基于蒙特卡洛方法的涡轮分子泵扭曲定子叶片排型必要性研究 赵丽娟、 毛明阳、 孙坤、 刘强、 秦进

《Machines》：Necessity Research on Twisted Stator Blade Rows for a Turbomolecular Pump Based on the Monte Carlo Method Lijuan Zhao, Mingyang Mao, Kun Sun, Qiang Liu and Jin Qin

　　摘要 高转速涡轮分子泵（TMPs）的性能瓶颈在于，尽管转速显著提高，但泵送速度并未明显增加。这一现象可归因于传统直叶片结构（TSBS）与高转速之间的不匹配。因此，基于分子气体动力学理论，建立了一个包含扭曲定子叶片排（TSBRs）的气体分子传输模型。利用蒙特卡洛（MC）方法，开发并验证了一个仿真计算程序。以实验室中可获得的TMP前四级叶片的结构参数为例，研究了TSBRs在TMP中的必要性。研究结果表明，增加气体分子与下表面碰撞的概率有助于提高泵送速度。撞击定子叶片排的气体分子分布不再均匀，呈现出中部稀疏、边缘密集的趋势。采用TSBRs的四级组合叶片排的最大泵送速度系数和最大压缩比分别提高了71.86%和15.14%。我们的研究结果证实了引入TSBRs的必要性，并为TMP的结构优化提供了方向和理论指导。

1. 引言
涡轮分子泵（TMP）是一种由带槽盘或倾斜叶片形状的转子及相应的定子组成的分子泵。转子的高速旋转使得圆周速度与气体分子速度相当；碰撞后，气体分子获得动量并被输送到出口[1]。作为实现高真空和超高真空环境的关键设备，TMP具备快速启动、宽广的泵送速度范围、抗大气冲击能力、无油污染、操作简便和维护方便等固有优势[2,3]。因此，它们广泛应用于高能物理加速器、半导体制造、可控热核反应装置、液晶注入、重粒子加速器、电子显微镜、氦质谱泄漏检测器以及真空涂层等领域[4,5,6]。此外，它们在现代工业生产中也发挥着重要作用。随着磁悬浮技术的快速发展，磁轴承已成功应用于TMP[7,8,9]，使涡轮转子的速度提高了近10倍[10]。此外，碰撞后气体分子在叶片根部与叶片尖端之间的速度差也更大，这对扭曲定子叶片排（TSBRs）的泵送性能有显著影响。然而，在传统直叶片结构（TSBS）中观察到一个异常现象：尽管转速提高了近10倍，但泵送速度并未显著提升。这一现象主要是由于TMP的传统结构和泵送模式与当前高转速不兼容所致。

TSBS由具有固定倾斜角和节距-弦比的平行平板叶片组成，其设计基于长期积累的实验数据，假设气体分子的平均热运动速度远大于叶片的移动速度[11]。然而，近年来随着涡轮转子转速的显著提高，TSBS存在以下缺点：（1）高转速导致叶片线速度接近甚至超过气体分子的平均热运动速度，而TSBS采用固定的倾斜角和节距-弦比参数。气体分子进入和穿过叶片排的行为差异显著，尤其是在主要泵送区域的叶片尖端，气体分子可能无法跟上叶片的移动速度。（2）在TSBS设计中，通常使用直径中部的结构参数作为代表性定量值；但在当前的超高转速下，叶片根部与叶片尖端之间的速度差很大，因此结构参数也会发生变化。目前，多数学者致力于改进TMP泵送性能的计算方法[12,13,14]，开发冷却技术[15]，并研究其对氦质谱泄漏检测器性能的影响[16,17]。虽然计算方法、方案设计和工程应用等方面取得了进展，但在涡轮叶片结构方面尚未取得突破性进展。许多学者还研究了磁轴承在TMP中的应用[18,19,20]、模态振动分析[21,22,23]以及转子轴的热力学分析[24,25,26]，因为与滚动轴承和润滑脂轴承相比，磁轴承具有无摩擦运行、无油润滑、使用寿命长、振动低和主动控制能力强的优势。王晓东教授团队[27]长期从事TMP研究，此前提出曲面叶片模型的泵送性能优于TSBS模型。这一发现为涡轮叶片的结构改进提供了方向，但仍停留在定性分析阶段，缺乏定量数据支持。Cascino等人[28]提出了用于复杂机械框架结构重新设计的多级拓扑优化技术，该技术可扩展用于进一步优化TSBS，并为后续工作提供基础。在轻量化设计和拓扑优化方面，Cascino的方法[29]以及3D视觉技术[30]可以为研究复杂的涡轮叶片结构优化问题提供另一种方法。在先前研究中[31,32,33,34]，作者提出了可变表面组合叶片排的结构模型。他们的研究表明扭曲转子叶片排的结构设置很重要，但至今尚未研究TSBRs的必要性。

