堰后水流-泥沙相互作用与局部冲刷形成：物理仿真方法 Marta Kiraga, Julia Górka, Barbara ?arska, Anna Markiewicz, Beata Fornal-Pieniak

《Water》：Flow–Sediment Interaction and Local Scour Formation Downstream of a Weir: Physical Modeling Approach Marta Kiraga, Julia Górka, Barbara ?arska, Anna Markiewicz and Beata Fornal-Pieniak

　　摘要：水力结构的整体安全性经常因堰下游的局部冲刷过程而减弱。本研究探讨了水力参数与侵蚀模式之间的关系，以提高对河床变形预测的准确性。研究方法结合了来自皮亚谢奇诺（Piaseczno）Radomka河的详细现场测量数据以及使用1:30物理比例模型的实验室实验。结果显示，河床剪切应力与最大冲刷深度之间存在最强的相关性（r ≈ 0.93；RMSE ≈ 0.0032），因为它直接代表了作用在河床表面沉积物颗粒上的切向力，这种力控制着沉积物的裹挟、输运能力，进而决定了局部冲刷发展的强度；而近床面速度的相关性较弱且不显著（r ≈ 0.26；RMSE ≈ ?0.11）。这种弱相关性反映了近床区域湍流引起的速度波动和局部涡旋结构的主导作用，这些因素掩盖了平均速度与沉积物迁移之间的关系。平均速度、弗劳德数（Froude number）和冲刷深度之间的关系较为中等（r ≈ 0.63–0.73），并表现出非线性特征，HSIC值高达9.1 × 10?3，这是由于流动结构与变化的河床形态之间的复杂相互作用所致。这种非线性源于湍流结构、射流诱导的涡旋以及动态变化的河床形态之间的相互作用，再加上沉积物输运对水力扰动的阈值控制和非线性响应。在所有测试参数中，河床剪切应力被证明是最强的冲刷深度预测指标，其预测能力优于基于速度的指标。这些发现表明，纳入河床剪切应力参数可以显著提高水力结构的安全评估精度。基于11次实验的研究得出结论，结合现场观测和实验室方法为河流工程提供了一个可靠的框架。最后，本文对侵蚀机制的深入理解有助于预测局部冲刷的发展，并支持设计更具抵抗力的水力基础设施。

