将阻抗-移动性方法集成到矩阵框架中，用于机械梁系统的振动分析

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：Enabling impedance-mobility method into a matrix framework for vibration analysis of mechanical beam systems

　　

吴世磊|邓彩莲|凌明香

苏州科技大学机械工程学院，中国苏州215009

摘要

与传统的离散系统集总参数模型的机械阻抗/运动性方法或依赖传递矩阵运算的四极子子结构方法不同，本文提出了一种机械阻抗-运动性矩阵方法，用于包含质量-弹簧-阻尼器元件的混合梁系统的振动分析。通过开发串联梁链的运动性矩阵求和方案和并联支路的阻抗矩阵求和方案，可以显著简化具有串并联分支的混合梁系统的自由振荡和强迫稳态振动分析。这种基于分布式质量分离和接地的阻抗-运动性矩阵求和操作简化了带有刚体和离散元件的串并联梁系统的建模过程，从而提供了一种将复杂建模任务分解为更简单步骤的直接方法。本文推导了混合梁的局部到全局坐标变换公式，为之前的研究提供了新的视角。通过对带有偏心刚体和离散元件的梁结构的案例研究以及压电纳米定位器的实际设计，验证了所提出方法的优势，包括直接的建模过程、易于编程和降低的矩阵阶数。

引言

由连续梁、刚体和离散元件组成的机械系统在各种工程应用中具有基础性重要性。这些应用范围从宏观尺度的民用结构（如建筑物、桥梁、塔架[1]、[2]、[3]）到航空航天中的机械装置[4]、能量采集器[5]、汽车[6]、柔性机构[7]、力传感器[8]、振动隔离器[9]、机器人技术[10]；以及微观尺度的机器（如微机电系统[11]、超材料[12]、传感器和执行器[13]、[14]）。研究它们的振动特性对于动态设计、性能优化和振动/运动控制等多目标至关重要。

尽管有商用有限元软件包可用，但仍开发了多种建模方法，如汉密尔顿原理[15]、[16]、伽辽金方法[17]、瑞利-里兹方法[18]、[19]、谱元方法[20]、动态刚度矩阵[21]、结构保持方法[22]、[23]以及传递矩阵方法[24]、[25]、[26]、[27]、[28]、[29]、[30]、[31]、[32]，用于机械梁系统的振动分析。实际上，有限元方法通常具有高阶模型，计算成本较高[33]、[34]、[35]、[36]。另一种方法是基于微分方程的连续介质模型，可以提供解析或封闭形式的解，但它们通常仅限于简单结构[37]、[38]、[39]、[40]、[41]。对于包含刚体和离散元件的串并联混合梁系统，简化建模过程和降低方程阶数仍然是重要的挑战，并且是持续研究的领域。

机械阻抗/运动性方法的概念最初来自电气阻抗理论[42]、[43]，并通过机械-电气类比[44]应用于机械动力学。离散系统的动力学可以通过串联/并联链的阻抗-运动性求和操作构建为运动性或阻抗函数（见图1(a)）。这只需要代数运算，避免了求解微分方程的需要[45]、[46]、[47]。然而，阻抗/运动性方法目前仅限于离散系统，而不适用于具有多个自由度变形的连续梁系统。

基于阻抗和运动性概念，已经开发了四极参数方法用于连续梁系统的振动分析[48]。如图1(b)所示，它使用两节点传递相似矩阵来表示梁元件。通过矩阵乘法操作对梁组的动态行为进行建模。还提出了基于四极参数或其他方法的所谓子结构方法，用于分析大规模机械系统[49]、[50]。尽管这些方法通过矩阵乘法有效降低了模型阶数，但仍然需要复杂的公式来处理串并联分支，这增加了建模的复杂性以及后续的方程和编程程序。

上述讨论的权衡引发了一个有趣的问题：是否可以通过阻抗/运动性求和来对机械梁系统进行振动分析，类似于离散系统的传统阻抗/运动性方法，而不是依赖于四极参数方法中的矩阵乘法？答案是肯定的，这将在后续章节中详细讨论。实际上，几个挑战性问题——如串并联分支的存在和连续梁与离散元件之间的尺寸不一致性——往往导致混合梁系统的建模过程复杂。本研究提出的阻抗-运动性矩阵求和方案可以有效解决这些问题，实现直观的建模过程并降低建模阶数——这是其他方法中通常不具备的优势。

