采用频域扩展技术的双波长离轴数字全息术，以改进相位解包裹效果

《Optics & Laser Technology》：Dual-wavelength off-axis digital holography with frequency domain extension for improved phase-unwrapping

　　金启强|刘雷|严铄|钟志|纳斯塔萨·维奥雷尔|刘斌|单光山
哈尔滨工程大学信息与通信工程学院，黑龙江哈尔滨150001，中国

**摘要**
双波长离轴数字全息术能够在大型相位样本上进行直接相位解包测量，显著降低了相位解包的复杂性。然而，光谱串扰和噪声放大会降低重建质量。本文提出了一种基于频域扩展的双波长离轴数字全息术算法，用于高质量相位解包测量。通过将双波长全息图与3×3单位矩阵进行克罗内克尔卷积，并对其进行傅里叶变换，生成了一个具有扩展特性的新频域空间。该操作同时抑制了零阶项干扰和两种波长的一阶项之间的串扰，从而消除了结果中的相位跳变。此外，在最小二乘优化框架内整合了单波长高度信息、差分合成波长和叠加合成波长，有效降低了重建结果中的噪声。因此，所提出的算法可以获得无相位跳变的高质量重建效果。仿真和实验结果验证了该算法的可行性和有效性。

**引言**
数字全息术[1][2]由于其高效性和高分辨率，在微制造、半导体制造和材料工程等领域得到了广泛应用。在实际测量中，当样本高度超过单波长（或半波长）的范围时，需要通过相位解包来获得准确的高度信息。然而，现有的解包算法要么计算复杂度过高[3]，要么对于不连续样本的重建精度较低[4]。为了解决这一问题，提出了双波长数字全息术（DWDH）[5][6][7]。它使用两种不同的照明波长依次获得包裹相位图，然后通过差分相位分析[8][9][10]来重建解包的相位信息。通过策略性地选择波长对，可以将解包测量范围扩展到合成波长或其一半[11][12][13]。与单波长数字全息术相比，DWDH简化了相位恢复过程，并有效减少了相位解包的不确定性[14][15]。

在DWDH中，基于傅里叶变换（FT）的方法[16][17]常用于相位重建。尽管差分运算可以解析相位包裹，但它们会显著放大相位噪声。此外，两种波长之间的光谱串扰和零阶项的干扰 often 会引起相位跳变[18][19]。虽然优化的光学配置可以部分抑制波长串扰[20]，但在需要高精度测量时，这个问题仍然很关键。为了减少光谱串扰和零阶干扰，已使用窄空间滤波器来分离一阶衍射项[21]。然而，这种方法会牺牲重建精度。二维变分模式分解（2D-VMD）[22]也被提出用于抑制零阶干扰和减少相位跳变，但重建的相位图的信噪比（SNR）仍然较低。基于线性规划的傅里叶变换算法（FLPA）[23]通过将噪声降低到与单波长重建相当的水平来提高SNR，但它仍对零阶干扰和光谱串扰非常敏感，这可能导致相位跳变。在这种情况下，深度学习方法通过白光引导[24]或模拟伪光源[25]来提高相位重建的信噪比。然而，它们的有效性依赖于大型、高质量且多样化的标注数据集进行训练。随后，分层相位解包方法[26]通过平均两个解包的相位图来提高噪声鲁棒性，但在强零阶干扰和光谱串扰下，其性能仍然会下降。基于区域的DWDH重建算法[27]通过独立分割和处理单波长相位图来进一步提高SNR。合成波长相位引导的相位解包（SWPGPU）[28]通过单波长平均来提高重建结果的SNR。然而，当单波长SNR较低或光谱串扰影响单波长相位信息时，仍然可能发生相位跳变。

