一种用于测量旋转盘内同步振动的高速摄像机数字成像（DIC）方法

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：A low-speed camera DIC approach for measuring synchronous vibrations in rotating disks

　　塞雷娜·奥奇皮恩蒂（Serena Occhipinti）|亚历山德拉·切萨雷蒂（Alessandra Cesaretti）|克里斯蒂安·M·菲罗内（Christian M. Firrone）|保罗·内里（Paolo Neri）|达尼埃莱·博托（Daniele Botto）
都灵理工大学机械与航空航天工程系，意大利都灵杜卡德利阿布鲁齐路24号（Corso Duca degli Abruzzi 24），邮编10129

**摘要**
在运行过程中，涡轮机械叶片会受到动态激励的影响，这些激励是导致高循环疲劳的主要因素，而高循环疲劳是叶片盘失效的主要原因。因此，准确测量叶片在共振状态下的动态响应对于可靠的设计至关重要。传统的基于接触的测量技术存在诸如附加质量、使用寿命有限以及数据传输复杂等缺点，这引发了对非接触式替代方法的兴趣。本文探讨了数字图像相关技术（DIC）在分析叶片盘同步振动中的应用。所提出的方法采用低速、高分辨率的相机，并结合下采样策略，实现了经济高效的全场高分辨率测量。提出了一种信号处理技术——周向谐波拟合（CHF），用于从下采样的位移数据中提取系统参数。该方法应用于安装在旋转测试架上的简化叶片盘模型，成功识别出了共振状态下的叶片变形形状。

**1. 引言**
**1.1 背景与动机**
叶片盘（有时也称为叶片轮盘）在涡轮或压缩机阶段会承受可变载荷。这些载荷可能导致在叶片自然频率或其附近发生强迫振动响应。当叶片的振动频率是发动机转速的整数倍时，就会产生同步叶片响应。同步振动可能由机械效应（如残余转子不平衡）或空气动力效应（如由于发动机进气几何结构、燃烧室以及上游定子产生的尾流引起的气流压力分布不均）引起。振动可能导致裂纹形成，从而显著降低叶片的疲劳寿命。因此，在共振条件下测量这些结构的动态行为对设计工作极为重要。另一个复杂因素是失谐现象，即叶片盘几何形状、材料分布或边界条件的非有意偏差。这些偏差会破坏系统的循环对称性，导致模态局部化和频率分裂，从而引起振动响应的显著变化[1]。由于失谐对制造工艺非常敏感，仅依靠数值模拟很难准确预测其影响。因此，实验测试对于评估失谐效应以及验证或校准设计中使用的失谐模型仍然至关重要[2]。本文重点探讨了失谐叶片盘的强迫响应的预测与理解，特别关注减轻失谐对叶片振动及相关应力的有害影响。文中还讨论了降阶建模和仿真技术[3]。

传统上，应变片是最可靠的转子叶片振动监测方法[4]。然而，它们需要复杂的无线系统或滑环来传输数据，而且其附加质量和刚度会改变系统的动态行为。此外，应变片的使用寿命有限，并且仅在局部位置提供数据。

在这种情况下，非接触式测量技术受到了越来越多的关注。叶片尖端定时法（BTT）作为一种有效的替代方法应运而生[5]。BTT依赖于安装在发动机壳体上的光学探针，记录每个叶片尖端经过探针的时间点。通过将这些测量到的到达时间与假设刚体运动的预期时间进行比较，可以测量叶片的振动情况。BTT的有效采样频率由探针数量和盘转速共同决定。当叶片响应信号被下采样时（即采样频率低于奈奎斯特-香农极限），必须采用专门的识别技术来估算叶片的模态参数。这些技术可分为间接方法和直接方法：间接方法需要一个或两个探针的数据，而盘转速的变化使得激励频率在其自然频率附近形成一系列频率。一种著名的间接方法是单参数法[6]，该方法通过将实验数据拟合到单自由度（SDOF）振动系统的响应中来估算模态参数。为了考虑更复杂的动态行为，还提出了多种扩展方法[7][8]。

