结合弹性塑性有限元方法和拉伸试验，研究典型冷锻材料的流动特性及其流动模式

《Results in Materials》：Combined elastoplastic finite element method and tensile test for flow characterization of representative cold forging materials and their flow patterns

　　M.S. Joun | H.M. Lee | S.H. Chung | W.J. Chung | S.M. Hong
韩国庆尚国立大学机械与航空航天工程学院，金珠市，52828

摘要
本文提出了一种结合弹性塑性有限元方法和拉伸试验（EP-CF&T）的方法，用于表征室温下大应变条件下的碳钢的流动行为。该方法通过圆柱形拉伸试验获取颈缩后应变硬化（PostSH）区域的流动曲线，并考虑了该区域内的回弹现象。为了获得优化的EP-CF&T流动曲线，提出了一种通用方案，该方法基于刚性塑性有限元方法（RP-FEM）和拉伸试验（RP-CF&T）联合得到的初始流动曲线。在双重流动表征方法中，通过优化的弹性变形修正函数迭代改进初始RP-CF&T流动曲线。在改进流动曲线和评估结果过程中，颈缩点和Considère条件是重要的参考依据。应用实例表明，EP-CF&T是一种数值上稳健且实用的方法，可以准确获取流动曲线，从而利用弹性塑性有限元方法（EP-FEM）准确预测拉伸试验结果。七种材料的平均断裂载荷误差为0.21%。通过将EP-CF&T方法应用于典型的可锻材料，验证了其有效性。应变硬化率（SHR）被用来揭示流动特性的差异，并将流动模式分为六类。

1. 引言
批量金属成形计算机辅助工程技术正在推动相关行业的创新，取代了传统的试错方法。在这一领域，人们持续关注有限元（FE）预测的准确性随时间的变化。影响预测精度的因素包括材料模型、流动行为、过程数值模型、摩擦模型、网格质量以及数值因素[1][2][3][4][5]。流动行为受到弹性应变、塑性应变、应变率、温度、损伤和微观结构等多种因素的影响[6]。在冷板成形过程中，材料的弹性应变会显著影响工艺和产品的最终形状和质量[7][8][9]。然而，在大多数冷批量金属成形过程中可以忽略弹性应变[10][11][12]。已经开发了多种用于室温下金属材料的流动表征方法[13][14][15][16][17]。其中，拉伸试验因其涉及显著的塑性变形而最具吸引力，但即使许多研究者尝试通过测量[18]或预测[19]颈缩现象来解决这一问题，也使得在颈缩后应变硬化（PostSH）区域的流动行为表征变得困难。此外，如果不考虑Considère条件[20]得到的流动曲线无法准确预测拉伸试验结果。例如，如果在未考虑Considère条件的情况下外推颈缩前应变硬化（PreSH）区域的实验流动曲线，则无法准确预测拉伸试验的结果。传统方法[21][22][23][24][25][26]基于实验数据以及简单的封闭形式流动函数[27]和修正公式。Bridgman[18]测量了颈缩区域的曲率，这可以为PostSH流动行为提供信息[23][28]。然而，用于室温下大应变条件下的流动特性表征的传统方法是错误的[29]，并且难以应用于某些金属材料，包括不锈钢[30][31]、特殊热处理钢[32]以及新材料[33][34]等。实验方法通常关注低应变范围，因此依赖简单的封闭形式流动模型，如Ludwik、Voce、Hollomon和Swift模型及其变体。
值得注意的是，即使是化学成分相同的金属，在预处理方式不同的情况下也可能表现出显著不同的宏观行为。例如，经过预热处理的ESW钢[32]与其原始化学成分相同的钢有所不同。因此，在大应变条件下表征金属材料的室温流动行为具有挑战性。相反，描述简单流动模型无法捕捉的大应变下的独特流动行为的研究变得越来越重要，尤其是在板料成形领域，因为需要完整的流动信息来进行裂纹或碰撞模拟。开发复杂的测量技术（如数字图像相关技术[DIC][35][36][37][38][39]）加速了这些研究的发展。因此，在这个计算机辅助工程时代，需要一种通用且可计算机化或自动化的流动表征算法。三十年前，基于FEM或结合FEM和实验方法的逆向技术[40][41][42]被用于表征流动行为，这些技术在不同方面取得了进展。最近，一些研究者采用数字图像修正技术直接测量颈缩区域的变形，显著改变了流动表征的方法。根据是否依赖DIC及相关技术，流动表征算法可分为两类：非DIC类[16][30][43][44][45][46][47][48][49][50][51][52][53][54]和DIC类[55][56][57][58][59][60][61][62]。DIC类方法显然具有通用性优势，但非DIC类方法在某些情况下仍具有明显优势，例如当使用强大的FEM分析拉伸试验时，非DIC方法可能更为准确、简单且实用。

