利用 Cattaneo-Christov 理论和熵最小化方法，对可伸缩介质中的流体流动和热传导进行分析

《Energy Conversion and Management-X》：Analysis for fluid flow and thermal conduction through stretchable medium with Cattaneo-Christov theory and entropy minimization

　　洪洋 | 阿妮塔·拉扎克 | 索海尔·A·汗 | T·海亚特 | 阿克莎·拉扎克
中国绍兴浙江树人大学，312028

摘要
近期，科学家和工程师们专注于 various 热力学框架下的热能分布问题。这一研究在许多领域具有广泛应用，例如可再生能源设备、聚合物挤出、暖通空调（HVAC）、纳米技术、红外加热器、蒸汽轮机、车辆热管理、石油精炼等。本文讨论了用于化学反应性 Oldroyd-B 纳米材料的 Cattaneo-Christov 模型，并采用了正确的速度滑移边界条件。动量方程中考虑了通过洛伦兹力的磁场。能量表达式结合了热生成特性和 Buongiorno 模型以及 Cattaneo-Christov 项，反映了热传输现象。浓度方程中考虑了一阶反应以及热泳和布朗扩散的特性。讨论了速度滑移的重要性，并探讨了热生成和 Buongiorno 模型对熵表达式的影響，该表达式量化了系统的随机性和分子运动。在应用变换后，非线性微分方程组得到了修改。通过实施 ND-solve 技术对所得到的非线性常微分方程（ODE）进行了积分，从而获得了解的收敛性。文中还描述了浓度、熵率、流量和热场的图形示意图，并分析了相关变量（如 Sherwood 数和热传输率）的影响。观察到磁场变量对流体流动的逆向影响。对于较大的热松弛时间变量，温度和熵率有所提高。较大的速度滑移变量会增强流体流动。溶质传输率和浓度随着溶质松弛时间变量的增加而显著降低。

引言
热传输在各种制药、化学和机械工程过程中起着关键作用，包括灭菌、蒸馏、电子设备、可再生能源生产、核反应堆、冶金、薄膜技术、热交换器、汽车系统等。傅里叶 [1] 利用了热传输的概念来研究物质中的温度梯度与热流之间的关系。这种经典的热传导方法成功描述了相关场景中的多种热传递机制。然而，该定律存在主要缺点，即它导致热表达式呈抛物线型，无法预测热波在系统中的有限速度传播，因此在低温、主导热流和较短时间周期等条件下失效。因此，Cattaneo [2] 对傅里叶定律进行了修改，加入了热松弛因子。这种改进将能量表达式的类型从抛物线型改为双曲线型，意味着热波在系统中的传播速度是有限的。Christov [3] 通过使用 Oldroyd 上层对流推导，描述了该模型在复杂流动结构中的有效性。随后，许多研究人员采用了这一模型。例如，Razaq 等人 [4] 研究了受修改后的 Cattaneo-Christov 模型和热辐射影响的磁化 Reiner-Rivlin 流体的熵生成流动。Hafeez 和 Khan [5] 讨论了 Oldroyd-B 流体在旋转盘作用下 Cattaneo-Christov 热流和热生成的特性。Ibrahim 和 Gadisa [6] 对受非线性可拉伸表面影响的 Cattaneo-Christov 流量和非线性混合对流进行了数值求解。Eid 等人 [7] 探讨了霍尔电流对含有 Cattaneo-Christov 理论的幂律流体分子运动的影响。Salahuddin 和 Awais [8] 对含有化学反应的 Williamson 流体的热传输进行了分析。Maddina 等人 [9] 比较了人工神经网络和 ANFIS-PSO 在 Cattaneo-Christov 模型下的 Casson 流体流动中的表现。关于 Cattaneo-Christov 流量的其他讨论见参考文献 [10],[11],[12],[13],[14],[15]。

