基于铅角修正方法解决铅角和角速度波动问题的螺旋线磨削过程的理论分析与数学建模 Sándor Bodzás，Gy?ngyi Szanyi，Tatjana Lazovic

《Journal of Manufacturing and Materials Processing》：Theoretical Manufacturing and Mathematical Analysis of the Spiroid Worm Grinding Process Based on a Solution to the Lead and Angular Velocity Fluctuation Problem Using Lead Angle Correction Sándor Bodzás, Gy?ngyi Szanyi and Tatjana Lazovic

　　摘要 本研究对螺旋 worm 轴的磨削过程进行了全面分析，重点研究了在传统圆柱磨床上调用车床中心位移和导程角校正的联合应用。其目标是生成精确的螺旋 worm 和螺旋 hob 的齿形轮廓，同时最小化 worm 磨削过程中固有的导程误差和角速度波动。车床中心位移的实现改变了工件的运动学特性，将名义上的圆形路径转换为椭圆形路径。这种运动学变化由于沿椭圆形路径半径的连续变化而引入了制造偏差。为了解决这些问题，开发了一种新的数学模型，该模型能够在这些非理想运动条件下确定螺旋 worm 和 hob 的最佳砂轮轮廓。优化后的砂轮轮廓与导程角校正的同步应用显著提高了生成齿形的精度。此外，还进行了详细的制造分析，以研究半锥度角度变化对关键工艺参数的影响。基于分析和计算结果，提出了一种方法论解决方案，有效减轻螺旋 worm 磨削中的导程误差和角速度波动。

1. 引言 螺旋 worm 面齿轮配对的螺旋 worm 齿轮传动（图1）可用作机器人的无间隙传动，因为它可以通过简单调整螺旋 worm 的轴向位置来实现无间隙传动。这种齿轮传动可以提供更高的扭矩传递能力和更好的载荷承受能力，中心距离比圆柱 worm 齿轮传动更小，运行时产生的噪音更低，效率更高，发热量也更低。它是一种自锁式变速箱。图1显示了从顶部视图看到的螺旋 worm 与面齿轮的位置关系。本研究属于应用研究，因为它旨在实现一个特定的工业目标，即开发一种新的制造技术。所提出技术的可行性通过理论方法得到了验证，包括分析计算、建模和仿真。由于缺乏必要的设备和资源，因此没有进行实际验证、原型开发和实验研究；因此，这项研究仍处于发展的早期理论阶段。