1. 引言
水库的河床，特别是其上积累的沉积层，会受到水流引起的剪切应力的影响。河床剪切应力表示移动水体平行于河床表面施加的单位摩擦力，它反映了冲积沉积物所提供的阻力[1,2]，并被广泛认为是控制明渠流动中沉积物运动和输运过程的主要参数[2,3]。这一参数是控制河床物质迁移和输运的主要水力量，因此也是侵蚀和冲刷过程的关键因素。在考虑沉积物运动时，可以观察到由于作用在沉积物颗粒上的流体动力的逐渐增加以及河床上临界剪切应力条件的变化性，运输过程是逐渐开始的。这种渐进式的开始与河床表面的空间异质性和近床湍流的本质非稳态特性有关。沉积物颗粒受到高度变化的瞬时流体动力的影响，这些力在局部和间歇性地超过运动临界条件。因此，裹挟过程并不是在整个河床上均匀发生的，而是在颗粒稳定性降低的区域开始，例如堆积较松散的区域、突出的颗粒或局部流动暴露较强的区域。此外，颗粒大小、形状以及其在河床基质中的嵌入程度的不同导致了不同的迁移阻力，进一步导致了沉积物运输的渐进性和非均匀性[3]。
颗粒在达到一个基于颗粒大小的临界阈值之前保持静止状态。一旦超过这个阈值，颗粒开始移动，逐渐滚动和滑动。沉积物输运可以分为两种主要模式：床沙输运，其中颗粒与河床紧密接触并主要受重力和流动诱导力的驱动；以及悬浮沉积物输运，其特征是在水流中颗粒运动不规则[4,5]。
河床的颗粒大小分布对沉积物输运有显著影响[1]。对于异质沉积物来说，输运过程更加复杂，因为较大颗粒的移动速度较慢，这阻碍了较细颗粒的移动[6]。河床剪切应力在河道横截面上的分布并不均匀；其值取决于河道几何形状、局部流速以及结构或植被等障碍物的存在[7,8]。尽管如此，在距离河床非常小的距离上，剪切应力的分布可以认为是恒定的[9,10]。除了作为床沙输运通量的作用外，床沙层还充当河床与上方悬浮沉积物之间的界面；床沙层上界的向上沉积物通量决定了悬浮沉积物输运计算的边界条件。一旦沉积物颗粒开始沿河床移动和滑动，跳跃成为在各种剪切应力范围内的主要床沙输运模式。在较高的边界剪切应力下，河床表层可能会变形并表现出颗粒流的特征[11,12]。
堰下游局部冲刷的发展源于从闸门或堰顶喷出的高速射流与可侵蚀河床物质之间的强烈相互作用。在这个区域内，存在一个复杂的涡旋系统，包括撞击河床的射流、滚动机涡旋和回流水区域，这些因素共同启动并维持侵蚀过程。时间演变和最大冲刷深度强烈依赖于上游是否有河床物质的供给（活床条件）或上游河床最初是否处于静止状态（清水条件）[9,13,14]。
在清水条件下，当堰上游的来流速度低于沉积物运动的临界阈值时，冲刷发展仅由射流冲击和消力池中产生的涡旋系统驱动[1,15]。在初始阶段，物料在射流冲击点迅速被移除，导致冲刷坑快速加深[9,16]。随着冲刷坑的扩大，其几何形状发生变化：底部加深并向下游移动，导致到达河床的射流能量减少，侵蚀速率逐渐降低。在清水条件下，达到最大冲刷深度需要更长的时间，主要取决于射流的能量（通常通过其弗劳德数表达）、堰上的流动特征以及河床物质的颗粒大小分布[17]。在活床条件下，当来流中存在沉积物输运时，侵蚀过程在水释放后立即开始，因为河床物质已经处于运动状态或接近运动阈值。冲刷坑发展得更快，其底部持续受到额外的沉积物供给，导致沉积和侵蚀的交替阶段[9,18,19]。这导致冲刷过程更加动态。活床条件下的最大冲刷深度通常大于清水条件下的最大冲刷深度，并且在更短的时间内达到[17]。

图1. 随时间变化的冲刷深度，包括有沉积物输运（活床条件）和无沉积物输运（清水条件）的情况。河床剪切应力长期以来被认为是在明渠流动中控制沉积物迁移和输运的基本参数，因此被广泛用于局部冲刷过程的分析和预测。传统方法通常基于临界剪切力的概念，该概念常通过Shields参数表示，并构成了许多基于经验和半经验的冲刷预测公式的基础。在水力结构的背景下，河床剪切应力通常与流动强度和能量耗散相关联，被用来估算堰、闸门和溢洪道下游的侵蚀潜力。然而，许多现有研究主要关注沉积物运动的阈值条件或是在受控实验室条件下得出的简化关系，往往忽略了水力参数的空间变异性以及冲刷区域的复杂湍流结构。此外，基于速度的指标（如平均流速或近床速度）经常被用作侵蚀潜力的替代指标，尽管它们对局部湍流和测量不确定性非常敏感，特别是在受到水力跳跃和回流水影响的区域。除了实验研究外，数值和流体动力学建模方法也逐渐被用于分析河流系统中的流动行为及相关过程[20]。
尽管基于剪切应力的方法在冲刷预测中得到广泛应用，但大多数现有研究主要关注阈值条件或简化的经验关系，而没有系统地将其预测性能与基于速度的指标进行比较，也没有考虑非线性依赖性。本研究通过使用多种统计指标（包括非线性依赖性度量HSIC）定量评估基于剪切应力的方法的预测性能，并结合现场观测和受控实验室实验来改进现有方法。
本研究的目的是定量评估和比较选定水力参数（包括河床剪切应力、平均流速、近床速度和弗劳德数）在描述堰下游最大局部冲刷深度方面的预测能力。

