采用近场全局相关方法的宽带多模跟踪

《Electromagnetic Science》：Wideband Multi-Mode Tracking Using Near-Field Global-Correlation Method

　　摘要：提出了一种近距离场全局相关方法，用于在较大带宽内准确追踪大量密集的特征模式。通过使用特征近距离场模式代替传统的特征向量或远场模式，充分利用了表面电流快速变化和近距离场衰减波中存储的信息，从而丰富了模式数据库的信息，实现了数据级别的准确模式追踪。为了充分利用这些丰富的模式信息，提出了一种全局相关算法，该算法同时关联相关矩阵的行和列，而不仅仅是传统的仅关注行或列的局部相关方法。通过四个不同复杂度的示例对该方法进行了验证，包括矩形板、领结形板、接地支撑的分形贴片和接地支撑的超表面。结果表明，多模式追踪的带宽和准确性都得到了显著提高，这体现在无需模式交换或模式丢失的情况下能够追踪的带宽和模式数量上。

第一节 引言

特征模式理论（TCM）已广泛应用于电磁学研究[1]-[3]、基于物理的天线设计[4]-[6]以及与带宽相关的性能优化[7]-[11]、端口隔离[12]-[15]、增益[16]等方面。高阶模式（HOMs）对涉及超表面[7]-[15]和介质谐振器[16]-[18]的多模式天线显著带宽增强的贡献日益受到认可。最近，多模式多端口（M3P）天线被认为是下一代无线网络的关键 enabling 技术之一，其中多端口天线被紧密集成到一个孔径中，以实现单位面积内的更高通信容量（以bps/m2为单位），在此过程中高阶模式发挥了重要作用[19]-[22]。除了改善天线性能和信道容量外，高阶模式还作为平台集成天线（PIAs）合成定制辐射模式的基本函数，应用于飞机[23]和船舶[24][25]。然而，为了提高天线性能而所需的高阶模式数量的增加，给宽带和跨频段应用中大量密集模式的准确追踪带来了挑战。

追踪一个模式意味着识别并排序在频率范围内具有“相同”对称性（在电流和模式上）的模式，从而可以量化评估一个频带内的模式修改效应，为基于证据的天线优化提供依据。方法上，追踪通常基于矩阵相关性[26]-[42]。首先，通过计算每个频率下每两个模式之间的相关性系数来形成一个相关矩阵，然后计算下一个频率的相关矩阵。之后，使用矩阵的行或列来找到追踪路径（即在相邻频率之间相同模式的连续连接）[43]。

通常，可以使用特征向量[26]-[40]或特征远场模式（FFPs）[41][42]来计算相关性系数。

基于特征向量的相关性在[26]中被提出。为了量化两个模式之间的相似性，计算第m阶和第n阶模式之间的相关性系数，公式为：
$$
\rho_{\text{eigen}}_{m,n} \approx \frac{(\boldsymbol{J}_m)^{\mathrm{T}}\boldsymbol{J}_n}{|\boldsymbol{J}_m||\boldsymbol{J}_n|}, \quad m,n=1,2,\ldots
$$
其中 $J_m$ 和 $J_n$ 分别是第m阶和第n阶的特征向量。上标T表示转置。两个模式之间的相似性越强，$|\rho_{\text{eigen}}_{m,n}|$ 的值越大。

同样，也提出了基于特征FFPs的相关性[41]。计算第m阶和第n阶模式之间的基于FFPs的相关性系数，公式为：
$$
\rho_{\text{FFP}}_{m,n} \approx \left|\int_{4\pi}[E_{\theta,m}(\Omega)E_{\theta,n}^{\ast}(\Omega) + E_{\varphi,m}(\Omega)E_{\varphi,n}^{\ast}(\Omega)] \mathrm{d}\Omega\right| \cdot \left|\int_{4\pi}G_m(\Omega)\mathrm{d}\Omega\right| \cdot \left|\int_{4\pi}G_n(\Omega)\mathrm{d}\Omega\right|, \quad m,n=1,2,\ldots
$$
其中 $E_\theta$ 和 $E_\varphi$ 是分别在 $\theta$ 和 $\phi$ 极化方向上的复数远场标量；$G_m$ 和 $G_n$ 分别是第m阶和第n阶模式的复数标量格林函数；$E^{\ast}$ 是远场标量的复共轭；$\Omega$ 是在整个球形空间上积分的立体角变量。两个相似的模式会有较大的 $\rho_{\text{FFP}}_{m,n}$ 值。