磁流体动力学（MHD）的描述通常涉及在磁场作用下的导电流体的行为。这种液体流动与磁场之间的相互作用源于安培定律和法拉第定律，因此流场中的带电粒子会受到洛伦兹力的作用。洛伦兹力表现为阻尼力，有效增强了流动模式中的阻力，从而使湍流趋于平滑。Alfven [16] 提出了 MHD 的基本概念，并预测了导电液体（例如等离子体）中存在磁流体波。控制 MHD 流动的表达式包括 Maxwell 方程的简化形式、牛顿运动定律和纳维-斯托克斯方程。一些无量纲数（如磁雷诺数 Re）用于描述流动状态中各种力的相对强度。最近，MHD 流体在工程、医学和工业领域有广泛的应用，如光纤技术、微流控设备、电磁铸造、CT 扫描、细胞分离、光学相干断层扫描（OCT）、MHD 推进器、核反应堆、X 射线、太阳耀斑等。Devani [17] 研究了具有速度滑移条件的弯曲多孔表面上磁流体流动。Sundari [18] 考察了磁化 Jeffrey 流体的混合对流，同时考虑了热生成和多菲尔效应。Francis [19] 研究了在具有旋向性微生物存在下的 MHD Eyring Powell 纳米材料的计算框架。Uygun 和 Turkyilmazoglu [20] 采用 Rung-Kutta 方案分析了磁化 Bingham 流体的热传输过程。Gomathi 和 Poulomi [21] 讨论了垂直锥体上混合纳米液体的电磁流体动力学（EMHD）熵诱导反应流动。Bilal 和 Rehman [22] 报告了 Riga 板上三元纳米液体反应流动的活化能行为。Raj [23] 展示了多孔介质内辐射 Maxwell 流体的流体动力学研究。Abdullah [24] 研究了具有滑移约束的 Casson 纳米材料的时间依赖性磁流体流动。Amudhini 和 Poulomi [25] 描述了具有熵率的纳米材料的辐射磁流体流动。Vijayalaxmi [26] 使用随机理论获得了曲面上的流变材料表面粗糙度方程。Yasir [27] 探讨了基于修正的 Darcy-Forchheimer 关系的磁流体混合对流混合纳米液体流动。Khan [28] 讨论了包括双扩散 Cattaneo-Christov 模型和混合对流的 Reiner-Rivlin 流体的 MHD 流动。Rajeswari 和 Poulomi [29] 报告了在弯曲拉伸表面上具有欧姆加热的基于血液的纳米液体的熵率分析。Bilal 等人 [30] 探讨了旋转球面上 Casson 纳米材料的磁流体辐射流动。关于 MHD 流体的最新研究见参考文献 [31],[32],[33],[34],[35],[36]。

鉴于上述文献研究，本文探讨了在拉伸表面上磁化 Oldroyd-B 纳米液体产生的熵流行为。利用 Cattaneo-Christov 模型的特性考虑了热和质量传输的发生。使用 Buongiorno 模型捕获了热泳和布朗运动的特性。考虑了洛伦兹力下的 MHD 效应。能量表达式包含了热生成和 Buongiorno 模型的影响以及它们的 Cattaneo-Christov 项贡献。速度滑移通过精确的公式纳入其中。在浓度方程中执行了一阶反应流动。通过对微分方程组进行适当的变换，将其转换为无量纲形式。通过内置的射击法（shooting scheme）检查了解的收敛性。观察到了各种相关参数对液体流动、浓度、熵率和温度的影响。在结论部分描述了主要发现。此外，本研究对以下研究问题提供了重要答案：
• 磁场和滑移条件的使用如何影响速度场？
• Cattaneo-Christov 流量如何影响浓度和热分布？
• 热生成和 Cattaneo-Christov 流量如何影响熵生成率？

公式化
考虑了包含熵生成的磁化 Oldroyd-B 纳米液体的化学反应流动。流体流动由具有速度滑移条件的拉伸片诱导。讨论了 Cattaneo-Christov 流量用于研究和质量与热传输。探讨了洛伦兹力对流动的影响。将热生成和 Buongiorno 模型的影响通过 Cattaneo-Christov 表达式纳入能量方程中。研究了第一阶反应。在熵方程中讨论了不可逆效应以及 Cattaneo-Christov 流量的使用。磁场以强度（B0）垂直施加。图 1 展示了流动图 [38]。