为了更好地理解上述挑战，有必要回顾与螺旋 worm 制造和磨削过程相关的现有研究。文献[1]阐述了螺旋 worm 齿轮传动的原理和构造，定义了使用面齿轮的各种齿轮传动类型之间的差异，并详细解释了 worm 设计过程中的各个参数（如齿形、载荷能力、运动速度等）的作用，以及何时适合使用这种齿轮传动。小齿轮的锥度角 δ1 可以在0到10度之间变化[1]。文献[2]展示了不同类型齿轮传动的原理、应用和制造工艺，并开发了一种复杂的数学模型，用于分析各种类型的齿轮传动及其制造过程。同时，也为螺旋 worm 和 hob 开发了磨削技术[2]。文献[3]指出，在研究过程中开发的新几何模型和计算方法能够改善齿轮传动的配合精度，减少间隙，提高效率，同时考虑了制造技术的限制。该工作侧重于结合制造和设计，即利用计算机辅助设计（CAD/CAM）优化齿轮传动的几何形状和运行性能[3]。文献[4]介绍了一种改进的螺旋磨削技术，通过同时应用导程角校正和中心距离调整来提高螺旋 worm 的精度。由于中心距离在变化，因此螺旋 worm 的半锥度角度没有进行调整。文献[4]还确定了连接面齿轮与螺旋 worm 的几何模型解决方法[4]。文献[5]是一项专利，由 Dudás I., Bodzás S., Dudás I. Sz. 和 Mándy Z. 共同申请，描述了一种具有凹形螺纹轮廓的螺旋 worm 齿轮对的设计，旨在提高载荷能力、效率和精度并减少磨损。此外，该专利详细描述了通过在工业环境中进行磨削来生产凹形螺纹 worm 的工艺，从而实现精密、几何优化的齿轮生产。文献[6]探讨了螺旋 worm 齿轮的发展，特别关注轴向截面采用凹形螺纹轮廓，这可以提高载荷能力、效率和使用寿命。该论文提出了一种利用车床中心位移来制造精密、几何优化齿轮的新制造技术，从而提高齿轮对的机械性能和运行效果[6]。文献[7]分析了螺旋表面磨削过程和技术设置，指出通过调整半锥度角度来保持螺杆与砂轮之间的轴向距离恒定，但这种调整会导致螺杆在砂轮转速恒定时的角速度变化，从而影响螺纹螺距和螺纹轮廓的精度。因此，该研究分析了几何参数和设置参数如何影响螺旋螺杆轴磨削的精度和质量[7]。文献[8]研究了智能计算机控制制造系统在螺旋表面（如螺杆和螺纹零件）生产中的应用，重点在于实现几何形状正确和精确的加工。该工作的目标是用优化的自动化系统替代传统制造方法，确保准确的几何轮廓、合适的配合和减少间隙，同时提高生产力并降低错误可能性。论文结合了几何建模、仿真和制造技术，提供了一种适用于工业的精密螺杆表面制造方法[8]。文献[9]是一篇研究生论文，研究了机械表面对（如齿轮和滑轮）的几何设计制造问题，重点讨论了如何使用 reach 模型在制造过程中确保准确的配合和适当的表面接触，以减少制造误差、提高精度并优化表面对的机械性能[9]。文献[10]讨论了螺旋 worm 齿轮的基本特性和运行原理，介绍了螺旋齿轮的几何结构、传动机制、载荷能力和磨损行为，以及与传统齿轮传动相比的优势（如更高的效率和更紧凑的尺寸）。该文章提供了螺旋齿轮设计、应用和操作参数的重要概述，强调了它们在精密工业传动中的作用[10]。文献[11]是一本关于齿轮设计和制造的综合性实践手册，介绍了齿轮的几何基础、载荷和强度计算以及各种齿轮类型的操作方法，详细讨论了制造技术、热处理、精度和质量控制、降噪和减振方法，旨在将理论知识转化为实用的工程解决方案[11]。文献[12]是齿轮理论的基础性研究，提供了齿轮齿的详细数学和几何描述，详细阐述了啮合理论、渐开线和非渐开线齿形以及圆柱和螺旋 worm 以及双曲面齿轮的几何建模，特别强调了齿面生成、误差和修改的影响以及计算机辅助设计方法。这本书主要为研究人员和开发工程师提供了理论基础[12]。文献[13]总结了现代齿轮研究和设计的最重要成果，讨论了传统（已知轮距）和非传统齿轮（特殊齿轮和轮距）的几何形状、啮合理论以及高精度和高载荷传动的设计问题，详细介绍了计算机辅助齿轮设计、齿面建模、载荷分布和动态行为分析，适用于寻求深入理论和现代工程方法的研究人员和高级设计工程师[13]。文献[14]涵盖了齿轮传动的理论和实践方面， tribute 给了 F. L. Litvin——现代齿轮理论的先驱。该书详细讨论了齿轮的几何和运动学模型、啮合理论、载荷分布分析以及齿面相互作用，除了传统的圆柱齿轮和锥齿轮外，还介绍了螺旋齿轮、双曲面齿轮和蜗轮的设计方面。该工作特别强调了现代计算机设计、仿真和优化，包括动态行为研究、降噪和减振研究，以及磨损和疲劳研究，使读者能够了解齿轮技术的各种研究方向和实际应用[14]。文献[15]回顾了过去二十年卡尔拉什尼科夫 ISTU 研究环境中螺旋齿轮理论和实践的发展方向，涵盖了齿轮理论和齿轮设计方法、新型和改进的齿轮类型、竞争性齿轮布局以及高效的制造技术。特别是 SPDIAL+ 软件在齿轮设计和制造中的作用受到了重视（根据文章内容无法确定使用了哪个版本的 SPDIAL+），该软件能够详细检查齿轮啮合情况、考虑缺陷和变形，并根据实际运行条件进行优化。这些发展的主要应用领域是低速高载荷传动的操作，例如管道阀门[15]。文献[16]讨论了螺旋齿轮的生产，作为锥齿轮和双曲面齿轮的替代方案，特别是在齿轮比低于10（通常低于6）的情况下。生产中的主要挑战是多螺纹螺杆和刀具的制造。该研究为小批量生产和大批量生产提供了解决方案：对于小批量生产，发展了传统方法；对于大批量生产，开发了可以在传统车床上进行少量修改的高效加工工艺。数值示例说明了如何用螺旋齿轮替换卡车和有轨电车中的双曲面齿轮，保持相同的或修改后的安装尺寸。文章强调，通过选择适当的几何和机床设置参数，可以有效控制传动的运行、接触区域位置和工具参数[16]。文献[17]介绍了用于齿轮生产的多齿组合“入口”铣刀的应用，这些铣刀可以使用工业硬质合金刀片或特殊情况下的多刀片一次性刀片形成恒定或可变螺距的螺旋表面。研究讨论了计算和评估生成参数、表面以及参数选择的可能性和限制的数学模型，还介绍了工具设计和机床设置的基础，以及该方法在螺旋齿轮和圆柱 worm 驱动（单 thread 和多 thread）以及螺旋齿锥齿轮的小批量和大批量生产中的实际应用。这项技术的新颖之处在于它提供了一种经济高效的传统制造方法的替代方案[17]。文献[18]提供了有关螺旋圆柱 worm 制造技术的信息，介绍了一种使用圆盘形砂轮进行轮廓分析计算的方法，可以实现不同类型 worm 表面的精确磨削（例如阿基米德蜗轮、渐开线蜗轮和渐开线蜗轮）。通过应用这种计算方法，可以高精度地加工硬化蜗轮的工作表面。此外，在啮合过程中，螺旋面齿轮的磨损显著减少，这一点尤为重要，因为齿轮的环齿轮是由青铜制成的。因此，这项技术提高了精度并减少了生产过程中的零件磨损[18]。螺旋齿轮在低齿轮比范围（约12或更低）内是斜齿轮和双曲齿轮的一个合理替代品。在[19]中的研究调查了控制低齿轮比下啮合质量的潜力，并定量评估了啮合局部化的程度和性质如何影响齿接触应力。研究强调了设计纵向接触路径和接触模式的优势。数值研究表明，改变几何参数会影响齿轮的主要特性：接触应力、滑动速度、相关力和效率。研究表明，螺旋锥齿轮在这些特性上与斜齿轮和双曲齿轮相当，尽管参数的变化会产生矛盾的效果：例如，减少应力通常会增加滑动速度并降低效率。该研究还提供了螺旋齿轮、传统锥齿轮和双曲驱动的定量比较[19]。在[20]中的工作描述了使用两种加工方法精确制造和模拟设计的螺旋齿轮。基于运动学和几何关系，开发了一种用于齿形设计和确定齿线上修正深度的几何模型。计算了齿线的方程和修正深度的计算公式，假设蜗杆和直齿轮正确配合。利用算法和数学公式，开发了计算机程序来设计齿轮并计算其几何尺寸，以及可视化齿线上的修正深度。该研究通过具体齿轮示例的模拟结果来说明这种方法。最后，提出了两种使用单数切削工具的齿形加工方法：一种精确的方法和一种近似的方法。还对这两种方法进行了比较模拟[20]。在[21]中的工作概述了俄罗斯伊热夫斯克“力学研究所”研发中心开发的蜗轮型齿轮的设计创新。主要创新包括低速和小比值的螺旋齿轮、硬化钢制的圆柱蜗杆以及行星式螺旋齿轮。低速螺旋齿轮和圆柱蜗杆批量生产的挑战包括非常高的负荷、布局约束的考虑、工具的简化和统一以及在单一设计中的多种比值。对于小比值，由于它们有利的齿啮合和经济制造方式，螺旋齿轮可以成为双曲齿轮和斜齿轮的有效替代品。硬化钢蜗杆齿轮具有有利的齿啮合线布局，从而改善了润滑并减少了磨损。测试了两个版本[21]。在[22]中的工作研究了具有直线接触和渐开线齿形的双丝螺旋蜗轮的齿面设计。文中指出所有齿面都是渐开线螺旋面，并详细分析了它们如何形成。已经开发了几种用于加工齿面的方法，例如在铣床上、数控车床上或通过飞切。渐开线螺旋面本质上是点或直线运动的组合：底部圆柱体的旋转和点在平面内的平行运动决定了齿面的螺旋轨迹。齿面的形成可以基于这些几何和运动学原理，从而确保螺旋驱动的精确螺旋齿形[22]。尽管有几项研究探讨了蜗轮制造的各个方面，但车床中心位移和导程角校正的综合效应尚未得到全面研究。这篇文献综述直接为本研究提供了动机，本研究旨在开发一个新的分析模型和方法论解决方案。出版物中使用的符号可以在附录A中找到。1.1. 与现有研究的比较分析国际上对螺旋蜗轮的研究主要集中在几个方向上。一方面，他们致力于制造技术的发展和精密磨削工艺的开发，以提高齿形的精度并减少制造误差。另一方面，重点在于理论建模和CAD/CAM系统的集成，以实现螺旋蜗轮的优化设计和仿真。此外，动态行为和齿接触的研究在揭示齿啮合对载荷能力和运行稳定性的影响方面起着重要作用。磨损和润滑性能的分析也很重要，特别是从材料耐久性和润滑优化的角度来看。最后，齿形的优化有助于更好的配合、减少反向间隙和更高效的齿轮操作。1.2. 本研究中使用的方法的优势本研究应用了一种结合方法进行制造，虽然之前的研究分别探讨了制造技术、螺纹磨削工艺、基于CAD/CAM的设计或动态和摩擦学研究，但本研究在传统的圆柱螺纹磨床上同时应用了车床中心位移和导程角校正。这使得在真实、非理想的运动条件下更准确地生产螺旋蜗轮齿形成为可能。2. 新的数学模型用于运动学研究该出版物开发了一种新的数学模型，用于处理由于工件过渡到椭圆路径而产生的制造偏差。这允许确定螺旋蜗轮和滚刀的最佳磨削轮轮廓，这在之前的研究中尚未以如此具体的形式呈现。3. 提高的精度和减少的误差该方法通过同时应用优化的磨削轮轮廓和导程角校正，显著减少了导程和角速度的波动，从而提高了齿形的精度和重复性。这为严格遵循制造公差提供了实用的工程解决方案。4. 详细的制造分析本研究分析了半锥角变化对关键工艺参数的影响，从而优化了制造参数并预测了缺陷。这种详细程度补充了之前的理论和工业综述，后者提供了更广泛但不太具体的指导。5. 方法论贡献总体而言，本研究提出了一种新的、实用的方法论，用于优化螺旋蜗轮磨削过程，它整合了运动学问题的处理、轮轮廓优化和导程校正，从而提高了生产的精度和效率。2. 材料与方法 2.1. 使用车床中心位移调整螺旋蜗轮的问题整个磨削过程如图2所示。螺旋蜗轮调整了半锥角（δ1）。这种调整称为车床中心位移。驱动板固定在磨床的主轴上，并且可以一起移动。主轴从机器的初级齿轮箱获得转数（ng），驱动板的角速度为[4,5]。图2. 螺旋蜗轮轴的整体磨削制造过程。 (1) 这个（）角速度围绕dm直径是恒定的，dm是驱动销的圆形路径。这个元件固定在驱动板上。车床爪固定在调整后的螺旋蜗轮轴上；因此，它的位置也相对于水平方向是偏斜的。驱动销和车床爪在旋转过程中相互接触。旋转的车床爪为螺旋蜗轮轴提供旋转。主轴的圆周速度为[4,5] (2) 车床爪和驱动板之间的调整角也是半锥角（δ1）[4,5]。由于这种δ1调整，属于驱动板的驱动销的圆形路径与属于车床爪的驱动销的路径不同（图2）。这个路径是一个椭圆路径，其短轴为dm，长轴为[4,5] (3) 由于螺旋蜗轮的旋转路径是一个半径不恒定的椭圆，因此这个椭圆路径的角速度是不断变化的，假设两条路径上的圆周速度相同[4,5]： (4) 其中φ1是主轴的角位移。在螺旋蜗轮旋转过程中，磨削轮也会根据优化的磨削轮刮削站的优化导程角而旋转和倾斜。在磨削过程中，磨削轮会磨损，由于螺旋几何形状的原因，直径会发生变化，导致螺旋蜗轮沿长度方向的导程角发生变化。因此，螺旋蜗轮的实际轮廓与理论轮廓不同[2]。为了在规定的轮廓公差范围内提供相同的蜗轮轮廓，我们必须根据Illés Dudás教授的原则[2]确定优化的磨削轮刮削站。据说必须在螺旋蜗轮的最小和最大节径处确定磨削轮轮廓。之后，可以确定一个中间磨削轮轮廓（平均轮廓）。最后，可以从之前计算的优化磨削轮轮廓[2]确定螺旋蜗轮的优化节径。使用这个优化的磨削轮轮廓和在螺旋蜗轮的优化节径处计算的优化导程角，可以将螺旋蜗轮磨削到规定的轮廓公差。为了提高轮廓精度，同时还应用了±B2导程角校正[3]。在磨削过程中，必须连续计算，因为节径沿螺旋蜗轮的长度也在不断变化。确定连续变化的公式如下[4]：如果γ0opt > γ0，则 (5) 如果γ0opt < γ0，则 (6) 在磨削过程中，必须根据当前值和±B2导程角校正的符号修改角度[3,4]。螺旋蜗轮和磨削轮之间的恒定中心距离为[4] (7) 已知总轴长L和δ1半锥角；因此，可以计算偏心距离（ABC三角形，图2）[4]： (8) 2.2. 驱动销机构的运动学分析驱动销机构的运动学图示见图3。图3. 驱动销机构的运动学图示。驱动销固定在驱动板上。A点是驱动销和车床爪之间的初始接触点，此时驱动板的φ1角位移为零。当φ1 = 180°角位移后，我们在B点得到最大接触点位移（图3）。在一个驱动销旋转周期内，接触点在A点和B点之间不断移动。在旋转开始时，x = 0；当φ1 = 180°时，x = xmax；最终，在一个旋转周期结束时，x = 0再次恢复（图3）。为了分析运动学机构（图3），必须提供以下初始参数：L、ng、dp、dm和δ1[4]。变量φ1是圆形路径上的角位移，可以在0到360°之间变化。x接触点位移为 (9) P点是驱动销圆形路径上的任意选定的点（图3）。它具有具体的角位移值φ1。距离等于圆的半径rm（图3）：(10)
yp距离是（图3）：(11)
ypm距离在椭圆路径上（图3）：(12)
xpm距离在椭圆路径上（图3）：(13)
rep半径是（图3）：(14)
属于椭圆路径上P’点的φe角位移是（图3）：(15)
椭圆路径上的φe角位移可以直接根据圆路径上的φ1角位移使用以下公式确定：(16)
总而言之，如果给定圆路径上的任意一点，可以根据(11)–(16)确定该点在椭圆路径上的投影。为了确定进给误差和角速度波动，需要φ1和φe之间的函数关系。了解了这种相关性后，可以按照以下步骤进行进一步的制造分析。

