《Journal of Multivariate Analysis》：Hyper-sphere decomposition and its alternative on Growth Curve Model for different dimensions
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李青泽|潘建新
云南大学数学与统计学学院，中国云南昆明
**摘要**
生长曲线模型（GCM）在纵向研究中得到广泛应用，其有效计算均值估计需要精确估计受试者内部的协方差。在高维背景下估计协方差矩阵时（即矩阵维度p大于样本量n），使用样本协方差估计器变得不适用。本研究采
李青泽|潘建新
云南大学数学与统计学学院，中国云南昆明
**摘要**
生长曲线模型（GCM）在纵向研究中得到广泛应用，其有效计算均值估计需要精确估计受试者内部的协方差。在高维背景下估计协方差矩阵时（即矩阵维度p大于样本量n），使用样本协方差估计器变得不适用。本研究采用超球分解和替代超球分解方法来处理GCM中的受试者内部协方差，从而便于联合估计均值和协方差。此外，我们探讨了这些估计器在各种维度情况下的渐近性质，证明了当p趋于无穷大而n保持不变时，所提出的方法仍然一致。
**引言**
纵向分析中的一个核心问题是建模受试者内部协方差矩阵Σ，使其既有效（对称、半正定）又能被解释。大量研究通过将Σ重新参数化为无约束成分来解决这一问题，以便直接建模协变量效应。一个重要的方法是改进的Cholesky分解（MCD），它通过广义自回归参数（GARPs）和创新方差来表示逆协方差，从而为联合均值-协方差建模提供了无约束的目标（Pourahmadi, 1999）。进一步的发展研究了在Cholesky类型参数化下的估计和推断性质，包括方差与相关成分之间的近似正交性，这稳定了推断（Pourahmadi, 2007）。在总体平均的范式中，Ye和Pan（2006）将MCD成分嵌入到估计方程中，并在温和的矩条件下建立了一致性和渐近正态性。
与MCD并行，超球参数化将相关矩阵映射到球体乘积上的角度，通过构造确保正定性，并提供了成对相关的直接几何解释（Rapisarda等人，2007）。这些想法激发了我们的超球分解（HPC），它通过角度表示Σ=DRD。然而，传统的超球参数化依赖于变量的排序。因此，我们采用了替代超球分解（AHPC），它将角度定义为Cholesky行向量的成对投影；AHPC保持了几何可解释性，同时消除了顺序依赖性（排列不变性）。
在现代生物统计学应用中，这种协方差建模策略特别有吸引力，因为其维度可能远大于样本量（n
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k)，且tjk=cj1,j>k=1,(cjk?∑l=1k?1tjltkl)/tkk,j>k>1,1,j=k=1,1?∑l=1k?1tjl2,j=k>1，使得AHPC保持了HPC的几何可解释性，同时确保了排列不变性。
从更广泛的角度来看，近期在高维协方差估计方面的进展包括样本协方差的带状处理、锥形处理和阈值处理（Bickel和Levina, 2008, Cai和Liu, 2011）、稀疏精度（图形）建模（Friedman等人，2008）以及低秩因子结构（Fan等人，2013）。尽管这些方法对于全局协方差恢复非常有效，但它们并不是专门为生长曲线设置中的联合均值-协方差回归设计的，也不自然地产生具有直接几何解释的排列不变角度参数。从这个意义上说，所提出的HPC/AHPC公式通过直接在异质生长曲线框架内参数化相关矩阵R来补充现有方法。
在本文中，我们在异质GCM内工作，并开发了两种联合协方差参数化方法。第一种是HPC，通过超球角度表示R，适用于变量有序的情况。第二种是AHPC，通过Cholesky行向量的成对投影定义角度，从而实现排列不变性。对于这两种参数化方法，我们推导了ML和GWLS估计器，在固定和中等高维情况下建立了一致性和渐近正态性，并提出了可扩展的算法，这些算法在每次迭代中都保持正定性。我们进一步将HPC和AHPC与基于MCD的估计器以及代表性的高维基线（包括图形套索和因子模型）在一系列（n,p）情况下进行了比较，并分析了牛数据集以说明AHPC角度参数的可解释性。
本文的其余部分组织如下。第2节回顾了异质GCM并介绍了HPC/AHPC参数化。第2.1节介绍了联合建模框架和ML/GWLS估计程序。第3节建立了渐近性质。第4节报告了模拟结果，第5节分析了牛数据集。技术证明和额外细节在补充材料中提供。
**章节片段**
**HPC和AHPC在GCM上的均值-协方差结构**
在异质GCM中，Y的分布由Y～Np×n(XBZ;Σ1,Σ2,…,Σr;In)给出，基于Cholesky分解，我们有：Σi=DiRiDi=DiTiTi?Di。
HPC和AHPC方法将每个Ti中的单位行向量投影到p维球坐标中，得到相应的下三角非对角角度矩阵Φi。这种方法通过矩阵Φi中的球坐标?ijks进行建模，而不是直接建模Ti中的条目，以确保Tis是单位向量。
**渐近性质**
在本节中，我们探讨了在GCM框架内HPC和AHPC方法的渐近性质，考虑了基于子组样本量ni和维度p之间关系的标准和高维情况。我们将标准情况分为三种类型：
• 维度p固定，样本量ni趋于无穷大。
• 维度p和样本量ni都趋于无穷大，且比率恒定为1p（经典情况）、p→∞且ni固定或缓慢增长（高维边缘情况）以及ni和p以不同速率 diverge 时的一致性和渐近正态性。