传统上，应变片是最可靠的转子叶片振动监测方法[4]。然而，它们需要复杂的无线系统或滑环来传输数据，且其附加质量和刚度会影响系统的动态行为。此外，应变片的寿命有限，并且仅能在局部位置提供数据。

在这种情况下，非接触式测量技术越来越受到重视。叶片尖端定时法（BTT）作为一种有效的替代方法出现[5]。BTT利用安装在发动机壳体上的光学探针记录每个叶片尖端经过探针的时间点，通过比较这些测量到的到达时间与假定的刚体运动时间，可以测量叶片的振动情况。BTT的有效采样频率由探针数量和盘转速共同决定。当叶片响应信号被下采样时（即采样频率低于奈奎斯特-香农极限），必须采用专门的识别技术来估算叶片的模态参数。这些技术可分为间接方法和直接方法：间接方法需要一个或两个探针的数据，而盘转速的变化使得激励频率在其自然频率附近形成一系列频率。单参数法[6]是一种常见的间接方法，它通过将实验数据拟合到单自由度振动系统的响应中来估算模态参数。为了考虑更复杂的动态行为，还提出了多种扩展方法[7][8]。

**2. 方法论**
本文提出了一种结合低速相机和下采样技术的数字图像相关（DIC）方法，用于旋转叶片盘的全场高频同步振动分析。该方法旨在解决DIC在转子应用中的两个主要问题：由惯性旋转引起的大幅度刚性位移导致的去相关问题，以及高速相机的需求。通过在每个旋转周期的固定角参考位置捕获一张图像，该方法避免了去相关误差，并允许使用标准的DIC软件。此外，这种策略还使用了成本低廉、高分辨率的工业相机，提供了比高速相机更具成本效益的替代方案，同时提高了空间分辨率分析能力。

本文引入了一种称为周向谐波拟合的新识别技术，即使在采样频率低于奈奎斯特-香农极限的情况下，也能实现对旋转叶片模式的分析。该方法在安装在定制旋转测试架上的简化叶片盘模型上进行了实验验证。首先，通过有限元分析（FEA）预测了叶片盘的动态行为，然后在非旋转条件下使用SLDV测量进行了验证。

本文的结构如下：第2节概述了所提出方法的主要步骤，描述了发动机阶数与旋转盘节点直径之间的关系，并详细解释了用于从下采样数据中提取模态信息的周向谐波拟合方法。第3节描述了实验装置，包括测试样品、永磁激励系统以及用于实验的数字图像相关系统。第4节介绍了旋转前的准备工作、有限元分析和锤击试验。第5节展示了实验和数值模态分析结果以及测试样品的Campbell图。第6节总结了实验的主要成果，包括共振频率和模态形状。