蒙特卡洛（MC）方法是众多研究领域常用的研究方法[35]，高真空和超高真空领域也不例外。学者们经常使用MC方法来研究TMP的泵送过程和泵送机制。例如，Ivanov等人[36]考虑了转子与定子之间的间隙，并使用MC方法解决了复合TMP主要基本参数的确定性问题；Fomin等人[37]指出，在电子元件、原子能和航空航天工程领域，通常需要高真空和超高真空环境。基于分子气体动力学理论的基本假设，建立了MC仿真，并与单级涡轮叶片的实验结果进行了比较，获得了有望的结果。Safronov等人[38]也使用MC方法确定了涡轮分子泵各级的主要参数，但他们主要关注的是工作在过渡流区域的阻滞级盘式分子泵——这是直接应用MC方法的典型场景。因此，本研究也采用MC方法来研究TSBRs在TMP中的必要性。

为了解决TMP在高速运行条件下的缺点，即TSBS根部与尖端之间的切向速度差异显著，以及仅以叶片中部节距-弦比作为唯一定量设计参数的简化选择问题，我们提出了一种通过引入TSBRs来优化叶片结构的方法。基于分子气体动力学理论和MC方法，我们引入了定子叶片排沿半径方向的变化系数，并考虑了上下级叶片的反射效应，建立了转子和定子组合叶片排的气体分子传输模型。以对泵送速度影响较大的前四级组合叶片为例，研究了气体分子在涡轮叶片排中的迁移路径、气体分子在转子叶片排出口的密度分布以及不同转速下TSBR的变化趋势。此外，我们还证明了将TSBR纳入涡轮叶片排的必要性。我们的研究结果为开发高性能和高适应性的高转速TMP提供了理论基础和技术支持。

本研究的主要焦点是气体分子在涡轮分子泵中的传输概率，旨在解决与TSBS性能相关的瓶颈问题。在未来的工作中，我们将引入高性能机械部件动态应力分析，以确保TSBR在极端运行条件下的结构完整性[39]。

2. 理论模型
2.1. 基本假设
TMP主要在自由分子流动状态下工作[40]，此时气体分子遵循分子气体动力学理论。因此，本研究建立的理论模型和仿真计算基于以下基本假设[41]：
- 气体分子在第一级涡轮转子叶片排的入口位置呈均匀分布；
- 当气体分子注入TMP入口并离开固体表面时，不会发生表面扩散；
- 气体分子的飞行方向遵循余弦分布；
- 气体分子沿直线运动，忽略分子间的碰撞；
- 当气体分子离开固体表面时，飞行速度遵循麦克斯韦速度分布。

2.2. 几何模型
TMP由移动叶片排（转子排）和静止叶片排（定子排）组成。高速旋转的叶片排通过静止叶片排将气体分子从入口连续输送到出口。转子和定子的结构直接决定了TMP的泵送性能。为了追踪气体分子的轨迹并准确预测TMP的泵送性能，将转子叶片排和定子叶片排划分为八个几何边界：A1表示转子叶片排的入口，A2表示转子叶片排的上叶片，A3表示转子叶片排的下叶片，A4表示转子叶片排的齿根，A5表示转子叶片排处的泵腔，A6表示转子叶片排的出口，A7表示转子叶片排的上齿顶表面，A8表示转子叶片排的下齿顶表面。B1表示定子叶片排的入口，B2表示定子叶片排的上叶片，B3表示定子叶片排的下叶片，B4表示定子叶片排的齿根，B5表示定子叶片排处的泵腔，B6表示定子叶片排的出口，B7表示定子叶片排的上齿顶表面，B8表示定子叶片排的下齿顶表面（见图1和图2）。