2. 材料与方法
2.1. 现场研究
2022年和2024年，对位于波兰中部皮亚谢奇诺（Piaseczno）村庄的小型低地河流Radomka上的一个拦水堰进行了多次检查（图2）。Radomka河的总流域面积为2000平方公里，长度为100公里。该结构是一个整体式的钢筋混凝土船坞型堰。其通道被两个中间支柱分为三个跨度。主要技术参数包括：堰开口宽度为5.00米，堰板宽度为16.50米，步行桥宽度为4.45米，连通步行桥宽度为1.00米，支柱宽度为0.80米，支柱长度为6.35米。水力结构位于河道大约100米长的直线段上。研究区域包括村庄和堰，周围是耕地（用于农作物种植的农业用地）以及森林区域。山谷主要由沙子和冲积土组成。地形大部分平坦，这是马佐夫舍地区（波兰）这一特征[21]。

图2. 皮亚谢奇诺Radomka河上的堰：(a) 从下游观察；(b) 从上游观察；(c) 来自National Geoportal (geoportal.gov.pl)的地形图剖面；(d) 堰上方河谷的横截面，其中Qw表示水流。
堰建设的主要目的包括在干旱期间蓄水，为灌溉系统提供水源，通过蓄水防洪，以及改善河流峡谷内的环境条件。此外，该结构还作为皮亚谢奇诺和Marcelów两个相邻村庄之间的地方交通纽带。在分析区域内，如果拦水结构发生故障或损坏，没有发现显著的洪水风险。完整尺度结构的详细技术规范和现场特性为设计和建造比例物理模型提供了基础，从而在模拟的实验室条件下进行更受控制的实验研究。

2.2. 实验室尺度模型
实验室尺度测试使用了简化后的理想化几何形状来代表现场条件。堰的物理模型按1:30的几何比例设计和建造（表1）。模型的几何形状，包括桥墩、堰跨度和基础，反映了皮亚谢奇诺原型结构的尺寸。模型使用透明有机玻璃制成，以便观察水流，并涂有沙子-清漆混合物，以确保水力粗糙度与现场条件一致。完成的模型安装在实验室水槽中（图3），以便在稳态条件下控制流动-沉积物相互作用。

表1. 堰的组成部分和尺寸。

图3. 安装在实验室水槽中的堰物理模型：(a) 从上游站观察；(b) 从下游站观察。

2.3. 实验设置条件
在实验室实验中，模拟了带有关闭闸门的堰模型中的水流，这代表了实际水力结构中常见的蓄水条件，即在低水位期间停止水流或为了蓄水目的提高上游水位。一旦建立了稳定的流动状态，并测量了下游水深，就开始监测河道内的形态变化，并记录每个测试系列的持续时间，以确保对水力和形态边界条件有完全的控制。将闸门引入实验室河道模型后，流动状态发生了显著变化。在由沙质材料组成的下游区域，由于作用在河床上的水力增强（包括流速增加和障碍物下游区域的射流集中），观察到了局部侵蚀现象（见图4）。河床侵蚀逐渐加剧，随着时间的推移而加深。在水跃下游的一定距离处，其影响减弱，速度剖面趋于稳定，速度分布接近未受干扰流的状态。绘制的速度剖面能够清楚地识别出受到流动加速、湍流混合和沉积物移动影响的区域，突出了沿河道的水力过程的空间变异性。

2.4. 水力参数
在实验室实验中总共进行了11次测量系列。所有实验都在亚临界流动条件下进行，确保在整个测试段内弗劳德数（Fr < 1）始终保持在1以下。此外，实验是在清水侵蚀条件下进行的，这意味着进水流中的河床剪应力保持在启动沉积物运动的临界阈值以下。这确保了局部侵蚀坑的发展不受上游沉积物供应的影响。闸门的关闭也改变了下游区域的速度分布，形成了局部涡流和回流区，造成了非均匀的速度场，并增强了沉积物输运。这种次级流动结构在河床表面促进了间歇性的剪切应力峰值，进而促进了沉积物的移动，并导致了实验中观察到的空间变量形态。

2.5. 测量仪器和技术
每个实验时间步的数据采集包括使用三种主要测量仪器来测量河床高程、水面高度和点流速：板探针、点式测流仪和PEMS-E30流速计（荷兰代尔夫特Delft Hydraulics公司）。每个系列的第一次数据读取是在水流通过河道30分钟后（第一个时间步），第二次是在1.5小时后（第二个时间步），最后一次是在前一次测量4小时后（第三个时间步）。

