在具有任意分散的内部热源的球体中对有效热導率进行建模：一种结合微观结构解释的分析方法

《Powder Technology》：Modeling effective thermal conductivity in spheres with arbitrarily dispersed internal heat sources: An analytical approach with microstructural interpretation

　　罗一阳|桂楠|卢铁忠|涂继元|姜声尧
清华大学核能与新能源技术研究所，先进核能源技术协同创新中心，教育部先进反应堆工程与安全重点实验室，北京100084，中国

摘要
首次提出了一个解析解，用于计算包含任意分布的内部热源的球形物体的有效热导率，这些热源的数量、位置和功率水平各不相同。该模型能够对这些球体的热性能进行理论分析，解决了传统有效热导率公式在考虑内部热源影响方面的局限性。为了定量评估热源粒子的空间分布，引入了几种指标。通过结合Delaunay三角剖分和Dijkstra算法，提出了最小热传递路径dmin作为从内部热源到球体表面的广义热阻的指标。变异系数CVg用于评估热源之间的功率差异。此外，还确立了一个无量纲的功率加权热传递路径参数ξ，以综合考虑空间和功率分布的影响。该参数反映了球体内热传递的整体热阻，并为有效热导率提供了微观解释。详细分析了ξ与keff之间的相关性。将所提出的解析模型和评估指标应用于含有成千上万燃料粒子的燃料球。研究表明，调整粒子位置的径向分布参数会影响dmin；当粒子集中在球体中心附近时，dmin增加，表明热阻增大，散热效果变差。在总功率恒定的情况下，填充分数的变化主要影响复合材料本身的热导率。引入热源后，不同填充分数下的有效热导率变化程度相似。较大的热源区域半径也有助于提高热传导性能。观察到无量纲有效热导率keff /k与ξ之间存在强相关性（ρs = ?0.998，p < 0.001），证实ξ可以作为热性能的机制描述符。较小的ξ值表示高功率热源更靠近表面，有助于散热，降低广义热阻，从而提高有效热导率。这种配置增强了安全性和整体热性能。

引言
涉及热源的热传递问题在能源领域具有重要意义[1]，[2]。在各种热源分布模式中，分散的内部热源是一种较为复杂的情景。热源的不连续性增加了热传递分析的复杂性。目前，关于这类不连续、任意分布的内部热源的研究仍不足，主要是因为缺乏理论分析方法。大多数方法是将分散的内部热源均匀化，并将其视为连续介质进行研究[3]。虽然这种简化便于分析，但也降低了解决方案的准确性。此外，现有研究主要集中在温度分布上，而等效热导率的建模理论分析较为缺乏，这也是一个同样关键的课题。

有效热导率是评估复合材料热传递能力的关键指标[4]，[5]。现有的许多有效热导率计算模型主要关注复合材料的组成和分布，常常忽略内部热源的影响。虽然没有内部热源的复合材料的热导率有很多经验公式，如简单的串联并联模型[6]，[7]和Maxwell模型[8]，但这些模型在存在内部热源时就不适用了，因为热源会改变热流的大小和方向。在这种情况下，仅应用热边界条件无法得出实际的有效热导率。因此，忽略内部热源的模型适用性较差，当热源分布不连续时，挑战更加严峻。Liu等人的研究[9]表明，忽略内部热源的有效热导率模型无法准确预测具有内部热生成的系统的温度。因此，研究考虑内部热源的有效热导率是必要的。

本文的研究方法包括实验、数值和理论方法。一些学者通过实验研究了具有内部热源的组件的有效热导率[10]，[11]。在数值模拟中，采用多种方法研究内部热生成下的有效热导率，主要通过温度场计算。这些方法从微观或局部尺度模拟（如分子动力学[12]和蒙特卡洛[13]），到更大尺度的研究（如热离散元方法（TDEM）[14]，[15]，[16]或新型热阻网络模型[17]，用于模拟燃料球床中的温度场并推导整体热导率。尽管实验和数值方法能提供相对准确的结果，但它们往往成本较高，缺乏普适性，也无法揭示潜在的微观机制。此外，它们往往忽略了内部热源的形式和影响。