2.3. 方法
基于上述基本假设和几何模型，使用基于测试粒子的蒙特卡洛（TPMC）方法开发了仿真计算程序，该方法已在先前研究中得到验证[31,32]。TPMC方法已广泛应用于分子气体动力学和涡轮分子泵的仿真分析[37,42,43]。基于这种方法以及已建立的真实涡轮分子泵的三维结构模型，我们的研究小组开发了一个仿真计算程序，并通过实验验证了该程序的可行性和准确性。为了研究涡轮分子泵中气体分子的运动轨迹，将单个涡轮叶片排的边界划分为八个部分，这与之前的仿真模型不同，但使用了相同的仿真计算方法。除了上述方法外，还采用了响应面方法来分析定子叶片排根部和尖端叶片角度对涡轮分子泵泵送性能的影响，旨在确定最佳的叶片结构参数。这种方法非常适合研究多个参数对目标函数值的影响[44,45,46]。

3. 基本理论和方程
最大泵送速度系数和最大压缩比是衡量涡轮分子泵（TMP）泵送性能的两个重要指标[42]，它们取决于正向传输概率和反向传输概率。在研究单级涡轮叶片排的泵送性能时，入口叶片排的有效泵送面积与出口叶片排的有效泵送面积相同，因此通常不考虑涡轮叶片排的有效泵送面积的影响[47]。然而，在计算多级组合叶片排的泵送性能时，由于第一级和最后一级叶片排的结构参数不同，有效泵送面积会有所不同。此时需要考虑入口和出口叶片排的有效泵送面积，以获得更准确的计算结果，如方程(1)和(2)所示：
(1) (2)
在计算正向传输概率时，气体分子在A1区域的位置是均匀分布的，速度遵循麦克斯韦速度分布。每个分子的初始位置和初始速度由随机数生成。在计算反向传输概率时，气体分子在B6区域随机生成，其余设置与A1区域相同。
当气体分子与固体边界碰撞时，采用扩散反射模型。从一个边界到另一个边界的最短飞行时间作为确定气体分子与固体边界碰撞位置的标准。根据与固体边界的碰撞位置坐标，记录到达每个边界的气体分子数量。
本研究的独特之处在于引入了定子叶片排沿半径方向的变异系数。该值与根圆半径、倾斜角以及涡轮叶片的尖圆半径和倾斜角有关，这些参数通过方程(3)求解。此外，定子叶片排沿半径方向的倾斜角可以通过方程(4)获得。
(3) (4)

4. 结果与讨论
在本研究中，选择了在国家重大科学仪器设备开发项目（2013YQ130429）下开发的F-63/55 TMP前四级的结构参数作为研究对象[48]，这些参数对泵送速度有显著影响，如表1所示。研究了气体分子在涡轮叶片排中的迁移路径、气体分子在转子叶片排出口的密度分布以及不同速度下TSBR（湍流边界密度比）的变化趋势。随后，我们证明了在涡轮叶片排中设置TSBR的必要性。尽管本节中呈现的仿真结果基于上述基本假设，但在模拟分子数量较多的情况下，这些假设对计算结果的影响可以几乎完全忽略。因此，以下文本不讨论假设对计算结果的影响。
表1. F-63/55 TMP前四级的结构参数。