2.3. 进给误差和角速度波动问题的解决
图4同时显示了圆路径和椭圆路径。由于半锥度的调整，初始的圆路径被修改为椭圆路径，这会导致磨削过程中螺纹的角速度和进给误差发生变化，从而可能引起工件的质量误差[4,5]。
图4. 半锥度角度调整的解决方案。为了获得恒定的角速度和进给量，我们首先使用公式(9)确定驱动销中点的路径。之后，必须将驱动销的交线（这些交线垂直于驱动销的中心线并沿着其长度分布）从圆路径插入椭圆路径。这意味着必须确定在路径上的任意点处椭圆半径与圆半径之间的rh半径差。实际上，rh是路径上相应点对之间的差异。rh半径差是（图4）：(17)
在圆路径上选择任意一点后，根据(9)和(17)，可以确定x和rh的值对。x和rh与φ1的关系图给出了驱动销的修改后中心路径，沿着该路径可以扫描交线（图5）。这种形状的曲线需要根据不同的几何形状和制造参数来确定。交线的直径等于驱动销的直径。驱动销的修改后几何结构如图5所示。
图5. 驱动销的修改后几何结构。修改后的驱动销必须固定在驱动板上。在ng次旋转中，驱动销和车刀沿着x接触点位移的长度方向接触（图6）。图6. 修改后驱动销的应用。图4中显示的rh差值距离表示给定点处椭圆半径与圆半径之间的差异。这个距离沿着圆路径自然会因点而异。公式(17)给出了如何根据圆路径的角位移（φ1）计算这个距离。距离x表示接触点沿驱动销的位移。对于具有给定几何形状的螺旋螺杆，可以通过扫描驱动销的圆形截面来确定优化后的驱动销几何形状，这取决于参数x和rh（图5和图6）。也就是说，沿着接触点x之间的距离，驱动销的圆形截面位置会根据rh与起始水平中心线的差异逐点改变。这不仅改变了驱动销和车刀之间的水平位置，还改变了高度位置。半径差rh正是对应于给定角位移点的圆路径和椭圆路径的半径差异。因此，可以通过调整螺旋螺杆的半锥角，将驱动销和车刀接触点的轨迹恢复到初始的圆路径上，从而避免由于角旋转而产生的径向波动，即不会出现进给误差和角速度波动。