Joun等人[46]开发了一种实用的方法，通过RP-CF&T从圆柱形拉伸试验中表征室温下的流动应力。该方法适用于ESW105[32]（最大应变0.9）、SCM 435[63]（0.56）、SWCH10A[64]（0.4）、SUS304[31]（0.6）等材料的流动应力表征。许多研究者[16][30][52][65][66][67][68][69][70][71]提出了多种利用FE预测从拉伸试验中表征流动行为的方法。然而，冷成形温度范围内的流动行为仍然了解不足。

有假设[72][73][74]认为，在使用弹性塑性有限元方法（EP-FEM）进行圆柱形拉伸试验预测颈缩现象时，需要各种初始缺陷。当采用简化的理想分析模型（即量具长度为四边形且末端无摩擦的结构网格）时，这些缺陷会降低预测的可靠性。考虑到这些缺陷对PostSH的影响，使用它们会严重损害预测结果的准确性。相反，刚性塑性FEM（RP-FEM）在适当的网格条件下，无需缺陷即可准确预测颈缩点[19]。在RP-FEM中，由于通常通过牛顿-拉夫森方法直接求解非线性FE方程而产生的残余误差可能被忽略，但这有助于可靠地预测颈缩现象。然而，从EP-FEM应用的角度来看，需要适当的补充措施来考虑PostSH区域的回弹现象，尤其是在断裂点的工程应力远低于抗拉强度时。

在刚性塑性材料模型中，弹性（或刚性）区域不可避免地会发生数值塑性变形。这种现象是由于弹性区域内的偏应力()与应变率()的关系[75]所致：
(1)
其中表示有效应变率，表示最小允许的有效应变率，是一个很小的正常数。该变量对于区分RP-FEM中的刚性和塑性区域至关重要。公式（1）表明，属于刚性区域的材料在刚性塑性有限元（RP-FEM）分析拉伸试验时必须持续发生拉伸变形。靠近量具标记的刚性区域在颈缩后会逐渐扩大。由于拉伸试样纵向方向的拉伸应力分量在此弹性区域减小，因此会出现回弹现象。结果，颈缩后弹性区域会发生纵向收缩。这种分析结果与实验结果之间的差异揭示了刚性塑性的局限性。为了克服上述刚性塑性的局限，应使用EP-FEM来表征流动行为或流动曲线。然而，使用量具长度模型[19]通过EP-FEM进行分析时，必须引入人为缺陷以违反解的唯一性[72][73][74]，其大小显著影响颈缩和PostSH的现象。

本研究提出了一种新颖的结合EP-FEM和拉伸试验（EP-CF&T）的方法，用于表征用于自动多阶段冷锻的SWCH10A碳钢。该方法通过考虑PostSH期间的弹性变形，系统且迭代地改进了RP-FEM和拉伸试验（RP-CF&T）流动曲线的准确性。与弹性塑性有限元（EP-FEM）分析拉伸试验所需的人为缺陷不同，该方法通过使用RP-FE预测作为初始猜测，间歇性地引入数值不完整性。利用SWCH10A建立的EP-CF&T方法，获得了自动多阶段冷锻用材料（如SCM435、SWCH45F、S25C、SUS304、A6061和ESW105[5][31][63][64]）的高精度EP-CF&T流动曲线。然后对这些材料的流动行为进行比较，将其分类为六种基本流动模式。此外，还利用EP-CF&T流动曲线对拉伸试验进行了深入研究，以强调其实用性。本研究中的所有FE解都是使用通用金属成形模拟软件AFDEX（Altair APA）[76]获得的。

2. 从拉伸试验分析的角度看RP-FEM和EP-FEM的差异
2.1. 拉伸试验与RP-CF&T
本文使用SWCH10A碳钢的拉伸试验[5]来表征材料在室温下的流动行为。假设材料是各向同性的，并遵循Huber-von Mises屈服准则。试样的直径和量具长度分别为6.25毫米和25毫米，屈服强度和抗拉强度分别为305 MPa和356 MPa，弹性模量和泊松比分别为210 GPa和0.3[77]。拉伸试验包括弹性部分和塑性部分，两者由屈服点分隔。在屈服之前，实验拉伸试验结果可能包括夹具与试样之间的滑动，因此通常无法表示拉伸试验弹性部分的弹性模量斜率。在RP-CF&T过程中，会去除拉伸试验结果中的弹性部分（称为工程弹性应变）[46][78]，剩余的工程应变称为塑性工程应变。需要注意的是，有时为了符号一致性，与对应的工程应力（表示为）可能用来表示。
图1下方的实线是工程应力-塑性工程应变曲线（称为实验-曲线）。该曲线是通过排除SWCH10A实验拉伸试验中的弹性部分和可能发生断裂的区域构建的修改后的拉伸试验结果[5]。