这两种方法对于涉及少于六个模式的结构来说效果很好，但在需要在大带宽内追踪大量密集模式时，可能会出现模式交换和模式丢失的问题。模式交换意味着两个模式被错误地关联[29]，这可能是由于模式简并或/和追踪算法造成的。从物理上讲，如果两个模式在每个频率上的特征值相同，则它们的相关性系数是无法区分的[35]。从数学上讲，仅使用行或列进行追踪可能会导致两个相关性非常接近的模式被错误地关联。模式丢失意味着在某个频率之后错过了追踪路径[26]。例如，在[27]中设置了一个较高的阈值以避免两个模式之间的错误关联，但这可能会由于难以找到适用于所有追踪路径的通用阈值而增加模式丢失的风险。

对于基于特征向量的方法，它受到模式电流随频率快速变化的影响，这种情况通常发生在共振点或带隙附近[35]。对于基于FFPs的方法，它会丢失衰减波或Er分量[41]中包含的信息，其中Er是E场的r极化分量。此外，它们的相关算法仅考虑局部关系（行或列），而不考虑频率间的全局相关性。因此，不完整的目标模式信息和局部相关算法直接导致了上述的模式交换和丢失问题，这限制了可以正确追踪的带宽和模式数量。本文提出了一种用于宽带多模式追踪的近距离场全局相关方法。使用特征近距离场模式（NFPs）来包含在FFPs中丢失的衰减波信息，从而丰富了用于区分具有相同和相似特征值的模式的信息，提高了宽带多模式追踪的准确性。此外，提出了一种全局相关算法，通过利用相关矩阵的行和列来提高追踪精度，从而显著降低了模式交换和模式丢失的可能性，从而提高了模式追踪的准确性和带宽。

本文的结构如下。第二节详细介绍了所提出的两步宽带多模式追踪方法。第三节首先通过两个经典示例验证了所提出的方法，然后应用到另外两个复杂性更高的示例来展示其优势，第四节进行了总结。

第二节 提出的宽带特征模式追踪方法

图1展示了四个复杂度递增的示例，用于验证所提出的方法，包括来自[26]和[36]的两个导电板、来自[35]的接地支撑的分形贴片和接地支撑的超表面。所提出的方法如下：首先进行模式识别，然后确定路径。

1. 基于近距离场模式的相关性进行模式识别

原则上，基于NFP的相关性系数应该在封闭表面上进行评估，以包含所有Er分量，例如对于短偶极子使用球面表面，对于半波偶极子使用圆柱面表面。对于在地面上的平面辐射器的微带贴片天线（如图1(c)和1(d)所示），可以考虑使用矩形盒子来封闭平面辐射器，以便更好地与笛卡尔坐标对齐。实际上，贴片下方和上方的两个表面就足以捕获主要Ez分量，因为对于低阶模式（LOMs），贴片上方和下方的场通常是相似的，但对于高阶模式（HOMs）可能会不同。这里Ez是E场的z极化分量。因此，计算第m阶和第n阶模式之间的基于NFP的相关性系数，方法为：
$$
\rho_{\text{NFP}}_{m,n} = \frac{1}{2} \left(\rho_{\text{NFP}}(z_1) + \rho_{\text{NFP}}(z_2)\right)
$$
对于接地支撑的贴片天线，其中：
$$
\rho_{\text{NFP}}(z_k) \approx \left|\int_{z=k}[E_{x,m}E_{x,n}^{\ast} + E_{y,m}E_{y,n}^{\ast} + E_{z,m}E_{z,n}^{\ast}\right] \mathrm{d}x \mathrm{d}y
$$
对于图1(a)和1(b)中的独立贴片，例如，$\rho_{\text{NFP}}_{m,n}(z_1) = \rho_{\text{NFP}}_{m,n}(z_1)$（对于平面导线天线）。

