盐溶液的例子来确定理想的测量/校准点。不确定性传播用于确定相对湿度的不确定性。通过残差图以及最高阶参数的t值评估了不同阶数的多项式。在传感器输入/输出关系为直线的情况下，通常使用一阶线性回归来估计定义直线解析方程的偏移量（或截距）和斜率参数。最初用于彗星轨道估计的最小二乘法是由Legendre [10]和Gauss在19世纪初独立开发的。它几乎被所有研究领域使用，并教授给高中和大学生。该方法最小化了测量输出与回归估计值之间的残差平方和。对于传感器校准，LS方法需要一组传感器输入和输出值。该方法估计出最适合给定已知传感器输入的测量值集的直线参数值。直线线性回归还可以用于确定传感器、系统或设备的线性或非线性。然而，该方法忽略了输入量的测量不确定性，在实际的校准场景中，输入和输出量都有测量不确定性。技术规范ISO/TS 28037 [11]描述了不同的直线校准情况。它规定了如何根据GUM定义的斜率和偏移量不确定性进行估计。然而，如第5.5.1段注释中解释的，当不确定性传播近似无效时，应使用基于蒙特卡洛方法（MCM）的分布传播。应用MCM的过程超出了技术规范的范围，因此不在ISO/TS 28037技术规范中涵盖。[12]中提出的一项详细分析建议对技术规范进行调整，因为在某些情况下，它低估了校准系数的不确定性。尽管它只考虑了模拟情况和多变量正态/高斯分布，但它也得出结论，其他假设将导致不同的结果，应逐例进行评估。为了覆盖所有情况，声明应使用MCM，并将其结果作为所有情况的参考。[13]在了一维测量机的尺寸计量领域使用MCM进行直线线性校准。仅考虑了因变量的测量不确定性，因为忽略了输入不确定性。假设测量值的概率密度函数（PDF）是高斯分布的，其不确定性对所有测量值都是相同的，即同方差情况。MCM估计了斜率和偏移量的平均值、标准差及其相关性。本文详细讨论了使用MCM估计直线传感器校准系数。它能够处理任何情况，包括任何测量值（系统/传感器输入或输出）的不同PDF。它还考虑了测量之间的相关性。此外，它有效地处理了由测量本身引起的异方差条件，例如由于使用不同的仪器范围而导致不同的不确定性水平。这项工作是对[14]中初步研究的扩展，采用了新的实验测量设置和更深入的讨论/分析。还添加了在两种极端情况下输出相关的估计：一种只有两个测量值，另一种则有非常大量的测量值。还包括了将MCM结果与加权总最小二乘算法结果进行比较的额外讨论和分析，后者也可以考虑传感器/系统输入的不确定性。由于校准程序的时间和成本取决于测量的校准点数量，因此提出了一种基于MCM模拟的策略来选择这些点的位置。这种策略避免了在非理想位置进行测量，并允许优化估计传感器参数的不确定性。本文的工作通过展示和分析MCM在现实直线传感器校准场景中的性能，有助于填补ISO/TS 28037技术规范中的空白。它考虑了每种输入和输出测量值的不同不确定性PDF，而这些在技术规范中并未涵盖。第2节描述了不同的直线传感器校准算法及其优缺点，并介绍了蒙特卡洛方法的应用。第3节描述了用于获取电网电压传感器盒校准测量数据的测量设置，这些数据将在本文的其余部分中使用。第4节展示了在不同条件下获得的结果，并讨论和分析了多种情况。第5节提出了校准测量点的选择策略。第6节总结了结论。 2. 直线传感器校准要校准传感器，需要执行一组有限的（N）测量对。每对测量包括一个传感器输入测量值和一个相应的输出测量值： (1) 每个测量值都有对应的传感器输入测量不确定性 和传感器输出测量不确定性 。确定传感器输入/输出关系的是一个算法，该算法根据测量对集确定描述传感器输入/输出关系的方程/模型的系数。曲线拟合回归分为线性和非线性回归。在线性回归模型[15]中，例如基本直线和多项式拟合中，传感器输出通过一组K个有限项的和来建模，这些项的系数乘以输入x的已知函数： (2) 当线性回归无法根据(2)定义的输入/输出关系进行建模时，需要进行非线性回归——这里没有考虑这种情况，但在这些情况下也可以使用蒙特卡洛方法。