使用RP-CF&T[46]，根据实验-曲线获得了SWCH10A的RP-CF&T流动曲线，并用图1上方的实线表示。图1中实验-曲线上的点N和F分别对应颈缩点和断裂点。流动曲线上的点N’表示断裂点；而图1中流动曲线上的点F’表示断裂区域的流动应力，该区域在拉伸试验过程中经历了严重的应变不均匀性。值得注意的是，FE预测[78]涵盖了RP-CF&T能够获取流动信息的最大塑性工程应变。该点的面积平均有效应变通常略小于实际断裂点的最大有效应变[79]。
需要说明的是，RP-CF&T不需要关于变形的任何实验信息（量具长度的伸长除外），因为确定流动函数的迭代优化算法会找到满足工程应力-应变曲线的最佳变形。需要注意的是，在相关研究[31]中，通过比较实验和FE预测得到的拉伸试样的变形形状，发现这种方法可以给出一个可接受的变形结果。然而，将这种算法扩展到非圆柱形试样的情况可能会遇到一些困难。2.2. 拉伸试验的流函数和RP-FEM分析在图1的上方面板中，虚线和实线分别由缩颈点N’分隔，部分描述了从拉伸试验结果得到的流动曲线，分别代表PreSH和PostSH。PreSH流动曲线是根据以下修改后的Hollomon定律制定的：(2)其中 和 分别表示有效应力和有效应变。 是屈服强度。应变硬化指数 通过以下Considère条件计算得出：(3)其中 是缩颈点的塑性工程应变，强度系数 通过以下方式确定以满足拉伸强度[49]：(4)其中 是缩颈点的工程应力。为了提高RP-CF&T中PostSH流动函数的灵活性，使用了以下广义Hollomon定律[49]：(5)其中 是强度系数函数。同时， 被表示为在样品有效应变处定义的样品强度系数的分段线性函数。因此，RP-CF&T可以总结为一个系统程序，用于确定在样品有效应变处定义的样品强度系数，从而准确预测相关的拉伸试验结果。图2显示了用于表示图1中SWCH10A的PostSH部分的流动曲线的强度系数函数。它由11个样品点定义的分段线性函数描述。在迭代计算过程中，样品有效应变和样品强度系数逐步改进，以获得更精确的流动曲线。下载：下载高分辨率图片（144KB）下载：下载全尺寸图片图2. 图1中RP-CF&T流动曲线的分段线性强度系数函数如图2所示，SWCH10A的RP-CF&T强度系数随有效应变的变化很小。换句话说，它接近Hollomon定律。然而，这只是特殊情况，通常存在明显的功能关系[31]、[32]、[63]、[64]。值得注意的是，在PreSH区域，理论上准确的流动曲线总是可以通过 和 之间的关系以及实验-曲线来计算。然而，在本研究中，为了与使用广义Hollomon定律制定的PostSH流动曲线保持一致，采用了方程(2)中的修改后的Hollomon定律。需要强调的是，PreSH和PostSH流动函数应同时满足Considère条件（方程(3)）和缩颈点的拉伸强度（方程(4)）。2.3. 拉伸试验的FE分析模型和RP-FEM预测缩颈是一个由于机械-冶金不稳定性而产生的特殊自然现象[19]、[79]、[80]、[81]。当主缩颈变形发生在量标标记之间时，拉伸试验结果之间的差异并不显著。因此，假设缩颈发生在量标标记的中点，并且考虑到自上而下的对称性，半分析模型是合适的。在FE网格系统的上部放置了一个无摩擦的模具（或夹具），该模具不允许材料分离，并在下部施加自上而下的对称性条件（在数值上与不可分离且无摩擦的模具相同）。图3显示了本研究中使用的13(r)-by-289(z)网格结构的FE网格系统（节点数=3757，元素数=3456）。由于已经发现由于不稳定性导致的缩颈在数值上可能发生在上部或下部[19]，因此在材料的上部和下部放置了密集的元素，如图3(a)所示。图3(a)被用于图1中PostSH流动曲线的RP-CF&T分析。除非另有说明，否则将使用图3(a)中的FE网格系统。相反，图3(b)将用于第4节，以评估元素密度对流动特性的影响。下载：下载高分辨率图片（745KB）下载：下载全尺寸图片图3. 拉伸试验的FE网格系统每个分析步骤中上部夹具的移动距离设置为0.0026毫米（行程/1500），对应于0.00042的工程应变，以最小化步长对FE预测的影响。由于忽略了流动行为的速率依赖性，上部模具的速度固定在1.0毫米/秒，方程(1)中的最小允许应变率假定为0.0001。因此，RP-FEM结果中的有效应变率为0.0001，可以区分数值上弹性（理论上刚性）和塑性区域（见图6）。另一方面，在EP-FEM中，弹性区域的有效应变率为0。下载：下载高分辨率图片（737KB）下载：下载全尺寸图片图6. 情况1（左）和情况3（右）之间的有效应变率和尺寸变化比较使用RP-FEM分析了图1中的RP-CF&T流动曲线进行拉伸试验。如图1的下方面板所示，RP-FE预测的-曲线（虚线曲线）与实验结果（实线曲线）一致。缩颈点、最大载荷和断裂载荷分别在0.00%、0.07%和0.56%的误差范围内。可以确认，在刚性塑性理论背景下，图1中的RP-CF&T流动曲线是有效的。相反，实际拉伸试验现象与刚性塑性的假设有所不同。尽管在应变方面很小，但刚性塑性无法准确表达屈服点之前的拉伸试样的弹性变形，因为方程(1)引起的误差不可避免。由于量标标记之间的所有材料区域在PreSH期间都发生了塑性变形，因此刚性塑性和弹塑性同时成立。然而，由于在伸长超过缩颈点后量标标记附近的弹性变形区域增大，刚性塑性必然会产生一些误差。在弹性（或理论上刚性）区域应用的方程(1)甚至无法近似描述回弹现象。