基于观察器的稳定性控制方法：通过非均匀分段误差模型传递技术稳定区间型2模糊系统

《Engineering Applications of Artificial Intelligence》：Observer-based approach for stabilizing interval type-2 fuzzy systems via non-uniform piecewise Error Model Transfer

　　杨杰|盖少艳|达飞鹏
东南大学自动化学院，南京，江苏，210096，中国

摘要
区间类型2（IT2）模糊系统由于其处理系统不确定性的强大能力而受到广泛关注。本文研究了在基于观察器的控制框架下，传统Takagi–Sugeno（TS）IT2模糊系统的鲁棒稳定性分析。引入了一种非均匀分段线性逼近方法，以更准确地表征IT2隶属函数（MFs）的边界特性，从而有效地利用MFs的关键变化信息。随后，提出了一种误差模型转换策略，将逼近引起的误差重构为辅助模糊模型，使与误差相关的更丰富信息和MF信息能够明确地纳入稳定性条件中，进而减少保守性。通过利用李雅普诺夫稳定性理论和缩放方法，推导出了基于线性矩阵不等式（LMIs）的充分稳定性准则，这些准则可以使用标准的凸优化工具高效求解。仿真结果和对比研究表明，与现有方法相比，所提出的方法能够得到不那么保守的稳定性条件并提高鲁棒性。

引言
IT2模糊系统在处理不确定性和建模复杂非线性系统方面展示了显著的优势。与传统的非线性控制方法相比（Mohanty等人，2025年；Abdelsattar等人，2024a年；Abdelsattar等人，2024c年），模糊控制理论被广泛认为是一个有效且灵活的框架，用于处理非线性动态。特别是TS模糊模型能够以任意精度逼近紧凑凸集上的任何平滑非线性函数（Johansen等人，2000年）。然而，实际系统经常受到参数不确定性和建模不准确性的影响，而这些影响无法通过传统的类型1 TS模糊系统得到充分解决（Aslam等人，2024年）。为了解决这个问题，Karnik等人（1999年）引入了类型2模糊系统，并在Liang和Mendel（2000年）中进一步发展了这一理论。为了对存在不确定性的非线性系统进行建模，已经开发了几种构建IT2 TS模糊模型的方法，例如扇区非线性方法（Xie等人，2024年）和局部线性化方法（Taniguchi等人，2001年）。尽管在建模技术上取得了这些进展，IT2 TS模糊系统的稳定性分析仍然是一个具有挑战性和活跃的研究课题。因此，开发有效且不那么保守的IT2 TS模糊系统稳定性分析方法具有重要的理论和实践意义，这也是本文研究的动机。

近年来，人们在IT2模糊系统的稳定性分析和鲁棒控制、具有通信约束的航天器姿态控制以及网络控制系统方面投入了大量努力。在电力系统应用中，已经开发了多种IT2模糊控制器来增强在不确定性条件下的稳定性。例如，Paital等人（2022年）提出了一个Harris Hawks优化的双区间IT2模糊滞后-超前控制器，而Namadchian等人（2024年）引入了一种自适应IT2模糊滑模控制器来抑制低频振荡，证明了类型2模糊方法在电力系统稳定中的有效性。对于复杂的非线性系统，IT2模糊系统与模糊神经网络（FNNs）和滑模控制（SMC）相结合，以提高鲁棒性和控制精度。Liu等人（2023年）设计了一种IT2模糊神经网络滑模控制器用于航天器姿态控制，实现了自适应结构调整和稳定性能。此外，Namadchian和Zare（2021年）研究了结合优化技术的频域稳定性分析，以保证IT2模糊系统在变化动态条件下的渐近稳定性。在网络化和采样数据系统中，通信延迟、数据包丢失和网络攻击引入了额外的不确定性。为了减轻这些影响，提出了多种控制策略，包括You等人（2023年）提出的基于双侧循环函数的方法来扩大稳定性区域，Chen等人（2022年）提出的依赖隶属函数（MFD）的控制方法来减少由于前提变量不匹配引起的保守性，以及Ge等人（2023年）提出的自适应基于事件的触发机制来平衡通信效率和控制性能。滑模控制也被广泛用于提高IT2模糊系统的鲁棒性和实时性能。Zhang和Niu（2022年）开发了一种基于冗余通道的滑模控制方案来应对前提-测量不匹配问题，而Yang等人（2024年）结合了动态量化和资源优化来进一步提高事件触发控制的效率。对于具有故障和不确定性容忍要求的系统，Zhou等人（2023年）提出了基于IT2模糊观察器的容错控制策略，实现了渐进稳定性和H∞性能，Zhang和Huang（2021年）研究了分数阶非线性系统的自适应滑模容错控制。然而，将TS模糊控制策略扩展和应用到其他领域（Abdelsattar等人，2024b年；Abdelsattar等人，2025年）仍然是未来研究的重要课题。