**符号与约定**：
在本文中，f 表示频率（单位：Hz），ω 表示角频率（单位：rad/s），Ω 表示转速（单位：rpm）。特别是，激励的频率被设计为旋转速度的整数倍，因此随着旋转速度的线性增加，会产生扫描激励。•图像采集和DIC：两个相机在每次旋转时捕捉图像，图像总是从相同的任意选定的旋转角度拍摄。每当叶片达到这个角度时，外部光学探针通过向两个相机发送脉冲信号来触发相机。这些图像使用DIC进行处理，以计算叶片从参考位置通过时的表面全场三维位移。这种采样策略会导致叶片振动的下采样。•数据后处理：由于DIC计算的位移信号是下采样的，因此提出了一种专门的识别算法——周向谐波拟合（CHF）来提取模态信息。2.1. 旋转系统的激励在旋转系统中，激励通常由频率f表征，该频率与角速度Ω成正比：(1)f=EO?Ω/60简单来说，方程(1)中的EO是发动机阶数，即一个无量纲值，表示每次旋转激励重复的次数。例如，如果涡轮盘的叶片受到上游定子叶片尾流的激励，则一个EO对应于定子叶片的数量。这种激励通常会导致同步振动，其中激励频率是角速度的整数倍。当激励频率与叶片的固有频率ωn相匹配，并且EO与相应的谐波指数hn重合时，就会发生共振。谐波指数与节点直径（ND）密切相关，节点直径是一个非负整数，它可视化了通过叶片中心的零位移线的数量。对于具有N个扇区的叶片（通常对应于叶片的数量），如果N是偶数，则可能的节点直径范围是从0到N/2；如果N是奇数，则范围是从0到(N?1)/2。不熟悉周期性结构的读者可以在[27]中找到对其行为的全面分析。如果满足以下条件，发动机阶数EO能够激励更多的节点直径ND：(2)EO=z?N±ND?z∈N其中z是一个正整数。方程(2)表明，当激励力的空间分布与结构的模态形状匹配时（z=0，EO=ND），或者由于空间混叠效应导致结构经历等效分布时（z≠0，EO≠ND），只要激励频率接近与该节点直径相关的固有频率，就会发生共振。在后一种情况下，旋转激励力被叶片的离散数量下采样，使得叶片响应如同受到EO=ND的激励一样。附录提供了这一现象的详细解释，并在图1中进行了说明。在这项工作中，叶片在加速过程中受到周期性脉冲列的激励，导致旋转速度线性增加。具体来说，每个叶片在经过预定义的角度位置时都会接收一个脉冲，产生一个频率随旋转速度线性增加的扫描激励。根据方程(2)，每次旋转的脉冲数EO被选择为激发具有特定节点直径的模态形状。下载：下载高分辨率图像（312KB）下载：下载全尺寸图像图1. 具有N=12个叶片的叶片对EO=16的激励进行离散化。在这种情况下，叶片的响应就像在EO=4（z=1）时受到激励一样。2.2. 图像采集和DIC DIC是一种基于相机的技术，用于测量结构表面的全场位移。它通过分析样品变形过程中的一系列图像来工作，跟踪参考图像中像素子集在后续变形图像中的运动。使用单个相机进行DIC时，可以执行二维位移分析。使用两个同步相机从不同的视角捕捉图像，3D-DIC允许进行三维运动跟踪。3D-DIC包括三个主要阶段：相机校准、2D-DIC图像处理和三角测量。校准使用几何模型定义每个相机的固有和外在参数，该模型将传感器上的图像点与空间中的相应3D位置相关联[28]。在这项研究中，使用MATLAB的Stereo Camera Calibrator App [29]进行了相机校准。2D-DIC算法处理来自每个相机的图像，以跟踪像素区域（子集）的位置。为此，使用了开源软件Ncorr [30]。Ncorr采用基于子集的方法，其中每个测量点对应于参考图像中的一个圆形子集。位移是通过将每个子集映射到其变形对应物来确定的，通过变换函数实现。在Ncorr中，这种变换仅限于一阶线性模型，允许平移、剪切和法向变形。算法迭代改进这些参数，以最大化参考图像和变形图像中子集之间的相关性。最后，通过结合两个相机的2D-DIC结果和之前确定的校准参数，使用三角测量来重建跟踪点的3D位置。将DIC应用于旋转系统测量的主要挑战之一是由大角度旋转引起的去相关。传统的2D-DIC算法假设参考图像和变形图像之间的角度差异很小。当连续图像之间的旋转超过大约7度时，子集变换的初始估计变得不可靠，经常导致相关性过程失败。本研究提出了一种克服这一限制的方法：仅当旋转叶片处于相同的预定义角度位置时才进行成像。这种采样策略消除了由大平面旋转引起的去相关问题，从而实现可靠的DIC跟踪。然而，这种方法在时间分辨率方面受到限制。具体来说，图像采样频率fs等于旋转频率，由(3)fs=Ω/60给出。因此，方程(1)中定义的同步激励频率fv与采样频率之间的关系如下(4)fv=EO?fs。因此，采样频率低于实际振动频率（仅在EO=1时相等），因此不满足奈奎斯特-香农采样定理（fs≤2fv）。结果，发生了混叠，有效地对测量到的振动信号进行了下采样。为了正确解释这些混叠信号，需要专门的后处理算法。尽管存在这个限制，这种采样策略提供了关键优势：与传统的高速成像相比，它显著降低了所需的相机帧率，使其与低速相机兼容，并能够进行高分辨率、低成本的测量。