利用实验-数值方法确定Cr20Ni80合金的Johnson–Cook本构关系和失效参数 李志 杨学进 周凯敏 宋少云 曹美莉 李瑞

《Materials》：Determination of Johnson–Cook Constitutive and Failure Parameters for Cr20Ni80 Alloy Using an Experimental–Numerical Approach Zhi Li, Xuejin Yang, Kemin Zhou, Shaoyun Song, Meili Cao and Rui Li

　　摘要：精确地数值模拟Cr20Ni80合金的加工过程依赖于可靠的本构模型和失效模型。本研究采用了一种综合的实验-数值方法，在不同的应力状态和应变率下校准和验证Cr20Ni80合金的Johnson–Cook（J-C）参数。通过对平滑试样和带有缺口试样进行准静态拉伸试验，以及动态Split Hopkinson Tension Bar（SHTB）试验（1000–3000 s?1），采用了脉冲成形技术，并通过验证动态力平衡来确保高应变率数据的物理有效性。基于真实的应力-应变响应，确定了本构参数（??=621.02 MPa, ??=543.20 MPa, ??=0.4564, ??=0.0141）。理论分析表明，由于绝热加热引起的热软化效应可以忽略不计。此外，失效参数（??1=?0.4300, ??2=2.6405, ??3=?0.7055）被校准以捕捉应力三轴性效应。使用1000 s?1和3000 s?1试验条件下的SHTB数据迭代校准了这些参数，并使用2000 s?1试验条件下的SHTB数据进行了验证。利用校准后的参数进行的模拟得到的工程应力-应变曲线与实验结果吻合良好，从而证实了校准参数的可靠性。

1. 引言
Cr20Ni80合金是一种镍铬电加热材料，具有优异的宏观物理性能和热稳定性。它具有高熔点、稳定的电阻率、低热膨胀系数以及在高温下的良好抗氧化性和抗腐蚀性。该合金广泛应用于航空航天、海洋、化学和能源等行业的极端工作环境[1]。在Cr20Ni80合金的加工过程中，许多非线性因素共同作用，包括材料的应变硬化、应变率敏感性、热响应、工件或试样的几何特性以及控制载荷传递和局部应力分布的接触相互作用。这些因素共同导致了加工过程中的复杂多变的应力-应变条件。仅依赖传统的实验分析和经验公式不仅使计算变得困难，也难以准确描述这一过程[2,3,4,5,6]。通过数值模拟研究Cr20Ni80合金的加工和成形过程，可以阐明宏观变形机制、预测失效现象，并优化工艺参数，从而缩短开发周期并降低成本。然而，数值模拟的可靠性完全取决于其本构模型和损伤模型的准确性。Johnson–Cook（J-C）模型因其数学上的简洁性以及描述应变硬化、应变率敏感性和热软化能力而闻名，使其成为冲击动力学领域最广泛使用的现象学模型之一。

以往关于Cr20Ni80合金的研究主要集中在热变形、退火和拉伸加载条件下的变形机制和微观结构演变。Dudova[7]研究了高温下Cr20Ni80合金的变形机制，并指出现有数据尚未提供控制塑性流动的完整物理过程。最近，Zhang[8,9]报道了Cr20Ni80合金在拉伸变形过程中的微观结构演变和变形行为，强调了孪晶界、位错滑移、晶粒旋转及相关强化机制的作用。同时，通过结合实验和数值方法，已经广泛报道了工程合金的Johnson–Cook本构和失效参数的校准。代表性研究包括CoCrMo合金的J-C塑性参数的确定、结构钢的J-C本构和损伤参数的逐步校准，以及装甲钢和管道钢的J-C材料和失效参数的识别[10,11,12,13,14]。这些研究表明，当J-C模型得到准静态试验、动态试验和有限元验证的支持时，它可以提供实用的本构-损伤描述。