在本文中，认为传感器的输入/输出关系由一条直线建模（在某些文献中称为简单线性回归）： (3) 其中m和b分别是直线的斜率和偏移量。这是(2)的一个特例，其条件是 ， ， ， 和 。传感器校准程序的目标是确定最能描述传感器输入/输出关系的系数m和b。在最小二乘（LS）线性回归算法中，最小化传感器输出与相应输入值处的直线值之间的误差平方和。图1展示了这种方法的简化图形表示。由于误差/距离是垂直测量的，因此该方法没有考虑测量传感器输入的不确定性，即对于所有测量值，它假设并且只考虑传感器输出测量的不确定性。图1. 三个测量对的线性最小二乘回归方法的图形示例（）。蓝色线条表示测量值与最佳拟合直线（虚线黑色线条）之间的垂直距离。这条理想的直线是通过最小化平方距离之和来获得m和b系数后绘制的。总最小二乘（TLS）方法，也称为正交线性回归，它最小化测量点与直线之间的垂直距离之和[16]，如图2A所示。该方法考虑了传感器输入测量的不确定性。然而，这种方法也有局限性，因为它假设所有测量值（无论是传感器输入还是输出）都具有相同的不确定性值——图2A中接近曲线的数据点具有相同的标准差。图2展示了使用总最小二乘（TLS）的线性回归（A）和戴明回归（B）。测量值与最佳拟合直线（虚线）之间的距离由蓝色线条表示。在TLS中，输入和输出的测量不确定性相同，而在戴明回归中，输入/输出的不确定性之间存在比例关系。戴明回归[17]也能够考虑传感器输入测量的不确定性，但它要求输入和输出量的测量不确定性是独立的，具有正态分布，且方差同方差性，并且它们的方差比例是已知的，如图2B所示，即μ_s/μ_o。然而，由于每次测量的不确定性通常是独特的，且通常取决于测量值和使用的仪器范围，这些条件往往难以满足。

为了不受限制地考虑每个测量值的不同不确定性，可以选择加权总最小二乘（WTLS）回归[11]中的方法。该方法也称为加权正交距离回归（ODR）、广义距离回归（GDR）或变量误差模型。它为正交距离对成本函数的贡献分配不同的权重，然后迭代最小化该成本函数。每个测量值所赋予的权重是其标准不确定性的倒数。这些权重使得不确定性较低的测量值更具重要性，即其与直线的垂直距离受到更大的惩罚。这种方法的一个局限性是它无法考虑测量数据中的协方差。另一种可以包含这些协方差的方法是广义高斯马尔可夫回归（GGMR）[11]，但其不确定性估计基于不确定性的传播。

为了考虑不同形状的概率密度函数（PDFs）和测量值的协方差（包括输入和输出），必须使用基于蒙特卡洛方法（MCM）[18,19]的分布传播。该方法根据PDFs/covariances随机生成传感器输入和输出的数值。然后估计模型输出，在本例中是使用WTLS获得的回归参数斜率m和偏移量b，这个过程重复M次。在生成与测量值相关的随机值时可以考虑测量协方差。可以对估计参数进行统计分析，以评估其PDF和CDF（累积分布函数）的形状、平均值、标准差、相关性和不确定性。重复次数应根据[18]中的7.2段进行调整，以达到收敛。MCM方法的一个显著优势是它允许考虑异方差情况，即当各个测量值的不确定性不同时，因为这些不确定性通常取决于实际测量值和所使用的仪器范围，这在大多数仪器中很常见。此外，它可以考虑与测量不确定性相关的任何分布（PDF），如图3所示。图3展示了蒙特卡洛方法（MCM）的图解示例。与图2类似，蓝色线条表示测量值与最佳拟合直线之间的最小距离，这些距离是根据每个测量值的标准偏差的倒数来定义的权重计算的。MCM可以考虑每个测量值的不同不确定性和不同的PDFs。