2.3. 位移信号后处理为了从下采样的DIC数据中提取有意义的模态信息并防止混叠错误，使用一种称为周向谐波拟合（CHF）的方法对测量结果进行后处理。这种方法在概念上与广泛用于叶尖定时（BTT）分析的周向傅里叶拟合（CFF）技术[31]、[32]是一致的。然而，在这项工作中，CFF被以一种新颖的方式重新制定，以应用于基于DIC的全场振动测量。CHF假设对于方程(1)中定义的给定激励频率f，与结构同步响应相关联的操作位移形状（ODS）——通过在叶片表面选择同旁点获得——可以表示为谐波空间波（见图2）。在圆柱坐标系中，其中轴对称轴与轴线对齐，同旁点定义为具有相同径向（ρ）和轴向（z）坐标的位置。描述ODS的谐波波的空间频率等于表征模态形状的节点直径数量。这种谐波近似在单个模式主导结构响应并且失谐程度足够小以至于不会完全破坏叶片的循环对称性的假设下是有效的（轻微失谐）。因此，位移w作为角位置θ和激励频率f的函数可以表示为：(5)w(θ,f)=c(f)+Z(f)sinND?θ??(f)其中：下载：下载高分辨率图像（142KB）下载：下载全尺寸图像图2. 模态形状ND=6（用红色表示），沿着左图中蓝色圆周线绘制。它在右图中显示为正弦波。•c(f)是静态位移。虽然c在理论上与频率无关，但在这里将其视为f的函数，以考虑激励力随振动频率的实际变化，•Z(f)是频率依赖的响应幅度，•?(f)是频率依赖的相位延迟。方程(5)是在假设圆盘在同步激励下具有线性循环对称响应的情况下推导出的。如果非线性效应变得显著，它们将表现为额外的谐波分量，响应可以按照[23]中所示的方式计算。方程(5)可以重写为：(6)z(θ,f)=c(f)+A(f)sinND?θ+B(f)cosND?θ其中A(f)=Z(f)cos(?(f))，B(f)=Z(f)sin(?(f))。给定在N个同旁角位置θi（i=1,2,…,N）处的位移测量值，可以通过解决超定系统来估计特定激励频率f?的最佳拟合值c(f?)、A(f?)和B(f?)：(7)wθ1,f?wθ2,f??wθi,f??wθN,f?=1sinND?θ1cosND?θ11sinND?θ2cosND?θ2???1sinND?θicosND?θi???1sinND?θNcosND?θNcf?Af?Bf?w(θ,f?)=Mcf?Af?Bf?其中M是在每个θi处评估的正弦基函数矩阵。最小二乘解提供了最小化测量数据和拟合数据之间残差的最佳参数。如果节点直径ND的数量事先不知道，可以通过选择最小化最小二乘拟合残差的值来迭代确定，或者通过在实验数据的空间域执行离散傅里叶变换来确定。一旦为每个测量到的激励频率f计算出A(f)和B(f)，振动幅度和相位延迟就可以由下式给出：(8)Z(f)=A(f)2+B(f)2tan(?(f))=?B(f)A(f)。由于模式是旋转的，幅度Z(f)和相位?(f)作为激励频率的函数的变化，可以识别共振频率。只要频率扫描从远离共振的地方开始，以便初始位移形状与激励大致同相，就可以通过特征性的90°相位移动来检测共振。此外，如果激励幅度在整个频率扫描过程中保持恒定，共振频率可以通过幅度响应Z(f)中的峰值来识别。CHF方法没有考虑共振交叉后由异步分量引起的响应幅度变化。尽管如此，高级识别技术可以解决这种贡献。例如，在[8]中展示的工作使用单自由度模型拟合实验数据，该模型包含了瞬态效应，而在[33]中使用了小波变换来分离异步动态并提取模态参数。3. 试验装置第2.3节中提出的方法在一个具有简化几何形状的叶片上进行了测试，以下简称假叶片。假叶片由铝制成，外径为400毫米，由N=12个叶片组成。每个叶片呈悬臂梁形状，长度为150毫米，宽度为25毫米，厚度为5毫米。尽管测试样品的几何形状简化了，但本文开发的概念和算法是通用的，可以很容易地扩展到更复杂的圆盘。假叶片安装在一个带有垂直轴的实验室旋转装置上，电动机位于叶片下方。这种架构使两个相机能够完全包围叶片。如图3所示，假叶片的上端通过法兰固定。下载：下载高分辨率图像（907KB）下载：下载全尺寸图像图3. (a) 旋转装置的草图和(b) 图片。下载：下载高分辨率图像（256KB）下载：下载全尺寸图像图4. 带有永磁体的激励系统详细信息。3.1. 激励系统激励系统在图4中示意。它由固定在地面上的圆柱形永磁体组成，这些永磁体与集成在叶片中的旋转永磁体相互作用。每个叶片对应一个磁体。固定磁体的数量决定了发动机阶数EO。这种相互作用导致以发动机阶数对应的基频产生周期性的力脉冲序列，随着叶片旋转速度的增加而线性增加。磁体的极性被选择为排斥力，这种选择基于这样的理解：如果叶片尖端发生显著变形，吸引力会增加磁体之间接触的风险。永磁体（1）通过过盈配合和胶水固定在螺纹杆（2）的尖端外壳中。螺纹杆被拧入支撑结构（3）中，然后用螺栓（4）固定，以确保永磁体（1）处于所需的高度。这个高度决定了固定磁体与永磁体之间的距离（即间隙），从而调节磁力的大小。磁斥力的大小与间隙的平方成反比。在当前的测试中，间隙大约为20毫米。

