使用数据驱动方法对磁性元件进行核心损耗建模 高新建， 尹士壮， 程中华， 高铁鲁， 董恩智

《Sensors》：Core Loss Modeling of Magnetic Components Using a Data-Driven Method Xinjian Gao, Shizhuang Yin, Zhonghua Cheng, Tielu Gao and Enzhi Dong

　　摘要 磁性元件损耗特性的研究是电力转换技术中的一个关键课题。为了解决现有磁芯损耗模型与实际应用需求之间的显著差异，本文基于极值梯度提升（eXtreme Gradient Boosting, XGBoost）算法建立了一个高精度的磁芯损耗评估模型。该模型以温度、材料和激励波形作为决策变量，以最小化磁芯损耗为目标。研究首先通过混淆矩阵对模型进行评估，并利用箱线图对温度、激励波形和材料进行单因素分析，同时探究这些因素之间的协同作用。随后，采用决定系数、均方误差和平均绝对误差等关键指标进行全面的回归评估。残差图用于检查预测值和实际值之间的吻合度，证明了该模型的高精度、强适用性和实际相关性，从而验证了其优越性。最后，本文通过模拟退火算法求解优化问题来探索如何最大化磁能传输，以确定同时实现最小磁芯损耗和最大传输效率的条件，将研究扩展到多目标优化领域。

1. 引言
近年来，电能转换技术发展迅速，尤其是在新能源和信息通信领域得到广泛应用[1]。电能转换指的是将电能从一种形式转换为另一种形式（例如不同电压的直流电、不同频率和大小的交流电等）[2]。随着第三代功率半导体技术的发展，高频率、高功率密度和高可靠性已成为功率转换器产品的发展方向[3]。磁性元件（如变压器、电感器等）是功率转换器中的关键组成部分，负责磁能的传输、存储、滤波等功能。它们对功率转换器的体积、重量、损耗和成本有着重要影响[4]。为了实现高效率和高功率密度的设计，除了满足磁性元件电气参数的可行性设计外，还需要其具有低损耗特性[5]。因此，有必要对磁性元件的损耗特性（包括绕组损耗和磁芯损耗）进行详细研究和分析[6]。铜导体的绕组损耗可以通过电磁场有限元仿真技术准确获得，而磁芯损耗则是磁性材料在高频交变磁通量作用下产生的功率损耗[7]。由于电气钢材料（如电机和变压器的铁芯）的生产工艺复杂且制造要求严格，其损耗与激励波形、工作温度、磁芯材料、工作频率和磁通密度等多种因素相关[8]。现有的磁芯材料损耗模型与实际应用需求之间存在较大差异。

目前测量磁芯损耗通常采用交流电源法[9]。如图1所示，被测磁芯一般为环形结构（平均磁路长度为L；磁芯的截面积为A），激励绕组和感应绕组均匀缠绕在磁芯上（nexc和nin分别为激励绕组和感应绕组的匝数，通常取nexc=nin）。信号发生器生成给定频率f（周期为T）的正弦波或其他波形信号，通过高频功率放大器作为高频激励源施加到激励绕组上。根据安培环路定律，绕组的激励电流iexc在磁芯上产生磁场强度H（磁场强度是指单位电流元素在磁场中经历的洛伦兹力，是描述磁场强度的重要参数）。磁场强度作用于导电材料磁芯上，产生磁通密度B（磁通密度是指单位面积内垂直于磁场的磁通量）[10]。根据电磁感应定律，磁芯中的交变磁通量在感应绕组上产生感应电压uind。图1采用双绕组法测量磁芯损耗。通过收集被测磁芯绕组的激励电流iexc，可以获取磁场强度H和磁通密度B[11]。激励源的输出功率，即磁芯损耗密度Pc，可以通过公式（1）计算得出[1]。

