通过半Fredholm方法研究延迟反应-扩散方程的动态行为：应用于具有有限记忆的逻辑斯蒂模型和 blowflies 模型

《Kuwait Journal of Science》：Dynamic behavior of delayed reaction–diffusion equation via a semi-Fredholm approach: Applications to logistic and blowflies models with finite memory

　　穆罕默德·克里切|阿卜杜莱海·埃拉祖齐|阿尤布·谢杜尔
摩洛哥丹吉尔-特图安-阿尔胡塞马地区教育与培训职业中心数学与计算机科学系，丹吉尔主校区

摘要
本研究探讨了包含周期性和延迟交互作用的几个模型的动态行为。通过利用关键的不动点定理和半弗雷德霍姆算子的扰动性质，我们证明了在有限线性部分和非线性项的局部利普希茨常数略有变化的情况下，可以实现解的周期性。这种方法消除了对由方程未延迟部分生成的半群算子的紧凑性假设的要求，提供了更大的灵活性和更广泛的应用性。此外，我们还展示了数值模拟结果，以强调我们的发现的实际意义和影响。

1. 引言
近年来，由于在物理、工程和生物科学中的广泛应用，动态系统的分析已成为一个活跃的研究领域。数学建模在理解复杂现象中起着核心作用，如在热系统和流行病学模型中所展示的（Cheddour和Cheddour，2025；Sebbar和Cheddour，2026）。对于具有延迟的半线性系统的定性属性（如周期性行为和稳定性）的研究也受到了广泛关注（Kriche等人，2026）。此外，还开发了各种数值方法来处理带有延迟的积分-微分方程及相关问题，确保了解的准确性和稳定性（Amirali和Amiraliyev，2022；Amirali和Acar，2024；Yapman等人，2019）。在机械应用中出现的非线性动态系统也得到了广泛研究，特别是在稳定性和渐近分析的背景下（Amer，2008；Amer等人，2025b；Amer等人，2025a；Amer等人，2025c；Moatimid等人，2024）。最近，分数阶模型作为一种描述复杂系统中记忆效应的有效框架而出现，在流行病学和生物建模中有着重要应用（Farhan等人，2023；Jan等人，2023；Soulaimani和Kaddar，2023；Soulaimani等人，2026）。在本工作中，我们研究了以下抽象系统的动态：
(1.1) \(v^\prime(t) = Av(t) + \Lambda(vt) + \Gamma(t,\ vt)\)，\(t \geq 0\)
其中 \(A\) 是一个从 \(D(A) \subseteq (E,\|\cdot\|\) 映射到 \(E,\|\cdot\|\) 的非密集定义的线性算子，\(E\) 是一个巴拿赫空间。\(\Lambda\) 属于从 \(C_0\) 到 \(E\) 的所有有界线性算子的空间，记为 \(\Lambda_{C_0,E}\)。\(\Gamma\) 是一个从 \(R^+ \times C_0\) 到 \(E\) 定义的连续非线性函数，\(vt\) 是 \(C_0\) 中的元素，定义为 \(vt(\theta) = v(t+\theta)\)，\(\theta \in [-\rho,0]\)，这里 \(C_0 = C^{-\rho,0},E\)，\(|\cdot|_{\rho}\) 是从 \([-\rho,0]\) 到 \(E\) 映射的所有连续函数的范数，满足：\(|x_t|_{\rho} = \sup_{-\rho \leq \theta \leq 0} \|x_t(\theta)\|\)。