尽管Cr20Ni80合金现已在工业应用中得到广泛应用，但关于其动态力学行为或其J-C本构参数和失效参数校准的研究文献仍然较少。尽管已经提出了其他本构描述方法，如改进的Johnson–Cook模型、Arrhenius型或Hockett–Sherby型定律用于热机械变形分析，但经典的J-C模型仍然在模型简洁性、参数识别和在商业有限元软件中的实现之间提供了实用的平衡[15,16]。为了解决这一研究空白，本研究采用了结合实验和数值模拟的方法。通过对平滑试样和带有缺口试样的拉伸试验以及不同高应变率下的Split Hopkinson Tension Bar（SHTB）实验，获得了合金在各种应变率范围内的力学响应。通过使用数值模拟技术处理和分析实验数据，校准了Cr20Ni80合金的J-C本构参数和失效准则。使用校准后的参数进行的模拟得到的工程应力-应变曲线与SHTB试验数据吻合良好，验证了这些参数的有效性。

2. Johnson–Cook本构模型
J-C本构模型是一种广泛采用的实证模型，主要用于描述金属材料在不同应变率和热条件下的塑性流动行为[17,18]。其数学表达简洁，将应变硬化、应变率敏感性和热软化效应解耦，并能够可靠地预测材料在大塑性变形、动态冲击和高温条件下的行为。J-C流动应力方程如下所示[11]：
\[ \text{流动应力} = \mathbf{A}\left[\left(\frac{\epsilon}{E}\right)^{\mathbf{n}}\right] \exp\left(\mathbf{B}\left(\frac{\epsilon}{E}\right)^{\mathbf{m}}\right) \]
其中，\(\sigma_{\text{equivalent}}\)表示等效应力，\(\epsilon\)表示等效塑性应变。无量纲应变率定义为\(\frac{\Delta\epsilon}{\Delta t}\)，\(\mathbf{E}\)是当前应变率，\(\mathbf{E}_0\)是参考应变率，\(\Delta t\)是时间间隔。同温定义为\(\tau=\frac{\Delta t}{\Delta T}\)，\(\tau_0\)是工作温度，\(T_m\)是材料的熔点。待校准的材料参数包括：\(\mathbf{A}\)表示在参考应变率和温度下的初始屈服应力；\(\mathbf{B}\)是应变硬化系数；\(\mathbf{n}\)是应变硬化指数；\(\mathbf{m}\)是应变率敏感性系数；\(\mathbf{C}\)是热软化指数。

2.1. 参数\(\mathbf{A}\)、\(\mathbf{B}\)和\(\mathbf{n}\)的确定
为了系统地校准J-C参数，采用了逐步解耦的方法。在参考室温下进行的准静态拉伸试验中，热软化效应被自然消除，当准静态试验精确地在选定的参考应变率下进行时，应变率硬化项也趋于零。因此，方程（1）简化为[11]：
\[ \sigma_{\text{equivalent}} = \mathbf{A}\left[\left(\frac{\epsilon}{E}\right)^{\mathbf{n}}\right]
根据方程（2），必须以低且恒定的横梁速度进行单轴拉伸试验，以获得确定参数\(\mathbf{A}\)、\(\mathbf{B}\)和\(\mathbf{n}\)的数据。

2.1.1. 平滑圆棒的拉伸试验
为了确定材料的本构关系，在室温下对平滑圆柱试样进行了准静态单轴拉伸试验。本研究中使用的Cr20Ni80合金的化学成分如表1所示。材料由宝山钢铁有限公司（上海）提供，是一种直径为12毫米的商用Cr20Ni80圆棒。所有平滑试样、带缺口的试样和SHTB试样都是从原材料棒材加工而成，在试样准备过程中未进行额外的热处理。由于本研究的目的是对Johnson–Cook本构和失效参数进行现象学校准，因此没有进行额外的微观结构表征。试样尺寸如图1a所示。试验使用了UTM400系列双柱试验机，横梁位移率为0.03 mm/s。平滑拉伸试样的制备符合GB/T 228.1-2021[19]标准，在相同条件下进行了三次重复试验。使用伸长计记录了均匀变形阶段平滑拉伸试样的标距段伸长量。图1b展示了Cr20Ni80合金的代表性工程应力-应变响应。屈服后，流动应力随着应变的增加而持续增加，然后出现颈缩，表明了明显的应变硬化趋势。这一趋势与之前关于Cr20Ni80和相关镍基合金的拉伸和变形研究结果一致，这些研究也报告了与位错活动和微观结构演变相关的应变硬化[7,8,9]。