2.4. RP-FEM和EP-FEM在拉伸试验方面的区别图1中的实验拉伸试验使用EP-FEM进行分析，以揭示RP-FEM和EP-FEM在拉伸试验中的特性。除非另有说明，分析条件与RP-FEM相同。根据Considère条件，修改后的Hollomon定律（方程(2)）和给定的常数值理论上会在试样的初始有效应变为0时，在塑性工程应变0.1404时导致缩颈。如果初始有效应变不同，则应在不同的行程或伸长过程中发生缩颈。表1总结了拉伸试验塑性部分的FE预测和相应的实验结果。情况1（与图1相同）在零初始有效应变条件下进行RP-FEM分析，与实验没有显著差异。相反，如表1的情况2所示，EP-FEM结果与实验结果有很大不同。拉伸载荷与实验之间的最大差异发生在断裂点，为9.2%。如图4所示，两种方法预测的缩颈点处的行程差异，即缩颈点之间的塑性工程应变差异（RP-FEM）和（EP-FEM），必须是造成差异的原因之一。注意，RP-FEM预测的缩颈点非常接近实验中标记为Nexp的缩颈点。表1. 实验拉伸试验和RP-FEM及EP-FEM的预测情况方法初始有效应变N处的网格[N] F处的[N] [MPa]实验实验--0.1404355.58233.021RP-FEM0.0标准网格0.1404355.45231.912EP-FEM0.0标准网格0.1421355.09211.873EP-FEM0.00145标准网格0.1404355.61211.93下载：下载高分辨率图片（185KB）下载：下载全尺寸图片图4. 实验和情况1及2的FE预测的工程应力-塑性工程应变曲线因此，为了直接比较RP-FEM和EP-FEM，必须在EP-FEM的所有有限元素上施加初始有效应变（表示为）。它必须与RP-FEM在同一行程中预测的塑性应变几乎相同，即EP-FEM中弹性变形结束的行程。从EP-FEM的角度来看，EP-FEM和RP-FEM在屈服点处的有效应变理论差异约为0.00145（基于305 MPa的屈服强度和210 GPa的杨氏模量计算得出）。因此，将0.00145的初始有效应变施加到EP-FEM的所有元素上。在情况3中，这个初始有效应变至关重要，因为它直接影响拉伸试验的FE预测结果中的缩颈点。由于在所有元素上施加了初始有效应变，EP-FEM预测的缩颈现象在塑性工程应变、拉伸强度以及缩颈点处流动曲线的斜率方面与实验结果非常吻合，如图5所示。下载：下载高分辨率图片（193KB）下载：下载全尺寸图片图5. 情况1和3的FE预测拉伸试验与实验的比较然而，尽管情况1和3在实验中的缩颈点显示出一致的结果，但情况1和3的FE预测的工程应力-塑性工程应变曲线存在明显差异，这是由于处理缩颈后回弹现象的方法不同所致。当使用RP-CF&T流动曲线进行两种预测时，EP-FEM预测的拉伸载荷通常比RP-FEM的小。情况3的断裂点处的工程应力比情况1小9.2%。这种差异是由于RP-CF&T的误差，它无法考虑缩颈后的回弹。如图6所示，情况3中的变形在缩颈区域比情况1更集中。这种现象是由于量标标记侧的回弹造成的，可能导致缩颈区域截面面积进一步减小。RP-FEM和EP-FEM在拉伸试验中的区别在于拉伸试样在原点和屈服点之间以及缩颈点和断裂点之间的弹性变形。前者可以通过EP-FEM中的初始有效应变来克服，如情况3所示，它预测的缩颈行程与RP-FEM相同。另一方面，后者是由于RP-FEM的理论限制，无法通过直接方法解决。在刚性塑性中，拉伸下的刚性区域的数值变形无法准确反映缩颈后试样的实际回弹。因此，在使用RP-CF&T流动曲线进行EP-FE分析拉伸试验之前，必须对其进行补充。值得注意的是，改进后的EP-CF&T流动曲线使用EP-FEM可以准确预测拉伸试验结果，成为RP-FEM和EP-FEM的最终流动曲线。3. EP-CF&T和EP-FEM的拉伸试验分析3.1. EP-CF&T通过RP-CF&T，可以从拉伸试验的工程应力-塑性工程应变曲线实际获得大多数材料的近似流动曲线。从经验上看，RP-CF&T保证了通用性。这一点是从拉伸试验分析及其在流动特性应用的角度来看RP-FEM的优势。如果RP-FEM在处理拉伸试验中缩颈后发生的弹性区域方面的局限性可以通过EP-FEM来补充，那么就可以利用RP-FEM和EP-FEM的优点。在这里，我们提出了一种实用的EP-CF&T，它将EP-FEM与拉伸试验联系起来，充分利用了RP-CF&T的优势。PreSH流动函数可以通过修正后的Hollomon定律在方程（2）中表述，该定律由屈服强度和抗拉强度以及Considère条件指定。由于PreSH区域内的所有积分点都位于塑性区域内，只要满足Considère条件和抗拉强度，就可以分别确定PreSH流动曲线。当然，在这个区域内，真实的应力-真实应变曲线可以是流动曲线。现在，重点是对PostSH流动行为的表征。图5比较了使用RP-（案例1）和EP-（案例3）FEMs基于RP-CF&T在样本有效应变（图2）处获得的流动信息预测的拉伸试验曲线与图1中的工程应力-塑性工程应变曲线。由于在获得EP-FE预测时施加了0.00145的初始有效应变，因此EP-FE预测中的屈服点是在该应变量已经发生塑性变形的状态。换句话说，在屈服点之前的EP-FE预测与实验或RP-FE预测不可比较。EP-FE预测中的屈服点有效应变几乎与RP-FE预测中相同时间（或行程）后的有效应变相同。因此，只有在达到EP-FE预测中的屈服点之后，RP-FE和EP-FE的预测才有意义。

