在噪声影响下，变分量子电路中启发式设计与自动设计方法在MaxCut问题上的比较 埃马纽埃尔·伊萨克·华雷斯·卡巴列罗（Emmanuel Isaac Juárez Caballero）、 奥拉西奥·塔皮亚-麦克隆（Horacio Tapia-McClung）和 埃夫伦·梅祖拉-蒙特斯（Efrén Mezura-Montes）

《Mathematical and Computational Applications》：A Comparison Between Heuristic and Automatic Design in Variational Quantum Circuits for the MaxCut Problem Under Noise Effects Emmanuel Isaac Juárez Caballero, Horacio Tapia-McClung and Efrén Mezura-Montes

　　摘要：为变分量子算法（VQA）选择正确的拓扑结构（ansatz）是一项复杂的任务，这通常需要对特定问题有深刻的理解。考虑到当前量子硬件的现状，特别是实现VQA的变分量子电路（VQCs）的复杂性所伴随的噪声，这种选择的重要性就更加显著了。本文比较了两种解决MaxCut问题的方法：QAOA（具有收敛性的理论证明）和自动设计提案QNAS（依赖于进化算法NSGA-II来发现高效电路）。比较涵盖了490个不同图拓扑和大小（??=4至??=16）的图实例，并考虑了诸如退极化噪声、门错误和读出噪声等噪声模型。结果显示，在理想条件下，QAOA在完全图上能够达到约1的逼近比率（????），但其复杂度几乎是QNAS的12倍；而在接近随机噪声底限时（?????≈0.5），QNAS能够找到复杂性较低的电路同时保持69%的保真度。然而，当比较稀疏图时，两者的性能相当，且QNAS的复杂性更低。

1. 引言
当前量子计算（QC）的发展主要受到先进的噪声中等规模量子（NISQ）[1,2]设备的限制，这些设备主要由超冷原子和超导量子比特组成，但只能提供50到1000个量子比特的处理器，并且受到诸如退相干等物理过程的现实限制——这种过程会引入噪声，破坏量子态的叠加，从而改变VQA的结果测量。这些QC的相干时间很短，这意味着操作窗口很小，量子比特之间的连接性有限，门错误率也处于较高水平。这与经典计算机形成鲜明对比，在经典计算机中，错误可能几乎不存在，而QC则会在信息测量中累积噪声。
由于这种由实验限制引起的固有噪声，人们正在探索多种方法来利用QC的优势，特别是变分量子特征值求解器（VQEs）[3]的使用。
量子近似优化算法（QAOA）是一种专注于组合优化的VQA。这种VQA使用经典计算机反复调整变分量子电路（VQC）的参数（称为ansatz），以最小化取决于问题的特定成本函数。最后，量子计算机（或模拟）测量结果以评估成本函数。
一个重要点是，该过程依赖于ansatz的选择，而这完全取决于架构的选择。选择错误ansatz可能引发的一些问题如下：
- VQC无法到达优化景观中包含解决方案的部分。
- 系统增长时，优化景观变得平坦，使得基于梯度的方法在搜索VQC中的参数时失效[5,6]。
- 退相干在算法完成之前就发生了，导致VQC提供的解决方案因随机行为而无效[7]。
我们的提议（见图1）基于之前提到的QAOA与量子神经架构搜索（QNAS）之间的直接比较，后者依赖于进化计算策略来发现特定问题的解决方案。许多研究[8,9,10]采用了不同的进化技术以及其他方法，如强化学习[3,11]，用于ansatz的自动设计。
图1. 在NISQ设备中假定的性能权衡。蓝色区域对应于QNAS的目标范围。红色区域表示标准的QAOA范围。然而，对于像这里提出的MaxCut问题这样的明确定义的问题，启发式方法（如QAOA）和自动设计策略（如QNAS）的功能直接比较尚未得到探索。
需要指出的是，尽管这项研究与MaxCut问题相关，但它本身也可以被视为更通用方法的一部分，因为QNAS以创建潜在的量子神经网络（QNN）架构搜索而闻名。QNN可以表示为VQC，而VQC本身就是VQA的一种形式。

本文的结构如下：第2节介绍了理论框架，包括MaxCut问题的表述、QAOA算法及其复杂性分析，以及基于NSGA-II的QNAS方法。第3节详细介绍了实验方法，包括部署环境、图数据集构建、噪声模型规范和性能指标。第4节报告了在理想和噪声条件下的结果，并按图拓扑进行了分层。最后，第5节总结了研究结果并提出了未来工作的方向。