2.6. 艾因斯坦的速度场划分理论
汉斯·艾因斯坦基于对矩形河道中湍流速度分布的分析，提出了一个将速度场视为两个分量之和的模型：一个是由河床剪切阻力引起的，另一个是由侧壁阻力产生的[23]。河床粗糙度通过改变流速剖面和剪切应力分布显著影响了近河床区域的速度场，这为艾因斯坦对沉积物传输过程的分析提供了基础。在艾因斯坦的方法中，整个河道横截面上的速度分布可以通过两种假设流动的特征速度场的叠加来近似：仅受河床限制的流动（假设侧壁是光滑的且没有阻力），此时横截面上的速度分布对应于经典垂直剖面；仅受侧壁限制的流动（假设河床是光滑的），此时速度分布完全由侧向阻力引起，实际上会导致横向速度梯度的形成。

2.7. 测量仪器和技术
数据采集包括使用三种主要测量仪器来测量河床高程、水面高度和点流速：板探针、点式测流仪和PEMS-E30流速计（荷兰代尔夫特Delft Hydraulics公司）。每个系列的第一次数据读取是在水流通过河道30分钟后（第一个时间步），第二次是在1.5小时后（第二个时间步），最后一次是在前一次测量4小时后（第三个时间步）。
板探针用于测量河床高程。每个测量系列开始时，首先使用特殊的沙面平整框架平整河床，然后用手动土壤压实机进行压实，提供大约5焦耳的能量。准备好的河床使用板探针进行测量，并在标准化测量网格中描述其坐标。这个初始表面作为后续测量沿河床发展的局部侵蚀的参考点。测量网格总共包含56个点，分布在实验河道的7个纵向轴和8个横截面上。河床形态测量的空间分辨率使用了5厘米×5厘米的网格，在侵蚀坑区域进行了详细表示。河床表面的形态在实验室河道整个下游长度的56个点上进行了研究。测量网格覆盖了0.58米×2.72米的面积，包含8个横截面，每个横截面有7个测量点。横截面之间的最小间距在闸门模型下游立即为0.06–0.10米，然后逐渐增加到0.20米和0.25米，在不受局部河床侵蚀影响的区域最终增加到1米。在每个横截面上，7个测量点之间的间距间隔为0.02–0.145米。各个参数的测量精度和不确定性如下：
- 流量：0.0001立方米/秒；±1%
- 线性尺寸（宽度、长度、沙层厚度）：0.001米；±0.0005米
- 水面高度、河床高程、水深：0.0001米；±0.0005米
- 时间：1秒；±0.5秒
- 颗粒直径：0.00001米；±0.000005米

根据收集的点云数据，可以在假设的实验持续时间Tz后确定局部侵蚀的几何参数，包括其最大深度zmax（见图5）。使用板探针获得了测量点云（56个点）的3D可视化，并展示了实验河道中局部侵蚀的插值表面。

2.8. 测量仪器和系统布局
PEMS-E30流速计（见图6）可以测量纵向速度分量±Vx和横向分量±Vy，以及总速度幅度Ve和相对于Vx轴正方向的偏转角αPEMS。该测量设备的上部直径为10毫米，下部直径为6毫米，总长度为80厘米。在其下端装有一个33×11毫米的圆盘形探针。

2.9. 流速测量的位置
在水面高度测量方面，使用了可移动和固定的点式测流仪在河道轴线的选定位置进行测量。这种布置有助于确定水面剖面及其沿河道的纵向坡度。测流针下降到刚好接触水面的位置，然后从刻度上读取数值。这些测量在具有不同粗糙度河床材料之间的过渡区或水跃形成处等特征位置进行。