2.1.2. 参数\(\mathbf{B}\)和\(\mathbf{m}\)的确定
为了准确校准基线J-C流动参数，在宏观颈缩开始之前，将平滑棒试验得到的工程应力-应变数据转换为真实的应力和真实的塑性应变曲线。根据施加的横梁速度和试样的初始标距长度，确定了准静态参考应变率为\(\epsilon_0\)。严格遵循标准0.2%的塑性应变偏移量准则，清晰地确定了初始准静态屈服应力参数。随后，使用方程（2）拟合初始屈服点之后的真实塑性流动行为，以确定应变硬化系数\(\mathbf{B}\)和应变硬化指数\(\mathbf{m}\)。图2展示了实验工程应力-应变曲线与校准后的J-C本构模型预测曲线之间的比较。

2.2. 参数\(\mathbf{C}\)的确定
在宏观屈服开始时，假设累积的等效塑性应变为零。因此，方程（2）中的应变硬化项被消除，本构关系简化为[11]：
\[ \sigma_{\text{equivalent}} = \mathbf{A}\left[\left(\frac{\epsilon}{E}\right)^{\mathbf{n}}\right]\]
在成功确定了准静态屈服强度后，可以使用高应变率实验得到的代表性动态流动应力数据明确校准应变率敏感性参数\(\mathbf{m}\)。

2.2.1. 动态Split Hopkinson Tension Bar（SHTB）试验
为了表征Cr20Ni80合金的动态力学响应，在室温下使用Split Hopkinson Tension Bar（SHTB）装置进行了高应变率拉伸试验，该技术已成为评估高应变率材料最广泛采用的技术[21,22,23,24,25]。动态试验的试样尺寸如图3a所示。SHTB试样的几何形状是根据GB/T 30069.1-2013[26]为弹性杆类型系统的高应变率拉伸试验设计的。图3显示了SHTB试样的几何形状以及动态拉伸试验前后的代表性外观：(a) 试样尺寸（单位：mm）；(b) 未变形试样；(c) 不同应变率下的代表性断裂试样。在三个代表性的标称应变率\(\epsilon_1\)、\(\epsilon_2\)、\(\epsilon_3\)下进行了试验。对于当前的参数校准，在每个标称应变率水平下使用了一个有效的试验。图3b,c展示了原始试样和试验后变形试样之间的比较。