2.4. 新型数学模型的创建
需要一个新的数学模型来确定合适的砂轮轮廓并动力学家地分析整个磨削过程（图7）。
图7. 新型数学模型。坐标系之间的变换矩阵如下（图7）：(18)–(24)
知道(18)–(24)变换矩阵后，可以确定旋转系统之间的变换矩阵：(25)–(26)
在确定了(25)和(26)变换矩阵之后，目标是确定制造给定螺旋螺杆所需的砂轮轮廓[2,3,7]。
位置向量在C1R坐标系上给出，这是螺旋螺杆的方程[2,12]：(27)
我们打算确定相互缠绕的表面；我们可以利用这两个表面在运动过程中会相互缠绕的事实：(28)
由参数线定义的平面是给定点处表面的切平面。表面法向量垂直于切平面[2,12]：(29)
可以根据C1R系统和C2R系统之间的变换来确定两个缠绕表面之间的相对速度[2,12]：(30)
为了确定所需的缠绕表面，必须将向量转换为C1R系统[2,12]：(31)
其中P1k是运动变换矩阵。
可以根据连接I语句[2,12]确定缠绕表面之间的接触线：(32)
连接线的展开面，即砂轮的表面，在C2R系统[2,12]上：(33)
如果接收到的点被转换到砂轮的轴向平面[2,12]，则可以给出工具轮廓函数：(34)
本文中开发的数学模型基于Illés Dudás[2]的一般数学模型以及在博士论文[3]中讨论的数学模型。Dudás的一般数学模型可以用于具有任意几何形状的蜗杆传动的几何、数学、连接和制造技术分析[2]。在博士论文[3]中进一步发展的模型适用于更精确地分析具有可变中心距离和进给角校正的螺旋螺杆轴的力学特性，以及从制造角度优化砂轮轮廓。
本文讨论的模型适用于检查在应用进给角校正时由于恒定中心距离而产生的角速度和进给波动。通过使用该模型，可以根据双缠绕原理确定从制造角度优化砂轮轮廓，从而产生螺旋螺杆轴的螺纹表面。