图5显示，EP-FE预测与实验结果存在显著差异。例如，断裂点的工程应力误差为9.2%。通过将样本有效应变处的样本强度系数乘以下弹性变形修正函数来改进流动函数，以减少EP-FE预测与实验之间的差异：
(6)
其中， 和 分别代表函数的起始和结束有效应变，α和β是需要确定的弹性变形修正系数。如果x是非负的，则方程（6）中的 等于x，否则为零。弹性变形修正函数是有效应变的二次函数。根据2.4小节中的误差分析， 和 分别被设置为0.13和1.03。为了最小化EP-FE预测的误差，采用了以下目标函数：
(7)
其中， 是样本的工程塑性应变，上标E和P分别表示实验和预测。N（= 6）是样本点的数量。样本值分别为0.2、0.225、0.25、0.275、0.3和0.31。弹性变形修正系数α = 0.025和β = 0.015是使用HyperStudy [82]的全局响应面方法（GRSM）优化的。图7中的历史数据显示收敛性非常好，解决方案在24次迭代后收敛。

表2显示了样本有效应变处样本强度系数的补充结果。图8(a)和8(b)分别比较了RP-和EP-CF&T之间的强度系数函数和流动曲线。RP-CF&T流动曲线与EP-CF&T流动曲线的最大误差（发生在断裂点）约为4%。在最小化误差过程中，它在对应样本有效应变处的样本强度系数增加了约4%。使用改进后的EP-CF&T流动曲线和初始有效应变施加条件得到的EP-FE拉伸试验预测与图9中的实验拉伸试验进行了比较。它们非常吻合。预测的塑性工程应变在颈缩点与实验结果相同，颈缩后的工程应力最大误差为0.47%，在塑性工程应变为0.3时。改进效果是显著的。

3.2. EP-FE对拉伸试验的分析
通常，在实际的拉伸试验曲线中很难准确测量材料的杨氏模量，因为因为在拉伸试验的早期行程中试样和夹具之间会发生滑动。因此，从分析的角度出发，重绘了连接原点和屈服点的直线，以满足杨氏模量（E = 210 GPa）。它替换了实验曲线的相应部分。相应的拉伸试验被称为理想拉伸试验（ITT）。ITT由工程应力-理想工程应变（表示为）曲线描述， 是对应于 的工程应力。然而， 的值与 和 相同，而 的值与 和 不同。请注意， 的定义是为了表示在其屈服点之前的弹性部分被有意改进以变得理论精确的修改后的工程应力-工程应变曲线。

现在，通过使用EP-CF&T流动曲线分析ITT来验证EP-CF&T的有效性。请注意，EP-CF&T获得的流动曲线是从初始有效应变到断裂点有效应变的区域，忽略了到达屈服点之前的初始行程。然而，实际的拉伸试验假设初始有效应变为零，并且涉及从原点到屈服点的弹性变形。EP-CF&T使用的拉伸试验与ITT之间的区别在于初始有效应变和拉伸试验的弹性部分。ITT的其他分析信息和条件与EP-CF&T相同。当然，在颈缩行程之前使用的所有流动信息与使用方程（2）获得的RP-CF&T流动曲线相同。请注意，预测的ITT应该与使用初始有效应变为零的EP-CF&T流动曲线预测的拉伸试验相同。因此，使用零初始有效应变条件下的EP-CF&T流动曲线，通过EP-CFEM分析了ITT。图10(a)中的预测-曲线与图10(b)中的所有其他预测和实验曲线进行了比较，结果显示在屈服点之前预测的-曲线与实验结果非常吻合（见图10(b)）。预测的理想工程应变在颈缩点为0.1404（见图10(c)），这与实验结果非常接近。PostSH区域中预测的工程应力与实验值的最大误差为0.6%。