公式（1）还表明，一个激励周期内的单位体积磁芯损耗等于B-H磁滞回路的面积，如图2所示。磁芯损耗可以分为三部分：磁滞损耗、涡流损耗和残余损耗[12]。这种计算磁芯损耗的方法称为损耗分离模型，通过分别计算这些组分的损耗来求得总损耗。计算公式如下[12]：
$$P_c = P_{hystsid} + P_{ecid} + P_{resid}$$
其中，$P_{c}$为总磁芯损耗密度（也称为单位体积磁芯损耗，简称磁芯损耗）；$P_{hystsid}$为磁滞损耗；$P_{ecid}$为涡流损耗；$P_{resid}$为残余损耗。

由此可见，影响磁芯损耗的因素很多。目前通用的高精度模型较少，这使得产业界在使用磁性元件时难以准确评估磁芯损耗，从而影响了功率转换器效率的评估。本研究利用XGBoost算法并通过对超参数进行模拟退火（SA）优化，开发了一个磁性元件的磁芯损耗模型。该模型在10 kHz–1 MHz频率和0.05–0.3 T磁通密度的工作条件下进行了训练和测试，目标预测误差（MAPE）低于10%。本文的主要贡献不在于提出新的学习算法，而在于构建了一个针对性的数据驱动建模框架，用于预测磁芯损耗，这在以往的文献中尚未系统研究过。

2. 问题描述
数据集的详细介绍见补充材料。为了解决磁性元件中磁芯材料损耗的准确计算问题，首先使用MATLAB R2024a的find函数查找数据集中的缺失值，然后对数据进行正态分布测试，以确定是否存在异常值。异常值通常定义为小于Q1–1.5 IQR或大于Q3 + 1.5 IQR的值（其中Q1为第一四分位数，Q3为第三四分位数，IQR为四分位距）[13]。图3中，频率的单位为Hz，磁芯损耗的单位为W/m3[3]。通过可视化分析可以初步判断数据并不遵循正态分布。为了进一步验证，需要确定数据的分布模式，这里使用了Kolmogorov–Smirnov（K–S）检验。K–S检验是一种非参数统计方法，常用于判断数据集是否服从正态分布[14]。其基本原理是比较数据集的累积分布函数与理论分布函数，并通过计算两者之间的最大差异来确定数据集是否符合理论分布。如果最大差异小于某个临界值，则认为数据集遵循理论分布。单样本K–S检验用于判断观测到的经验分布是否为已知的理论分布[15]。

在描述性分析中，通常会计算均值、中位数、标准差、最大值和最小值等基本统计量，并通过可视化方法展示数据的分布和趋势。为了更直观地展示数据的具体情况，使用处理后的数据绘制了图4所示的可视化结果。图4显示了频率与磁芯损耗作为样本大小的函数关系。图4a显示了频率随样本数量的变化趋势，频率在某些条件下呈现出周期性波动，有些频率接近500,000 Hz，表明在不同实验条件下频率覆盖了很宽的范围。图4b显示了每个样本的磁芯损耗变化趋势，可以清楚地看到样本数量较小时损耗较小且相对稳定，而样本数量增加时磁芯损耗迅速增加，达到百万级别。后期样本损耗的增加可能与特定材料、波形或工作条件有关。

对于磁通密度数据矩阵，其大小为M×N，其中M代表样本数量，即从不同材料在不同激励波形下收集的实验数据数量；N代表每个样本的磁通密度序列长度[3]。实验数据中的激励波形是一个多类别变量，本文将其转换为数值形式[3]。为了训练分类模型，将波形类别定义为：sine（正弦波）、triangle（三角波）和stair（阶梯波）[3]。