**3. 实验设置**
实验设置在图4中展示。传感器盒基于LEM LV 25-P霍尔效应电压传感器（LEM，瑞士日内瓦）[20]，配置为在欧洲标称230 V RMS电网电压下工作。传感器输入电压由Wavetek 9100校准器（Wavetek，台湾新竹科技园）[21]提供，该校准器通过IEEE 488.2协议控制，依次自动改变传感器盒的输入电压。为了避免与50 Hz电网的干扰，交流电源频率设置为60 Hz。传感器盒的输入电压由Agilent 34410A万用表（Agilent Technologies，美国加州圣地亚哥）[22]（6.5位数）测量，该万用表作为电压表使用；这种设置允许使用万用表或校准器的测量结果来评估传感器盒输入的不确定性。Agilent 3458A 8.5位数万用表（Keysight Technologies Inc.，美国加州圣罗莎）[23]（也作为电压表使用）测量传感器盒的输出电压。这两台万用表也由IEEE 488.2协议控制，以收集它们的交流测量数据。图4展示了LEM LV 25-P基电压传感器盒的测量设置。Wavetek 9100校准器提供高达300 V的60 Hz输入电压。Agilent 34410A万用表测量传感器盒的输入电压，Agilent 3458A万用表测量传感器盒的输出电压。所有仪器都由IEEE 488.2协议控制，以设置输入电压并测量输入和输出电压。根据GUM [7]关于B型不确定性的建议，仪器测量值的概率密度函数（PDFs）被认为是均匀的，以测量值为中心，且均匀PDF的宽度是仪器规格中的最大误差的两倍[21,22,23]。

获取了一组传感器输入/输出测量数据，输入RMS电压范围在4 V到300 V之间，以估计传感器盒的直线参数。对于每个测量值，使用仪器规格[21,22,23]确定了最大误差——请注意，制造商指定的最大误差（和不确定性）取决于每个测量值使用的范围。完整的测量数据集及其相应的最大误差在数据可用性声明中详细提供。

**4. 结果**
本节介绍了研究的主要发现，首先通过校准示例展示了MCM的实际应用，然后评估了该方法在不同测量条件下的性能，最后分析了估计参数的分散性和相关性。

**4.1 校准示例**
为了演示MCM的操作，使用了一小部分测量数据。在输入电压的125 V到126 V的小范围内选择了四组测量数据对，相应的结果使用Wavetek 9100校准器进行了测量/不确定性计算，如图5所示。十字符号表示测量值，周围显示了每对数据在输入和输出电压不确定性下的200次MCM实现。选择这个较小的实现次数是为了便于可视化，因为实际的MCM实现次数通常远超过这个数字。图中还展示了三条最优拟合直线。对于这些传感器盒输入值，校准器的最大误差约为52 mV（相当于约0.04%），而传感器盒输出的最大误差（来自Agilent 3458A）约为74.5 V（约0.01%）。图5展示了仅使用125 V到126 V传感器盒输入范围内四个测量值的MCM基础校准方法示例。十字符号代表测量的输入/输出值，每个值显示了200次的MCM实现。图中还展示了三条回归直线的示例。所使用的传感器盒输入值/不确定性对应于Wavetek 9100校准器。使用MCM的实现次数得到的直方图显示在两个轴附近。从直方图中获得的估计PDFs显示了回归斜率m和偏移量b参数，共1000个区间。请注意，直方图不是高斯的，呈现出偏斜。为了验证这一点，对图6中的直方图进行了卡方拟合优度检验，结果m和b的卡方值为，自由度为。该值超过了95%的分位数。因此，可以得出m和b的PDFs不是正态分布的。图6展示了回归斜率m（A）和回归偏移量b（B）的MCM直方图。相应的CDFs显示在（C,D）中。这些结果是基于图5中四个测量值和MCM的实现次数获得的。相应的估计CDFs显示在图6C,D中，以及定义具有95%置信水平的区间，这些区间是通过CDF截距与2.5%和97.5%的交点获得的。回归斜率m的区间为，偏移量b的区间为。95%置信水平下的不确定性是这些区间的一半宽度。对于斜率m，为，而对于偏移量b为。在这个特定情况下，由于只有四个数据对用于回归，并且它们非常接近，m和b的估计值之间存在强相关性，相关系数为。