为了评估所提出的方法，首先使用一个典型的简单矩形贴片[26]。图2(a)显示了在z1=18.75毫米或0.125λ0处贴片上方的切向Ex和Ey。采样表面的宽度为150毫米或1λ0。λ0是2 GHz时的自由空间波长。总共有46个采样点均匀分布在x轴和y轴上。同样，图2(b)显示了同一表面上的法向Ez。对于这两种情况，计算相关性系数以查看f2=4 GHz时的TM01模式与f1=2.2 GHz时的TM01模式之间的相关性。如图2(a)所示，2.2 GHz时的TM01模式与4 GHz时的TM01模式之间的切向E场给出了0.88的相似性，而2.2 GHz时的TM01模式与4 GHz时的TM10模式之间的切向E场则没有相似性。因此，4 GHz时的TM01模式被认为是2.2 GHz时的TM01模式的演化，而不是TM10模式。仅使用Ez也可以从图2(b)的结果得出类似的结论。换句话说，对于图1(a)中的简单结构，使用NFP来捕捉主要Er分量至少对于单模式追踪是有效的。图2(a)显示了在f2=4 GHz时使用NFP相关性计算的矩形贴片的TM01和TM10模式的切向和法向相关系数，其中(TM01|f1,TM01|f2)被正确关联。

对于其他更复杂的结构，在下面的多模式追踪算法之后证明了基于NFP的方法的有效性。

2. 使用全局相关算法确定路径

对于多模式追踪，图3显示了所提出的全局相关算法的流程图，其中同时考虑了从(3)和(4)计算出的相关矩阵的行和列。

首先，使用一个二进制掩码矩阵 $X_{k \times k}$ 来记录 modem|f1 和 modem|f2 之间所有可能的追踪路径，表示为：
$$
X_{k \times k} = [x_{m,n}]_{k \times k}, \quad m,n=1,2,\ldots,k
$$
其中k是用户和应用程序定义的要追踪的模式数量。

为了初始化，令 $X_0 = I_k \times k$，其中的元素由克罗内克δ给出，如下：
$$
x_{m,n}^{0} = \delta_{m,n}, \quad m,n=1,2,\ldots,k
$$
在(7)中，$x_{m,n}^{0}$ 表示相关模式；$x_{m,n}=0$ 表示不相关的模式。追踪路径 $X_0$ 通过以下方式评分：
$$
S_0 = \sum_{m=1}^{k} \sum_{n=1}^{k} \rho_{\text{NFP}}_{m,n} \cdot x_{m,n}
$$
其中 $S_0$ 是所有乘积的总和，每个乘积都是通过 $\rho_{\text{NFP}}_{m,n}$ 和 $x_{m,n}$ 计算得到的。最高得分表示最终的追踪路径。

接下来，通过迭代交换行和列k!次来更新 $x_{m,n}$。每次迭代都会得到一个新的矩阵 $X_i$ 和一个相关的编号 $S_i$，表示第i种可能的模式追踪路径。这样，通过同时使用行和列来提供追踪信息，从而比仅使用行或列提供更高的追踪精度。然后通过最大化 $S_i$ 和相关的 $X_{opt}$ 来找到最优的追踪路径。图3显示了用于确定最优追踪路径的提出的全局相关算法的流程图。

为了将算法的复杂度从O(k!)降低到O(k^3)，应用了Jonker和Volgenant在[44]中提出的最短路径策略。它从一个包含列和行减少的初始化状态开始，以O(k^2)的复杂度建立初始匹配。随后，该策略使用修改后的Dijkstra最短路径算法[45]进行迭代，以O(k^3)的复杂度找到最短的增强路径。在这项工作中，使用256核系统在30秒内可以追踪20个模式[46]。