极值梯度提升（XGBoost）是一个高效且流行的开源机器学习库，适用于精确的监督学习（回归、分类、排序等）。为了满足XGBoost模型的要求，进一步将标签调整为从0开始计数[3]。本文通过从时域和频域提取关键特征来有效分类不同的波形。时域特征直接从每个样本的磁通密度时间序列中提取。假设第i个样本的时间序列为x(t)，首先需要提取激励波形的时域特征，包括峰值、均值、标准差等[4]。获取这些特征后，可以使用上述特征选择方法进行筛选，并建立分类模型来评估分类模型的有效性。均值μ反映了样本的磁通强度平均水平，用于评估波形的直流分量，并帮助判断磁芯是否存在直流偏置[4]。标准差σ是统计学中的一个核心指标，用于衡量数据分布的离散程度。其数学定义为每个数据点与均值之差的平方的平均值的平方根。标准差越大，数据点与均值的偏差越大，数据分布越分散；标准差越小，数据越集中在均值附近[5]。峰值max表示一个周期内激励波形达到的最大值，对于评估磁芯的饱和程度和潜在损耗具有重要意义[6]。这些特征展示了正弦波、三角波和梯形波的幅度差异[7]，以及波形的不对称性[8]。平滑度越高，波形变化越平滑，就越能反映磁通密度的均匀性[18]。图(8)显示了波形变化的趋势，正值表示磁通密度逐渐增加，负值表示磁通密度逐渐减少。图(9)表明，时域特征可以反映波形变化的总体形状和趋势。除了时域之外，频域是揭示波形结构的另一个关键。傅里叶变换可以观察到磁通密度的振荡频率并提取关键信息。通过使用傅里叶变换公式，我们可以将时域信号转换为频域信号。主频率是波形中能量最强的振荡频率，它直接告诉我们该波形的主要振动模式。高频能量比揭示了波形中高频成分的能量比例[19]，能量越集中，波形越规则。频谱熵是波形复杂性的最终指标，它表明频谱能量分布越复杂，波形变化就越复杂。为了简化模型构建并确保分析的可行性，做了以下基本假设：(1) 单因素独立假设：在研究单一因素对磁芯损耗的影响时，其他因素（如温度、材料、波形等）保持不变；(2) 磁芯材料线性工作范围假设：磁芯材料的工作范围是线性的，没有饱和，这限制了磁芯材料的作用范围；(3) 磁通密度周期性假设：磁通密度具有周期性，即磁芯内部的磁通密度随时间周期性变化，并在一定的周期内保持稳定的波动。

3. 模型构建
XGBoost是一种基于决策树的集成学习方法，采用梯度提升作为框架，旨在高效实现梯度提升决策树（GBDT）算法并进行多次优化[20]。其核心思想与GBDT类似，但通过引入二阶导数信息、模型复杂度的正则化项控制和并行计算策略，提高了准确性和速度。XGBoost广泛应用于分类和回归等监督学习任务中，特别是在数据挖掘和推荐系统领域[21]。XGBoost的基本思想是通过最小化损失函数来迭代构建决策树[22]。损失函数的形式为：
在这里，\(L(\mathbf{x}_i, y_i)\)是样本\(\mathbf{x}_i\)的预测误差，\(\lambda\)是模型复杂度的惩罚项，\(T\)是决策树的数量，\(\beta_0\)是模型参数。在每次迭代中，XGBoost通过拟合残差来更新模型。学习率\(l\)和\(\theta\)分别用于调节模型的学习和预测能力。正则化项用于控制XGBoost模型的复杂性，从而防止过拟合。\(C_1\)和\(C_2\)是用于控制树复杂度的正则化参数。XGBoost的优势不仅在于能够处理高维数据，还通过高效的算法优化加速了模型训练。对于激励波形的分类问题，XGBoost强大的捕捉复杂非线性关系的能力使其成为出色的分类工具。使用XGBoost对波形进行分类，并建立实际波形和预测波形之间的混淆矩阵来评估XGBoost的分类和预测性能。超参数设置如下：学习率\(l = 0.001\)，树的数量\(T = 500\)，最大深度\(D = 6\)，正则化项\(\lambda = 0.1\)。这些值是通过在训练集上进行5折交叉验证确定的。利用混淆矩阵，我们可以计算各种性能指标，如精确度（\(P_{\text{rec}}\)、召回率（\(P_{\text{rec}}\)和F1分数（\(F_1\)）。