许多研究已经探讨了演化方程中的周期解。例如，Kagei和Takeda（2024）建立了具有粘弹性效应的非线性弹性波方程周期解的存在性和稳定性结果。在Komech（2025）中，研究了在数学物理中出现的Maxwell-Bloch方程中的周期解。Liu（2000）和Qiuyi与Shigui（2020）发展了具有无限延迟的演化方程的抽象半线性框架，并推导出周期解的存在性结果，这些结果在生物学系统中得到了应用。此外，Shin和Naito（1999）使用算子理论方法为线性泛函微分方程的周期解的存在性和唯一性提供了结果。这些方法大多依赖于解的有界性、相关Poincaré映射的紧凑性以及非线性项\(\Gamma\)的利普希茨连续性假设。它们还利用了由线性算子\(A\)生成的\(C_0\)-半群的紧凑性，这保证了解轨迹的相对紧凑性。Kriche（2024）提出了基于半弗雷德霍姆扰动理论的另一框架，在该框架中，可以在不要求半群紧凑性的情况下获得中性偏微分方程的周期解。同样，Naito等人（2001）使用扰动技术和算子方法研究了具有有限延迟的线性泛函微分方程的周期解。此外，Shin和Naito（1999）也通过使用半弗雷德霍姆算子理论在非密集域假设下建立了周期性结果。尽管这些方法有效，但在物理、生物学和经济学中出现的更一般模型中，当非线性项不满足利普希茨连续性或紧凑性假设时，它们可能会失效。这一差距凸显了需要替代方法来分析这些情况下解的周期性。基于以往研究的见解，我们介绍了一种新的方法，该方法结合了半弗雷德霍姆算子的扰动准则和适当的不动点定理。这一框架使我们能够在不要求\(C_0\)-半群紧凑性的情况下确认方程（1.1）解的周期性。因此，我们可以在更一般的框架内得出周期性结果，扩大了我们发现的适用范围，使其适用于不保证紧凑性和利普希茨连续性的系统。

作为我们理论结果的应用，我们研究了两个同时包含周期性和延迟的模型。这些模型为分析种群随时间的演变提供了一个丰富的框架，考虑了自然过程中固有的记忆效应和周期性变化。首先，我们研究了一个扩散逻辑模型，这是数学生态学中的一个基本框架，用于描述种群在空间结构化环境中的增长、扩散和相互作用：
(1.2) \(\frac{\partial\partial t}{S(t,\xi)} = \frac{\partial^2\partial \xi^2}{S(t,\xi)} + pS(t-\rho,\xi) - q(t)S(t-\rho,\xi)\)，\(t \geq 0\)
其中，\(S(t,\xi)\) 表示时间\(t\)和空间位置\(\xi\)处的种群密度，\(p > 0\) 是内在增长率，\(q(t) > 0\) 是随时间周期性变化的承载能力，\(\rho > 0\) 表示时间延迟，通过考虑依赖于过去状态的繁殖和竞争来增强模型的现实性。在对常数\(p\)和周期性函数\(q(t)\进行适当估计的情况下，我们证明了周期解的存在性，突出了由延迟和时间变化的环境因素驱动的复杂动态。接下来，我们分析了扩散的Nicholson苍蝇模型，这是一个用于理解空间结构化环境中种群振荡的经典框架。该模型结合了延迟反馈和空间扩散，捕捉了种群增长、竞争和扩散之间的相互作用。模型由以下公式描述：
(1.3) \(\frac{\partial\partial t}{N(t,\xi)} = \frac{\partial^2\partial \xi^2}{N(t,\xi)} - \alpha N(t,\xi) + \beta(t)N(t-\rho,\xi)e^{-\gamma N(t-\rho,\xi)}\)，\(t \geq 0\)
其中 \(N(t,\xi)\) 表示时间\(t\)和空间位置\(\xi\)处的种群规模，\(\alpha\) 表示种群的死亡率，\(\gamma > 0\) 是模拟种内竞争强度的参数，\(\beta(t) > 0\) 是种群的时间依赖最大出生率，\(\rho\) 是表示种群成熟期的时间延迟。Nicholson苍蝇模型的周期解的存在性直到最近才被研究。多位作者对此领域有所贡献，例如（Jhang等人，2007；Wu，2008；Ye等人，2005），他们证明了以下方程至少有一个周期解的存在性：
\(\frac{d}{dt}N(t) = -a(t)N(t) + \beta(t)N(t-\rho(t))e^{-\gamma(t)N(t-\rho(t))\)
其中 \(a(t)\)、\(\beta(t)\)、\(\rho(t)\) 和 \(\gamma(t)\) 是连续且周期性的函数。为了建立这样的结果，通常使用Krasnoselskii不动点定理，这依赖于对模型参数的紧凑性条件。或者，一些作者应用Leggett-Williams多重不动点定理在类似的紧凑性假设下证明了多个正解的存在性，例如Padhi等人（2013）。另一方面，Wang（2012）、Long和Yang（2011）使用基于重合度理论的延续定理来研究以下方程的正周期解的存在性和唯一性：
(1.4) \(\frac{d}{dt}N(t) = -a(t)N(t) + \beta(t)N(t-\rho(t))e^{-\delta(t)N(t-\rho(t)) - H(t)N(t-\rho(t)}\)
其中 \(a(t)\)、\(\beta(t)\)、\(\delta(t)\)、\(\rho(t)\) 和 \(H(t)\) 是连续且周期性的函数。Bouakkaz和Khemis（2021）通过应用Schauder不动点定理证明了一类形式为（1.4）的方程的周期解的存在性。他们的方法依赖于Arzelà-Ascoli定理，并在适当的紧凑性假设下进行。