为了说明，图4将所提出的算法与经典算法进行了比较，其中使用图1(b)中领结形板的前三阶模式作为示例。图4(a)和4(b)分别显示了使用不同算法得到的追踪路径。从图4(a)可以看出，当仅使用行或列时，经典的相关性算法在处理模式2和模式3时会出现模式互换和模式缺失的问题。相比之下，如图4(b)所示，通过计算所有潜在跟踪路径的得分（3! = 6种组合）来确定最优跟踪路径。最优跟踪路径的正确跟踪得分为2.67。图4比较了领结板在f1和f2处前3种模式的跟踪路径，分别由(a)经典相关性算法和(b)提出的全局相关性算法确定，其中(a)中的错误相关性在(b)中得到了纠正。

在第三部分中，通过四个宽带多模跟踪的例子来展示所提出方法的优势。这些例子包括：自由空间中的矩形板和领结板。

1. 例子1和例子2：自由空间中的矩形板和领结板
例子1如图1(a)所示，是一个没有 Ground 的PEC（Perfect Electric Conductor）矩形板，也在[26]中使用了这个例子。板的尺寸为100毫米×60毫米，由134个三角形离散化，并在1.0-4.0 GHz范围内以50 MHz的间隔进行分析。类似的例子也在[29]、[33]和[41]中被用来进行基准测试。比较结果显示，除了图5(b)中的模式16在3.5 GHz左右缺失，并被FEKO错误地识别为新的模式35外，两种方法的跟踪结果相当。尽管模式16的模态重要性很低，但在图5(a)中这个错误得到了纠正。因此，对于这样一个简单的矩形板，所提出的方法并没有比现有方法有任何优势。

在更高复杂性的例子2中，图1(b)展示了一个200毫米×200毫米的PEC领结板，由438个三角形离散化，并在1.0-3.5 GHz范围内以125 MHz的步长进行分析，与[36]中的分析方法相同。图6显示了两种方法跟踪的前20种模式。同样，在图6(b)中模式18在3.375 GHz后缺失的问题，在图6(a)中得到了纠正。相比之下，图6中纠正后的模式的模态重要性高于图5中的模态重要性，这表明所提出的方法在处理更多共振模式的更复杂结构时具有优势。

2. 例子3和例子4：带地子的分形微带贴片和超表面
所提出的方法还解决了模式互换的问题。例子3是来自[35]的一个分形微带贴片天线，如图1(c)所示。该贴片尺寸为100毫米×64毫米，由680个三角形离散化，并在2.1-3.8 GHz范围内以20 MHz的步长进行分析。图7显示了两种方法跟踪的前10种模式。图7(a)显示了正确的跟踪结果。然而在图7(b)中，模式J8在2.68 GHz附近两次互换为J10，然后在3.5 GHz附近互换为J9。所提出的方法在图7(a)中纠正了这种模式互换。需要讨论的是，带地的结构会降低谐振器的品质因数并导致窄带共振，从而使模态重要性曲线更有可能与其他曲线交叉。在这种情况下，所提出的方法在处理更复杂的分形微带贴片天线和多个窄带共振峰时显示出进一步的优势。

例子1展示了一个具有多个宽带模式的低Q值谐振器。例子2通过增加更多共振模式来增加复杂性。例子3是多个窄带模式重叠的例子。接下来，例子4通过混合宽带模式（模态重要性曲线平滑变化）和重叠的窄带模式（模态重要性曲线和峰值形状复杂）来进一步复杂化问题。该超表面的总体尺寸为21.6毫米×21.6毫米，由4×4个像素化单元格组成，如图1(d)所示。超表面通过34,292个三角形离散化，以捕捉单元格的细节，直到结果收敛。考虑了9–11 GHz的频率范围，步长为20 MHz。图8显示了两种方法跟踪的前20种模式。如图8(a)中所示，所提出的方法纠正了模式错误，J18、J19和J20是共振前后的模态重要性曲线明显的三种模式。这些模式通过与其它宽带共振模式的多次交叉，导致了模式缺失和模式互换问题。具体来说，图8(b)展示了FEKO跟踪的模式，其中在10.3-10.6 GHz范围内发生了多模式互换和缺失。例如，J18在10.5 GHz附近被错误地替换为J20，然后在10.6 GHz之后被替换为J351。所提出的方法在图8(a)中纠正了这一问题。换句话说，即使计算了数百种模式，FEKO也无法区分这些模式，而所提出的方法通过计算更少的模式解决了这个问题。