对内部热源问题的理论分析仍然有限。虽然一些研究从温度场的解析解中推导出有效热导率，但这些方法通常仅限于一维或高度简化的情景[18]，[19]，因此不适用于复杂的空间结构或多维问题。Eskandari-Ghadi等人在[20]中利用最小人工势能和互补能量的原理，严格推导了存在内部热源时有效热导率的上限和下限。Maakoul等人在[21]中应用了电阻和四极子概念来分析内部热源的热传导，但没有进一步发展有效热导率的表达式。Liu等人[9]，[22]，[23]，[24]，[25]，[26]，[27]对具有分散热源的高温气冷反应堆（HTGR）燃料球的有效热导率进行了广泛研究。他们的方法将具有分散热源的球形粒子类比为平板，得出了有效热导率的表达式。然而，这些表达式中的某些参数仍依赖于数值方法，且假设热源均匀分布限制了其适用性。深入探讨热源位置和功率变化对有效热导率的影响仍有待研究。

总体而言，包含内部热源的有效热导率的理论或解析研究仍不足，大多数研究仅限于简单的一维情况[28]。关于不连续、分布式内部热源（特别是分散形式）的研究仍然很少，尤其是在球坐标系中的三维分析非常有限。这类分析至关重要，例如HTGR中的燃料球含有大量分散的TRISO粒子作为内部热源。对这些系统进行准确的热分析对于反应堆设计和安全至关重要[29]，[30]。在我们之前的工作[31]中，我们得出了包含分散内部热源的球体内三维温度场的解析解，并展示了其初步应用，为进一步分析内部热生成下的有效热导率奠定了基础。

内部热源的空间分布显著影响有效热导率。从复合材料的形态和空间分布的角度来看，建立定量评估指标是预测有效热导率的有效方法。尽管一些现有研究提出了预测复合材料热导率的定量指标（例如Wei等人[32]使用形状因子、通道因子、瓶颈、垂直非均匀性和基于机器学习的主导路径等描述符来评估复合材料的有效热导率），但目前关于具有球形分散小粒子的复合材料的有效热导率的定量评估指标的研究仍然有限，特别是与热传递路径相关的指标。更重要的是，涉及内部热源的情景研究仍然很少。Peng和Zhu等人[33]，[34]使用了Voronoi镶嵌和Delaunay三角剖分来表征分散粒子之间的相对位置关系，但他们没有建立其与热传导行为的联系。总体而言，需要进一步研究热源粒子的空间排列和功率分布对热传导的影响。

Dijkstra算法在多个学科中广泛应用[35]，是一种确定最短路径的方法。鉴于其鲁棒性和通用性，以及目前缺乏分析具有离散点分布内部热源系统的热传递路径的定量指标，将Dijkstra算法与热传递路径分析相结合是一个有前景的方法。

在三维球坐标系中任意分布的内部热源的温度场解析解的基础上，本研究首次推导出了基于平均温度等价性的有效热导率解析表达式，该表达式同时考虑了热源粒子的空间分布和功率。为了定量描述分散内部热源的统计分布并评估从内部粒子到球体表面的热传递路径，引入了一个无量纲参数ξ，该参数表示功率加权的热传递路径长度，能够考虑功率不均匀性效应，并提供了新的工程评估指标和确定有效热导率的解析方法。利用这些提出的工具，进一步分析了不同热源粒子分布对有效热导率的影响。本文讨论的热源是离散且任意分布的，从高密度（填充分数高）到稀疏不等，具体分布模式正是本研究的目标。文章结构如下：第2节介绍模型推导和解析解；第3节介绍评估指标；第4节提供定量讨论和工程建议；第5节总结研究。

有效热导率的推导
在之前的工作[31]中，基于点源近似并使用Green函数方法，得出了包含任意分散内部热源的球体内三维温度分布的解析解，如方程（1）所示：
Trμ? = Tb + ∑i=1N particlegi∑n=0∞∑m=0n1/2n+1minrr/in+1/21?maxrrirs2n+11π1+δm0/1/Nnmrri?1/2PnmμPnmμicosm???iδm0=1, m=0, 0其中trμ?表示温度；tb表示边界温度……

热源配置的评估
方程（16）表明，包含三维分散内部热源的球体的有效热导率keff取决于多个因素，包括各个热源节点的空间坐标和功率，以及复合材料本身的热导率k。虽然确定k超出了本研究的范围，但主要关注点仍然是内部热源的影响。

