（2+1）维B型Kadomtsev–Petviashvili方程的多种波动解及其分析：对称性、Painlevé分析与广义Kudryashov方法 Ahmed A. Gaber 和 Dalal Alhwikem

《Symmetry》：Various Wave Solutions and Analysis for (2+1)-D B-Type Kadomtsev–Petviashvili Equation: Symmetry, Painlevé Analysis and Generalized Kudryashov Method Ahmed A. Gaber and Dalal Alhwikem

　　摘要
本研究利用Painlevé性质、Lie对称性和广义Kudryashov方法（GKM），探讨了（2+1）维广义B型Kadomtsev–Petviashvili（BKP）方程。研究的目的是通过Painlevé测试，为物理学中的（2+1）维BKP方程获得新的精确解。首先，我们证明了该控制方程满足Painlevé性质。通过对称性分析，我们得到了BKP方程的无穷小量和向量场。然后，利用这些向量，将控制方程转化为若干常微分方程（ODE）。GKM方法被用来生成BKP方程的一类新的封闭形式解。为了改善解的动力学特性，我们在推导出的解中引入了许多随机常数和函数。通过对这些可选常数的最优选择，促进了解的出现。解的行为类型包括尖波、孤立波、反尖波和单波等。

1. 引言
在过去的两个世纪里，人们在自然现象的研究上取得了许多科学发现。许多研究人员致力于分析和解释这些现象。偏微分方程（PDE）被用来分析这些自然现象。许多科学家尝试开发求解这些PDE的技术[1,2,3,4,5,6]。近年来，PDE的新精确解的发现及其物理性质的研究已成为数学和物理学研究中的重要课题[7,8,9]。Sophus Lie提出了Lie对称性方法，这是一种确定非线性PDE精确解析解的有效技术。过去几十年中，Lie对称性已被应用于许多数学和工程物理模型[10,11]。Lie对称性方法是所有行波技术的一个特例。对称性方法将PDE简化为若干ODE。

可积的非线性偏微分方程（NLPDE）是一类重要的方程，因为它们在数学物理中有广泛的应用。它们可以解释孤子和瞬子等现象，存在于流体力学、非线性光学、场论、数值分析、代数几何等领域。完美可积性的一个可能条件是NLPDE满足Painlevé性质[12]。我们通常使用著名的P测试来确认上述的Painlevé特性[13,14]。在NLPDE可积性研究方面，Ablowitz等人是先驱之一[15]。

我们工作的主要目标是研究（2+1）维广义BKP方程的可积性，并寻找新的精确解[16]。Kadomtsev和Petviashvili在1970年提出了这个控制方程[1]。他们研究了浅水和等离子体中的非线性波的传播，并推导出了描述二维孤子波传播的方程。

2. Painlevé分析
本节利用Weiss的算法[13,14,17]对方程（1）的可积性进行了分析。为了继续进行Painlevé奇点研究，我们采用了以下方法：设（2），其中（= 0, 1, 2…）是独立变量函数。首先将（2）代入方程（1）以确定展开系数和首项；通过比较线性项和高阶非线性项，我们得到（3）。我们知道奇异流形（x,y,t）= 0与共振点重合。随后，之前的关系可以表示为（4）。将方程（4）代入方程（1），并在其元素上操作，得到（5）。因此，方程（4）可以表示为（6）。通过分析递归关系（附录A），我们得出：
(i) 使用系数，我们得到了（i）；
(ii) 展开系数、和在共振点和不包含在方程中，因为它们是任意函数。

根据这一解释，（2+1）维BKP方程包含足够多的共振点，表明它满足Painlevé性质。

3. 对称性
本节利用对称性技术来推导方程（1）的对称性、向量场和相似性简化[3,4,18]。假设具有单一参数的无穷小变换的Lie群表示为（7）。如果我们设定（8），那么对于上述变换群（4），无穷小生成元W可以表示为（9）。不变性条件为（10），其中四阶延展是算子W的（11）。可以使用以下表达式确定分量（12）。将方程（11）代入不变性条件（10），得到（13）。通过收集u的导数系数，可以解出无穷小量A、B、C的方程（14）。以下公式可用于驱动相似性变量（15）。从（15）可以容易地表达向量场算子W（16）。其特征方程表示为（I）（II）（III）（IV）（V）。