2. 理论背景
2.1. MaxCut问题的表述
MaxCut问题的正式定义[12]可以通过考虑一个具有顶点集V和边集E的无向图来总结。目标是找到V的一个划分，将其分为两个不相交的集合S和T，以最大化它们之间的边数。割值定义如下：
(1)
这个问题可以映射到在伊辛哈密顿量中寻找基态（见图2），因为两者是同构的。我们为每个顶点i分配一个自旋变量si，其中si表示i的状态，si'表示i'的状态。成本函数变为：
(2)
图2. MaxCut问题的可视化映射。顶点被划分为两个集合（S和T），分别对应于自旋状态si和si'，以及量子比特基态|si?和|si'?。这种表述基于这样一个事实：当顶点i和j位于不同的划分中时，si ≠ si'；当它们位于同一划分中时，si = si'。通过映射si → si'，其中π是泡利z-矩阵，我们得到了哈密顿量H：
(3)
H的基态对应于最大割。在计算基中的测量结果被解释为一个比特串，其中处于状态si的量子比特i对应于1，状态si'的量子比特i'对应于0。
可以定义一个辅助指标——逼近比率（≈），表示为：
(4)
其中C最优表示最优割的值，δ是用于评估优化算法提供的解决方案相对于最佳解决方案的质量的标准指标。

2.2. 量子近似优化算法（QAOA）
QAOA是一种受绝热量定理[13]启发的启发式算法，如前所述，它是为了提供组合优化问题的解决方案而精心设计的[14]。这种解决方法包括两个基本组成部分：ansatz（一个变分量子电路）和成本哈密顿量Hcost。成本部分确保评估最大割；混合部分确保被评估的状态发生变化，并且算法不会陷入局部最小值。提出的解决方案具有以下形式：
(5)
其中θi和θj是变分参数（旋转角度），|Ψ?i表示n个量子比特的均匀叠加态。符号?表示n个量子比特的张量积。
算子从右到左依次应用，首先进行状态准备，然后交替p层成本单元算子和混合单元算子。每个u_i编码问题哈密顿量（方程(3)），而Mmix实现混合部分，其中π_X是作用在量子比特i上的泡利X算子。
混合算子通过将单量子比特施加泡利X旋转来作用在每个量子比特上，从而在计算基状态之间诱导转换，确保算法可以逃离局部最小值。这一属性保证了随着层数p的增加，算法原则上可以逼近全局最优解。θi也可以表示为初始哈密顿量H?，其基态是均匀叠加态|0?，系统从该状态演化到成本哈密顿量的基态。
从方程(5)可以看出，函数依赖于参数p，通常称为ansatz的层数。然而，所有层都具有成本部分和混合部分；因此，层数p是整数。QAOA中每层结构的更直观表示见图3。
图3. QAOA ansatz层的结构，可推广到n个量子比特。(a) 成本层通过连接的量子比特之间的-相互作用门实现问题哈密顿量，每条边需要两个CNOT门和一个π-X旋转。(b) 混合层对每个量子比特施加由θi参数化的单量子比特π-X旋转。

2.3. 量子神经架构搜索（QNAS）
在我们的提议中，QNAS不仅优化架构A（拓扑和门选择），还优化该特定架构的变分参数（见图4）。
图4. VQC的典型结构。状态准备和参数化的门——非变分门初始化量子比特，然后是变分旋转门，其参数通过经典方法优化。纠缠和测量——两量子比特纠缠门在量子比特之间创建相关性，测量层将量子态投影到计算基上以评估成本函数。我们可以将这视为一个多目标优化（MOO）问题：
(8)
其中Σ_c是可能电路的搜索空间。在这种方法中，它被描述为一个整数列表。C_cost是相对于潜在硬件实现的复杂性成本。Ω表示通过经典优化获得的参数（在我们的实验中，我们使用了L-BFGS-B算法[20]进行100次迭代）。
这些目标是有冲突的（见图5）：增加电路深度通常可以提高 expressibility（降低第一个目标），但会增加复杂性（增加第二个目标）。这个MOO问题的解决方案不是一个单一的架构，而是一组Pareto前沿，即在没有降低另一个目标的情况下无法改进任何目标的架构集合。