为了进一步量化性能改进，图9比较了Altair FEKO 2024和所提出方法在处理不同复杂性时的宽带多模跟踪性能。表1列出了详细的数据。对于前两个例子，跟踪的模式数量从10个增加到20个，以观察不同方法处理更多模式的能力。对于例子3，跟踪的带宽增加了1 GHz，以观察不同方法处理更大带宽的能力。对于例子4，同时增加了带宽和模式数量，以观察不同方法处理宽带多模跟踪的能力。除了正确跟踪的模式数量和带宽之外，还比较了正确跟踪的模式百分比和带宽百分比。从表1可以看出，所提出的方法在所有八种情况下都正确地实现了宽带多模跟踪。

表1显示了Altair FEKO 2024和所提出方法在宽带多模跟踪方面的性能比较。图9进一步可视化了性能差异。图9(a)显示了在四个例子中跟踪10种模式时的结果。曲线代表了正确跟踪的模式百分比。可以看出，当考虑10种模式时，两种方法的性能相似。例子2和例子3的性能下降主要涉及模态重要性非常低的模式。换句话说，当天线设计中主要关注低模态数量（LOMs）时，两种方法都可以使用。

图9(b)比较了考虑更多模式和更大带宽的情况，对应于表1中每个例子的第二行以及图5-8中的早期结果。从曲线可以看出，所提出的方法仍然提供了100%的准确性。换句话说，所提出的方法在处理更多模式时显示出了更好的跟踪带宽优势，特别是对于宽带性能改进和精确模式合成（如[23]-[25]中所需要的高模态数量（HOMs）。

图9(fOM)通过计算 i) 正确跟踪的模式数量和 ii) 正确跟踪的带宽分数（或称模式-带宽积（NBP）的乘积来进一步定义了一个评价指标（FOM），该指标由图9中的色条表示。这与天线的增益-带宽积的定义类似。可以得出类似的结论。首先，两种方法在相对较小的带宽范围内对低模态数量（LOMs）的处理效果相同，这满足了大多数天线分析问题的需求。其次，当需要在更大带宽范围内处理更多高模态数量（HOMs）时，所提出的方法提供了更大的NBP，因为结构的复杂性增加，能够同时更准确地跟踪更多HOMs和更大的带宽。

第四部分 结论
本文提出了一种用于宽带多模跟踪的近场全局相关性方法，其中由于多个模式具有相似的特征值，可跟踪的带宽和模式密度长期以来受到模式互换和模式缺失的限制。NFPs（Near-Field Progressions）已被用来包含衰减波，以向相关矩阵中添加额外的信息，从而实现更准确的跟踪。接着，提出了一种全局相关性算法并进行了验证，以充分利用这些增强的信息。所提出的两步方法通过四个不同复杂性的例子进行了数值验证，所有例子都显示了跟踪带宽和跟踪模式数量的显著改进。因此，所提出的方法可能为宽带多模跟踪提供一个新解决方案，以应对紧凑型宽带M3P天线设计中的挑战性任务。

所提出方法的局限性有三个方面。首先，所提出的方法是一个后处理过程，其有效性依赖于计算近场数据的准确性，这需要额外的计算时间。其次，随着需要跟踪的模式数量的增加，时间成本以O(k3)的顺序增加，尽管对于实际应用来说是可以接受的，但速度较慢。多核并行化可以加速大规模问题的跟踪过程。第三，采样大小的分辨率必须根据要跟踪的最高频率来调整，这对于最低频率来说可能不必要地过于精细。在这种情况下，建议将带宽分成几个频段。未来的挑战是跨频段多模跟踪，当模式在一个非常大的频率区间内快速变化时，模式相似性的定义可能会遇到歧义，这值得进一步研究。

本工作得到了中国国家自然科学基金（批准编号62471302）的支持。