基于Kumar–Sloan方法的高精度多Galerkin方法用于求解非线性Volterra积分方程组

《Mathematics and Computers in Simulation》：Highly accurate multi-Galerkin method for systems of nonlinear Volterra integral equations based on Kumar–Sloan approach

　　克里希纳·穆拉里·马拉夫（Krishna Murari Malav）、卡皮尔·坎特（Kapil Kant）、萨米兰·查克拉博蒂（Samiran Chakraborty）和乔伊迪普·达尔（Joydip Dhar）
印度学院信息技术与管理学院（ABV-Indian Institute of Information Technology and Management）工程科学系，瓜廖尔（Gwalior），474 015，印度

**摘要**
在本文中，我们应用基于库马尔-斯隆方法（Kumar-Sloan approach）的多伽辽金方法（multi-Galerkin method），结合分段多项式基函数（piecewise polynomial basis functions），来求解具有光滑和弱奇异核的Volterra-Hammerstein积分方程组。首先，我们利用分段多项式逼近子空间（piecewise polynomial approximation subspaces）发展了多伽辽金方法的数学表述，用于求解此类方程组。随后，我们推导了误差估计并建立了改进的收敛速率。为此，我们为光滑核构建了均匀网格（uniform mesh），为弱奇异核构建了分级网格（graded mesh）在区间[0,1]上。此外，我们证明了基于库马尔-斯隆方法的多伽辽金方法无需使用迭代算法即可获得超收敛结果。因此，可以看出，在保持相同系统规模的情况下，多伽辽金方法的表现优于传统的伽辽金方法（Galerkin method）。最后，我们提供了数值实验结果来验证理论结论，并确认了预期的收敛速率。

**引言**
包含光滑或弱奇异核的非线性Volterra积分方程组（nonlinear Volterra integral equations，VIEs）因其广泛应用于各种科学和工程领域而受到了广泛关注。这类系统是研究多种现象的基础模型，包括种群动态、流行病传播、地震波分析、微观成像、原子相互作用、天文观测、雷达技术、电子发射、等离子体行为、光纤评估、X射线诊断等（参见[1],[2],[3],[4],[5],[6]）。

设X=L∞[0,1]表示一个巴拿赫空间（Banach space）。现在我们研究如下形式的r个非线性VIEs：
$$
yp(t) - \int_{0}^{t} h_p(t, \theta) k_p(t, \theta) \phi_p(\theta, y_1(\theta), y_2(\theta), \ldots, y_r(\theta)) \, d\theta = g_p(t), \quad t \in [0,1], \quad 1 \leq p \leq r,
$$
其中：
- 当核函数光滑时，$ h_p(t, \theta) = 1 $；
- 当核函数弱奇异时，$ h_p(t, \theta) = (1 - \alpha_p)^{-p}, \quad 0 < \alpha_p < 1 $；
给定已知函数 $ g_p(\cdot) $（对于 $ 1 \leq p \leq r $）和 $ k_p(\cdot) $（对于 $ 1 \leq p \leq r $），并且这些函数具有足够的可微性，目标函数 $ y_1, y_2, \ldots, y_r $ 需要在巴拿赫空间X中确定。

通常，求解非线性VIEs（1.1）–（1.2）的系统显式解是非常具有挑战性的。因此，需要数值技术来获得近似解。文献中已经开发并研究了多种数值方法，例如Adomian分解法（Adomian decomposition method）、Sinc逼近法（Sinc approximation method）、配置法（collocation method）、Runge–Kutta方法（Runge–Kutta method）、连续逼近法（successive approximations method）、Nystrom方法、同伦扰动法（homotopy perturbation method）、Petrov–Galerkin方法（Petrov–Galerkin method）等，用于求解这类方程（[7],[8],[9],[10]）。然而，对于单个非线性VIEs，伽辽金法（Galerkin method）、配置法（collocation method）和多伽辽金法（multi-Galerkin method）是成熟的方法。对于具有光滑或弱奇异核的单个非线性VIEs的解析行为和规律性已在[11],[12],[13],[14]中进行研究。在[15]中，Blom等人使用配置法求解了光滑核的单个非线性VIEs；在[12]中，Brunner等人将这些结果扩展到弱奇异核上以求解此类积分方程。在[16]中，Song等人探讨了利用分段多项式子空间对第三类非线性VIEs进行逼近。Zhang等人[17]使用伽辽金方法研究了光滑核的单个非线性VIEs的数值解，并进一步采用基于插值的后处理方法研究了收敛行为。Aghajani等人[18]建立了一些关于单个性非线性VIEs解存在性的结果。在[19],[20]中，作者讨论了基于库马尔-斯隆方法的配置法（Kumar–Sloan based collocation method），利用 degree ≤r?1 的分段多项式来提高单个非线性Fredholm积分方程的收敛速率。Brunner等人[21]研究了使用分级网格的分段多项式样条逼近，并证明近似解的收敛速率为O(n?m)，其中n表示划分的数量。在[22]中，Ghoreishi等人应用Tau方法求解单个非线性VIEs的数值解；Tao等人[23]探讨了用于求解第二类弱奇异非线性VIEs的外推方法，并获得了O(h2?α)的收敛速率；而Baratella[24]引入了使用Gauss–Radau节点的Nystrom插值法求解单个非线性VIEs。最近，Chakraborty等人[25]应用基于库马尔-斯隆方法的伽辽金法和多伽辽金法求解具有光滑和弱奇异核的单个非线性VIEs，并在没有使用迭代算法的情况下获得了超收敛结果。在他们扩展的工作[8]中，他们研究了使用雅可比多项式（Jacobi polynomials）的伽辽金方案及其迭代变体，并为两种类型的核的非线性VIEs系统建立了改进的收敛速率。此外，他们基于库马尔-斯隆方法，不需要迭代版本，就多伽辽金方案建立了超收敛结果，用于近似非线性VIEs系统（[7]）。