4.1. 气体分子的迁移路径
涡轮分子泵在超高真空环境中工作。此时，气体分子的运动状态是自由分子流状态。研究其在涡轮叶片排中的飞行轨迹对于优化涡轮叶片排的结构具有重要意义。在本节中进行的仿真计算中，旋转速度设定为60,000转/分钟，模拟分子数量为1亿个气体分子。选定的气体分子类型是空气分子，气体分子质量为29，环境温度为25°C。以正向传输概率为例，统计分析了前四级组合叶片中气体分子的迁移规律。
基于1亿个模拟分子，表2显示了TMP入口处的气体分子分布。我们的研究发现，实际上有50,329,510个分子进入了涡轮叶片排的泵送区域，占50.33%。这种现象与涡轮叶片排的空间设计尺寸有关，因为更多的气体分子与中间盖（无叶片区域）碰撞后返回入口位置。
表2. TMP入口处的气体分子分布。
气体分子进入第一级转子叶片排后的飞行轨迹如表3所示。研究发现，来自A1区域的气体分子有37.11%、9.23%、9.89%、17.12%和26.65%的概率分别到达A2、A3、A4、A5和A6区域。其中，26.65%的分子直接通过涡轮叶片排到达出口位置而未与任何壁面碰撞。更多气体分子仍然到达涡轮叶片上表面的A2区域，占比为37.11%。
表3. 第一级转子叶片排中气体分子的迁移路径。
表4显示了气体分子在第二级定子叶片排中的飞行轨迹。表3中呈现的统计数据显示，到达第一级转子叶片排A6区域的气体分子可能到达第二级定子叶片排的B2、B3、B4、B5、B6和B7区域。到达第二级定子叶片排B1区域的分子数量等于第一级转子叶片排从A6区域返回的数量，因为第一级转子叶片排的A6区域与第二级定子叶片排的B1区域是交互表面。
表4. 第二级定子叶片排中气体分子的迁移路径。
表5和表6分别显示了气体分子在第三级转子叶片排和第四级定子叶片排中的飞行轨迹。结合第二级定子叶片排的计算数据，可以看出，在转子-定子-转子-定子叶片排的交互表面（见表4、表5和带颜色背景数据的表6），到达前一阶段叶片排出口的分子都到达了下一阶段叶片排的入口，这表明在仿真计算过程中没有气体分子损失。气体分子在到达固定壁面后会发生反射。反射后，它们不会重新进入同一表面，而是可能与其他表面发生相互作用。详细的飞行方向见表3、表4、表5和表6。
表5. 第三级转子叶片排中气体分子的迁移路径。
表6. 第四级定子叶片排中气体分子的迁移路径。
在涡轮组合叶片排中，无论转子叶片排还是定子叶片排的哪个阶段，都有更多分子到达出口是理想的。因此，如图3所示，展示了前四级涡轮叶片排中到达出口的气体分子比例。从图3可以看出，离开第三级转子叶片排下表面的A3区域的气体分子中有77.33%到达了涡轮叶片排的出口。作为第四级定子叶片排的最后一级，只有42.39%的气体分子从下表面B3到达涡轮叶片排的出口。从这个现象可以得出两个结论：首先，增加气体分子与下表面碰撞的概率有利于气体分子的传输，这也为涡轮叶片的结构优化提供了指导，以确保更多气体分子与下表面碰撞；其次，转子叶片排的最后一级似乎更有利于涡轮组合叶片排的传输。基于这一发现，在未来的研究中，我们将比较和分析是否将涡轮组合叶片排的最后一级纳入转子叶片排或定子叶片排。
图3. 前四级涡轮叶片排中到达出口的气体分子比例。
表2、表3、表4、表5和表6的原始数据集来源于补充材料中的文件夹4.1。

4.2. 气体分子的密度分布
在涡轮组合叶片排中，照射到第一级叶片排的气体分子通常假设为均匀分布，而照射到中间级叶片排的气体分子密度由前一阶段叶片排决定。因此，本节以四级组合叶片排为例，研究了正向传输和反向传输时第一级和第三级转子叶片排出口处的气体分子密度分布，如图4所示。
图4. 转子叶片排出口处的气体分子密度分布。
在TMP的额定速度下，分别计算了四级组合叶片排的正向传输概率和反向传输概率。然后分别计算了第一级和第三级转子叶片出口处的气体分子密度分布。从图4可以看出，第一级转子叶片排出口处分子密度的均匀分布位置位于0.861，而第三级转子叶片排出口处分子密度的均匀分布位置位于0.908，这表明照射到定子叶片排的气体分子不再均匀分布，呈现出中间稀疏、边缘密集的趋势。为了提高泵送速度，希望更多气体分子在与定子碰撞后到达涡轮叶片排的出口。这种情况需要以扭曲叶片的形式引入TSBS（湍流边界密度比），以适应中间稀疏边缘密度的分布特性。在4.3节中将详细分析TSBR的变化趋势。
图4中的原始数据集来源于补充材料中的文件夹4.2。

4.3. 扭曲定子叶片排的变化趋势
上述计算模型与定子叶片排的半径、根部位置的叶片倾斜角以及尖端位置的叶片倾斜角有关。基于这些参数，编写了一个仿真计算程序来计算不同根部和尖端角度下的正向传输概率和反向传输概率。为了研究TSBR的变化趋势，我们使用响应面方法优化了第二级和第四级定子叶片排的叶片倾斜角。相应的因素和水平见表7，其值根据表1中的数据确定。表7. 第二级和第四级定子叶片排的参数及其水平。X1代表第二级定子叶片排的齿根角度，X2代表第二级定子叶片排的齿尖角度；Y1代表第四级定子叶片排的齿根角度，Y2代表第四级定子叶片排的齿尖角度。29组组合数据的模拟结果显示在表8中。最大泵送速度系数是最优目标值，它代表了TMP的泵送性能。表8. TSBRs的计算结果与分析。为了获得表8中展示的最佳模拟结果，使用了Design Expert V8.0.6软件对数据进行了拟合，以获得回归方程（见方程式（5）：（5）通过对方程式（5）进行逐步回归，确定了第二级和第四级定子叶片的最佳扭曲叶片结构参数。其中，第二级叶片齿根位置的叶片倾斜角为30°，齿尖位置的叶片倾斜角为40°；第四级定子叶片的齿根位置的叶片倾斜角也为40°，齿尖位置的叶片倾斜角为30°；因此，预测的涡轮组合叶片排的最大泵送速度系数为0.37418。根据之前文章中详细介绍的模拟计算程序，最大泵送速度系数的模拟值为0.379，与回归方程的预测值相比偏差仅为1.2%，这证实了回归方程和模拟计算算法的准确性。从获得的最优结构参数来看，不同阶段的定子叶片排所需的叶片倾斜角变化是不同的。