在这项工作中，我们研究了在小的参数扰动下反应-扩散模型（1.3）解的周期动态，甚至不需要假设半群的紧凑性。这些结果为种群振荡及其对生态系统的相关性提供了新的见解。本工作的结构如下：在第二节中，我们建立了以下线性方程解的周期性行为：
(1.5) \(v^\prime(t) = Av(t) + \Lambda(v(t) + f(t)\)，\(t \geq 0\)
这里，\(f\) 是从 \([0, +\infty)\) 到 \(E\) 定义的连续\(\tau\)-周期函数。为了实现这一目标，我们介绍了一种新的方法，该方法结合了线性仿射映射的不动点定理和半弗雷德霍姆算子的有界扰动性质。为此，我们需要以下定义和性质：

**命题1.1** (Schechter, 1971)
设 \(T \in \Lambda(E)\)。那么，\(\Lambda(T)\) 是闭集当且仅当存在 \(\delta > 0\) 使得对所有 \(z \in E\) 有 \(|z^\bar| \leq \delta \|Tz\|\)。
**定义1.2**
算子 \(T \in \Lambda(E)\)，\(Y\) 是半弗雷德霍姆的，如果 \(\dim N(T) < \infty\) 且 \(\Lambda(T)\) 在 \(Y\) 中是闭集，其中 \(\Lambda(T)\) 和 \(N(T)\) 分别表示\(T\) 的值域和核。

在这项研究中，我们将使用 \(SF^+(E)\) 来表示所有从空间 \(E\) 映射到自身的半弗雷德霍姆算子的集合。现在，我们宣布以下来自Schechter（1971）和Shin与Naito（1999）的结果：
设 \(T \in \Lambda(E)\)。那么，\(E/N(T)\)，\(| \cdot \)| 是一个巴拿赫商空间，使得 \(|z^\bar| = \dist(z,N(T))\)，其中 \(z^\bar = z + N(T)\) 属于 \(E/N(T)\)。
我们注意到，如果 \(T\) 是 \(SF^+(E)\) 的元素，那么它在对它进行有界线性算子的微小扰动后仍然属于 \(SF^+(E)\)。为了阐明这一点，我们引入以下结果：

**定理1.3** (Shin和Naito, 1999)
设 \(T \in SF^+(E)\) 且 \(G \in \Lambda(E)\)。如果 \(|G| < \frac{1}{2}\delta(\dim N(T) + 1)\)，其中 \(\delta\) 是命题1.1中给出的常数。那么，\(T + G \in SF^+(E)\)。此外，\(\dim N(T+G) \leq \dim N(T)\)。

此外，有必要介绍与方程（1.5）的积分解相关的关键定义和结果，为我们的分析奠定基础：

**定义1.4** (Thieme, 1990)
方程（1.5）的积分解 \(v_0 = \psi \in C_0\) 是一个函数 \(v: (-\infty, b) \to E\)，\(b > 0\)，使得 \(v(\cdot)\) 是连续的，并且 \(\int_0^t v(s) ds \in D(A)\)，\(t \geq 0\) 且 \(v(t) = \psi(0) + A \int_0^t v(s) ds + \int_0^t \Lambda(v(s)) + f(s) ds\)，\(t \geq 0\)。
现在，设 \(A_0\) 是 \(A\) 的一个部分，定义为：
\(D(A_0) = \{z \in D(A) : A_z \in D(A)^{\bar}\}\)
且 \(A_0z = A_z\) 对所有 \(z \in D(A_0)\)。
那么，已知 \(A_0\) 是一个在 \(D(A)^{\bar}\) 上生成的\(C_0\)-半群 \({U(t), t \geq 0}\)，满足：\(|U(t)| \leq K_e^\nu t\)，\(t \geq 0\)，其中 \(K \geq 1\) 且 \(\nu \in \mathbb{R}\)。