由于上述考虑，稳态流动的模型表达式满足 [4],[5],[6],[7]：
(1) ?u/?x + ?v/?y = 0,
(2) u?u/?x + v?u/?y + λ1u2?2u/?x2 + 2uv/?2u/?x?y + v2?2u/?y2 = νf?2u/?y2 + λ2u?3u/?x?y2 - ?u/?x?2u/?y2 + v?3u/?y3 - ?u/?y?2v/?y2 - σfB?2ρfu + λ1v/?u/?y,
(3) u?T/?x + v?T/?y - τDBΔC?T/?y?C?y + DTT∞?T/?y2 - Q?ρcpfT - T∞ + δEu2?2T/?x2 + u?u/?x?T/?x + u?v/?x?T/?y + 2uv/?2T/?x?y + v?u/?y?T/?x + v?v/?y?T/?y + v2?2T/?y2 - δEττDBΔCu/?2C?x?y?T/?y + u?C/?y?2T/?x + v?2C?y?T/?y + v?C/?y?2T/?y2 + DTT∞2u?T/?y?2T/?x?y + 2v?T/?y?2T/?y2 - δEττDBΔCu/?2C?x?y?T/?y + u?C/?y?2T/?x + v?2C?y?2T/?y + v?C/?y?2T/?y + DTT∞2u?T/?y?2T/?x?y + 2v?T/?y?2T/?y2 - Q?ρcpfδE(u?T/?x + v?T/?y) = kfρcpf?2T/?y2,
(4) u?C/?x + v?C/?y - DTΔCT∞?2T/?y2 + krC - C∞ + δCu2?2C/?x2 + u?u/?x?C/?x + u?v/?x?C/?y + 2uv/?2C/?x?y + v?u/√DTC?x?y + v?u/?y?T/?x + 2uv/?2T/?x?y + v?u/?y?T/?x + v?v/?y?T/?y + v2?2T/?y2 - δEττDBΔCu/?2C?x?y?T/?y + u?C/?y?2T/?y + v?2C/?y?2T/?y + DTT∞2u?T/?y?2T/?x?y + 2v?T/?y?2T/?y - Q?ρcpfδE(u?T/?x + v?T/?y) = kfρcpf?2T/?y2,
(5) u?C/?x + v?C/?y - DTΔCT∞?2T/?y2 + krC - C∞ + δCu2?2C/?x2 + u?u/?x?C/?x + u?v/?x?C/?y + 2uv/?2C/?x?y + v?u/?y?C/?x + v?u/?y?C/?x + v?v/?y?C/?x + v2?2C/?y2 - δCDTΔCT∞u?3T/?x?y2 + v?3T/?y3 + krδC(u?C/?x + v?C/?y) = DB?2C/?y2
其中 [38]：
(6) u + λ1u?u/?x + v?u/?y - a√u = ax + β?u/?y + λ2u?2u/?x?y - 2?u/?y?v/?y + v?2u/?y2, v = 0, T = Tw, C = Cw, aty = 0, u→0, T→T∞, C→C∞, aty→∞。
在上述方程中，λ? 表示延迟时间，δE 表示热松弛时间，μf 表示动力粘度，u,v 表示速度分量，T∞ 表示环境温度，x,y 表示笛卡尔坐标，DB 表示布朗扩散系数，kf 表示热导率，cpf 表示比热容，δC 表示溶质松弛时间，DT 表示热泳系数，αf=kfρcpf 表示热扩散系数，T 表示温度，ΔC 表示浓度差，kr 表示反应速率，νf 表示运动粘度，λ? 表示松弛时间，β 表示速度滑移系数，Q?>0 表示热生成系数，Tw 表示表面温度，τ 表示热电容比，C 表示浓度，a 表示拉伸率常数，ρf 表示密度，C∞ 表示环境浓度，Cw 表示壁面浓度，σf 表示电导率。