支撑结构（3）被夹在两个同轴环之间：下环（5）通过螺栓固定在基准面上，上环（6）则固定在下环上。上环上标有刻度，以便可以调整支撑结构到所需的角度。永磁体被安装在等间距的角度位置上。四根螺纹杆被截成两半（7）和（8），以便在固定的永磁体下方插入压电负载传感器（9），从而测量激励力的大小。

基于永磁体的这种激励系统的一个缺点是在测试过程中激励力的变化性。这是由于叶片振动时固定磁体与旋转磁体之间的间隙会发生变化所致。磁力与间隙的平方成反比。增大初始间隙可以减小振动幅度，从而减少间隙和激励力的波动。然而，在当前的设置中，由于间隙已经达到最大值，无法将磁体放置得离叶片更远。在更坚固、更真实的叶片情况下，这个问题不那么显著，因为这些叶片的振动幅度和间隙波动较小。

叶片以发动机阶数16（EO = 16）进行激励。根据公式（2），当激励频率接近这些模式的自然频率时，这种激励方式会激发节点直径为4（ND = 4）的模式。第4节中提到的锤击测试和有限元分析结果显示，第一个模式家族中的ND = 4的模式出现在约150 Hz的频率附近。根据叶片的Campbell图（见图6），这种共振现象预计会在转速低于600 rpm时发生。因此，采用了线性加速的启动方式，使叶片在11分钟内从0 rpm加速到600 rpm。