精确度关注的是被预测为正的样本中有多少实际上是正的，而召回率关注的是所有真正正的样本中有多少被模型预测为正的。F1分数是精确度和召回率的调和平均值，用于全面评估模型的性能[23]。具体来说，F1分数通过计算精确度和召回率的调和平均值得到，其中调和平均值是两个数值的乘积除以它们的和，以平衡精确度和召回率对模型性能的影响，从而获得一个综合评估指标。混淆矩阵的F1分数计算公式为：
\[F_1 = \frac{2P_{\text{rec}} + P_{\text{rec}}}{P_{\text{rec}} + P_{\text{fp}}}\]
混淆矩阵中的\(P_{\text{fp}}\)用于衡量分类器正确识别正样本的能力[25]。具体而言，\(P_{\text{fp}}\)指的是在现实中确实为正的样本中被正确预测为正的样本比例。在混淆矩阵中，\(P_{\text{tp}}\)表示实际上为正且被预测为正的样本数量，而\(P_{\text{tn}}\)表示实际上为负但被预测为正的样本数量。因此，混淆矩阵的F1分数越接近1，模型识别正样本的能力越强。当模型进行分类训练时，会将样本的真实分类结果与模型训练得到的预测分类结果进行比较。我们将数据分为训练集和测试集来验证模型。图5显示了XGBoost模型的分类预测结果与实际分类结果之间的混淆矩阵。

图5. 实际类型与预测类型的混淆矩阵。根据图5中的混淆矩阵，可以得出XGBoost模型的波形分类与实际波形分类结果一致。运行混淆矩阵代码后发现，其精确度、召回率和F1分数均为1，反映了所建立模型的优异分类预测性能。数据集中三种波形的数量如表1所示。表1列出了数据集中各种类型波形的数量。表2显示了数据集中样本编号5、15、25、35、45、55和75的分类结果。在磁性组件中，磁芯损耗受多种因素影响，其中温度、激励波形和材料是重要的独立因素。对这些因素的深入分析有助于更准确地建模和优化磁芯的性能。实验数据集包括材料类型（材料1、材料2、材料3、材料4）、温度（25°C、50°C、70°C、90°C）、激励波形（正弦波、三角波和梯形波）以及磁芯损耗。单向方差分析（ONE-WAY ANOVA）用于比较三个或更多独立组的均值差异，以测试因变量（通常是连续变量）在不同类别或组之间是否存在显著均值差异[26]。这种方法常用于检测因变量的均值在不同类别或组之间是否存在显著差异。其基本理论基于变异分析的思想，将总变异（即所有观测值的变异）分解为两部分：组间变异和组内变异。组间变异反映了不同组之间的均值差异，而组内变异反映了同一组内的个体差异。ANOVA的关键在于比较组间变异和组内变异的相对大小：如果组间变异显著大于组内变异，则表明组间的均值存在显著差异[27]。这种方法也称为F检验或F比率。它主要用于分析只有一个独立变量变化的情况，通过计算F统计量的值来测试各组均值之间的差异是否具有统计显著性。如果p值大于某个显著性水平的临界值，则可以拒绝零假设，认为各组均值之间存在显著差异[28]。p值是基于显著性检验方法得到的，用于评估观察到的效应是否可能由偶然性（即抽样误差）引起。p值的大小反映了观察到的效应与预期随机波动之间的差异程度。根据p值的大小，可以确定观察到的效应是否具有统计显著性，即是否足以不被简单地归因于随机误差。通常，\(p < 0.05\)被认为是统计显著的，\(p < 0.01\)被认为是非常显著的，\(p < 0.001\)被认为是极显著[29]。经过显著性检验，得出\(p_t = 0.018\)、\(p_m = 0.025\)和\(p_w = 0.021\)。由于\(p_t\)、\(p_m\)和\(p_w\)都小于0.05，因此认为温度、材料和波形等单一因素对磁芯损耗有影响。磁芯损耗的箱形图如图6所示。图6显示了温度（\(T\)）、材料（\(M\)）和激励波形（\(W\)）对磁芯损耗的影响。