3. 结果
表1中展示了具有特定几何形状的螺旋螺杆制造的主要参数。修改了半锥度角以评估所接收的制造参数的影响。
表1. 螺旋螺杆制造中的参数[4]。所有确定的公式(1)–(18)都被编程到Microsoft Excel中，以确定必要的制造参数，并分析半锥度角修改对螺旋螺杆的影响，假设其他初始几何和制造参数保持不变（表1）。
角位移和进给误差可以在图8中看到。函数的形状近似为正弦波形，这意味着角位移的函数存在误差波动。这种波动对于不同的半锥度角都有所不同，如表1所示。在9°范围内，波动在规定的公差区内（表1）。图8. 角位移和进给误差的函数。相比之下，对于9°或10°的半锥度角，无法保持规定的公差（图8）；因此，必须使用具有不同曲线的新型驱动销。
图9显示了椭圆路径上的角位移和角速度的函数与恒定角速度的比较。图9. 椭圆路径上的角位移和角速度的函数。这些函数的形状近似为正弦函数的形状。
图10显示了驱动销路径（x）和椭圆路径与圆路径之间的半径差（rh）的函数，这是驱动销上交线的曲线。这些图形的形状类似于抛物线。对于2°和4°的半锥度角，计算结果几乎相同。因此，没有显示4°半锥度角的结果。根据图表，随着半锥度角的增加，曲线的长度也会增加（图10）。图10. 驱动销路径函数和路径之间半径差。使用拉格朗日插值来确定驱动销优化曲线的几何方程，以消除不同半锥度角下的进给误差和角速度波动（表2）。表2. 不同半锥度角的拉格朗日方程。