2.10. 流速分区的艾因斯坦理论
汉斯·艾因斯坦基于对矩形河道中湍流速度分布的分析，提出了一个模型，将速度场视为两个分量的总和：一个是由于河床剪切阻力引起的，另一个是由侧壁阻力产生的[23]。河床粗糙度通过改变流速剖面和剪切应力分布显著影响着近河床区域的速度场，这是艾因斯坦分析沉积物传输过程的基本基础。在艾因斯坦的方法中，整个河道横截面上的速度分布可以通过两种假设流动的特征速度场的叠加来近似：仅受河床限制的流动（假设侧壁光滑且不提供阻力），此时横截面上的速度分布对应于经典垂直剖面；仅受侧壁限制的流动（假设河床光滑），此时速度分布完全由侧向阻力引起，实际上会导致横向速度梯度的形成。

2.11. 流速分区的应用
艾因斯坦的[23]假设提出，整个横截面积被划分为不同的区域，其中流动阻力与河床和河岸（或实验室河道中的玻璃面板）的不同粗糙度有明确的关联。该方法基于这样的假设：在河道指定部分（见图7），壁面影响区域内的平均速度vs和河床影响区域内的平均速度vb等于整个横截面的平均速度v：
(1)

2.12. 计算步骤
计算的下一步是确定未知的水力半径Rhs和Rhb值。为此，应用了一种迭代程序，通过连续逼近来选择Rhs和Rhb的值，以满足以下关系[24]：
(3)
总流量等于：
(4)

汉斯·艾因斯坦提出的速度场分区理论在工程和研究实践中得到了广泛应用。这种方法使我们能够区分床面和河岸粗糙度对流动阻力的影响，从而更准确地计算能量损失、水力坡度以及阻力特性，如Manning系数或Strickler系数[25]。这种方法在设计和分析具有复杂几何形状的渠道时特别有用，尤其是在狭窄的渠道中，其中侧向阻力的贡献显著，可能会导致经典速度分布的明显扭曲[26]。速度场的划分还用于数值流动模型的校准，从而更好地表示横截面内的实际速度，并在沉积物运输研究中也非常重要，因为在这些研究中精确确定作用在床面上的剪切力对于预测侵蚀和沉积过程至关重要[25,26]。最后，这种方法有助于解释现场测量结果，允许纠正在粗糙度变化的渠道中记录的速度剖面[27]。

2.7 床面剪切应力计算
水库和河床，特别是沉积在其上的沉积物，会受到剪切应力的影响。这些是由流动的水对床面施加的力。剪切应力的大小受到许多因素和参数的影响，这些因素和参数导致颗粒的移动及其随水流的运输。本研究应用爱因斯坦的速度场划分方法，可以分离与床面相关的流动抵抗力和与墙面相关的流动阻力，这对于准确确定与床面相关的水力半径（Rhb）是必要的。这个参数直接影响床面剪切应力的计算，进而与观察到的局部冲刷发展进行分析。因此，所采用的方法为实验渠道中流动结构与沉积物响应之间的联系提供了理论基础。爱因斯坦[24]提出，平均床面剪切应力τb取决于与底部流动阻力相关的横截面部分的水力半径Rhb，其计算公式为：
\[ \tau_b = \frac{\rho_w \cdot g \cdot l}{4 \cdot \sigma_b^2 \cdot Rh_b} \]
其中，τb为床面剪切应力（单位Pa），ρw为水密度（kg·m^-3），g为重力加速度（m·s^-2），Rhb为与底部流动阻力相关的横截面部分的水力半径（单位m）；l为床面处的水深。床面剪切应力的无量纲形式θ由以下公式表示：
\[ \theta = \frac{\rho_b \cdot d_{50}^3}{4 \cdot \sigma_b^2} \]
其中，d_{50}为中值粒径（单位m），ρb为床面沉积物的密度（通常为2650 kg/m^3）。如果床面剪切应力超过一个临界值（Shields参数），最小的颗粒会开始移动，从而启动沉积物运输过程——颗粒逐渐滚动和滑动。Shields参数的值受到颗粒的形状、大小和排列方式以及床面附近的水力条件的影响。对于多颗粒（多分散）沉积物，较大颗粒的移动速度较慢，这会阻碍较小颗粒的运输[6,9]。