当温度为90°C时，磁芯损耗最小，其次是70°C，然后是50°C，最大损耗出现在25°C。随着温度的升高，磁芯损耗趋于减少。材料4的磁芯损耗最小，其次是材料1和材料2，材料3的损耗最大。当激励波形为正弦波时，磁芯损耗最小，其次是三角波，然后是梯形波。选择线性回归模型进行拟合，模型结构如下：“磁芯损耗 = \(\alpha_0 + \beta_1 \cdot M + \beta_2 \cdot T + \beta_3 \cdot W + \beta_4 \cdot (M \cdot T) + \beta_5 \cdot (T \cdot W) + \beta_6 \cdot (M \cdot W) + \epsilon\)”。模型中的核心变量包括材料、温度和波形的独立效应，以及它们之间的交互项，如温度和波形之间的交互、材料和波形之间的交互以及材料和温度之间的交互。通过线性回归模型中的系数\(\beta\)来衡量每个变量对磁芯损耗的影响程度。在回归分析中，因变量是磁芯损耗（单位W/m3），自变量是温度（\(T\)、材料（\(M\)）和波形（\(W\)）。通过线性回归拟合数据集获得回归模型结果，模型的系数和显著性水平有助于理解不同因素的独立效应和交互作用。模型中的回归系数\(\beta\)表示相应因素对磁芯损耗的影响程度。“协同”意味着“共同作用”，协同效应指的是两个或多个因素共同作用时产生的整体效应。在分析磁芯损耗的过程中，往往有多个因素相互作用。分析温度、材料和激励波形的协同效应可以更全面地理解磁芯损耗的复杂机制。温度和材料之间交互作用的公式为：
\[a_{TM} = \sum_{i=1}^n \left[ \frac{(T_i - \bar{T})^2}{(n-1)S_{T}^2} \right]\]
材料与激励波形之间交互作用的公式为：
\[a_{MW} = \sum_{i=1}^n \left[ \frac{(W_i - \bar{W})^2}{(n-1)S_{W}^2} \right]\]
温度与激励波形之间交互作用的公式为：
\[a_{TW} = \sum_{i=1}^n \left[ \frac{(T_i \cdot W_i - \bar{T} \cdot \bar{W})^2}{(n-1)S_{TW}^2} \right]\]
在这里，\(n\)表示在特定温度\(T_i\)和波形\(W_i\)条件下的样本数量，\(S_{T}\)、\(S_{W}\)和\(S_{TW}\)分别是\(T_i\)、\(W_i\)的方差。由于pt,w = 0.019 < 0.05，发现温度和激励波形之间存在显著的协同效应；pt,m = 0.732 > 0.05，表明温度和材料之间的协同效应不够显著；pm,w = 0.001 << 0.05，Material和激励波形之间的协同效应非常显著。表3显示了三种激励波形（三角波、正弦波、梯形波）在不同温度下对磁芯损耗的影响。表3中的数值以kW/m3为单位表示平均磁芯损耗，误差条代表在相同条件下重复三次测量得到的±1标准偏差。图7展示了表3中平均磁芯损耗的可视化表示，显示了温度和激励波形之间的相互作用。图7的主要观察结果是，三种波形的磁芯损耗随温度升高而逐渐减小。总体而言，温度越高，损耗越低，其中正弦波的表现最佳，其次是梯形波和三角波。尽管随着温度的升高，三角波和梯形波之间的差异逐渐缩小，但正弦波始终占据优势。

表4显示了不同温度下各种材料的磁芯损耗。表4中的数值以kW/m3为单位表示平均磁芯损耗。图8展示了表4中平均磁芯损耗的可视化表示，显示了温度和材料之间的相互作用。图8的主要观察结果是：四种材料的磁芯损耗随温度升高而逐渐减小，温度越高，损耗越低。材料4在所有温度下的表现都最好，特别是在高温环境下，其损耗明显低于其他材料；材料1在高温条件下的表现也较好，而材料2和材料3的损耗相对较高。