4. 行波解和简化
为了获得不变变换，特征方程的表达式如下（18）：
情况I：将（18）中的代入，可以得到不变变量（19）。将方程（19）代入方程（1），方程（1）简化为以下ODE（20）。应用对称性方法于方程（20），其无穷小变量可以表示为（21），其中和是任意常数。方程（20）的特征方程为（22）。方程（20）的相似性变量为和（23）。方程（23）的封闭形式解为（24）。方程（1）的通解为（25）。
情况II：将代入方程（18），得到（26）。将方程（26）代入方程（1），得到以下PDE（27）。方程（27）的解为（28）。方程（1）的封闭形式解为（29）。
情况III：将代入方程（18），得到不变变量（30）。由此得到以下PDE（31）。利用变换（31）得到ODE（32），然后使用GKM（附录B）[7]得到（33），条件是满足以下Riccati方程（34）。将方程（33）代入方程（32），并在高阶线性项与非线性项之间取得平衡，得到解（35）。将方程（35）代入方程（32），并使用Maple求解和的系数，得到方程（36）的新的波解如下：
情况1：A B C（37）；
情况2：A B C（38）；
情况3：A B C（39）；
情况IV：将向量代入方程（18），得到不变变量（40）。使用不变变量（40），控制方程可以简化为方程（1）（41）。取，方程（41）可以表示为（42）。将方程（35）代入方程（42），然后使用Maple求解和的系数，得到（43）。将方程（43）代入方程（35），得到方程（1）的精确解（44）：
情况1：A B C（44）；
情况2：A B C（45）；
情况3：A B C（46）；
情况V：将向量代入方程（18），得到不变变量（47）。利用关系式（47）将控制方程（1）简化为（48）。取，将方程（48）转换为以下形式（49）。将（35）代入（49），收集所有幂的系数并使用Maple求解和的代数方程，得到（50）。将方程（50）代入方程（35），得到方程（1）的以下通解：
情况1：A B C（51）；
情况2：A B C（52）；
情况3：A B C（53）。

5. 分析
本节展示了BKP方程的研究结果。通过对称性分析，我们确定了向量场、相似性变量和不同的方程简化。应用对称性分析可以得到精确的答案，并揭示了独立变量之间的关系，这些关系解释了多种物理现象。我们找到了许多新的、独特的封闭解。三维图用于显示解的动力学特性。
图1：展示了在某值下3D解（25）的行为。由于变量t和y的不同函数相互干涉，解呈现出向上卷曲的尖波形态。图1显示了解（25）的三维形状。我们注意到第三种情况的解取决于量4AC ? 的符号。
图2：在某值下展示了3D解（37）的情况。解以孤子波的形式给出，通过正切函数表示。图2显示了解（37）的三维形状。图3展示了在某值下解（38）以单尖波的形式。图3显示了解（38）的三维形状。图4描述了解（39），在选定的值下产生尖波。图4显示了解（39）的三维形状。图5展示了在某值下解（44）以单波的形式。图5显示了解（44）的三维形状。图6展示了在某值下3D解（45）作为周期波的情况。图6显示了解（45）的三维形状。图7展示了在某值下3D孤立波解（51）的情况。图7显示了解（51）的三维形状。图8展示了在某值下3D尖波解（52）的情况。

6. 结论
在本研究中，我们利用对称性分析将（2+1）维BKP方程简化为若干ODE。接下来，我们使用GKM方法和变换得到了新的封闭形式解。所得解包括奇异波解、尖波和反尖波解，以及具有各种物理特性的解。生成的解在三维空间中以图形方式展示，以展示其物理结构。将这些发现与[16,19,20]中的结果进行对比，我们得出结论：Hirota双线性方法和tanh方法被用来为每个参考文献[16,19]获得封闭解，这些结果都是我们所得到的特例。Xiaojian[20]使用了Lax对、守恒定律和Bell多项式方法来处理控制方程的不同版本。