总体而言，DWDH重建方法在相位精度和重建质量之间存在固有的权衡。增加带宽利用率可以提高测量精度，但也会放大相位噪声，并加剧由光谱重叠和零阶干扰引起的相位跳变，最终限制了测量精度和可靠性。为了解决这些挑战，本文提出了一种基于频域扩展（FEPUA）的高质量双波长离轴数字全息术相位解包算法。通过将双波长离轴全息图与3×3单位矩阵进行克罗内克尔卷积，然后进行傅里叶变换，生成了一个扩展的频谱。这种扩展增加了波长之间的光谱分离，有效抑制了零阶干扰，并在高带宽利用下减少了由光谱重叠和串扰引起的相位跳变。此外，使用最小二乘方法建立了结合差分合成波长、叠加合成波长和单波长相位信息的联合约束框架。通过对高度信息进行交叉验证，优化了差分合成波长的重建，从而主动抑制了空间域噪声。因此，所提出的FEPUA在DWDH中实现了高精度、低噪声的相位重建。

**理论**
一般来说，双波长正交载波离轴数字全息图I(x, y)的表达式可以写为：
Ix,y = a1x,y + a2x,y + 0.5b1x,yexp(iφ1x,y) + φbg1x,y + 2πf1xx + 2πf1yy + 0.5b1x,yexp(-iφ1x,y) + φbg1x,y + 2πf1xx + 2πf1yy + 0.5b2x,yexp(iφ2x,y) + φbg2x,y + 2πf2xx + 2πf2yy + 0.5b2x,yexp(-iφ2x,y) + φbg2x,y + 2πf2xx + 2πf2yy
其中，ai是零阶项，bi是条纹的局部对比度，φi是样本的相位分布，φbgi是背景相位像差，fix和fiy是空间元素。

**数值分析**
为了验证所提出算法的可行性，进行了仿真实验。模拟样本的分辨率为512×512像素，如图3(a)所示，样本高度设置为2.5 μm。激光光源的波长分别为λ1 = 632.8 nm和λ2 = 532 nm，从而得到合成波长λds = 3339.8 nm。在此仿真中，包裹相位φ1和φ2受到随机噪声α={Mean[φ]}/SNR*V的干扰，其中Mean表示包裹相位的平均值，V表示噪声水平。

**实验分析**
图5展示了用于验证的离轴DWDH实验装置。两个波长分别为λ1 = 532 nm和λ2 = 632.8 nm的激光通过分束器BS1耦合形成双波长光源。激光的稳定性优于1%；它们的光谱线宽分别为<0.003 nm（532 nm）和<0.03 nm（632.8 nm），相应的带宽分别为<3.18 GHz和<22.47 GHz（长春新产业光电科技有限公司提供）。从镜子M1反射后……

**结论**
总之，本文提出了一种基于频域扩展的高质量双波长离轴数字全息术相位解包算法（FEPUA）。该算法利用克罗内克尔卷积的扩展特性来抑制由光谱干扰引起的相位跳变。此外，采用了最小二乘技术来融合和交叉验证来自差分合成波长、叠加合成波长和单波长的高度信息。

**作者贡献声明**
金启强：撰写——原始草案、方法论、概念化。
刘雷：撰写——审阅与编辑、概念化。
严铄：撰写——审阅与编辑、方法论。
钟志：撰写——审阅与编辑、方法论。
纳斯塔萨·维奥雷尔：撰写——审阅与编辑、方法论、资金筹集。
刘斌：撰写——审阅与编辑、数据整理。
单光山：撰写——审阅与编辑、方法论、资金筹集、概念化。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文所述的工作。

**致谢**
作者感谢国家自然科学基金（62375063）、黑龙江省自然科学基金（ZD2024F002）、海南省重点研发项目（ZDYF2024GXJS004）、哈尔滨工程大学关键学科基础研究稳定支持计划（KYWZ220240810）的支持；纳斯塔萨·维奥雷尔还获得了PN 23 21 01 05合同、ELI_RO_22项目的资助以及MIPE资助的Dr. Laser项目。