**定理1.5** (Magal和Ruan, 2009)
在假设（A0）下，如果 \(\psi(0) \in D(A)^{\bar}\)，那么方程（1.5）有一个唯一的积分解 \(v: (-\rho, +\infty) \to E\)，由以下公式给出：
\(v(t) = U(t)\psi(0) + \lim_{\mu \to +\infty} \int_0^t U(t-\sigma) \mu(\mu I - A)^{-1}\Lambda(v(s)) + f(s) ds\)，\(t \geq 0\)。

通过这项工作，设 \(C_\rho\) 是所有属于 \(C_0\) 且 \(\psi(0) \in D(A)^{\bar}\) 的函数\(\psi\) 的空间。显然，\(C_\rho\) 是方程（1.5）的相空间。此外，我们将方程（1.5）的积分解称为解。设 \(v(.,\psi,\Lambda,f)\) 是方程（1.5）的解。那么，在 \(C_\rho\) 上定义的算子 \(\{V(t), t \geq 0}\) 由 \(V(t)\psi = v(t,\psi,0,0)\) 给出，是一个\(C_0\)-半群，对于每个 \(\theta \in [-\rho,0\)：
\([V(t)\psi](\theta) = (V(t+\theta)\psi)\) 如果 \(t + \theta \in \mathbb{R}^+\)；否则 \(V(t)\psi = \psi\)。
此外，\(\{V(t), t \geq 0)\) 由线性算子 \(AV\) 生成，其定义为：
\(D(AV) = \{ \varphi \in C_1((-\infty,0); E) \cap C_\rho : \varphi' \in C_\rho, \varphi(0) \in D(A)\) 且 \(\varphi'(0) = A\varphi(0) + \Lambda\varphi\}\)。
由于 \(AV\) 生成了 \(\{V(t), t \geq 0}\)，Hille-Yosida定理表明存在 \(\nu^\bar \in \mathbb{R}\), \(M^\bar \in [1, +\infty)\) 和一个正整数 \(p\) 使得 \((\nu^\bar, +\infty) \subset \rho(AV)\) 且 \((1.6) |(I-AV)^{-p} \leq M^\bar(\eta - \nu^\bar)p\)，\(\nu^\bar < \eta\)，其中 \(\rho(AV)\) 表示 \(AV\) 的预解集。

**定理1.6** (Shin和Naito, 1999)
设 \(\tau\) 是一个正常数。那么，\(I^{-V(\tau)} \in SF^+(C_\rho) \iff I^{-U(\tau)} \in SF^+(D(A)^{\bar}\)。此外，\(\dim \ker(I^{-V(\tau)) = \dim \ker(I^{-V(\tau))\)。

**定理1.7**
假设（A0）成立。那么，方程（1.5）的解使得 \(f = 0\)，记为 \(W(t)\phi = v(t,\psi,\Lambda,0)\)，对于 \(t \geq 0\) 有：
(1.7) \(W(t)\phi = V(t)\phi + R(t)\phi\)，其中 \(R(t), t \geq 0\) 对于 \(\phi \in C_\rho\) 由以下公式给出：
\([R(t)\phi](\theta) = \lim_{\mu \to +\infty} \int_0^t + \theta U(t+\sigma) \mu(\mu I - A)^{-1}\Lambda(v(s)) ds\)，\(t + \theta \in \mathbb{R}^+\)；否则。

另一方面，第三节致力于建立方程（1.1）的唯一周期解的存在性。作为第三节所述发现的实用应用，我们在第四节探讨了具有周期性和延迟交互作用的模型（1.2）、（1.3）的动态。

为了建立设 Akx0k∈N 是定义在 E 中的有界集合，x0∈E。另外，假设 I?Aˉ∈SF+(E)。那么，FA≠?，其中 FA 是 A 的所有不动点的集合。在本工作的剩余部分，我们说一个方程满足性质 (P) 如果它有一个 τ-周期性解，并且满足性质 (UP) 如果它有一个唯一的 τ-周期性解。

定理 2.5 在假设 (A0) 和 (A1) 的条件下。假设 I?U(τ) 属于 SF+(D(A)ˉ)。如果 ? 满足估计：(2.3)|?|<1KK?τlne?ν+τ2Kδn+1+1，那么，方程 (1.5) 在区间 [0,+∞) 上的解的有界性意味着方程 (1.5) 满足性质 (P)。