验证
本文提出的有效热导率公式是基于温度分布推导的。我们之前的工作[31]使用有限体积法（fvm）验证了球体内多个任意分布的内部热源的温度分布，理论值与数值结果非常吻合。在此基础上，我们进一步基于特定案例进行理论验证和讨论。考虑一个半径为1米的球体……

讨论
本文提出的评估指标可以应用于包含内部热源的球形系统的热分析。一个典型的应用是htgr燃料球，它示例了具有分散和不连续分布内部热源的球体中的热传导。这类球体含有成千上万的triso燃料粒子，其安全分析至关重要[41]。因此，htgr燃料球作为模型分析的案例研究……

结论
本研究提出了一个基于平均温度等价性的解析模型，用于计算含有任意分散内部热源的球体的有效热导率。为了解决缺乏将热源分布与热性能联系起来的定量指标的问题，引入了一种结合delaunay三角剖分和dijkstra算法的方法来确定单个热源的最小热传递路径dmin。变异系数用于表征……

作者贡献声明
罗一阳：撰写——原始草稿，形式化分析；
桂楠：监督，概念化；
卢铁忠：数据整理；
涂继元：验证；
姜声尧：资源，项目管理，资金获取。

利益冲突声明
作者声明没有利益冲突。 nnm=22n+1n+m!n?m! 其中trμ?表示温度；tb表示边界温度…… 热源配置的评估 方程（16）表明，包含三维分散内部热源的球体的有效热导率keff取决于多个因素，包括各个热源节点的空间坐标和功率，以及复合材料本身的热导率k。虽然确定k超出了本研究的范围，但主要关注点仍然是内部热源的影响。 验证 本文提出的有效热导率公式是基于温度分布推导的。我们之前的工作[31]使用有限体积法（fvm）验证了球体内多个任意分布的内部热源的温度分布，理论值与数值结果非常吻合。在此基础上，我们进一步基于特定案例进行理论验证和讨论。考虑一个半径为1米的球体…… 讨论 本文提出的评估指标可以应用于包含内部热源的球形系统的热分析。一个典型的应用是htgr燃料球，它示例了具有分散和不连续分布内部热源的球体中的热传导。这类球体含有成千上万的triso燃料粒子，其安全分析至关重要[41]。因此，htgr燃料球作为模型分析的案例研究…… 结论 本研究提出了一个基于平均温度等价性的解析模型，用于计算含有任意分散内部热源的球体的有效热导率。为了解决缺乏将热源分布与热性能联系起来的定量指标的问题，引入了一种结合delaunay三角剖分和dijkstra算法的方法来确定单个热源的最小热传递路径dmin。变异系数用于表征…… 作者贡献声明 罗一阳：撰写——原始草稿，形式化分析； 桂楠：监督，概念化； 卢铁忠：数据整理； 涂继元：验证； 姜声尧：资源，项目管理，资金获取。 利益冲突声明>其中trμ?表示温度；tb表示边界温度……

热源配置的评估
方程（16）表明，包含三维分散内部热源的球体的有效热导率keff取决于多个因素，包括各个热源节点的空间坐标和功率，以及复合材料本身的热导率k。虽然确定k超出了本研究的范围，但主要关注点仍然是内部热源的影响。

验证
本文提出的有效热导率公式是基于温度分布推导的。我们之前的工作[31]使用有限体积法（fvm）验证了球体内多个任意分布的内部热源的温度分布，理论值与数值结果非常吻合。在此基础上，我们进一步基于特定案例进行理论验证和讨论。考虑一个半径为1米的球体……

讨论
本文提出的评估指标可以应用于包含内部热源的球形系统的热分析。一个典型的应用是htgr燃料球，它示例了具有分散和不连续分布内部热源的球体中的热传导。这类球体含有成千上万的triso燃料粒子，其安全分析至关重要[41]。因此，htgr燃料球作为模型分析的案例研究……

结论
本研究提出了一个基于平均温度等价性的解析模型，用于计算含有任意分散内部热源的球体的有效热导率。为了解决缺乏将热源分布与热性能联系起来的定量指标的问题，引入了一种结合delaunay三角剖分和dijkstra算法的方法来确定单个热源的最小热传递路径dmin。变异系数用于表征……

作者贡献声明
罗一阳：撰写——原始草稿，形式化分析；
桂楠：监督，概念化；
卢铁忠：数据整理；
涂继元：验证；
姜声尧：资源，项目管理，资金获取。

利益冲突声明
作者声明没有利益冲突。>