**附录A**中提供了一个考虑了四个传感器盒输入测量值之间相关性的示例，也包括了传感器盒输出测量值之间的相关性。这个案例研究突出了MCM方法考虑测量值中任何类型相关性的能力。

**4.2 性能评估**
为了评估所提出方法的性能，将校准过程中考虑的测量对数量从增加到，并且在每种情况下使用等间距的值。在测量范围内，总是使用第一和最后一个测量值对，并使用MCM来估计回归系数的统计数据。从图6中所示的过程得到回归斜率的相对不确定性，作为用于回归的测量对数量N的函数，如图8所示。图中展示了两种不同的情况。红线表示使用Agilent 34410A测量/不确定性的传感器盒输入值时的结果。蓝线表示使用Wavetek 9100测量和不确定性作为传感器盒输入值时的结果。MCM校准斜率m的相对不确定性作为校准中使用的测量对数量的函数。蓝色的结果是使用Wavetek 9100校准器的值及其相应的不确定性获得的。红色的结果使用了Agilent 34410A的测量值和不确定性，该仪器用于测量传感器盒的输入。测量值始终包括第一对和最后一对的传感器盒值，并且在这个范围内等间距排列。正如预期的那样，随着回归点数量的增加，斜率的相对不确定性降低，当使用传感器盒输入的校准器值时，相对不确定性更低——由于范围变化的不同，两个最大误差/不确定性之间的关系不是恒定的，但比率几乎总是大于2，对于某些值，可以接近10。图9显示了根据MCM方法中使用的测量对数量，校准斜率m的平均值及其对应的95%置信区间。这些结果是使用校准器的测量值/不确定性获得的，表明区间在减小，并且收敛到由水平虚线表示的中心值，该中心值是基于一定数量的测量对获得的。图9。校准斜率m的平均值及其对应的95%置信区间（以误差条显示）作为MCM中使用的测量对数量N的函数。这些结果始终使用第一对和最后一对的传感器盒输入值获得，测量值等间距排列，并使用校准器的测量值/不确定性。当使用一定数量的测量对进行回归时，虚线是平均值。表1展示了图9中的一些数值结果，这些结果表明，回归值数量增加了100倍可以使斜率的相对不确定性降低10%。这在图8中展示的结果（蓝线）中也观察到了，对于使用Agilent 34410A仪器获得的结果（图8中的红线）也是如此。表1中最后一列的值是使用WTLS算法对相同测量数据得到的95%置信水平下的扩展不确定性。请注意，随着回归测量对数量的增加，这些值趋近于MCM的不确定性（第二列）。表1。回归斜率的不确定性和作为回归中使用的测量对数量函数的95%置信水平的相对不确定性。这些结果对应于使用Wavetek 9100校准器的测量值/不确定性的情况（图9）。最后一行报告了使用WTLS对相同测量数据集得到的95%置信水平的扩展不确定性。为了分析最大测量误差对WTLS和MCM的影响，这些误差被人为地增加了一个乘数，并记录了使用这两种方法获得的结果。图10显示了随着最大误差乘数的增加，两种方法斜率不确定性之间的比率。该图展示了在不同处理测量对数量（2、3、5、10、100和1000）的情况下，这一比率的变化。结果仅显示到相对MCM不确定性达到50%为止，因为对于较大的误差，由于其较大的不确定性，估计的斜率不再相关。结果显示，当使用较少测量对进行回归时，WTLS的扩展不确定性被高估（即，它大于实际值）；直到达到一定的测量误差水平后，它才会被显著低估。当有大量的回归对时，两种方法呈现出相同的不确定性，但对于较大的测量误差，WTLS的不确定性显著被低估。这两个因素结合起来表明，WTLS估计的不确定性的有效性存在显著限制，这取决于回归中使用的测量数量和测量最大误差的水平。图10。随着测量最大误差的人为增加因子，使用WTLS方法和MCM方法获得的斜率扩展不确定性之间的比率。