3. 结果
3.1 局部冲刷的时间演变
在研究过程中，观察到了与床面形态变化相关的现象，例如局部冲刷坑的形成，其形状随时间逐渐加深和延长。本研究分析了所有11个测量系列期间观察到的最大冲刷深度。表3和图8展示了每个测量系列的最大局部冲刷深度。图9显示了所有测量系列的最大冲刷深度的时间演变。在初始阶段观察到冲刷深度的快速增加，随后逐渐稳定。这种行为表明随着冲刷坑的发展，作用在床面上的水力强度逐渐减小。试验5在中等流量条件下观察到的较高变异性可能归因于过渡性流动条件和局部测量不确定性，并未在其他实验系列中一致出现。

表3. 每个测量系列的最大局部冲刷深度。
图8. 每个测量系列的最大局部冲刷深度随时间的变化，其中z表示给定时间步长下的最大冲刷深度；zmax表示实验6小时后的最大局部冲刷深度；T表示达到最大局部冲刷深度所需的时间，T = 6小时。
图9. 各个测量系列的最大冲刷深度增量。
表4显示了连续时间步长下冲刷坑深度的变化。冲刷深度通常在实验结束时（11个系列中有10个）达到最大值。冲刷加深过程通常遵循清水条件下的模式。在引入障碍物后，侵蚀强度最初最高——在最初的几个小时内，冲刷深度迅速增加。随着时间的推移，这一过程放缓，深度增长曲线逐渐变平（见图9）。这种行为反映了随着冲刷坑的发展，射流能量的逐步耗散，从而减少了作用在床面上的床面剪切应力强度，进而限制了进一步的侵蚀。然而，研究持续时间似乎太短，无法确定是否达到了平衡状态和冲刷深度的稳定——曲线的趋势表明冲刷坑仍在继续加深，尽管速度比实验初期慢得多。

3.2 冲刷区近床面流速的特性
表5展示了实验室研究的结果，包括根据爱因斯坦速度场划分方法和达西方程的迭代方法确定的与床面粗糙度相关的渠道截面的水力半径。v1cm表示在横截面B-B中距离床面1厘米处测得的点速度（位于严重冲刷区域）。在经历严重冲刷的横截面上进行的v1cm速度测量具有某些意义。其中最重要的是明显的局部变异性——在如此靠近床面的位置，流速对局部涡旋和湍流波动非常敏感。这种高变异性与冲刷区内的湍流涡旋和流动再循环有关，导致局部流动条件快速变化，降低了点速度测量作为沉积物运输过程指标的代表性。本研究分析的床面剪切应力值是基于与床面相关的水力半径（Rhb）得出的。这种方法通过分离床面阻力与侧壁效应的贡献，使得剪切应力的估计更为物理一致。因此，观察到的床面剪切应力与最大冲刷深度之间的强相关性不仅反映了水力作用，也体现了所采用的理论框架在捕捉相关流动-沉积物相互作用机制方面的有效性。

3.3 冲刷深度的相关性和依赖性分析
为了量化自变量zmax与四个因变量（v1cm、v和Fr）之间的关系，采用了一组互补的统计措施。目的不仅仅是评估线性关系的强度，还要检查潜在的单调和非线性依赖性。考虑了以下指标：
- MSE（均方误差）和RMSE（均方根误差）——衡量线性回归模型的平均预测误差；较小的值表示更好的拟合。
- Chi2（基于残差的）——评估观测值和预测值之间的一致性；较小的值表示偏差较小；Chi2统计量根据以下公式计算：
\[ \chi^2 = \frac{\sum (y_i - \hat{y}_i)^2}{n-1} \]
- HSIC（Hilbert–Schmidt独立性准则）——一种基于核函数的依赖性度量，对线性和非线性关联都敏感；正值表示存在依赖性。
- 皮尔逊相关系数r——衡量线性依赖性的强度，范围从-1（完全负相关）到+1（完全正相关）。
- 斯皮尔曼等级相关系数ρs——评估单调性关系，不考虑线性（见表6）。

表6. 最大冲刷深度与选定实验参数之间的相关系数汇总。
图10显示了线性回归，说明了自变量（v1cm、v和Fr）与因变量（zmax）之间的关系。它表明床面剪切应力与最大冲刷深度之间存在明显正相关，即剪切应力的增加会导致更强烈的沉积物迁移和更深的冲刷形成。相比之下，近床面速度与冲刷深度之间的关系显示出较高的散布，反映了冲刷区内局部湍流和流动变化性的强烈影响。平均流速与冲刷深度之间的关系不太明显，表明平均流动条件不能完全代表床面附近发生的水力过程。弗劳德数的非线性模式表明，该参数并不直接对应于控制沉积物运输的局部水力条件。