2.2.2. 脉冲成形技术的应用
为了确保提取的动态数据的物理真实性，在冲击器-入射杆界面连接了一个薄铜脉冲成形器[27]。脉冲成形技术平滑了入射波的上升沿，并减轻了由惯性引起的严重的高频振荡。图4、图5和图6展示了原始电压信号，并验证了实验的动态力平衡和恒定应变率。在这些图中，分别展示了入射信号、反射信号和透射信号，在主要变形阶段可以观察到大致恒定的应变率平台[28]。在所有应变率下，入射应变和反射应变的总和与塑性变形窗口内的透射应变吻合良好，证实试样两端达到了均匀的应力状态；同时，应变率在目标平台期间保持稳定。图4展示了在1000 s?1下的SHTB试验验证：(a) 原始入射信号、反射信号和透射信号；(b) 通过比较透射信号与入射和反射信号的总和来验证动态力平衡；(c) 主要变形阶段的应变率历史显示大致恒定的应变率平台。图5展示了在2000 s?1下的SHTB试验验证：(a) 原始入射信号、反射信号和透射信号；(b) 通过比较透射信号与入射和反射信号的总和来验证动态力平衡；(c) 主要变形阶段的应变率历史显示大致恒定的应变率平台。图6展示了在3000 s?1下的SHTB试验验证：(a) 原始入射信号、反射信号和透射信号；(b) 通过比较透射信号与入射和反射信号的总和来验证动态力平衡；(c) 主要变形阶段的应变率历史显示大致恒定的应变率平台。参数的确定与绝热加热分析
通过转换和处理实验过程中记录的电信号得到的应力-应变曲线如图7所示。仅使用了颈缩开始之前的数据来提取代表性的动态流变应力，而颈缩后的数据未被用于参数识别。在动态加载条件下，由于响应的早期部分受到惯性振荡的影响，直接确定初始屈服点是比较困难的。如图4、图5和图6中的应变率历史所示，当塑性应变达到5%时，试样已经进入稳定的恒定应变率阶段，而响应仍停留在颈缩开始之前。因此，在本研究中，采用5%塑性应变时的真实应力作为代表性的动态流变应力来校准参数C，而不是使用曲线的振荡初始部分。类似的处理方法也在文献中用于确定Johnson-Cook模型的应变率参数[10]。表2显示了应变率与提取的代表性动态流变应力之间的关系。图7. 不同应变率下SHTB试验得到的Cr20Ni80合金的动态应力-应变响应。仅使用了颈缩开始之前的数据来提取代表性的动态流变应力。表2. Cr20Ni80合金的应变率与动态流变应力之间的关系。在极高的应变率（3000 s?1）下，部分塑性功转化为热能，可能导致绝热温度升高（ΔT）。根据Taylor-Quinney经验定律[29]，可以通过以下公式估计绝热温度升高ΔT：ΔT = k * ε * ∫(σε) d(τ)，其中k是Taylor-Quinney系数，ρ是密度，c_p是比热容。对实际的应力-应变曲线进行积分可以得到最大塑性功W_p，估计的绝热温度升高约为ΔT = k * π * ρ * c_p * ∫(σε) d(τ)。Cr20Ni80合金的熔点为某某度。计算结果显示，热软化效应可以忽略不计。由于估计的绝热温度升高与Taylor-Quinney系数成线性比例，因此k的适度变化不会改变结论，即在该测试条件下热软化的影响有限。基于方程(3)，标准化动态流变应力与无量纲应变率的对数之间的关系被线性拟合，如图8所示。根据拟合线的斜率，确定了应变率强化系数μ，决定系数R2为某某。图8. 标准化动态流变应力作为无量纲应变率对数的函数进行线性拟合，以确定应变率敏感系数C。基于系统的实验和数值校准程序，得到了室温下Cr20Ni80合金的J-C本构模型参数，如表3所示。表3. Cr20Ni80合金的校准后的Johnson-Cook本构参数。