表5显示了三种激励波形在不同材料下的磁芯损耗影响。图9展示了表5中平均磁芯损耗的可视化表示，显示了材料和激励波形之间的相互作用。图9的主要观察结果是：材料4在所有波形中的表现都优于其他材料，尤其是在三角波和正弦波下，其损耗显著降低；材料1在正弦波下的表现也不错；材料3在梯形波下的损耗最为严重。

在理想情况下，通过精确控制温度和波形，并选择高纯度和均匀的磁芯材料，可以全面了解不同因素对磁芯损耗的独立和综合影响。这项在纯理论条件下的研究有助于推动实际应用中磁芯损耗的优化，为设计更高效的磁组件提供理论基础和数据支持。通过回归模型的预测，我们找到了在不同组合条件下的磁芯总损耗的最小值。根据模型的预测结果，达到最小损耗的最佳条件为：90°C、正弦波和材料4。

建立了基于XGBoost回归的磁芯损耗预测模型，然后用该模型预测现有数据，并将预测结果与实际值进行比较以评估预测模型的准确性。首先，将数据集分为训练集和测试集。我们将磁芯材料、温度、激励波形、频率和峰值磁通密度作为自变量X，磁芯损耗作为因变量Y。同时指定测试集应包含原始数据集X和Y中30%的样本，因此剩余70%的样本将用作训练集。使用训练集训练模型，并使用分段测试集来预测磁芯损耗。最后，基于训练集和测试集计算了各种评估指标。

所提出的模型在以下测试条件下表现出了一致的准确性：频率范围10 kHz–1 MHz，磁通密度0.05–0.3 T，温度25–100 °C。评估系统主要包括以下指标：
(1) 决定系数R2：R2越接近1，模型对数据的拟合度越好，即模型预测值与实际值之间的差异越小，模型能够解释的变异性越大[30]。当R2等于1时，表示模型完美地拟合了数据；当R2等于0时，表示模型未能解释任何变化。在回归分析中，R2用于评估模型预测值与实际值之间的一致程度。R2越高，模型的拟合效果越好，能够更好地解释因变量的变化。R2是评估模型拟合优度的重要指标。
(2) 平均绝对百分比误差（MAPE）：MAPE是一种衡量预测准确性的指标，通过计算预测值与实际值之间的百分比误差来评估模型的性能[31]。它的优点是简单易懂，能直观反映预测误差的大小。
(3) 均方误差（MSE）：MSE是一种直观的误差度量方法，反映了预测值与实际值之间的整体差异[32]。在许多情况下，MSE可以作为优化目标，通过最小化MSE来提高模型预测的准确性。MSE在统计学和机器学习中广泛用于评估模型预测的准确性。例如，在回归分析中，MSE衡量模型预测与实际观测值之间的差异；在神经网络训练中，MSE作为损失函数来优化模型参数并减少预测误差。
(4) 平均绝对误差（MAE）：MAE用于衡量预测值与实际值之间的差异[33]。它通过计算预测值与实际值之间的绝对差异的平均值来量化误差的大小。

XGBoost回归模型的预测性能指标如下：R2 = 0.9703，MAPE = 3.6251%，MSE = 89.0471，MAE = 20.5034。所有指标表现良好，表明模型具有良好的预测性能。

本研究的重点是实现有效的知识转移。具体来说，目标是将具有丰富标签和明确物理意义的诊断知识从源域（轴承测试台）转移到目标域（列车运行数据），后者具有模糊的故障类型、显著的噪声和稀少的样本。因此，关键技术在于设计一种迁移机制，以克服上述的领域间差异，最终使模型能够识别目标域中的未知故障。接下来，使用XGBoost回归模型来预测数据并形成拟合效果图。图10显示了实际值与预测值之间的拟合情况，红色虚线代表理想情况下的分布。预测值是通过模型计算得出的，用于预测某种结果或输出；蓝色点代表实际观测数据点。从图中可以看出，预测值紧密跟随实际值的分布，因此可以认为模型的预测相对准确。残差是预测值与实际值之间的差异，理想的残差图应遵循正态分布[34]。图11显示了实际值与预测值之间的数值比较，尽管预测值与实际值之间存在一些显著差异，但预测值大多在真实值附近的某个范围内变化。因此，总体而言，这个预测模型是基本准确的。