4. 讨论
我们分析了在经典机床上的螺旋螺杆轴磨削技术，其中螺杆轴通过半锥度角进行了偏移。在制造过程中，当砂轮旋转时应用进给角校正。砂轮轮廓是使用Illés Dudás教授开发的最佳砂轮轮廓确定算法确定的[2]。为了详细分析制造过程，开发了一个数学模型。
砂轮轮廓由CNC控制的砂轮调节装置控制。使用新的砂轮倾斜主轴壳体，以确保在CNC控制加工过程中应用砂轮进给角校正。当然，砂轮在制造过程中的旋转速度是恒定的。
我们确定了分析和设计这种制造技术所需的相关性和公式。
由于螺旋螺杆的齿是对称的，因此必须对螺旋螺杆进行两次磨削，即对低侧和高侧分别进行[10]。
对于具有特定几何形状的螺旋螺杆轴，我们分析了制造参数，同时考虑了给定的驱动销及其圆路径。在保持其他初始几何参数不变的情况下，我们改变了螺旋螺杆的半锥度角，以确定制造参数与半锥度角修改之间的相关性。我们确定了不同半锥度角值下进给误差和椭圆路径上角速度的变化。
我们确定了驱动销与车刀接触点沿长度方向的路径。我们确定了椭圆路径和圆路径上对应点之间的径向差异。根据半径差异，可以修改驱动销的几何形状，以解决进给误差和角速度的波动问题。如果我们绘制接触点的轨迹——半径差函数——我们会得到一条曲线。如果我们沿着生成曲线绘制驱动销的径向圆截面（交集圆），就可以得到一种几何形状，在驱动销旋转时利用这种形状来消除角速度和导程误差的波动。我们已经提出了一种通用情况下的改进型驱动销几何结构。通过使用拉格朗日插值法，我们确定了驱动销上所得曲线的方程，这有助于进一步的数学分析、驱动销的CAD建模过程以及CNC制造设计。这种具有新几何结构的驱动销可以使用CNC技术或金属粉末的增材制造工艺来制造。本文描述的研磨方法可以应用于不同类型的螺旋蜗杆或滚刀几何形状以及各种不同的制造情况。