图10(b)中，两个坐标系，即-和-坐标系重叠。值得注意的是，-坐标系对于RP-和EP-CF&T来说不是实际的，而是理论上的。图10(b)比较了所有实验和预测的-和-曲线，重点关注屈服点，清楚地显示了EP-FEM为ITT和EP-CF&T预测的拉伸试验曲线之间的差异，以及RP-FEM为RP-CF&T预测的拉伸试验曲线之间的差异。只有-和实验拉伸试验曲线在-坐标系中描述。图10(b)强调，在零初始有效应变条件下，使用EP-CF&T流动曲线预测拉伸试验等同于ITT的预测。

3.3. 数值效应对表征的影响
图3(a)中的FE网格系统为了考虑颈缩现象，在两端具有密集的网格，而图3(b)中的FE网格系统由均匀的四边形元素组成。然而，两个FE网格系统的四边形数量及其节点连接性是相同的。EP-CF&T流动曲线也是使用图3(b)中的FE网格系统获得的，以分析FE网格对EP-CF&T的影响。图11将此流动曲线与使用图3(a)中的FE网格系统获得的流动曲线进行了比较，结果表明它们几乎相同。图11还比较了使用两种EP-CF&T流动曲线（初始有效应变为零）预测的工程应力-理想工程应变曲线及其对应的FE网格系统。图3(a)和3(b)之间的工程应力在断裂点的差异约为0.12%。这并不重要，而且颈缩点重合，表明所提出的EP-CF&T具有数值稳定性。

图11. FE网格系统对EP-CF&T流动曲线及其对应的拉伸试验FE预测的影响
为了分析四边形元素数量对EP-FE拉伸试验预测的影响，我们使用五种非均匀网格结构的有限元网格系统模拟了拉伸试验，这些网格系统具有非均匀的四边形（r-网格 x z-网格：(案例A) 10 x 264, (案例B) 11 x 276, (案例C) 12 x 288, (案例D) 13 x 300, (案例E) 14 x 312），如表3所定义。案例C在图3(a)中展示。使用了图8(b)中的EP-CF&T流动曲线和零初始有效应变条件。表3表明，五种FE网格系统预测的拉伸试验结果总体上没有显著差异。颈缩点的理想工程应变范围从0.1400到0.1404，断裂点的工程应力从232.2到234.4 MPa。这些结果表明，如果FE网格系统不是太粗糙，从工程角度来看，拉伸试验分析不受数值影响。

图3. 使用五种FE网格系统获得的预测工程应力-理想工程应变曲线的比较
案例
颈缩点的网格数量
断裂点的方向
z方向
A
10
264
0.1400
232.5
B
11
276
0.1400
232.3
C
12
288
0.1404
232.5
D
13
300
0.1404
232.5
E
14
312
0.1404
234.4
实验ITT
--
0.1404
233.2

最后，评估了每个分析步骤的步长或时间增量的影响。因此，获得了步长=0.0195-0.00195 mm（相当于步数=200-2000）的各种EP-CF&T流动曲线，并与图8(b)中的EP-CF&T流动曲线进行了比较，如图12所示。每个分析步骤的固定步长可能会对PostSH流动曲线产生相对显著的影响，特别是在步长较大的情况下。步长越大，结果的波动越大。这是因为固定步长直接影响颈缩点的FE预测。图12中的比较还表明，如果分析步骤的数量（或步长）至少为1000（或不超过0.0039 mm），则可以获得相当可靠的EP-CF&T流动曲线。请注意，本研究中的所有分析都使用了1500个分析步骤选项或步长为0.0026 mm。

图12. 步长对EP-CF&T流动曲线的影响

4. 流动行为、应变硬化率（SHR）和流动模式
4.1. 各种材料的流动特性
EP-CF&T应用于用于自动多级冷锻的代表性金属材料（SCM435、SWCH45F、S25C、SUS304、A6061和ESW105）。图13比较了本研究中使用的所有材料的EP-和RP-CF&T流动曲线。图14比较了使用RP-FEM和EP-FEM获得的拉伸试验FE预测与图13中的RP-和EP-CF&T流动曲线以及实验结果。七种具有不同流动行为的材料的平均载荷误差分别为0.57%和0.21%。这些小的错误和多样的流动行为证明了EP-CF&T的准确性和普遍性。下载：下载高分辨率图像（256KB）下载：下载全尺寸图像图13. RP-CF&T（虚线）和EP-CF&T（实线）流动曲线的比较下载：下载高分辨率图像（263KB）下载：下载全尺寸图像图14. RP-FEM和EP-FEM获得的FE预测与实验结果的比较值得注意的是，大多数研究人员依赖于假设的流动函数模型，这些模型可能并不具有普遍的准确性。流动特性方法的准确性、普遍性和实用性取决于所使用的流动函数模型。少数研究人员[16],[52],[53],[54],[56],[57],[83]采用了一种不依赖于标准化流动函数的技术来确保其普遍性。然而，在Shin等人[16]的计算流动曲线中观察到一些振动现象，这表明需要进行后处理。在这项研究中，采用了广义的Hollomon定律，因为它可以用有限的流动常数描述任何流动曲线。图13和图14不仅足以证明所提出的EP-CF&T的准确性，还展示了其在普遍性和实用性方面的优势。