证明只需证明 Poincaré 映射 Pτ，定义为 Pτ(ψ)=vτ(?,ψ,?,f) 在 Cρ 上有一个不动点，其中 vτ(?,ψ,?,f) 表示方程 (1.5) 的解。由于方程 (1.5) 有唯一解，Poincaré 映射 Pτ 可以分解为 Pτ(ψ)=vτ(?,ψ,?,0)+vτ(?,0,?,f)，其中 v(?,ψ,?,0) 和 v(?,0,?,f) 分别表示 f=0 时和 ψ=0 时方程 (1.5) 的解，那么 Pτ 可以表示为 Pτ(ψ)=P?τ(ψ)+?，其中 P?τ(ψ)=vτ(?,ψ,?,0) 和 ?=vτ(?,0,?,f)。根据 (1.7)，P?τ 可以表示为 P?τ=W(τ)=V(τ)+R(τ)。此外，命题 2.3 和估计 (2.3) 意味着 I?P?τ∈SF+(Cρ)。现在，设 v(?,ψ,?,f) 是方程 (1.5) 的一个有界解。因此，{Pτnψ:n∈N}={vnτ(?,ψ,?,f):n∈N}，这意味着 Pτnψn≥0 在 Cρ 中是有界的。根据定理 2.4，我们推断出不动点集 FPτ≠?。因此，方程 (1.5) 满足性质 (P)。

引理 2.6 如果 |U(t)|≤Ke?ν0t 对于 t≥0，K≥1 且 ν0>0，那么 {V(t),t≥0} 满足 |V(t)|≤Me?ωt 对于 t≥0，其中 M=max{eρ,Keν0ρ} 且 ω=min{ν0,1}。

以下结果提供了前面定理中出现的常数 δ 和 n 的适当估计。

推论 2.7 假设 (A0) 和 (A1) 成立。设 |U(t)|≤Ke?ν0t 对于 t≥0，K≥1 且 ν0>0。如果 ? 满足以下估计：(2.4)|?|<1KK?τln1?e?ωτ2KM+1，其中 M=max{eρ,Keν0ρ} 且 ω=min{ν0,1}，那么，方程 (1.5) 在区间 [0,+∞) 上的解的有界性意味着方程 (1.5) 满足性质 (P)。

根据 Kriche (2024) 的研究，我们在相空间 Cρ 上引入以下新的范数：|ψ|ω=supt≥0|eωtV(t)ψ|ρ，其中 ω=min{ν0,1}。那么，我们有 |ψ|ρ≤|ψ|ω≤M|ψ|ρ，其中 M 是在引理 2.6 中定义的常数。因此，可以看出范数 |?|ρ 和 |?|ω 是等价的。此外，对于每个 ψ∈Cρ 和 ζ≥0，有 |V(ζ)ψ|ω=sups≥0|eωsV(s+ζ)ψ|ρ=e?ωζsups≥0|eω(s+ζ)V(s+ζ)ψ|ρ=e?ωζsupσ≥ζ|eωσV(σ)ψ|ρ≤e?ωζsupσ≥0|eωσV(σ)ψ|ρ≤e?ωζ|ψ|ω。因此，可以看出 |V(τ)|ω<1，这保证了 I?V(τ) 的可逆性，从而 ?(I?V(τ))=Cρ。由于 Cρ 的封闭性质，我们推断出 I?V(τ) 是 SF+(Cρ) 的一个元素，且 N(I?V(τ))={0}。为了确定估计 (2.3) 中出现的 δ 值，设 ψ∈Cρ，那么有 |ψ|ω≤|ψ?V(τ)ψ|ω+|V(τ)ψ|ω≤|ψ?V(τ)ψ|ω+e?ωτ|ψ|ω，因此，(1?e?ωτ)|ψ|ω≤|ψ?V(τ)ψ|ω对于 ψ∈Cρ，那么 |ψ|ω≤11?e?ωτ|I?V(τ)ψ|ω，这意味着 |ψˉ|=|ψ|ρ≤M1?e?ωτ|I?V(τ)ψ|ρ。最后，我们可以选择 δ 的值使得 δ≤M1?e?ωτ。因此，对于 δ≤M1?e?ωτ，估计 (2.4) 确保估计 (2.3) 成立。因此，根据定理 2.5，方程 (1.5) 满足性质 (P)。