4.1. 结果的实质性分析与批判性评价
研究结果表明，所开发的数学模型和改进后的驱动销几何结构可能适用于减少导程误差和角速度波动，从而提高螺旋蜗杆的制造精度。值得注意的是，对半锥角变化的影响进行了定量分析，并确定了一种特定的几何校正方法来补偿制造误差。然而，这种分析主要是理论性的和基于仿真的，尚未明确证明所提出的解决方案在实验或工业环境中的有效性。此外，模型对输入参数的敏感性以及实际应用方面的考虑（如制造成本和实施复杂性）也未详细研究，这些因素限制了结果的直接工业实用性。

4.2. 本研究的局限性
本研究为螺旋蜗杆轴研磨技术的分析与开发提供了许多重要结果，但在实际解释和应用这些结果时也存在一些局限性。测试主要基于在经典圆柱形研磨机上进行的工作，其中蜗杆轴通过半锥角进行调整。这种方法假设制造环境是理想且受控的，因此没有详细考虑真实的工业条件（如振动、热效应或机床几何精度误差）的影响。所建立的数学模型及其衍生关系是确定性的，不包含随机因素或不确定性。因此，在制造过程中出现随机误差或材料性能不均匀的情况下，模型的准确性可能会受到限制。在这些研究中，多个几何参数被视作恒定值，而仅分析了半锥角变化的影响。虽然简化了分析过程，但也限制了结果对其他几何配置的普遍适用性，因为在其他情况下多个参数的同时变化可能对制造过程产生显著影响。由于螺旋齿轮齿的不对称性，研磨过程必须分两个步骤进行（低侧和高侧研磨），从而增加了技术复杂性。尽管本研究考虑了这一点，但并未详细探讨双面加工导致的累积缺陷问题。