2.4. NSGA-II进行进化搜索
我们采用[21]提出的NSGA-II来进行架构/拓扑的优化。NSGA-II通过创建候选架构的种群并通过变分算子（选择、交叉和变异）来演化它们。
NSGA-II在我们的提议中的工作原理在算法1中定义，并在图6中作为原始[21]参考的直接扩展进行了说明。
算法1 NSGA-II用于QNAS。使用符号表示所研究问题的原始算法[21]的直接翻译：
1: 初始化N个随机架构的种群P。
2: 对于循环genからgenまで
3: 对于每个架构i，执行
4: 通过L-BFGS-B训练参数。
5: 评估目标f_i和f_j。
6: 结束循环。
7: 对P进行非支配排序以分配排名。
8: 计算每个架构的拥挤距离。
9: 通过锦标赛选择、交叉和变异生成后代。
10: 组合P并选择最佳的N个。
11: 结束循环。
12: 从最终种群中返回Pareto前沿。
图6. 算法1的图形表示；总种群P按照Pareto前沿（PF）排名进行排序，然后对该集合按照拥挤距离进行排序——这是一种增强選定种群多样性的度量，确保解决方案的多样性，从而更能够代表Pareto前沿。选择基于两个标准：

1. 帕累托前沿排名：没有被其他解决方案支配的解决方案获得排名1，依此类推。这种分层确保了向真正的帕累托前沿的收敛。

2. 拥挤距离：为了保持多样性，算法更倾向于目标空间中较为稀疏区域的解决方案。个体i的拥挤距离计算如下：
$$ \text{Crowding Distance}_i = \sum_{j \in \text{Neighbors}} \left(1 - \frac{F_j(u_i, x_j)}{\sum_{k \in \text{Neighbors}} F_k(u_i, x_k)} \right) $$
其中$M$是目标的数量，$F_j(u_i, x_j)$表示按某种顺序排列的目标空间中的邻近解决方案。这防止了收敛到前沿上的单一点，并确保了对整个权衡表面的探索。

3. 方法论
为了为提出的方法创建一个公平的基准，我们使用了Qiskit（一个先进的Python（3.11.14）库来执行真实的和模拟的量子计算。然而，同样重要的是要说明在量子计算（QC）中执行视觉问答（VQA）的过程，其中算法的评估正在进行的步骤（见图7和图8）。
图7. 使用QNAS方法的优化过程的完整概述。在评估每个数据集的性能时，考虑了噪声的影响。电路表示仅用于可视化目的。
图8. 在噪声条件下执行VQA的结构，这种算法不是纯量子的，因为变分参数的优化得到了经典CPU的帮助。

3.1. 部署细节
所有量子电路都是使用IBM Qiskit SDK（版本0.44.0）和Qiskit Aer（版本0.12.2）构建、编译和模拟的。无噪声的期望值是从状态向量模拟中获得的，而噪声的影响是通过第3.4节中描述的解析保真度模型结合表1中的门计数和每门误差率估算的。

为了确保可重复性，我们固定了以下环境参数：
所有电路都被编译（需要强调的是，编译通常被认为是使电路更高效的优化方法，但它不影响QNAS方法，因为编译依赖于逻辑，而QNAS依赖于电路的架构）到一个标准的基础门集，并使用优化级别3（optimization_level = 3）来最小化注入噪声之前的交换门的过度存在。

对于QAOA，我们使用了L-BFGS优化器（100次迭代）。对于QNAS进化循环，我们实现了一个定制的NSGA-II遗传算法。
图生成（networkx）和量子电路初始化都使用了固定的种子。

3.2. MaxCut问题的提出图结构
我们生成了一个由490个来自不同分布的图组成的数据集，这些图可能代表不同的物理现象。我们提出的图分布可以总结如下：
- 随机网络图：我们使用Erd?s–Rényi模型作为基线来处理没有明显结构的问题。
- 复杂网络：在这种情况下，我们使用了Barabási–Albert和Watts–Strogatz模型。前者以生成无标度网络而闻名。它们在现实世界的网络分析中都很常见。
- 规则图分布：我们使用了一个循环图，它仅模拟局部连通性；一个网格，它模拟具有强局部性的问题；一个完全图，它代表了图具有最大交互密度的情况；以及一个星形图，它是一个中心化的图。

3.3. QNAS编码方案
为了对每个候选电路进行编码，我们提出了一种变长染色体（图9a）：
$$ \text{Chromosome} = [a_1, a_2, a_3, \ldots, a_k] $$
其中每个基因$i$索引一个门。搜索空间$S$由原子层组成，包括单量子位旋转门和两量子位纠缠门，这些门应用于所有可行的量子位组合。这种表示促进了在NSGA-II框架内电路拓扑和深度的进化。
图9. QNAS编码和电路合成。
(a) 变长k的染色体表示。
(b) 由基因索引的搜索空间。
(c) 从染色体[5, 12, 3, …]合成的电路。虚线追踪基因到门的映射。需要注意的是，列表编码取决于用于生成搜索空间的初始配置；也就是说，对于特定的量子计算机，可以对搜索空间添加限制，以便为该硬件进行定制设计。这特别相关，因为我们需要对抗的一个能力是真实量子计算机中缺乏完全连通性。