4.2. 应变硬化率（SHR）图15比较了本研究中使用的所有材料的SHR。图中的‘*’标记对应于工程应力-应变曲线中的屈服点。除了典型的应变硬化材料ESW105外，所有材料的SHR在屈服点之前的低应变阶段都会迅速下降。尽管它们在屈服点对应的应变下非常有效，但在屈服点之后SHR会急剧下降。下载：下载高分辨率图像（275KB）下载：下载全尺寸图像图15. 应变-应变硬化率曲线值得注意的是，如图15所示，SUS304的应变-应变硬化率曲线表现出一种特殊的模式。其SHR在屈服点之后仍保持较高水平，然后突然下降，并在大约0.8的应变处发生首次应变软化。A6061与其他材料相比也具有独特性，其SHR迅速下降，并且在屈服点后立即失去应变硬化能力。值得注意的是，ESW105是这一普遍模式的例外。在经历快速应变软化后，其应变硬化能力逐渐恢复，保持较低的应变硬化水平。如图15所示，SCM435的SHR从有效应变0.55开始几乎没有变化，而此有效应变大约是屈服点有效应变的四倍（0.14）。

4.3. 流动模式应变硬化率（SHR）是流动函数相对于有效应变的的一阶导数，用于揭示流动函数的特性。利用图13中的EP-CF&T流动曲线和图15中的SHR，将流动模式分为六类：SCM435的双线性应变硬化（BLSH）、SWCH10A和S25C的单调递减应变硬化（MDSH）、SWCH45F的BLSH-MDSH、SUS304的双曲率应变硬化（DCSH）、A6061的应变硬化和完全塑性（SHPP），以及ESW105的波动性应变软化和硬化（WSSH）。在较大应变下未检测到SCM435的SHR显著下降。这种现象表明，在拉伸试验的PostSH区域内，由于SCM435的SHR在延展过程中保持不变，因此试样所经历的回弹影响减小。因此，SCM435代表了BLSH流动模式。A6061的SHR接近零，表现出SHPP流动模式，可以看作是BLSH流动模式的极端情况。另一方面，SWCH45F的SHR在较高有效应变之前略有下降，但在接近断裂点时显著降低。因此，在较大有效应变下，SWCH45F遵循BLSH-MDSH流动模式。对于SUS304，当达到临界工程应变时，工程应力急剧下降，导致SHR快速下降和恢复，从而使流动曲线出现波动。MDSH和BLSH-MDSH流动模式传统上由基本流动模型描述，包括Ludwik、Swift和Hollomon模型。然而，从严格意义上讲，由于流动常数有限[79],[84]，传统流动模型甚至无法描述这些相对简单的流动模式。需要注意的是，从拉伸试验的角度来看，至少需要五个流动常数来满足流动曲线的特征点或条件，包括屈服点、屈服点（即Considère条件和抗拉强度），以及代表性的PreSH和PostSH流动点。然而，由于流动函数的高度非线性，找到一个具有五个流动常数的实际流动函数模型非常具有挑战性。因此，Joun等人[46]将流动函数或流动常数表示为分段线性函数，以实现准确性、通用性和实用性，如第2.2节所述。DCSH流动行为由基本的Voce流动模型及其变体[30],[85]描述。然而，与MDSH流动模型一样，从SUS304的角度来看，它们也有明显的局限性[30]。为了克服拟合DCSH流动曲线过程中的致命问题，Byun等人[31]提出了Voce流动模型的一个新流动参数——极值曲率应变。在识别出DCSH流动曲线之前，SUS304被认为是一种难以成形的材料，具有较高的抗拉强度和应变硬化能力。然而，由于DCSH流动行为，已经尝试通过冷锻制造SUS304零件[31]。A6061的SHPP流动曲线可以通过Voce模型及其变体有效描述，这些模型在较大应变下表现出流动应力的渐近增加。相反，使用封闭形式函数几乎不可能实际表达ESW105的WSSH流动模式。图13中的流动函数，特别是对于ESW05，验证了广义Hollomon定律流动函数的通用性。值得注意的是，尽管在这项研究中特定材料的流动行为得到了方便的解释，但这些材料本身并不固有地具有独特的流动行为。它们是通过退火或球化等工艺赋予的。例如，在之前的一项关于自动多阶段冷锻制造的SCM435的研究[63]中，可以获得最大有效应变达到1.56的RP-CF&T流动曲线，且流动曲线表现出典型的MDSH流动模式。与当前的研究结果相比，这表明即使对于相同的材料，如果预处理或预加工不同，流动行为也可能有很大差异。