结果针对六种不同的测量对数量（2、3、5、10、100和1000）进行了展示。4.3. 分散度和相关性分析图11中的强度图突显了基于MCM的回归方法显示估计的回归斜率m和偏移量b的离散度及其相关性的能力。图11A中的结果对应于仅使用两个传感器盒输入极端测量对进行回归的情况。正如预期的那样，估计值的离散度较大，相关系数较小。高斯分布的卡方拟合优度检验结果显示m的值为，b的值为，自由度为。这两个值都超过了95%的分位数，因此得出结论，当使用2个测量对进行回归时，m和b的值不是正态分布的。使用总共均匀分布的测量对进行回归，结果如图11B中的强度图所示。由于在这种情况下获得了更好的估计，结果占据的面积较小，相关系数也较大。此外，高斯分布的卡方拟合优度检验结果显示m的值为，b的值为，自由度为。由于95%的分位数是231，因此不能排除当使用测量对进行回归时，m和b的值是正态分布的可能性。图11. 强度图显示了估计的直线斜率m和偏移量b之间的相关性。结果(A)对应于仅在回归中使用两对测量值的情况（第一对为，最后一对为）。结果(B)是使用均匀分布的测量对值进行回归得到的。蓝色直方图表示两种情况的回归斜率，红色直方图表示回归偏移量。5. 校准点的选择策略在执行传感器校准时，必须考虑的一个重要方面是选择要测量的传感器输入值。这个决策的相关性来自于与增加测量值数量相关的三个问题：(i)通常会导致更高的成本——例如，液体粘度传感器[24]需要准备多种不同粘度的昂贵溶液；(ii)需要更漫长的校准过程——在电压传感器盒的例子中，增加输入电压的数量需要更改校准器电压，并在执行测量之前等待指定时间以稳定传感器输入和输出电压；(iii)最后，校准系数的期望不确定性是多少。在这种背景下，最大限度地减少校准过程中的测量值数量至关重要。本节旨在讨论如何选择传感器输入值以优化回归斜率估计的不确定性。首次分析包括仅使用两对测量值，这对应于可以用来估计传感器校准系数的最少数量的对。图12中呈现的结果对应于斜率回归估计的相对不确定性，红线对应于使用最后一对测量值（其值为）的情况，并分析了第二对输入电压的影响。正如预期的那样，当第二个值相距最远时，即当第二个值是第一对测量值（其值为）时，获得的不确定性最低。请注意，当第二个值接近最后一对时，不确定性非常大（接近10%）。在这种情况下，用于回归的两对值太接近，导致估计斜率的不确定性非常大。在值附近有一个小不连续性，这是由于Wavetek 9100校准器的范围发生变化，它提供了传感器盒的输入电压（从105V切换到320V范围）。图12. 当仅使用两对测量值时，MCM斜率的相对不确定性。红线结果始终使用最后一对测量值（其值为），而蓝线结果始终使用第一对测量值（其值为）。图12中蓝线呈现的结果对应于始终使用第一对测量值（其值为）的情况，而用于回归的第二对测量值被更改。在这种情况下，在、和附近有四个不连续性。这些不连续性是由两种仪器的不同最大误差范围引起的。第一个（接近）和最后一个（接近）的不连续性是由Agilent 3458A（测量传感器盒的输出）的范围变化引起的，从切换到，然后从切换到。其他不连续性是由Wavetek 9100校准器的范围变化引起的（对应于传感器盒的输入），从切换到，然后从切换到。应该注意的是，这些不连续性在图12的红色线中也存在，但不那么明显。这些结果中最后一个值得注意的方面是，使用两个最极端的测量值对并没有获得最低的斜率不确定性，而是使用了和——这正好是在Wavetek校准器从105V切换到320V范围之前的值。这是因为它的传感器盒输入相对不确定性较低（的相对不确定性大约为0.046%，而的相对不确定性为0.056%）。通过在进行测量之前模拟可能的新的输入值对估计参数的不确定性的影响，可以使用MCM方法优化校准点的数量及其选择。