图10. 分析了最大冲刷深度zmax与选定物理变量之间的依赖性。为了有效地展示最大冲刷深度与研究参数之间关系的全面统计分析，使用了复合热图（图11）。热图使用多种统计指标对考虑的模型进行了比较分析。单元格内的数值对应于原始（未转换）的度量值。为了便于直观比较，所有指标都归一化到[0, 1]范围内。基于误差的度量（MSE和Chi2）在归一化之前进行了反转，以便更高的归一化值表示更好的模型性能。相比之下，HSIC和相关系数（r和ρs）保持原样，因为较大的值自然对应于更强的依赖性。值得注意的是，HSIC捕捉了一般（包括非线性）的依赖结构，而r和ρs主要反映线性和单调性关系。因此，这些指标之间的差异可能表明潜在关系在不同复杂程度上的差异，而不是模型质量的不一致性。

图11. 局部最大冲刷深度与选定水力参数和相关性指标之间的相关性热图。结果表明最低的预测误差（MSE ≈ 1.0 × 10^-5，RMSE ≈ 0.0032）和最小的Chi2值（≈0.009）。皮尔逊系数（ρ ≈ 0.93）和斯皮尔曼系数（ρs ≈ 0.84）都确认了与zmax的非常强的关联。HSIC较小但为正，表明没有显著的非线性成分。因此可以得出结论，v1cm是与zmax线性关系最强的变量。这种强相关性可以从物理上解释为床面剪切应力直接代表了水流对沉积物颗粒的作用力，控制了它们的迁移和运输能力，从而随着剪切应力的增加而增加冲刷深度。

考虑到最大冲刷深度zmax与横截面B-B中距离床面1厘米处测得的点速度v1cm的相关性，误差相对较高（MSE ≈ 0.0033，RMSE ≈ 0.057）。皮尔逊相关性较弱（≈0.26），斯皮尔曼系数略微负（≈?0.11），表明没有明显的单调趋势。HSIC接近零，确认不存在显著的非线性依赖性。v1cm与zmax之间没有明显的关系。近床面速度与冲刷深度之间缺乏明显的关系是因为冲刷区域内的流动高度局部化且具有湍流性质，瞬时波动占主导地位。

zmax到v关系的预测误差适中（MSE ≈ 0.0028，RMSE ≈ 0.053）。皮尔逊相关性（ρ ≈ 0.68）表明存在中等的线性依赖性，而斯皮尔曼相关性（ρs ≈ 0.73）表明存在较强的单调关联。HSIC（约0.0091）表明存在非线性成分。v与zmax有明显的相关性，这种关系在单调性上比严格线性关系更为强烈。平均流速与冲刷深度之间的中等相关性表明，平均速度不足以充分反映床面附近的水力条件，而沉积物输运过程正是在那里开始的。弗劳德数（Fr）与最大冲刷深度的相关性显示出最高的误差值（均方误差MSE约为0.0202，均方根误差RMSE约为0.142）。皮尔逊相关性（约0.63）表明存在中等程度的线性依赖，而斯皮尔曼相关性（约0.72）则表明存在更强的单调趋势。HSIC（约0.0067）进一步支持了非线性效应的存在。Fr与zmax有中等程度的关联，单调关系比线性模型更好地捕捉了这种依赖性。观察到的弗劳德数的非线性关系反映了它代表的是整体流动条件，而这些条件并不直接对应于床面施加的局部水力作用。