4.4. 该方法的实用性RP-CF&T已经作为软件实现[32]，并且仅从拉伸试验输入数据中获得了各种材料的最佳流动曲线[31],[32],[63],[64]。该方法不受商业拉伸试验数据弹性区域不准确性的影响，并具有计算时间缩短等优势。其理论和数值上的简单性证明了其适用性，使得解决方案的计算稳定。所提出的EP-CF&T使用RP-CF&T的结果作为输入，确保了各种材料特征流动曲线的稳定获取。此外，从经验上讲，确定两个变量可以获得具有工程级准确性的流动曲线，并且可以很容易地开发成通用流动曲线获取函数。

5. 结论性评论介绍了结合了EP-FEM和拉伸试验的方法，即EP-CF&T。所提出的EP-CF&T使用RP-FEM流动曲线作为初始流动曲线。它通过最小化拉伸试验中工程应力与EP-FE预测之间的差异来优化EP-CF&T过程中的流动曲线。这一过程保证了满足精确预测拉伸试验所需的Considère条件，并同时为其EP-FE分析提供了准确的流动信息。值得注意的是，大多数锻造模拟仍然依赖于RP-FEM。因此，该方法具有高度可靠性和实用性。从实际角度来看，在拉伸试验中，屈服点以下的弹性区域通常存在理论和实验不一致的问题。引入了塑性工程应变（用于流动特性）和理想拉伸试验（用于准确描述弹性变形）的概念，以科学合理地解决这一问题，同时忽略了屈服点以下不可靠的实验弹性响应。RP-CF&T流动曲线和RP-FEM最明显的优势是它们的实用性和适用性。然而，RP-CF&T的缺点是无法表达试样屈服后的弹性变形或回弹，因此一些误差是不可避免的。因此，使用RP-CF&T流动曲线作为初始流动曲线来获得EP-CF&T流动曲线。然后，通过系统改进过程将屈服后的弹塑性变形反映在最终的流动曲线中。通过这种双重流动特性方法，开发了一种实用的方法，使用EP-FEM获得能够准确预测实验拉伸试验结果的EP-CF&T流动曲线。对EP-CF&T的数值特性的研究表明，EP-CF&T受到FE网格和分析步骤数量（或每个分析步骤的步长）的影响，当FE网格粗糙时尤其如此。然而，它清楚地表明存在一系列适当的FE网格系统（例如，12 (r) x 288 (z) 网格结构）和步长（例如，1500个分析步骤），这些系统表现出稳健和良好的数值特性。对于SWCH10A，EP-CF&T流动曲线在断裂点处的流动应力最大差异为4%。原因是由于PostSH区域内拉伸载荷的减少，在弹性区域靠近标距标记处引起的回弹导致的弹性收缩，在EP-CF&T的情况下导致了屈服区域的相对过度变形。因此，RP-CF&T和EP-CF&T流动曲线之间的差异因材料而异。尽管RP-CF&T存在根本的理论局限性，但它适用于解决许多批量金属成形工程问题。然而，拉伸试验特别存在问题，因为材料的弹性变形或回弹直接影响塑性变形区域（屈服）。尽管RP-CF&T有助于获得近似和工程流动曲线，但它无法解决上述问题。因此，即使使用RP-FEM分析批量或板材成形过程，通常也更倾向于使用EP-CF&T流动曲线。金属材料具有独特的流动特性。本研究的结果有助于识别材料的流动行为。获得了用于自动多阶段冷锻的代表性材料（SCM435、SWCH45F、S25C、SWCH10A、SUS304、A6061和ESW105）的EP-CF&T流动曲线，代表了广泛的流动行为，并能够充分识别这些材料在冷加工中的共性和差异。使用EP-CF&T流动曲线和来自拉伸试验的高精度FE预测，确认了六种流动模式：BLSH、BLSH-MDSH、MDSH、DCSH、SHPP和WSSH。通过使用SHR评估代表性材料的流动行为，揭示了所有六种流动模式的独特特性。WSSH流动模式以ESW105为代表，其在断裂点的工程应力表现出极端下降，这与拉伸强度相比最为显著，这受到试样回弹（由屈服后拉伸载荷的减少引起）的影响最大。

CRediT 著者贡献声明：Man Soo Joun：撰写——原始草案、监督、项目管理、方法论。Hyeon Min Lee：撰写——审阅与编辑、可视化、数据管理。Suk Hwan Chung：验证、软件、形式分析。Wan Jin Chung：验证、软件、方法论。Seok Moo Hong：方法论、数据管理、概念化。