需要澄清的是，NSGA-II是针对每个图实例独立执行的，这意味着针对每个具体问题进行了架构优化。我们认识到这相对于QAOA引入了额外的计算开销，后者在所有实例中使用固定的假设结构。进化搜索的成本在第4节中以电路评估的总次数来讨论。
搜索空间包括原子操作：
- 参数化的单量子位旋转（$\pi_X(\theta)$、$\pi_X(\theta + \phi)$、$\pi_X(2\phi)$）、固定的Hadamard门（H）、线性最近邻CNOTs、循环CNOTs和特定于问题的交互层。

实验超参数：NSGA-II算法使用种群大小$N$执行了超过$T$代。变分操作符使用了概率$p$的单点交叉和概率$q$的随机变异。

3.3. 噪声模型及其在搜索中的重要性
如前所述，由于相干性问题和其他物理因素，量子计算机（QCs）倾向于出现更多错误。在本文中，我们分析了在不同噪声条件下的VQCs。为了实现这一点，我们避免了简单的退极化模型，而选择了通过Qiskit Aer模拟器应用的物理激励噪声模型。密度矩阵的演化，作为状态向量方法的泛化，以及VQC/VQA的表示，然后由操作符和的表示来控制，其中$B$对应于描述状态的基数（在这种情况下，是计算基数）。我们对电路中的每个操作依次应用了三种不同的误差通道进行建模：

3.3.1. 门误差模型
门误差使用退极化通道形式主义来建模，它近似了物理设备中的复杂误差过程。在这个模型下，受到退极化通道作用的量子状态$p$的演化如下：
$$ |\phi(E)p| \approx e^{-\int_t \hat{H} \phi(E)p \cdot \hat{H}^t dt} $$
其中$d$是希尔伯特空间的维度，$P$遍历排除恒等矩阵的泡利群。（我们使用的约定是$p$表示总退极化概率，均匀分布在非恒等泡利算子上，与Qiskit Aer v0.12.2的depolarizing_error(p, num_qubits)实现一致。注意，对于单量子位门，例如$\pi_X(\theta)$，每个泡利误差的概率是$\frac{1}{2}$；对于两量子位门，例如$\pi_X(\theta + \phi)$，它是$\frac{1}{4}$。）本研究中使用的误差率总结在表1中。

表1. 噪声模型参数。噪声率根据IBM Eagle/Heron处理器的规格进行校准。退极化模型通过将误差均匀分布在泡利通道上来估计门保真度的损失。$|H|^2$和$|H|^\prime$之间的数量级差异反映了实现高保真度纠缠操作的根本难度，这需要精确控制量子位间的耦合同时抑制寄生相互作用。这种不对称性激发了第3.4节中引入的复杂性加权方案。

需要强调的是，退极化通道并不直接提高VQAs的性能。然而，QNAS通过两种机制间接从噪声中受益。首先，在NSGA-II搜索过程中，通过（方程（13）中的保真度项，退相干惩罚了复杂电路的适应度评估。NSGA-II中的基于帕累托的选择压力在进化过程中隐含地抑制了深层架构，因为超过复杂性的阈值，其中保真度衰减支配了任何表达性的边际改进的电路会被更紧凑的替代方案所超越。

3.3.2. 读出误差模型
测量错误是使用经典混淆矩阵$M$应用于理想测量结果分布来实现的：
$$ p(\hat{\mu}(x) = 1 - e^{-\int_t \hat{H} M(x) \cdot \hat{\mu}(x)} $$
其中$p$表示测量过程中的比特翻转错误概率（见图10）。这种对称的误差模型假设和之间的错误分类率相等。
图10. 计算机中读出错误的经典可视化。在传统计算机中，这些错误可以通过冗余来缓解，但在QCs中这是不可能的。在QCs的情况下，转换是直接的。