3. Johnson-Cook失效模型
在大塑性变形过程中，金属材料经常发生韧性断裂失效。这些复杂的失效机制深受应力状态的影响，并对应变率和温度表现出明显的敏感性。经典的J-C失效模型是一种广泛应用于商业有限元软件中的现象学连续损伤准则，用于预测韧性断裂[12,30,31,32,33,34]。经典的J-C模型主要关注应力三轴性的影响，应力三轴性在拉伸载荷条件下主导了空洞的萌生和聚合。基于累积损伤定律，损伤参数α定义如下[17]：
α = ∫(ε_c * τ) d(τ)，其中ε_c是单个积分时间步长内的等效应变增量，σ_c是当前状态下的等效断裂应变。当α达到1.0时，断裂发生。J-C断裂应变的一般表达式为[11]：
ε_c = Σ[α_i * (ε_i * τ_i)^m]，其中i是从1到n的整数。应力三轴性定义为γ = σ_i / (σ avg * ε avg)，其中σ avg是平均应力，ε avg是平均应变。3.1. 参数α、μ和κ的确定在参考室温下的准静态加载条件下，应变率和绝热加热的影响被 inherently 消除了（即α = μ = κ = 1）。因此，通用失效方程简化为仅捕捉应力三轴性的纯粹效应[11]：
σ_c = σ avg * γ^(n/2)
3.1.1. 有缺口棒的准静态拉伸试验
为了确定参数α、μ和κ，必须获取在不同应力状态下的断裂应变数据。应力三轴性γ是量化控制韧性断裂的复杂应力状态的关键参数。为了系统地研究其对Cr20Ni80合金断裂应变的影响，在室温下对有缺口的圆形棒样品进行了准静态拉伸试验。通过调整缺口的几何形状，可以有效地实现不同的初始应力三轴性水平。因此，设计了三种不同的缺口几何形状，缺口半径分别为1.5毫米、2.0毫米和3.0毫米。目前没有专门的标准用于室温准静态有缺口圆形棒拉伸试样的应力三轴性依赖性校准。因此，试样尺寸的设计参考了关于这种校准的已发表研究[10,11,12]。每种缺口半径进行了一次准静态拉伸试验。图9a显示了有缺口试样的具体尺寸，而图9b展示了相应的宏观载荷-位移关系。图9. 有缺口拉伸试样的几何形状及其相应的实验载荷-位移响应：(a) 不同缺口半径的试样尺寸（单位：毫米）；(b) 从准静态拉伸试验中获得的载荷-位移曲线。3.1.2. 参数κ的确定
Bridgman的分析[35]表明，可以使用以下经验关系估计缺口拉伸试样中心的初始应力三轴性：
γ = (2 * r_n / R_n)^2，其中r_n是最小截面半径，R_n是缺口轮廓的半径。然而，这种分析假设了理想塑性的刚性材料，无法准确描述局部颈缩和断裂前大变形期间应力三轴性的剧烈变化。为了克服这一分析的局限性并获得准确的应力三轴性和断裂应变历史，本研究采用了数值提取方法。利用完全校准的J-C本构参数，在Abaqus 2023（Dassault Systèmes Simulia Corp., Johnston, RI, USA）中构建了有缺口试样的显式有限元模型。为了确保计算的可靠性并减轻严重局部化过程中的网格依赖性问题，采用了8节点线性砖形单元C3D8R（具有沙漏控制）。基于初步的网格敏感性验证，为关键缺口区域分配了0.5毫米的精细特征元素尺寸。模拟中的边界条件和加载模式被定义为重现相应的准静态拉伸试验。
韧性断裂通常在最小截面的几何中心开始，那里的宏观应力三轴性达到最大。因此，应力三轴性的时间演化是从中心元素显式提取的。理论上，宏观断裂应变可以通过最小截面的几何缩减来确定，表达为：
ε_c = ε min * (R_n^2 / R)^(3/2)，其中ε_min是初始截面面积，R是断裂截面半径[11]。然而，直接实验测量ε_c会由于断裂后表面的严重变形、非圆形和表面不规则性而引入显著的不准确性。鉴于建立的FE模型能够准确捕捉有缺口试样的宏观载荷-位移响应，最小截面的时间演化是从数值模拟中提取的。因此，基于宏观裂纹起始的确切时刻模拟的几何缩减计算了等效断裂应变。从不同应力三轴性状态下数值模拟中提取的等效应变在图10a中绘制。图10. 不同应力三轴性状态下Cr20Ni80合金的数值提取断裂数据和拟合的断裂轨迹：(a) 从FE辅助分析获得的等效应变数据；(b) 基于J-C失效模型的断裂应变与应力三轴率的指数拟合。随后，使用简化的失效方程对这些数据点进行拟合，得到了基线材料的失效参数：κ = 2.6405，μ = 0.351，σ avg = 250 MPa。拟合的指数曲线（图10b）显示出极高的决定系数（R2 = 0.995）。这种强相关性证明了J-C失效模型提出的现象学指数衰减关系准确捕捉了不同应力三轴性状态下Cr20Ni80合金的宏观断裂行为，为后续的动态损伤预测奠定了基础。3.2. 参数σ avg的确定
在SHTB试验中，传递棒的反弹会导致断裂表面的变形。由于SHTB试验后断裂表面的复杂几何形状，直接测量σ avg会引入显著误差。因此，采用了一种结合SHTB试验和有限元模拟的逆向校准方法来确定参数σ avg。在Abaqus/Explicit 2023中创建并配置了相应的模拟模型来复制SHTB试验。经过合理简化的三维模型如图11a所示。每个部分的所有尺寸都与实验设置相匹配。实验测量的加载脉冲和相应的边界约束直接应用于模拟中。在冲击区、棒-试样接触区域和试样的平行部分采用了细网格，而在其他区域采用了粗网格。在这些区域引入了局部网格细化，以提高应力波传播和局部变形预测的准确性。采用了C3D8R元素，并且加载条件和边界约束完全来自实验。将校准的J-C本构参数和部分损伤参数分配给试样模型。参数σ avg被赋予了一个初始值。每次模拟后，提取应力-应变曲线并与实验数据（1000 s?1和3000 s?1）进行比较，并迭代调整σ avg。当模拟曲线与实验曲线显著吻合时，确定了最佳值。经过多次计算，发现该值能够最好地匹配模拟和实验结果。图11b,c显示了使用该值获得的模拟结果。图11. 用于参数逆向校准的SHTB试验的有限元模型和实验-数值比较：(a) 简化的三维FE模型；(b) 1000 s?1时实验和模拟的 engineering 应力-应变曲线比较；(c) 3000 s?1时实验和模拟的 engineering 应力-应变曲线比较。为了验证所有校准参数的可靠性，使用校准参数对SHTB试验进行了模拟；结果如图12所示。由于SHTB试验中的应力波固有扩散和J-C塑性模型的解耦性质，在初始塑性流动阶段观察到了轻微的偏差。尽管如此，模拟仍然合理地再现了实验响应的总体趋势，包括主要变形阶段和与断裂相关的随后的应力下降，这支持了校准参数集的有效性。这种一致性也与之前基于实验和数值相结合的Johnson-Cook参数校准研究结果一致[10,11,12,13,14]。模拟曲线中保留的小幅振荡主要归因于瞬态应力波效应和显式SHTB模拟中的接触诱导动态响应。图12. 2000 s?1时实验和模拟的 engineering 应力-应变曲线比较，用于验证校准的J-C本构和失效参数。基于系统的实验和数值校准程序，已经确定了Cr20Ni80合金的Johnson-Cook失效参数（κ、μ和σ avg）。这些优化参数准确捕捉了材料在复杂动态载荷下的应力三轴性依赖性和应变率敏感性，总结在表4中。表4. Cr20Ni80合金的失效模型参数。