本研究的主要动机是为非线性VIEs（1.1）–（1.2）系统建立超收敛结果，通过使用分段多项式逼近改善了之前对单个非线性VIEs的研究结果。然后我们获得了多伽辽金方法的超收敛结果，而无需使用其迭代方案。研究最初集中在分析非线性VIEs解的光滑性条件上。接着，我们应用基于库马尔-斯隆方法的多伽辽金方法，结合分段多项式基函数求解这些系统，并获得了无需迭代即可的超收敛结果。

在本文中，我们使用基于库马尔-斯隆方法的多伽辽金方法求解具有光滑和弱奇异核的VIEs系统，并获得了改进的收敛速率。对于光滑核，证明了相应的库马尔-斯隆逼近通过多伽辽金方法以O(n?4m)的速率收敛，其中n表示划分的数量，m表示所使用的分段多项式基函数的阶数；对于弱奇异核，多伽辽金逼近的收敛速率为O(n?3m)。因此，无需使用迭代版本，所获得的超收敛速率与迭代多伽辽金方法相当。

**本文的主要贡献如下：**
- 我们将基于库马尔-斯隆方法的多伽辽金方法扩展到了非线性Volterra–Hammerstein积分方程系统，这比单方程情况更具挑战性，因为涉及多个未知函数。
- 我们利用分段多项式逼近空间发展了多伽辽金方法的数学表述，有效近似了这类非线性方程系统。
- 该方案既适用于光滑核，也适用于弱奇异核：对于光滑核使用均匀网格，对于弱奇异核使用分级网格，以提高数值精度。
- 我们建立了改进的收敛结果，并证明了基于库马尔-斯隆方法的多伽辽金方法无需使用迭代方案即可实现超收敛，从而降低了计算成本同时保持了高精度。

**本文的结构如下：**
第2节讨论了精确解的规则性质，并研究了基于库马尔-斯隆方法的多伽辽金方法，用于求解类型（1.1）–（1.2）的非线性VIEs系统。第3节建立了相应的超收敛性分析。第4节提供了数值示例来验证理论结果。最后，第5节总结了研究结果和未来的研究方向。

**术语说明**
**多伽辽金方法（Multi-Galerkin method）：** 非线性Volterra-Hammerstein积分方程系统
设X为巴拿赫空间（Banach space），则X^r（r次重复）配备了范数定义 ‖Y∞=∑_{i=1}^{r} ‖y_i∞︰Y=(y_1,y_2,…,y_r)T∈X^r。
考虑类型（1.1）–（1.2）的r个非线性VIEs系统。系统（1.1）可以重写为
$$
yp(t) = \sum_{p=1}^{r} \psi_p(y_1,y_2,…,y_r)(t) + g_p(t),
$$
其中积分算子?_p(t)定义为
$$
\psi_p(y_1,y_2,…,y_r)(t) = \int_{0}^{t} h_p(t, \theta) k_p(t, \theta) \phi_p(\theta, y_1(y_1,\theta), y_2(y_2,\theta), \ldots, y_r(y_r)) \, d\theta.
$$
**超收敛性分析（Superconvergence analysis）：**
在本节中，我们讨论了使用基于库马尔-斯隆方法的多伽辽金方法求解非线性VIEs系统的解的存在性和唯一性，并获得了超收敛结果。

**数值结果（Numerical results）：**
这里，我们通过分段多项式基函数在子空间X_n上进行数值实验，以支持理论发现。我们计算误差并确定了多伽辽金逼近的相应收敛阶数。设Y为精确解，Y_nM表示由（2.35）定义的多伽辽金逼近。对于光滑核，有 ‖Y_nM?Y∞=O(n?σ1)；对于弱奇异核，有 ‖Y_nM?Y∞=O(n?σ2)。

**结论与未来研究方向（Conclusion and future scope）：**
在本文中，我们研究了使用库马尔-斯隆方法求解具有光滑和弱奇异核的第二类非线性VIEs系统的多伽辽金方法，并通过一些数值示例展示了所提方法的有效性、效率和准确性。数值实验和理论结果表明，所提方法无需使用迭代版本即可实现超收敛结果。为了获得更精确的解，需要适当的区间。

**作者贡献声明（Authorship contribution statement）：**
克里希纳·穆拉里·马拉夫（Krishna Murari Malav）：验证、软件开发、方法论、概念化；
卡皮尔·坎特（Kapil Kant）：验证、监督、软件开发、方法论、概念化；
萨米兰·查克拉博蒂（Samiran Chakraborty）：验证、软件开发、数据整理；
乔伊迪普·达尔（Joydip Dhar）：验证、数据整理。

**利益冲突声明（Declaration of competing interest）：**
作者声明没有利益冲突。