3.2. DIC系统

DIC系统使用了两个Optomotive Spinosaurus相机，每个相机都配备了焦距为12毫米的23 MP Fujinon镜头。这些相机通过一个坚固的铝制支撑框架固定在叶片上方（见图5(a)）。为了避免在拍摄旋转叶片时产生运动模糊，使用了5 μs的短快门时间。由于光照不足，需要额外的高强度照明来保证图像质量。使用了两个200瓦的LED灯，确保整个叶片表面都能得到均匀明亮的照明。这种要求通过采用的单次拍摄每转一张图像的成像策略得以实现。在这种条件下，从相机的角度来看，叶片几乎是静止的，大大减少了对照明不均匀或阴影的敏感性。相比之下，如果在不同角度拍摄图像，照明和反射的差异会导致图像不相关，从而降低测量精度。在当前的设置中，相机排列和视野的选择限制了感兴趣区域内的极端视角，确保了观察方向与表面法线之间的角度处于通常被认为是可接受的范围之内。两台相机之间的图像采集通过一个共同的TTL触发信号同步进行。为了确保在叶片上的同一角度位置获取图像，在固定支架上安装了一个光学探头，并将其对准旋转叶片的上法兰（见图5(b)）。在法兰上贴了一条反光胶带。每当这条胶带经过探头时，就会生成一个触发信号，并由National Instruments的I/O采集板转换为TTL方波。考虑到叶片的最大转速为600 rpm，因此得到的最大DIC采样率约为10 Hz。

4. 有限元分析和锤击测试

本节中的分析旨在为后续的旋转测试提供指导，而不是为了获得叶片的详细模态特性。进行了有限元（FE）分析，以预测叶片在旋转速度变化下的动力学行为。FE模型中，叶片上被上法兰夹住的90毫米直径范围内的部分在所有自由度上都被限制住了。模态分析预测了叶片第一个模式家族中的七个模式在140 ÷ 155 Hz频率范围内的存在，并且可以绘制出叶片的Campbell图（见图6）。

此外，非旋转的叶片模型还通过锤击激励进行了实验测试，其平面外振动通过在50 kHz的频率下使用SLDV进行测量（见图7(a)）。选择使用扫描激光多普勒振动仪（SLDV）而不是传统的应变片传感器，是因为应变片测量的是应变而不是位移，而后者需要额外的后处理才能与相机的位移测量结果进行比较。此外，应变片定位的不确定性和测量数据后处理的不确定性也促使选择了这种更直接的比较方法。

5. 结果

DIC系统提供了大约27,000个点上的叶片表面三维位移测量数据。在每个测量时间点（对应于特定的旋转速度），都会生成位移图。例如，图10(a)展示了在567 rpm转速下测量的叶片平面外位移（沿叶片轴线）。空间分布证实了节点直径为4的模式被激发。如图10(b)所示，叶片尖端位移的时间历史显示出明显的振荡，表明存在显著的瞬态响应。这种行为表明共振交叉现象非常迅速，导致同步（稳态）响应与衰减的瞬态成分共存[8]。正如[36]中所详细说明的，随着扫描速率的增加，这种效应变得更加明显。

从峰值位移信号可以看出，由于混叠效应，直接进行模态识别变得困难。然而，CHF方法（Inverse Harmonic Function）能够克服这一限制并提取模态信息。对于每个激励频率f?（如公式（1）所定义的），使用第i个叶片尖端位置的位移值w(f?,θi)来求解方程（7）中的过定系统。图11展示了在Ω? = 554.3、567.6和568.5 rpm转速下，使用空间谐波函数拟合实验叶片尖端位移数据（点）的结果。这些速度对应的叶片同步振动频率分别为f?=147.8、151.36和151.6 Hz。