图13中提出了一个可能的优化过程，并在流程图中进行了详细说明。该过程从测量两个最极端的输入值开始，并根据这些测量值确定它们的不确定性。下一步是使用MCM估计斜率和偏移量的校准系数及其不确定性。在此阶段，将斜率不确定性与该参数的期望不确定性进行比较——如果当前值达到了期望的目标，则停止校准（请注意，此描述仅针对斜率参数，但也可以适应包括偏移量）。如果未达到目标不确定性，则该过程将评估每个可能的输入值（添加到已进行的测量中），模拟使用更新后的斜率和偏移量参数的输出值。从模拟的输入值集合中，选择产生最小斜率不确定性的那个值进行测量。然后重复该过程，包括新的测量对。应该注意的是，可以对这个迭代过程添加新的测量次数限制，以及如果斜率不确定性没有显著改善则停止的条件。图13. 优化程序的流程图，用于迭代选择每个新的输入值以进行测量，直到达到预定义的阈值。图14中的绿线显示了使用优化过程获得的结果。未优化的均匀间隔输入值的选择在蓝线中表示（这对应于图8中的蓝线）。仅使用两个测量值时的结果相同，但随着测量数量的增加，使用优化过程获得的不确定性降低了，从而突出了优化过程的优势。一个值得注意的情况是选择要执行的第三个测量值。虽然等间隔过程使用152伏特（位于4伏特和300伏特之间的中间值），但所提出的优化方法选择104.975伏特，这是校准器切换范围之前的一个值，如图12中蓝线的分析所描述的那样。尽管这些差异看起来微不足道，但在某些情况下可能会带来显著的改进。例如，为了实现0.01%的斜率相对不确定性目标，等间隔选项（蓝线）需要60个测量对，而所提出的优化过程（绿线）只需要37个测量对。图14展示了使用等间隔输入测量（蓝线）和图13中流程图所描述的所提出的优化过程（绿线）得到的斜率相对不确定性随测量次数的比较。

6. 结论
本文分析了使用蒙特卡洛方法（MCM）进行传感器校准的情况，特别适用于传感器输入/输出关系可以用直线关系建模的场景。传统的回归技术包括最小二乘法（LS）、总最小二乘法（TLS）、Deming法和加权总最小二乘法（WTLS）。这些方法在处理测量不确定性时存在局限性，尤其是当包含非高斯分布和/或协方差的传感器输入和输出测量时。基于蒙特卡洛的方法提供了一种灵活且稳健的替代方案，可以考虑异方差测量不确定性、非高斯分布以及包括输入协方差的概率密度函数（PDF）传播。
通过对霍尔效应电压传感器盒的实验设置进行验证，该方法能够以95%的置信水平提供准确的回归参数估计以及统计上可靠的区间，如图9所示。结果表明：（i）MCM允许对输入和输出变量使用任何概率密度函数（PDF）；（ii）在所给出的例子中，增加校准点的数量可以减少估计不确定性，斜率的相对不确定性大约随着测量点数量的平方根而减小；（iii）所选测量点的位置和不确定性特征显著影响校准系数的不确定性，特别是在使用有限数量点的情况下；（iv）该方法可用于评估估计的校准系数之间的相关性，使其非常适合在多种实际条件下的传感器系统。总体而言，蒙特卡洛方法是传感器校准的一种多功能工具，特别是在需要严格不确定性评估的应用中。该方法确保符合当前的计量指南，并可用于各种类型的传感器和测量条件。
本文提出了一种优化过程来选择理想的输入测量值。它使用MCM对模拟的校准点进行评估，以确定应测量哪个输入值以最小化斜率不确定性，并持续使用该过程直到达到目标斜率不确定性。在所描述的例子中，对于斜率参数的目标相对不确定性，优化过程需要37个测量对，而使用等间隔测量则需要60个测量对。这一结果表明，该方法可以用来提高传感器校准的成本和时间效率。
虽然所给出的例子没有考虑传感器输入的协方差（这可能会影响具有显著相关性的系统的校准精度），但蒙特卡洛方法能够处理相关输入测量值。
未来的工作将专注于将基于蒙特卡洛的校准方法扩展到非线性传感器模型，并评估其在更广泛类型的传感器和不确定性分布中的性能。