将额外信息纳入稳定性分析有助于减少保守性，从而扩大该方法的应用范围。因此，减少保守性已成为模糊控制领域的一个突出研究方向。一种有效的方法是MFD方法，它将MFs的信息整合到稳定性分析中。在Zhao和Xiao（2015年）的研究中，考虑了UMFs和LMFs的导数数据，通过模糊李雅普诺夫函数得到了以LMI形式表达的稳定性条件。另一种方法是将类型2 MFs的数值边界直接纳入稳定性分析中。使用这种方法，Lam等人（2014年）、Xie等人（2021年）研究了IT2模糊系统的稳定性。在Zeng等人（2020年）的研究中，引入了一种使用阶梯形MFs的方法来放宽具有状态延迟的IT2模糊系统的稳定性条件。Subramanian和Joo（2020年）通过构建适当的循环李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数（LKF）解决了可靠采样数据IT2模糊系统的稳定问题，该函数结合了MF信息，使得稳定性条件以LMI的形式表达。Chen等人（2022年）研究了采样数据IT2模糊系统的稳定性。通过将这种方法与其他技术结合，可以获得更好的结果。在Chen等人（2018年）的研究中，构建了一个具有三重积分的李雅普诺夫函数来研究时延IT2模糊系统的稳定性，而（Sheng和Ma，2014年；Lam和Seneviratne，2008年）提出了使用加权矩阵方法的时延IT2模糊系统的稳定性条件，也是以LMI的形式，Lam和Seneviratne（2008年）进一步扩展了结果，Zhao等人（2015年；Zhao等人，2014年）引入了松弛矩阵来进一步放宽所得结果。在Du等人（2020年）的研究中，应用了连续时间LKF理论对IT2模糊系统进行稳定性分析，结合了松弛矩阵和MFs的约束信息，以得到以LMI形式表达的较为不保守的充分条件，确保了所需的H∞性能。上述分析方法得到的结果通常基于LMI形式，然后使用特定的求解器进行求解。还探索了几种获得结果的替代方法。例如，Xiao等人（2020a年；Wang等人，2021年）提出了一种带有事件触发的IT2多项式控制器来稳定面临不确定性的非线性系统，并使用平方和（SOS）技术分析了闭环系统的稳定性。同样，在Xiao等人（2017年）的研究中，考虑了MFs的信息和特性，并通过基于李雅普诺夫理论的SOS技术将这些信息纳入稳定性条件中。尽管在MFD方法上取得了显著进展，但大多数现有技术依赖于粗糙或固定的采样方案，无法充分捕捉MFs的变化特性。因此，只有有限的MF信息被纳入稳定性条件中，导致分析结果过于保守。

本文基于非均匀分段线性逼近提出了一种新颖的误差模型转换方法。受到用于构建TS模糊系统的扇区非线性方法的启发，将近似引起的误差函数重构为辅助模糊模型，使得与误差相关的信息能够明确地纳入稳定性条件中。同时，从变化明显的区域中融入了更丰富的MF信息，从而得到不那么保守的稳定性结果。然后设计了一个基于观察器的输出反馈控制器，并在H∞鲁棒控制框架内分析了闭环稳定性。最后，通过仿真结果验证了所提方法的有效性和鲁棒性。本文的主要贡献可以总结如下：
（1）采用非均匀分段线性逼近方案来建模UMFs和LMFs，从而更准确地描述它们的形状，并便于将其有效地整合到稳定性条件中。
（2）开发了一种误差模型转换方法，将逼近残差重构为辅助模糊系统，使得更多的误差信息能够纳入稳定性条件中，从而提高鲁棒性。

本文的其余部分组织如下：第2节介绍了基于观察器的IT2模糊系统模型。第3节介绍了主要结果，包括非均匀分段线性逼近、误差模型转换方法和H∞鲁棒稳定性分析。第4节提供了仿真案例，第5节总结了本文。

符号说明：在本文中，Nl+表示正整数集合{1,2,…l}，Rn表示n维欧几里得空间。对于矩阵X，XT表示其转置，X>0表示X是正定的。此外，He(A)=A+AT。在矩阵表示中，符号?表示相应对称块的转置。

初步介绍
本节首先基于随机干扰的经典IT2模糊模型（FMB）系统进行了公式化。然后为系统设计了一个全阶状态观察器，并推导了相应的观察器误差动态。基于这个观察器，提出了一种基于观察器的IT2模糊控制器，从而构建了闭环系统。最后，正式介绍了本研究中要解决的问题。

IT2 MFs的非均匀分段方法
本文考虑的IT2 MFs的UMFs和LMFs假设是连续且可微分的。对于一个连续且可微分的IT2边界多变量函数ζi(x)，首先将x中的每个前提变量xj与剩余前提变量之间的关系解耦为独立的乘法形式：ζi(x)=ζˇixj(x)+Δζixj(x)，ζˇixj(x)=ζij(xj)ζ?ij(xk|k≠j)+ζ?ij(xk|k≠j)，其中i∈Ns+，s表示所有上下有界MF的总数；j∈Nn+。

仿真结果
如图5所示，考虑了一个具有参数不确定性的实际小车-摆系统（Lam等人，2014年）来进一步验证结果。不确定性参数摆的质量mp和小车的质量Mc满足mp∈[mpmin mpmax] =[2kg 3kg] 和 Mc∈[Mmin Mmax]=[8kg 12kg]。控制输入u(t)=F是施加在小车上以稳定摆角位移的力。其他固定参数包括重力加速度g=9.8m/s，摆长l=0.5m。

结论
本文提出了一个改进的IT2模糊系统的稳定性分析和基于观察器的控制框架。主要贡献在于将非均匀分段线性逼近与误差模型重构策略相结合，使得来自UMFs和LMFs的更丰富信息能够明确地纳入稳定性条件中。与通常依赖均匀逼近并忽略或过度简化逼近的现有IT2模糊稳定性方法相比，这种方法能够更好地捕捉系统特性。

作者贡献声明
杨杰：写作 - 审稿与编辑、撰写原始稿件、软件、资源、方法论。
盖少艳：可视化、监督、调查、资金获取。
达飞鹏：验证、监督、调查、资金获取。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的可能会影响本文所述工作的财务利益或个人关系。

致谢
本工作得到了中国国家自然科学基金（62573119）和江苏省重大科技项目（BG2024003）的支持，以及江苏省前沿科技基础研究专项（BK20192004C）和东南大学博士生创新能力提升计划（CXJH_SEU 26150）的支持。