在编码OFDM水声通信中，FRFT和循环前缀细化技术用于粗略到精确的多普勒估计 作者：韦波（Bo Wei），轩世豪（Shihao Xuan），邢思宇（Siyu Xing），于彦婷（Yanting Yu）

《Applied Sciences》：FRFT and Cyclic Prefix Refinement for Coarse-to-Fine Doppler Estimation in Coded OFDM Underwater Acoustic Communications Bo Wei, Shihao Xuan, Siyu Xing and Yanting Yu

　　摘要
在水下声学（UWA）正交频分复用（OFDM）系统中，子载波之间的正交性极易受到多普勒效应的影响而发生缩放，从而导致严重的载波间干扰（ICI）。本文提出了一种适用于水下声学信道中的编码正交频分复用（OFDM）系统的粗略到精确的多普勒估计方法。该方法首先利用分数傅里叶变换（FRFT）从线性调频（LFM）探针中获取初始多普勒因子估计，利用啁啾信号在分数域中的能量集中特性。这一粗略估计值随后指导细化阶段，该阶段利用每个OFDM符号固有的循环前缀（CP），实现逐符号的多普勒跟踪，而无需等待整个数据包的到来。因此，与全数据包重采样或迭代梯度下降方法相比，该方法所需的内存和处理延迟大幅降低。在时不变和时变多普勒条件下进行的数值仿真表明，当信噪比（SNR）达到5 dB及以上时，所提出的方案的均方误差（MSE）可低于0.5%。此外，在信噪比为10^-3时，比特错误率（BER）与理想无多普勒系统相差不超过0.2 dB。低存储需求、符号级操作以及稳健的性能使得该方法非常适合实时水下声学通信。