4. 讨论
本研究的结果清楚地表明，床面剪切应力是描述堰下游局部冲刷发展的最可靠的水力参数。剪切应力与最大冲刷深度之间的强相关性证实，沉积物的 mobilization（此处“mobilization”可能为“移动”或“搬运”，需根据上下文确定更恰当的词）和输运主要受直接作用在床面上的力的控制。这一发现与先前的研究一致，这些研究将床面剪切应力确定为控制水力系统中沉积物运动和冲刷过程的关键参数[20,28]。相比之下，基于速度的参数与冲刷深度的相关性较弱或不够一致。近床面速度的变化较大，预测能力有限，这可以归因于冲刷区域的高湍流条件。在这种条件下，瞬时流动结构和湍流在沉积物输运中起主导作用，降低了点速度测量的代表性[29,30]。同样，平均流速的中等相关性也表明，平均流动特性并不能完全反映床面处的水力条件。弗劳德数的非线性关系进一步支持了这一解释，因为弗劳德数反映的是整体流动条件，而这些条件并不直接对应于床面施加的局部水力作用。

5. 结论
分析表明，在所考虑的水力参数中，床面剪切应力与最大冲刷深度zmax的相关性最强且最一致，相关系数约为r ≈ 0.93。这证实了床面剪切应力是控制局部冲刷发展的主要因素。相比之下，近床面速度v1cm与zmax的相关性微乎其微（r ≈ 0.26），而平均流速v和弗劳德数Fr显示出中等程度的相关性（r ≈ 0.63–0.73），这种相关性更倾向于单调或非线性，而非纯线性。这些结果强调了在研究沉积物输运过程时结合传统相关度量方法和更先进的统计工具的重要性。这些结果基于11个实验系列的分析，提供了对所分析参数预测能力的定量比较。获得的相关性表明，床面剪切应力可以作为在受控水力条件下预测最大冲刷深度的可靠依据。这种关系最初可以为实验室条件制定，并随后扩展到现场应用，可能包括与水力结构相关的尺度依赖性系数。这种类型的公式化为一个有价值的工程工具，能够仅基于流动参数定量预测最大冲刷深度，从而直接辅助水力基础设施设计过程，为床面保护层提供更可靠的边界条件。值得注意的是，对于恒定渠道几何形状，床面剪切应力可以直接与可测量的水力量（如流深度）相关联，这简化了其实际应用。使用爱因斯坦速度场分割方法对于获得可靠的床面剪切应力估计是必要的，这反过来又使得对局部冲刷发展的解释变得有意义。

在横截面B-B处测量的近床面速度v1cm主要应被视为局部流动扰动的指标，而不是直接控制冲刷深度的参数。其与zmax的弱相关性证实了它在所研究条件下作为预测参数的有限适用性。在剧烈冲刷区域，测量值的变化较大，包括强烈的湍流、局部加速和负责沉积物移动的涡旋结构，这导致测量值的不确定性增加，从而降低了其在定量预测中的实用性。此外，近床面速度测量的可靠性受到实验条件的影响，包括探针位置和沉积物输运引起的流动扰动。这些因素为数据集引入了额外的不确定性，在解释基于速度的参数时需要考虑这些因素。所观察到的选定水力参数与冲刷深度之间的非线性关系源于流动结构和演变中的床面形态之间的复杂反馈，其中冲刷坑的逐渐加深改变了局部速度场、湍流强度和剪切应力分布。此外，一旦超过颗粒运动的临界阈值，沉积物输运对水力作用的响应是非线性的，导致在流动条件相对较小的变化下侵蚀强度不成比例地增加。这些发现对于水力结构的设计标准从基于速度转向基于剪切应力的标准具有重要意义。传统上，许多工程标准依赖近床面速度作为侵蚀风险的主要指标。然而，我们的结果表明，基于速度的预测可能会产生误导，可能导致低估冲刷深度和结构不稳定性。通过采用床面剪切应力作为关键诊断参数，工程师可以更准确地预测局部冲刷的最大深度，从而实现对下游护坡和床面保护的更优化和更具成本效益的设计。从实际角度来看，这些发现意味着仅依赖近床面速度可能导致低估冲刷深度，而采用基于剪切应力的标准则能够提供更稳健的安全系数和材料节省。这种方法增强了堰基础设施的整体韧性，减少了基础破坏的风险，并确保了在不同水力条件下的长期运行安全性。

尽管有这些见解，但仍需承认某些研究局限性，例如理想化的实验室几何形状和特定的1:30比例模型。未来的研究方向应集中在验证这些关系在更广泛的沉积物粒级和复杂堰类型中的适用性，结合长期现场监测与数值模拟。