通过与FE结果的比较，可以看出观察到的模式属于预期在140 ÷ 155 Hz频率范围内的第一个弯曲模式家族（见图6）。然而，实验得到的频率响应函数（FRFs）显示出轻微的失谐现象。具体来说，节点直径为4（ND = 4）的模式在接近的频率下分裂为两个几乎正交的模式，这一点在图7(c)的放大视图和图8的稳定图中得到了确认。稳定图是通过在Matlab?中使用最小二乘复指数（LSCE）算法[34]、[35]处理实验FRFs得到的。该算法识别出两个稳定极点，分别为150.8 Hz和151.0 Hz，对应的模态阻尼比为4.46?10?4和4.41?10?4。这种模式分裂是由于失谐造成的，数值模拟无法捕捉到这种现象，因为有限元分析假设了完美的周期性对称性。图9(a)展示了通过提取每个叶片在两个分裂模式频率下的位移幅度和相位得到的ODS（Ordinary Differential Score）值。为了提高结果的可解释性，使用4的空间频率对实验ODS进行了谐波拟合（虚线表示）。这种谐波拟合提高了ODS的空间分辨率，使其特征更加清晰。值得注意的是，结果显示这两个分裂的模式几乎是正交的。这些结果在图9(b)中展示，其中虚线表示从FRFs中提取的实验数据，实线表示拟合后的谐波曲线。

5. 结果

DIC系统提供了叶片表面上大约27,000个点的降采样三维位移测量数据。在每个测量时间点（对应于特定的旋转速度），都会生成位移图。例如，图10(a)展示了在567 rpm转速下测量的叶片平面外位移（沿叶片轴线）。空间分布证实了节点直径为4的模式被激发。如图10(b)所示，叶片尖端位移的时间历史显示出明显的振荡，表明存在显著的瞬态响应。这种行为表明共振交叉现象发生得非常快，导致同步（稳态）响应与衰减的瞬态成分共存[8]。正如[36]中所详细描述的，随着扫描速率的增加，这种效应变得更加明显。

从峰值位移信号可以看出，由于混叠效应，直接进行模态识别变得困难。然而，CHF方法仍然能够提取模态信息。对于每个激励频率f?，使用方程（1）中的定义，利用第i个叶片尖端处的位移值w(f?,θi)来求解方程（7）中的过定系统。图11展示了在Ω? = 554.3、567.6和568.5 rpm转速下，使用空间谐波函数拟合实验叶片尖端位移数据（点）的结果。特征性的π/2相位偏移表明发生了共振。在147 Hz以下，由于振动幅度较低，相位数据存在噪声；而在152 Hz以上，响应受到瞬态扰动的影响。在151.3 Hz和151.8 Hz处识别出两个共振频率。相应的ODS（Operational Distortion Shapes）如图13(a)所示，该图显示了在567.6 rpm和569.2 rpm（即接近共振时）记录的垂直于平面的位移图。叶片尖端的位移（点）被提取出来，并用ND=4的空间谐波（线）进行拟合以增强可视化效果。如图13(b)所示，这两个ODS大致呈正交状态，清楚地展示了模式分裂效应。为了进一步验证，在图13(c)中绘制了共振频率处ODS的离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform），确认了所激发的模式的节点直径为4。其他光谱成分可以归因于轻微的失谐效应和测量噪声。

除了叶片的变形形状外，所进行的DIC测试还提供了物体的3D点云数据。这些信息可以用来验证触发程序：原则上，由于使用触发器总是在相同的角度位置获取帧，因此叶片的刚性运动应该为零。另一方面，由于实验问题（如触发程序中的潜在不准确性以及整个测试台的振动），测量结果可能会出现一些偏差。为了评估这种不准确性的程度，将第一个点云作为参考，并使用Caltech的相机校准工具箱[37]中提供的功能计算了最佳拟合的刚体变换，以对齐所有后续点云。该功能需要输入两个点云（由对应点组成），并输出六个标量来定义3D旋转和平移，即三个旋转角度和沿三个主轴的三个平移值。角度以度为单位计算，而平移以毫米为单位计算。最后，计算了三个分量的范数，以衡量相对于无运动理论条件的总偏差。这些值在图14中与激发频率一起绘制。