在本文中，我们旨在利用阻抗-运动性矩阵求和的优势，为混合梁系统的动态建模填补上述空白。与之前的离散系统机械阻抗/运动性方法不同，本研究引入了串联链的运动性矩阵求和方案和并联支路的阻抗矩阵求和方案（见图1(c)）。推导并模块化了混合梁的阻抗和运动性矩阵，并提供了一种通用建模程序，展示了如何使用阻抗-运动性矩阵求和方案有效重新激活混合梁系统的振动分析。这使得混合梁系统的动态建模能够降低模型阶数。本研究的主要贡献总结如下：

• 从矩阵角度阐明了连续梁的阻抗和运动性与离散元件的区别。此外，我们提出了一种通用建模程序，展示了如何使用阻抗-运动性矩阵求和方案有效重新激活具有离散元件的混合梁系统的振动分析。
• 推导并模块化了具有离散元件和刚体的混合梁的阻抗和运动性矩阵。还开发了标准化的局部到全局坐标变换公式，与以往的研究相比提供了新的视角。

本文的其余部分安排如下。第2节提供文献综述。第3节介绍了连续和混合串并联梁链的阻抗-运动性矩阵求和方案。第4节描述了使用阻抗-运动性矩阵求和方案对混合梁系统的通用建模程序。第5节提出了几个案例研究以及压电纳米定位器的实际设计，并讨论了其优势和个人缺点。最后，第6节总结了结论。

章节摘录

离散系统的阻抗/运动性方法

阻抗和运动性的概念最初是在电气工程中开发的，然后通过机械-电气类比引入到机械动力学中。韦伯斯特可能是第一个定义机械阻抗概念的人[43]。从那时起，阻抗理论已广泛应用于各种集总系统的振动分析，包括质量、阻尼器和弹簧的离散元件[44]。这是机械动力学的一个重要进展，并促进了相关研究的发展。

连续梁的阻抗和运动性矩阵

考虑一个具有固定-自由边界条件的连续梁，如图4所示，自由端受到动态力< Strong>f(t) = F(ω)e^iωt的激励，包括平面问题中的纵向力和剪切力以及弯矩。梁的长度为l，平面厚度为h，宽度为H。A和I分别表示横截面积和惯性矩。E、G和ρ分别是弹性模量、剪切模量和质量密度。κ是剪切校正因子。控制微分方程为...

系统的阻抗-运动性矩阵建模

如图8所示，考虑了一个由连续梁、离散元件和刚体组成的通用串并联混合梁系统，受到力F_a(ω)和F_b(ω)的作用。应考虑刚体的几何效应，其惯性由相对于质心的集总质量m和惯性矩J表示。梁以任意位置和方向连接到刚体或离散元件；刚体的质心也...

四种方法验证的案例研究

采用了四个示例来验证所提出的阻抗-运动性矩阵方法。前两个示例涉及通过偏心刚体连接的梁结构，而第三和第四个案例研究考虑了具有不同边界条件的离散质量元件的梁结构。所提出方法得到的结果与文献中的理论和数值结果进行了比较。

(1) 案例研究一：连接到偏心刚体的挠性梁

结论

本文提出了一种用于混合梁系统自由和稳态强迫振动分析的新型阻抗-运动性矩阵求和方案。开发了串联链的运动性矩阵求和方案和并联支路的阻抗矩阵求和方案。这导致了一个封闭形式的阻抗和/或运动性函数，用于建模具有低矩阵阶数的混合梁系统及其串并联分支。四个案例研究和一个实际...

吴世磊：方法论、调查、写作——原始草稿。邓彩莲：可视化、验证、软件、方法论。凌明香：写作——审稿与编辑、监督、资源、项目管理、资金获取、概念化。

利益冲突声明

作者声明没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

致谢

本工作得到了国家自然科学基金 [资助编号 52075179]和姑苏创新创业领军人才项目[资助编号 ZXL2023155]的支持。