为了验证方程 (1.5) 的周期性解的唯一性，需要构建一个与方程 (1.5) 相对应的新常数变化公式。因此，我们需要将算子 AV 扩展到空间 ?Z?Cρ⊕X0，其中 X0=X0a：a∈E 且 X0a(θ)=X0(θ)a，这里 X0a 是一个不连续函数，定义为：X0a(θ)=a 如果 θ=0，0 如果 θ∈[?ρ,0]，并且 Z 是一个带有以下范数的 Banach 空间：|?+X0a|=|?|ρ+‖a‖。现在，设 AV? 是 AV 在 Z 上的连续扩展。根据 Adimy 等人 (2006) 的研究，算子 AV? 满足 Hille-Yosida 条件：存在 M?∈[1,+∞)，ν?∈R 和 p∈N 使得 ρ(AV?)?(ν?,+∞) 且 ∣(ηI?AV?)?p|≤M?(η?ν?)p,ν?<η，使得 (2.5)?m??mˉ1+k?m0，其中 m0=supReλ>0，x∈Ex≠0|eλ?x|ρ‖x‖，这样对于每个 x∈E 和 θ∈[?ρ,0]，(eλ?x)(θ)=eλθx。另一方面，方程 (1.5) 的解表示为：(2.6)vt=V(t)φ+limμ→+∞∫0tV(t?s)μ(μI?AV?)?1X0f(s)ds，t≥0。

定理 2.8 假设 (A0) 和 (A1) 成立。设 |U(t)|≤Ke?ν0t 对于 t≥0，K≥1 且 ν0>0。如果 ? 满足以下估计：(2.7)|?|<1KK?τln1?e?ωτ2KM+1，其中 M=max{eρ,Keν0ρ} 且 ω=min{ν0,1}，那么方程 (1.5) 满足性质 (UP)。此外，唯一 τ-周期性解的初始条件 ψ 满足：(2.8)|ψ|ρ≤M1+K?M0τ1?e?ωτsup?∈[0,τ]‖f(?)‖。

对于 t≥0，有 |vt|ρ≤Me?ωt|φ|ρ+MM?∫0te?ω(t?s)sup?∈[0,τ]‖f(?)‖ds。由于 AV 是 C0-半群 {V(t),t≥0} 的生成元，并且对于 t≥0 有 |V(t)|≤Me?ωt，根据估计 (1.6)，(2.5) 可以得出 M?=Mˉ1+K?M0≤M1+K?M0。进一步，我们有 ‖v(t)‖≤Me?ωt|φ|ρ+M21+K?M0∫0te?ω(t?s)sup?∈[0,τ]‖f(?)‖ds。因此，存在 C0>0 使得 ‖v(t)‖≤M|φ|ρ+M21+K?M0(1?e?ωt)wsup?∈[0,τ]‖f(?)‖≤C0。这保证了方程 (1.5) 在区间 [0,+∞) 上解的有界性。现在，定义 x 和 y 分别是具有初始条件 φ 和 ? 的方程 (1.5) 的 τ-周期性解。设 v?=x?y，所以，v? 是方程 (1.5) 的 τ-周期性解。常数变化公式 (2.6) 意味着 v?t=xt?yt=V(t)φ??。因此，我们有 |v?t|ρ≤Me?ωt|φ??|ρ。这意味着 limt→+∞?v?(t)‖=0。此外，v?(t) 的 τ-周期性确保了对于所有 t≥0，v?(t)=0，这表明方程 (1.5) 满足性质 (UP)。假设 v 是方程 (1.5) 的唯一 τ-周期性解，实际上 v 满足定理 2.5 中引入的 Poincaré 映射的不动点性质，因此有：Pτ(φ)=vτ(.,φ,?,f)=φ。等价地，φ=V(τ)φ+limμ→+∞∫0τV(τ??)μ(μI?AV?)?1X0f(?)d?。由于算子 I?V(τ) 是可逆的，我们得到 φ=I?V(τ)?1limμ→+∞∫0τV(τ??)μ(μI?AV?)?1X0f(?)d?，这表明 |φ|ρ≤11?e?ωτ‖limμ→+∞∫0τV(τ??)μ(μI?AV?)?1X0f(?)d?‖。最后，我们得出 (2.9)|φ|ρ≤M1+K?M0τ1?e?ωτsup?∈[0,τ]‖f(?)‖。