为了验证在涡轮组合叶片排中设置TSBR的必要性，以TSBS和TSBR为例，在不同转速下计算了四级涡轮组合叶片排的泵送速度和压缩比，如图5和图6所示。从这些图中可以明显看出，无论使用TSBS还是TSBR，最大泵送速度系数和最大压缩比随叶片速度比的变化趋势是相同的，即先增加然后趋于稳定。从图5的结果可以看出，在60,000转/分钟的额定转速下，采用TSBS的涡轮叶片排的最大泵送速度系数和最大压缩比分别为0.295和32.784。此外，从图6可以看出，在60,000转/分钟的额定转速下，采用TSBR的涡轮叶片排的最大泵送速度系数和最大压缩比分别为0.507和37.749。对比两者可以看出，采用TSBR的四级组合叶片排的最大泵送速度系数和最大压缩比分别增加了71.86%和15.14%。因此，可以得出结论，使用TSBR对于提高泵送速度至关重要，有必要将TSBR纳入涡轮组合叶片排中。

图5. 在TSBR条件下，涡轮叶片排的泵送性能随叶片速度比的变化。
图6. 在TSBR条件下，涡轮叶片排的泵送性能随叶片速度比的变化。
图5和图6中的原始数据集来源于补充材料中的文件夹4.3。

5. 结论
传统的直叶片结构（TSBS）在TMPs中存在一个瓶颈问题：即“转速增加了近10倍，但泵送速度并未显著提升”。从根本层面来看，叶片结构限制了泵送速度的增加。因此，基于分子气体动力学的基本理论，我们建立了多级涡轮组合叶片排的泵送模型，并编制了带有扭曲定子叶片排（TSBRs）的模拟计算程序。该程序已在之前的研究中得到了验证。然而，该程序中使用的TMPC方法存在某些局限性，例如假设了透平分子泵入口处的气体分子分布均匀。此外，实际上气体分子可能会出现非均匀分布；然而，在模拟大量气体分子时，这种非均匀分布的可能性几乎可以忽略不计。以实验室中一台TMP的前四级结构参数为例，研究了将扭曲定子叶片排纳入涡轮组合叶片排的必要性，并得出了以下结论：
- 到达涡轮叶片排出口的气体分子全部能够进入相邻涡轮叶片排的入口，在模拟计算过程中没有粒子损失。
- 增加气体分子与叶片下表面碰撞的概率有利于涡轮叶片排的传输，从而提高TMP的泵送速度。
- 在涡轮组合叶片排中，转子叶片排的最后一级似乎更有利于整个叶片排的传输。
- 落在定子叶片排上的气体分子不再均匀分布，呈现出中间稀疏而边缘密集的趋势。
- 采用TSBR的四级组合叶片排的最大泵送速度系数和最大压缩比分别增加了71.86%和15.14%。因此，有必要将TSBR纳入涡轮组合叶片中。
上述研究结果为TMPs的结构优化提供了方向和理论指导。未来的研究将包括对TSBRs的实验研究。目前正在进行TMPs的TSBRs的加工和制造工作，还需要更多时间才能进行实验测试。

补充材料
以下支持信息可下载地址：https://www.mdpi.com/article/10.3390/machines14050517/s1
第4.1节、第4.2节和第4.3节中提到的原始数据集均包含在补充材料中。对于第4.1节，表2、表3、表4、表5和表6的原始数据集来源于文件夹4.1；对于第4.2节，图4中的原始数据集来源于文件夹4.2；对于第4.3节，图5和图6中的原始数据集来源于文件夹4.3。