如果 l 表示参考长度，则考虑 [38]：
(6) u = ax?f/ξ, η?η, v = -aνf/ξ, η+ξ?f/ξ, η?ξ, θξ, η = T - T∞Tw - T∞, ?ξ, η = C - C∞Cw - C∞, ξ = xl, η = aνf?
我们有 (7) ?3f/?η3 + β2?2f/?η2 - f??f/?η? + ξ?f/?η3 - ξ?f/?η? + ξ?f/?η3 - ξ?f/?η? + ξ?2f/?η2 - ξ?f/?η3 - ξ?2f/?η2 - ξ?2f/?η3 - ξ?2f/?η2 - ξ?f/?η3 - 2f?f/?η2 - 2f?f/?η2 - 2ξ?f/?η2 - 2f?f/?η2 - 2ξ?f/?η2 - 2ξ?f/?η2 - 2f?f/?η2 - 2ξ?f/?η2 - 2ξ?f/?η2 - 2f?f/?η2 - 2ξ?f/?η2 - 2f?f/?η2 - 2ξ?f/?η2 - 2f?f/?η2 - 2ξ?f/?η2 - 2f?f/?η2 - 2ξ?f/?η2 - 2f?f/?η2 - 2ξ?f/?η2 - 2f?f/?η2 - 2f?f/?η2 - 2f?f/?η2 - 2ξ?f/?η2 - 2f?f/?η2 - 2ξ?f/?η2 + ξ?f/?η2 + ξ对这两个变量进行更高层次的估计可以从物理上解释能量和纳米粒子在流动状态中的分布情况，从而确保温度的升高。下载：下载高分辨率图像（143KB）下载：下载全尺寸图像图6. θη与Q的关系。下载：下载高分辨率图像（142KB）下载：下载全尺寸图像图7. θη与βT的关系。下载：下载高分辨率图像（89KB）下载：下载全尺寸图像图8. θη与Nt的关系。下载：下载高分辨率图像（132KB）下载：下载全尺寸图像图9. θη与Nb的关系。图10观察了反应变量（γ）与φ(η)的关系。随着反应变量的增加，浓度降低。图11展示了热泳（Nt）和布朗扩散（Nb）变量的影响。图12清楚地显示了(Nt)和(Nb)变量显著增加对浓度场产生的相反效应。图13说明了溶质松弛时间（βC）变量对M的影响。当βC值较大时，浓度衰减，因为浓度梯度的逐渐增大和流体分子运动需要更多时间来传递系统中的溶质能量。图14展示了(Sc)对φ(η)的影响。较高的施密特数表示通过扩散有效传递质量，因此φ(η)减小。下载：下载高分辨率图像（125KB）下载：下载全尺寸图像图10. γ的φη。下载：下载高分辨率图像（129KB）下载：下载全尺寸图像图11. Nb的φη。下载：下载高分辨率图像（134KB）下载：下载全尺寸图像图12. Nt的φη。下载：下载高分辨率图像（137KB）下载：下载全尺寸图像图13. βC的φη。下载：下载高分辨率图像（73KB）下载：下载全尺寸图像图14. Sc的φη。图15展示了热泳（Nt）变量对NGη的影响。较大的热泳变量导致纳米粒子广泛分散，由于热传输在介质中产生不可逆性。这种分子的潜在运动由于边界层内的温度梯度而导致高度的能量分散，进而增加了熵。图16显示了布朗运动（Nb）变量与熵率的关系。从物理上讲，较高的(Nb)增强了流体的导热性和热能，最终提高了热传递机制，因此NGη增加。图17描绘了热松弛时间（βT）变量的行为。较大的(βT)意味着流体需要更多时间达到均匀温度和热量散发，从而使系统能够承受更高的温度梯度，因此NGη增加。图18展示了熵率与(Q)的变化。由于(Q)产生的热排放，热源的增强导致熵率增加。下载：下载高分辨率图像（135KB）下载：下载全尺寸图像图15. Nt的NGη。下载：下载高分辨率图像（138KB）下载：下载全尺寸图像图16. Nb的NGη。下载：下载高分辨率图像（87KB）下载：下载全尺寸图像图17. βC的NGη。下载：下载高分辨率图像（128KB）下载：下载全尺寸图像图18. Q的NGη。图19概述了(βT)对热传递率的影响。观察到(Re-1/2Nux)随热松弛时间(βT)变量的增加而增加。图20展示了热生成(Q)变量的特征。显然，努塞尔数的增加会提高热生成变量。图21展示了(Nt)和(Nb)与(Re-1/2Nux)的性能。图22检测到努塞尔数对这两个变量的相反影响。图24. 下载：下载高分辨率图像（75KB）下载：下载全尺寸图像图19. βT的Re-1/2Nux。下载：下载高分辨率图像（52KB）下载：下载全尺寸图像图20. Q的Re-1/2Nux。下载：下载高分辨率图像（52KB）下载：下载全尺寸图像图21. Nt的Re-1/2Nux。下载：下载高分辨率图像（52KB）下载：下载全尺寸图像图22. Nt的Re-1/2Nux。图23和图25通过谢伍德数（Sherwood number）解释了()和()的关系。对于()，热泳()和布朗扩散()变量表现出相同的行为。图25显示了溶质松弛时间()参数的结果。较高的()导致 overall 效率降低，因此()下降。下载：下载高分辨率图像（51KB）下载：下载全尺寸图像图23. Nt的Re-1/2Shx。下载：下载高分辨率图像（99KB）下载：下载全尺寸图像图24. Nb的Re-1/2Shx。下载：下载高分辨率图像（51KB）下载：下载全尺寸图像图25. βC的Re-1/2Shx。以下是讨论的重要点：•随着热松弛时间变量的增大，热场和熵率有所增加。•当磁场变量值显著增加时，流动状态会减弱。•观察到通过热泳和布朗扩散改善了溶质传输率。•对于液体流动，德博拉数（Deborah numbers）的延迟和松弛时间表现出相反的行为。•对于浓度场，布朗运动和热泳变量表现出相反的效果。•当滑动变量估计值增大时，流体流动减弱。•反应变量和施密特数都导致浓度降低。•较高的热生成变量对应于熵优化和热场的增强。•随着热泳扩散的增大，温度分布得到改善。•谢伍德数和浓度显示出相似的溶质松弛时间趋势。未来建议未来的分析可以针对熔化热和马兰戈尼对流条件、双重分层以及混合对流的正确公式进行研究。局限性所考虑的模型（Oldroyd-B流体）未能捕捉到正应力和剪切稀化及剪切增稠特性。CRediT作者贡献声明：Hong Yang负责写作——审阅与编辑、可视化、验证、资源、方法论、资金获取、正式分析；Aneeta Razaq负责写作——审阅与编辑、可视化、验证、资源、方法论、调查、正式分析、数据管理；Sohail A. Khan负责写作——审阅与编辑、可视化、验证、监督、资源、项目管理、方法论、正式分析、概念化；Aqsa Razzaq负责写作——审阅与编辑、初稿撰写、可视化、验证、资源、方法论、调查、正式分析。