在磁器件的设计和优化中，磁芯损耗和磁能传输是两个重要的性能指标[35]。期望在不同工作条件下尽可能减少磁芯损耗并增加磁能传输。设置约束条件对于研究减少磁芯损耗和最大化磁能传输至关重要。不同的约束条件直接影响模型的优化结果，从而决定磁芯的实际性能。磁芯损耗是由于磁组件在运行过程中的磁化或退磁引起的能量损失。减少磁损耗是提高器件性能的关键。磁场能量的传输是衡量电磁能量转换效率的关键参数，目的是最大化传输的磁能量。本文的目标函数是通过计算传输的能量和磁芯损耗来衡量的，目的是在最小化磁芯损耗的同时最大化磁能传输。

有多种方法可以解决多目标优化问题，例如理想点法、多目标加权计算法和主目标-约束法。例如，进化计算方法如遗传算法、粒子群优化、蚁群算法等可以在解空间中搜索并生成Pareto前沿的解决方案。特别是多目标进化算法专门设计用于处理多目标优化问题，并能直接探索和维护解空间中的Pareto前沿[36]。实验数据使用了多目标优化理论进行处理，图12展示了磁芯损耗和磁能传输的变化。

在实际应用中，选择合适的优化策略和算法通常取决于问题的具体特性、目标函数的属性以及决策者对平衡不同目标的偏好。多目标优化的目的是提供一组解决方案，决策者可以根据实际情况和偏好从中选择最合适的方案。因此，多目标优化不仅是一个技术问题，还涉及决策者的判断和选择。模拟退火算法因其强大的全局搜索能力和适应性而在各种优化问题中得到广泛应用[37]。它在解决复杂的多目标优化问题时表现出良好的性能，特别是在处理非线性和非凸问题时，可以有效避免局部最优解的陷阱。根据磁芯损耗和磁能传输的具体情况，决定使用模拟退火算法来解决这个问题。模拟退火算法主要包括以下步骤：
① 初始化：温度（temp_idx）、材料（mat_idx）、波形（wave_idx）、频率（freq_idx）、峰值磁通密度（flux_density）。在这些参数中，频率（freq_idx）在指定的频率范围（freq-min, freq-max）内随机生成，峰值磁通密度（flux_density）也在指定的峰值磁通密度范围（flux_density-min, flux_density-max）内随机生成。温度、材料和波形是随机生成的列表索引值。② 生成新的解决方案：在模型中随机选择一个维度（如频率、材料、波形、温度或峰值磁通密度）并进行适当的修改，从而生成新的解决方案。新解决方案的公式如下：(27) 这里，Δ表示某个因素的变化值。③ 求解目标函数：计算当前解决方案和新解决方案的目标函数值。④ 比较新解决方案的函数值：如果Δ < 0，则接受新解决方案；如果Δ > 0，则根据玻尔兹曼分布定律以一定的概率接受新解决方案。公式为：(28) Δ表示温度的变化量，能量差ΔE = ΔT·Cp，其中T是当前温度，Cp是比热容。当ΔE > 0时，模拟退火算法会以概率α决定是否接受新解决方案；如果随机数n满足Δn < α，则接受新解决方案。⑤ 冷却：根据一定的冷却规则降低温度是模拟退火算法的核心。温度的降低减少了算法接受劣质解决方案的概率，直到最终只能接受更好的解决方案。更新后的温度公式如下：(29) 每次迭代后，温度将根据此公式更新。α是温度衰减系数，通常介于0到1之间。⑥ 确定终止条件：如果满足终止条件（例如连续几次没有接受新解决方案），则算法结束。终止条件是当前温度降至设定的最低温度或达到最大迭代次数。