3. 在半线性情况下的周期性解 考虑初始数据 w0=φ∈Cρ 的方程 (1.1)。现在，我们展示第二个结果。

定理 3.1 假设 (A0)，(A1) 和 (A2) 成立。设 |U(t)|≤Ke?ν0t 对于 t≥0，K≥1 且 ν0>0。如果 ? 满足以下估计：(3.1)|?|<1KK?τln1?e?ωτ2KM+1，其中 M=max{eρ,Keν0ρ} 且 ω=min{ν0,1}。此外，如果存在 R>0 使得 NR,?≤RΥ 且 KR,?<1Υ，其中 Υ=τM211?e?ωτ+11+K?M0，那么方程 (1.1) 满足性质 (UP)。

设 ?Cτ?Cτ[?ρ,+∞)，E 是所有连续且 τ-周期性的函数的空间，并配备了上确界范数 |?|∞。设 ?h∈?R?{v∈Cτ:|v|∞≤R} 并取 f(t)=?(t,ht)。因此，根据定理 2.8，我们得出方程：(3.2)v?(t)=Av(t)+?v(t)+?(t,ht) 对于 t≥0，满足性质 (UP)，即：(3.3)vt=V(t)φ+limμ→+∞∫0tV(t?s)μ(μI?AV?)?1X0?(s,hs)ds 对于 t≥0。现在，为了证明定理 3.1 中的结果，我们将确认在 ?R 上定义的算子 Q：Q(h)(t)=v(t) 对于 t≥0，v?(t)?ρ≤t≤0，是一个压缩映射，其中 v(t) 是方程 (3.3) 的唯一 τ-周期性解，v? 是 v 在 [?ρ,0] 上的唯一 τ-周期性扩展。(i) 设 h∈?R，那么 |vt|ρ≤Me?ωt|φ|ρ+M21+K?M0∫0te?ω(t?s)‖?(s,hs)‖ds。? 的 τ-周期性意味着 |vt|ρ≤Me?ωt|φ|ρ+M21+K?M0∫0te?ω(t?s)sup?∈[0,τ]‖?(?,h?)‖ds≤M|φ|ρ+M21+K?M0tsup?∈[0,τ]‖?(?,h?)‖。估计 (2.8) 意味着 |vt|ρ≤M21+K?M0τ1?e?ωτsup?∈[0,τ]‖?(?,h?)‖+M21+K?M0tsup?∈[0,τ]‖?(?,h?)‖。那么 ‖Q(h)(t)‖≤M21+K?M0τ1?e?ωτ+tsup?∈[0,τ]‖?(?,h?)‖。因此 suppt∈[0,τ]‖Q(h)(t)‖≤M21+K?M0τ11?e?ωτ+1sup?∈[0,τ]‖?(?,h?)‖≤M21+K?M0τ11?e?ωτ+1NR,?≤R。因此，算子 Q 从 ?R 映射到 ?R。(ii) 设 h1,h2∈?R，那么 |vt1?vt2|ρ≤Me?ωt|φ1?φ2|ρ+1+K?M0M2∫0te?ω(t?s)‖?(?,h?1)??(?,h?2)‖d?。再次，根据估计 (2.8)，我们有 |vt1?vt2|ρ≤M21+K?M0τ1?e?ωτsups∈[0,τ]‖?(s,hs1)??(s,hs2)‖+M21+K?M0τsups∈[0,τ]‖?(s,hs1)??(s,hs2)‖。因此，(3.4)|vt1?vt2|ρ≤M21+K?M0τ11?e?ωτ+1sups∈[0,τ]‖?(s,hs1)??(s,hs2)‖。另一方面，由于 ‖?(s,hs1)??(s,hs2)‖≤KR,?|hs1?hs2|ρ，函数 h 在 [?ρ,+∞) 上的 τ-周期性意味着 |hs1?hs2|ρ=sups∈[?ρ,0]‖h1(s+θ)?h2(s+θ)‖=supσ∈[?ρ,τ]‖h1(σ)?h2(σ)‖=supσ∈[0,τ]‖h1(σ)?h2(σ)‖。因此，我们得出 (3.5)‖?(s,hs1)??(s,hs2)‖≤KR,?supσ∈[0,τ]‖h1(σ)?h2(σ)‖。从不等式 (3.4)，(3.5) 中，我们得出 |vt1?vt2|ρ≤M21+K?M0τ11?e?ωτ+1KR,?supσ∈[0,τ]‖h1(σ)?h2(σ)‖，这意味着 sup?∈[0,τ]‖Q(h1)(t)?Q(h2)(t)‖≤τM211?e?ωτ+11+K?M0KR,?supσ∈[0,τ]‖h1(σ)?h2(σ)‖。因此 |Q(h1)?