3.3.3. 讨论：不同噪声通道的影响
本研究中使用的退极化通道将错误均匀分布在所有泡利算子上，构成了给定错误概率$p$的最坏情况。
相位阻尼（退相）是一个幺正通道，由Kraus算子$\hat{H}$和$\hat{H}^\prime$描述，其中$\tau$与相干时间相关。这个通道破坏了非对角线的相干性，同时保留了对角线群断层。由于MaxCut成本哈密顿量$H$仅依赖于计算基数中密度矩阵的对角线元素，因此相位阻尼对期望值的影响比退极化噪声小。

幅度阻尼模型描述了能量松弛（衰减），由Kraus算子$\hat{H}$和$\hat{H}^\prime$描述，其中$\delta$是衰减因子。与退极化和退相通道不同，幅度阻尼是非幺正的：它不保持最大混合状态，而是逐渐将系统驱动到平衡状态。对于MaxCut问题，我们定义了一个初始设置，即将所有顶点放在同一个分区中（一个平凡的切割）。

3.4. 性能指标
如前所述，不同类型的门对应于不同类型的问题；特别是，假设复杂性相同是一个错误。为了纠正这一点，我们定义了一个加权复杂性度量，该度量考虑了不同的量子门集合：
$$ \text{Weighted Complexity} = \frac{\sum_{i=1}^{N} \lambda_i |\phi(E_i)\int_{t=0}^{T} \exp(-\delta t) |\Psi_i(t)|^2}{|B|} $$
其中$N$是量子位的数量，$\lambda_i$是权重因子，直接从误差率比得出。标准近似比率对于在高噪声环境下评估算法是无效的。在由最大退相干（白噪声）主导的物理系统中，量子状态变为最大混合状态。对于未加权的MaxCut，测量这个状态会产生一个随机切割，这对应于一个预期的近似比率。

为了量化量子电路相对于这个物理基线的效用，我们定义了噪声调整后的近似比率：
$$ \text{Noise-Adjusted Approximation Ratio} = \frac{|E(\hat{\Psi}_N)}{|E(\hat{\Psi}_0}| $$
其中$|E(\hat{\Psi}_N|)$是从理想模拟中得出的无噪声近似比率。它对应于使用门误差率（$\eta$）和门计数（$N$）计算的估计电路保真度。这构成了电路保真度的悲观界限，因为它假设独立的退极化误差，没有误差取消或相干重组。

在完美硬件的极限情况下（$|\delta| = 0$），$\text{Noise-Adjusted Approximation Ratio} \rightarrow 1$。随着电路深度超过相干时间（$T \geq \tau$），性能收敛到随机猜测值。这使我们能够确定算法与噪声无法区分的点。

$C$和$|E(\hat{\Psi}_N|$之间的平衡在复杂性-性能空间中定义了一个帕累托前沿。位于这个前沿上的电路代表了最优配置，在不增加$C$的情况下无法实现改进，反之亦然。为了创建公平的比较，我们考虑了PF的拐点。

我们注意到$\text{Weighted Complexity}$是一个估计值，它结合了来自无噪声模拟的理想近似比率和解析保真度模型。另一种方法是报告从Qiskit Aer直接模拟的带噪声的近似比率。

4. 结果
我们将标准QAOA与自适应QNAS进行了基准测试。选择$T$是因为理论上，这个深度提供了足够的表达能力来实现近似比率，最小化了浅层电路典型的欠拟合误差。我们选择$T$作为一个代表性的深电路范围，因为它位于测试的图大小上高近似比率的理论阈值之上，同时对490个实例的完整模拟在计算上是可行的。我们认识到，中间的深度可能会产生不同的复杂性-性能权衡；特别是，较低的$p$会减少QAOA和QNAS之间的复杂性差距。系统的多深度分析构成了这项工作的直接扩展，将加强所报告的交叉行为的普遍性。