改进后的驱动销几何结构是基于椭圆路径与圆形路径之间的径向偏差确定的，并基于理想的几何假设。实际上，制造和装配过程中的误差以及磨损效应可能会影响实际接触条件，从而导致与理论结果的偏差。此外，尽管本研究提出了使用CNC或增材制造来生产改进后的驱动销，但并未详细分析不同制造技术对精度、表面质量和材料结构的影响差异。最后，所提出方法在其他螺纹表面或滚刀几何形状上的普适性仅停留在理论层面，其实验验证尚未完成，因此实际应用还需要进一步研究。

4.3. 未来研究方向
基于本研究的结果，可以确定几个未来研究方向，以进一步提高螺旋蜗杆轴制造技术的精度、效率和工业实用性。其中一个重要的方向是进一步发展数学模型，特别是在考虑实际生产条件的情况下。将随机效应（如机床振动、热变形和刀具磨损的动态变化）纳入模型中是有价值的，这将有助于开发出更可靠的预测模型，能够在工业环境中可靠应用。另一个研究机会是多参数优化。当前的分析主要集中在半锥角的影响上，但改变几何参数和技术参数（如进给量、速度、刀具轮廓和冷却条件）的综合影响可能导致复杂的相互作用。通过应用多变量优化方法，可以进一步提高制造精度和表面质量。此外，扩展实验验证也非常重要。在实际不同的机床和制造环境下测试所提出的理论关系和改进后的驱动销几何结构，将有助于验证结果的普遍性并发现潜在的偏差。研究现代制造技术的集成也很值得探讨。例如，增材制造技术可能为复杂驱动销几何形状的生产提供新的可能性，但其对机械性能、耐磨性和使用寿命的影响仍需进一步研究。混合制造工艺（增材制造+机械加工）也可能是一个有前景的方向。CNC控制的发展也是一个重要的研究领域，开发自适应的实时控制算法可以实现制造误差的即时补偿（例如利用传感器数据如振动、力和温度）。对于不对称齿轮造成的误差最小化来说，这一点尤为重要。另一个研究方向是磨损和使用寿命的研究，分析砂轮和改进后驱动销的长期行为有助于优化维护策略并降低生产成本。最后，将该方法扩展到不同类型的蜗杆和滚刀以及不同的工业应用中也是有益的，在此过程中不仅要考虑几何因素，还要考虑摩擦学和载荷因素，以便更广泛地应用这项技术。

5. 结论
本文分析了使用车床中心位移、恒定中心距离和导程角校正方法来研磨螺旋蜗杆的过程。通过车床中心位移使蜗杆的锥度生成与水平角度对齐，确保砂轮和工件之间的中心距离保持恒定。由于位移的存在，蜗杆沿着椭圆路径运动而非圆形路径，导致研磨过程中角速度不稳定，从而产生导程误差。为了解决这个问题，开发了一个数学模型用于过程的动力学分析，并基于蜗杆和砂轮表面的相互包络原理来确定最佳的砂轮轮廓。由于螺旋蜗杆的节圆直径和导程角沿其长度方向变化，因此使用Illés Dudás教授的方法确定了最佳的砂轮倾斜角度。最终砂轮轮廓是根据最小和最大的节圆直径计算得出的，其平均值用于定义最佳几何形状。在加工过程中，通过实时跟踪螺纹导程的变化来实施连续的导程角校正，以提高精度。本研究还研究了导程误差和角速度的波动，从而优化了驱动销的几何结构，最小化了这些偏差并使蜗杆轮廓保持在公差范围内。尽管这项工作是理论性的，但它具有重要的工业相关性。然而，实际应用需要大量的CNC设备和先进的测量系统（如基于CCD的或配备传感器的监测系统）投资，这目前限制了实验验证的可行性。总体而言，所提出的方法通过结合精确的动力学建模、优化的刀具几何形状和连续的导程角校正，提高了研磨精度，为高质量螺旋蜗杆的制造提供了一种稳健的方法，尽管需要较高的设备要求。

5.1. 该方法的具体优势
该方法最重要的优势之一是通过连续的导程角校正和优化的驱动销几何结构，显著减少了由角速度不均匀引起的轮廓误差和不准确性，从而提高了螺旋蜗杆的研磨精度和最终齿形的质量。

5.2. 具体的限制因素
实际应用的主要限制是高投资需求，因为该方法只能通过专用的CNC机床和先进的测量系统（如基于CCD的相机或传感器监测系统）来实现。这显著增加了工业应用和实验验证的复杂性。