4. 结论
本研究通过结合实验测试和数值模拟，校准并验证了Cr20Ni80合金的J-C本构模型和失效参数。本研究的主要结论如下：
(1) J-C模型参数的校准
已成功建立了一套可靠的室温J-C参数。通过准静态拉伸试验和动态SHTB拉伸试验，确定了材料的本构参数为：= 621.02 MPa，= 543.20 MPa，= 0.4564，= 0.0141。此外，通过将缺口拉伸试验与显式有限元模拟相结合，对失效参数进行了校准，得到的失效参数分别为：= ?0.4300，= 2.6405，= ?0.7055，= ?0.0355。

(2) 验证与应用
经过校准的J-C模型在动态条件下表现出较高的预测准确性。对于参数的反向校准，分别比较了在1000 s?1和3000 s?1时实验结果与模拟结果，通过对参数进行迭代调整，直至达到合理的吻合度。随后使用完整的校准本构-失效参数集来模拟2000 s?1的测试条件以进行验证。模拟结果与实验曲线显示出良好的一致性，成功再现了主要变形阶段以及验证条件下的应力下降现象。这些结果证明了所获得参数的有效性和可靠性，能够用于模拟Cr20Ni80合金的复杂制造过程和结构成形。

(3) 局限性及未来工作
目前的研究是在室温下进行的，因此与温度相关的参数，特别是热软化指数()和温度依赖的失效参数()尚未进行校准。未来的工作将重点关注高温实验以及重复的缺口拉伸和动态拉伸测试，以提高校准后的J-C模型的热适用性和统计稳健性。同时，还可以结合微观结构观察（例如扫描电子显微镜断裂分析）来进一步支持校准参数的物理解释。