图13. 当叶片以151.3 Hz和151.8 Hz旋转时，通过DIC测得的ODS。图14显示，在低频范围内（即大约144 ÷ 147 Hz），测试台没有明显的振动。另一方面，在共振区域附近（例如151至152 Hz之间），观察到振动幅度显著增加。此外，在147至150 Hz之间也出现了一个明显的振动区域，这被认为是由于外部振动影响光学探头导致的触发失败。尽管如此，偏差的幅度对于旋转而言小于0.5度，对于平移而言小于1毫米，因此可以认为是可以忽略的，从而证明了所提出的测试程序的可靠性。

表1总结了实验确定的假想叶片两个正交ND=4模式的共振频率。在静止测试和旋转测试之间观察到了共振频率的轻微偏移，这归因于离心加固效应。

本文提出了一种使用数字图像相关（DIC）技术和低速相机来实验分析旋转叶片动力学的方法。该方法克服了传统传感器的局限性，例如数据传输的挑战和附加传感器质量的影响，同时能够同时测量叶片表面的数千个点，这是基于图像的技术所独有的能力。此外，该方法旨在克服DIC在转子应用中的传统局限性，如由于大位移导致的相关性丢失以及对昂贵的高速相机的需求。通过在固定角度位置获取图像，该方法消除了相关性问题，并允许使用标准的DIC软件。这种获取策略还减少了对光照变化的敏感性，因为每次旋转只需要一张图像。从相机的角度来看，叶片看起来是静止的，这最小化了不均匀照明或阴影的影响。相反，如果在不同的角度位置获取图像，阴影和反射的差异可能导致相关性的丢失和测量精度的降低。因此，所提出的方法允许跟踪ODS的相位和幅度的变化，这些变化随激发频率线性增加，但可以在每次旋转过程中假设为恒定。通过分析这些图表，可以识别共振条件并提取相应的ODS。然而，只有旋转模式可以被分析，而静止模式的最大幅度（ND=0和ND=N/2）无法被捕捉到。

该方法已经在简化的测试件上进行了实验验证：一个具有平坦几何形状的假想叶片，安装在一个专用的旋转装置上。提取了叶片尖端的位移信号，并用这些信号来识别共振频率。为此，开发了周向谐波拟合（CHF）方法并将其应用于DIC数据。DIC测量使得在共振 crossing期间能够可视化高分辨率的操作变形形状（ODS），包括与ND=4模式相关的两个正交形状。这是一个显著的优势，因为该方法同时跟踪了大量的表面点，而使用传统的基于点的传感器则是不切实际的。尽管基于下采样的方法通常无法捕捉整个频谱，但当只关注有限的频率带时，这种局限性可以得到缓解。在这种情况下，频率信息可以集中在该频带内，从而允许在采样后进行准确的光谱测量。这一概念代表了该方法未来发展的一个潜在方向。所提出的方法已被证明在存在失谐的情况下有效识别共振频率。然而，当失谐足够大以完全破坏周期对称性时，该方法无法正常工作。

从实际角度来看，最大可测量的角速度受到相机的最大帧率的限制。当每次旋转记录一张图像时，采样率等于旋转速率；因此，最大可测量的旋转速率对应于相机的最大帧率。对于标准工业相机（如本研究中使用的相机），其帧率约为100 fps，这意味着最大可测量的旋转速率大约为6000 rpm。实际上，在空气驱动系统中很难达到这样的速度，而且标准相机通常不适合真空操作，这使得帧率成为次要限制。更关键的因素是曝光时间：在高角速度下，获得清晰的、无模糊的图像变得困难。这一限制取决于相机能够实现的最小曝光时间和可用光照的强度。

作者贡献声明：
Serena Occhipinti：撰写——原始草稿、软件、方法论、调查、概念化。
Alessandra Cesaretti：调查、数据管理。
Christian M. Firrone：概念化。
Paolo Neri：撰写——审阅与编辑、验证、监督、概念化。
Daniele Botto：撰写——审阅与编辑、监督、方法论、形式分析、概念化。

在准备这项工作时，作者使用了Chat-GPT来改进语言和可读性。使用这一工具/服务后，作者根据需要审查和编辑了内容，并对出版物的内容负全责。