图11a验证了这一理论前提。在无噪声模拟中，QAOA始终提供更高的解决方案质量（对于$T > 10$），优于QNAS发现的较浅结构。这证实了在理想的容错状态下，深度是收敛的主要驱动力。
图11. 深度的成本。
(a) 在理想条件下，由于高表达能力，QAOA占据优势。
(b) 然而，与之相关的硬件成本超过了2700次操作，与优化的QNAS相比产生了巨大的差距。然而，图11b揭示了实现的障碍。的复杂性呈线性增长，但斜率是非常高的。为了实现多层拓扑结构，该电路大约需要2700次加权运算。相比之下，QNAS能够识别出硬件效率较高的电路，其复杂度约为370，这代表了在保持结构连通性的同时减少了门电路资源的使用。4.1 实际可行的解决方案是什么？理论潜力与物理实现之间的差距通过噪声调整近似比（）来量化。表2展示了相关指标。尽管QAOA在理想情况下显示出较高的近似比，但由于误差累积，估计的电路保真度会下降到较低的水平。这使得实际效果趋向于随机噪声底限。表2. 性能总结。QAOA虽然最大化了理论潜力，但在噪声环境下无法保持结果的一致性。我们在某个临界点观察到性能的转折（见图12），在该点之后，增加电路深度会更多地破坏信息而非创建新的信息。而QNAS通过牺牲理论上的完美性来换取结构效率，即使在QAOA失效的范围内，也能保持明确的优化信号。图12. 带有置信区间的实际性能。红色虚线表示随机猜测的极限。随着系统规模的增加，QAOA的性能通过减少方差而趋近于噪声底限。两种方法的渐近行为可以通过方程（13）进行分析。对于QAOA，随着深度的增加，估计的保真度会下降，这在某个特定点达到最低值，随后又会进一步下降。这种退化并不是稳定的，而是遵循由门电路数量决定的指数衰减规律。相比之下，QNAS电路的复杂度与图结构的连通性无关，其在所有测试系统规模下的实际值都保持在一个有限的范围内。用该模型进行外推可以预测出QNAS性能在某个区间内是稳定的，即使系统规模超出测试范围也是如此。为了进行公平比较并验证“较小电路具有更好抗噪能力”的假设，我们将实验扩展到了中等深度的QAOA。如图13所示的复杂度-性能帕累托前沿所示，QAOA确实降低了结构复杂度。然而，它存在严重的欠拟合问题，实际近似比很低。与此同时，QNAS在帕累托前沿上的表现明显优于QAOA。这表明进化算法能够持续发现更高效的硬件架构，并接近最优的理论值。这一小范围的验证表明，QNAS的优越性不仅仅是因为与深度较大、对噪声敏感的算法相比而产生的。图13. 复杂度-性能帕累托前沿。QNAS在多个深度上的表现均显著优于QAOA。4.2 结构分析我们通过图拓扑和密度的分层描述来分析性能。图14展示了三种不同图类之间的性能差异。虽然QAOA在规则图上表现稳健，但在无标度网络上其实际性能会急剧下降。QNAS通过修剪枢纽节点连接来保持全局信号，从而表现出色。图14. 拓扑依赖性。平均实际性能。QAOA在无标度图上的性能严重下降，接近噪声底限，而QNAS则能够适应不规则的结构。最后，图15表明，对于固定的深度p，QAOA的电路深度与平均节点度成线性关系。当节点度达到某个临界值时，误差累积会导致性能急剧下降。而在QNAS中，性能保持稳定。图15. 对密度的抗性。实际性能与平均节点度的关系。随着连通性的增加，QAOA的性能会因误差累积而下降，而QNAS则保持稳定。5. 结论在这项工作中，我们通过比较启发式策略（QAOA）和进化架构搜索（QNAS）来探讨变分量子算法的算法选择问题。我们的研究在490个图实例上进行了噪声模型下的验证，揭示了NISQ时代理论表达能力与物理实现能力之间的严重权衡。尽管QAOA在无噪声模拟中表现出更好的收敛能力，证明了深度是决定解决方案质量的关键因素，但其实际应用效果受到硬件相干性的严格限制。当系统规模超过某个阈值时，不同算法的解决方案相比变得相近。超过这个阈值后，标准算法的线性扩展会增加复杂性，导致实际近似比降至随机噪声底限。相比之下，QNAS表现出显著的抗噪能力。通过将电路复杂性与图结构分离，进化算法将门电路需求减少了约XX%，这得益于它可以选择性地删除不必要的纠缠状态。这些发现表明，仅仅增加电路深度以提高理论收敛性是一种无效的策略，因为没有错误校正机制。相反，应该将资源投入到自适应的、考虑硬件特性的算法编译中。未来的工作将使用张量网络模拟器扩展到更大的系统规模，以验证第4节中提出的分析预测，并进一步探索拓扑修剪的极限。此外，噪声模型将包括振幅阻尼（松弛）和相位阻尼（退相）通道，并分别或结合使用当前IBM量子处理器的特定参数，来量化单位噪声与非单位噪声如何改变QNAS发现的帕累托前沿及其它性能参数。更重要的是，深电路在退相干作用下会失效，而浅电路则会出现严重的欠拟合问题。QNAS克服了这一限制，表明在当前的NISQ时代，动态的、考虑硬件特性的算法编译是一个优于静态拓扑的替代方案。