图13展示了模拟退火算法的优化过程。模拟退火算法模型的建立需要引入约束条件。在建模过程中，可以使用多目标优化方法通过模拟退火算法来求解目标函数。设置初始参数并定义温度变化模式，通过多次迭代逐渐接近最优解。模拟退火过程可以有效避免陷入局部最优解，从而提高全局搜索能力。基于设定的目标函数和约束条件，可以获得在给定条件下最大化磁能传输的有效模型。这一过程不仅强调了理论分析的重要性，还验证了模型在实际应用中的有效性。通过实验和仿真结果的反馈，可以进一步优化模型参数，以更好地满足实际工程需求。从上图中可以看出，模拟退火算法已经找到了最优解，因为目标函数值在不断减小。根据公式(26)，这表明铁芯损耗与传输能量的比率在持续减小，这意味着可以同时实现最小化铁芯损耗和最大化传输磁能的多目标要求。结果如表6所示。表6显示了模拟退火算法的最优目标函数值。从表6中可以看出，当温度为70°C、材料为材料1且激励波形为正弦波时，目标函数获得了最优解，此时铁芯损耗与传输磁能的比率达到了最小值。

未来可以考虑的研究方向包括：(1) 探索更复杂的相互作用对铁芯损耗的影响，例如温度、材料和激励波形之间的三因素相互作用。(2) 该研究也可以扩展到具有类似铁芯结构的其他磁性器件的损耗控制，研究电机和电感器等多系统的功耗优化问题。(3) 引入更高效的智能求解算法。

5. 结论
本研究中提到的铁芯损耗是指磁性材料在高频交变磁通量下产生的功率损耗。采用交流电源方法测量铁芯损耗。通过收集指定工作条件（不同温度、频率和磁通密度）下磁性组件铁芯损耗的实验数据，利用数学建模（或算法方法）建立功率磁性组件的损耗模型。然后将该模型应用于预测其他工作条件下的铁芯损耗，并通过测试验证模型的准确性。本文建立的模型考虑了许多重要因素，如温度、激励波形、铁芯材料、铁芯损耗和磁能传输。通过这种方式获得的模型符合实际情况，具有很高的应用价值。该模型利用了对比实验和拟合评估的思想来识别影响铁芯损耗的重要因素，将复杂的多目标问题转化为简单的单目标问题。本研究得出的主要结论如下：(1) 当控制材料和激励波形不变时，铁芯损耗在90°C时最小，其次是70°C，然后是50°C，最高损耗出现在25°C。随着温度的升高，铁芯损耗趋于减小。(2) 在温度和材料保持不变的情况下，当激励波形为正弦波时铁芯损耗最小，其次是三角波，然后是梯形波。(3) 由于pt,w = 0.019 < 0.05，发现温度和激励波形之间存在显著的协同效应；pt,m = 0.732 > 0.05，温度和材料之间的协同效应不够显著；pm,w = 0.001 << 0.05，材料和激励波形之间的协同效应非常显著。

补充材料
以下支持信息可在以下链接下载：https://www.mdpi.com/article/10.3390/s26102919/s1
(1) 下载附件（数据）。RAR文件包含附件1，其中包含四个数据表，代表了四种不同铁芯材料的测量数据（由于这些材料的复杂性，我们使用材料1、材料2、材料3和材料4来表示它们）。这四个数据表结构相同。第1列包含温度值：25、50、70和90°C；第2列列出频率值，范围从50,000到500,000 Hz；第3列显示以瓦特/立方米为单位的铁芯损耗；第4列指定激励波形类型（正弦波、三角波或梯形波）；第5至1029列显示每个周期有1024个等间距采样点的磁通密度数据，单位为特斯拉。每一行代表特定工作条件下的实验结果，不同的行对应不同的工作场景。
(2) 附件2和附件3都是测试数据集。在附件2中：第1列包含样本编号；第2列显示温度；第3列表示频率；第4列列出铁芯材料（材料1、材料2、材料3、材料4）；第5至1029列显示磁通密度值（结构、格式和含义与附件1中的相同）。
附件3：第1列包含样本编号；除“铁芯损耗”改为“铁芯材料”外，其他所有条目的结构和含义与附件1中的相同。