1. 引言
水下声学（UWA）信道对高速通信造成了严峻挑战，主要原因是多径传播和多普勒扩展。多径传播导致符号间干扰（ISI），因为传输信号的延迟副本与后续符号重叠；而多普勒扩展会使信号波形在时间上拉伸或压缩。这两种效应都会显著降低信号完整性，并增加可靠数据恢复的难度。正交频分复用（OFDM）是一种广泛采用的多载波技术，它利用子载波的正交性，但特别容易受到多普勒引起的频率偏移的影响。这些频率偏移违反了正交性条件，引入了载波间干扰（ICI），从而可能严重损害系统性能，尤其是在移动的水下环境中[1,2,3]。因此，准确高效地估计多普勒频率偏移是实现水下声学通信（UAC）中稳健OFDM接收的前提。过去十年中，已经提出了多种估计技术来解决这个问题，每种技术在准确性、延迟和计算成本方面都有不同的权衡[4,5,6,7,8]。
在[9]中提出了一种使用双曲调频（HFM）信号的实时多普勒估计方法。在这种方法中，两个具有相反扫描方向? HFM 信号被放置在发射端的 数据帧之前，而在接收端使用两个相应的匹配滤波器来估计多普勒因子。尽管估计精度与帧长度无关，但在时变多径环境下精度会显著下降。为了解决这个问题，在[10]中引入了一种相关峰值匹配方案，以改善时变多径条件下的估计性能。这种方法要求两个 HFM 信号具有相同的自相关特性，但这会增加计算复杂度。在[11]中，设计了一种基于叠加线性调频（LFM）的前导信号，并提出了一种利用多普勒因子与匹配滤波器峰值移动之间关系的多普勒因子估计算法。通过仿真和海上试验验证了所设计的前导信号和提出的多普勒估计算法的有效性。数值结果表明，所提出的算法能够实现准确的估计性能。
可以通过最大化接收到的循环前缀（CP）与OFDM符号之间的自相关来估计多普勒缩放因子。然而，这种方法的精度本质上受到采样率的限制。更高的精度需要更高的采样率，而这又会增加计算复杂性。为了解决这个问题，在[12]中提出了一种基于预期自相关函数分析近似的插值估计算法。仿真和实验解码结果验证了所提出方法的有效性和优越性。研究表明，虽然过采样因子为2时可以获得显著的性能提升，但超过2的进一步增加仅带来微小的改进。在[13]中，提出了一种基于最小二乘（LS）的多普勒估计方法，该方法利用已知的发送前导信号与接收信号之间的误差来进行估计。这种方法需要先进行信道均衡，并依赖于迭代解决方案，这限制了其在UWA通信系统中的实用性。
在[14]中，提出了一种基于BER的多普勒估计方法，以减轻多普勒估计与OFDM解调之间的不匹配。通过数值仿真和实验结果验证了其在不利信道中的有效性。然而，作为一种直接搜索算法，该方法需要在多普勒网格中搜索以找到最佳BER，因此需要大量的搜索步骤，导致计算复杂度很高。在[15]中，提出了一种基于BER的梯度下降算法，用于迭代估计多普勒频率，从而大幅减少搜索时间。具体来说，多普勒估计沿着BER成本函数的负梯度方向更新，以收敛到最小化BER的多普勒值。为了提高收敛性和稳健性，该算法用平滑版本的梯度替换了瞬时梯度，并采用可变步长来加速收敛、降低复杂度并避免局部最优解。这种方法的性能可能对初始参数选择和超参数设置敏感；次优配置可能会影响其稳健性，并导致实际迭代次数增加。
在[16]中，提出了一种用于水下声学应用中的新型声频梳（AFC）宽带信号进行多普勒因子估计。通过利用信号的带宽，可以从单次测量中提取多个频谱分量的频率偏移，从而实现并行多普勒估计，然后对这些估计值进行平均以提高精度。然而，频率选择性衰落和多径干扰可能会降低单个AFC分量的接收质量，从而影响估计的准确性和稳健性。
现有系统中的常见做法是将两个线性调频（LFM）探针嵌入相邻的OFDM帧中。然后通过测量接收到的探针之间采样点数量的变化来推导多普勒因子[17,18,19]。虽然这种操作简单且易于实现，但它有一个主要缺点：必须先缓冲整个传入的数据包才能开始处理，从而导致大量的内存开销。总之，现有的水下声学OFDM系统的多普勒估计方法通常存在计算复杂性高、依赖全数据包接收或在时变多普勒条件下跟踪能力有限的问题。为了解决这些限制，本文提出了一种分层优化方案，结合了基于FRFT的初始估计和基于CP的精细跟踪，实现了逐符号的多普勒补偿，同时减少了存储和硬件需求。
本文提出了一种适用于编码OFDM水下声学通信系统的粗略到精确的多普勒估计策略。该方法分为两个相互关联的阶段，共同实现效率和准确性。在第一阶段，将分数傅里叶变换（FRFT）应用于LFM探针，以提取啁啾率变化，从而得到一个粗略的多普勒因子估计。这一阶段的关键优势在于它只处理探针信号，而不是整个数据包，从而大大降低了存储需求和硬件资源消耗。在第二阶段，利用每个OFDM符号固有的循环前缀（CP）来细化粗略估计值。由于CP相关是逐符号进行的，因此该方案可以实时跟踪多普勒因子的变化，而不仅仅将整个帧视为具有单一的多普勒值。这种粗略到精确的架构使得该方法特别适合实时水下声学通信，在这种通信中低延迟和有限的内存是关键约束。
本文的主要贡献如下：(1) 提出了结合FRFT基于的初始估计和CP基于的精细化的分层多普勒估计方案。(2) 实现了逐符号的多普勒跟踪，而无需等待整个数据包，从而减少了存储和硬件资源。(3) 在恒定和时变多普勒条件下验证了所提出方法的性能，其性能可与无多普勒系统相媲美。
本文的其余部分组织如下。第2节介绍了所提出的粗略到精确的多普勒估计策略。第3节描述了仿真环境，并对数值结果进行了详细讨论。第4节总结了结论。

2. 粗略到精确的多普勒估计框架
所提出的方案包括两个步骤：首先，将FRFT应用于LFM信号以估计啁啾率的变化，从而得到初始多普勒估计。第二步利用循环前缀相关性来细化多普勒因子估计，实现逐符号的多普勒变化跟踪。这种两步设计的优势在于它不需要接收整个数据包，从而减少了存储和硬件需求，增强了其实时实施的适用性。图1展示了该方案采用的帧结构。

2.1. 通过FRFT进行粗略多普勒估计
在声纳通信系统中，LFM信号通常用作同步探针。其数学表示如下方程：
(1)
其中表示中心频率，表示啁啾率，带宽为，表示持续时间为的矩形脉冲。瞬时频率遵循线性演化：
(2)
当信号通过移动信道传播时，接收到的瞬时频率会通过多普勒因子进行缩放：
(3)
其中表示接收信号与发送信号的频率比。多普勒因子可以定义为，其中为相对速度，C为水声速。
FRFT对于LFM信号具有众所周知的能量集中特性。存在一个最佳FRFT阶数，可以集中啁啾信号的能量[20]。通过搜索一组特定的阶数，可以获得产生最大能量的最佳阶数。
在0.001的分辨率范围内搜索最佳FRFT阶数，对应的啁啾率估计精度为0.1%。当连续阶数之间的能量差异低于某个阈值时，搜索过程终止，确保收敛。
找到之后，获得的估计啁啾率为：
(4)
其中为发送LFM信号的真正啁啾率。由于水下环境中的相对速度通常较低，满足。因此，初始多普勒因子估计可以近似为：
(5)
可以估计为：
(6)
与传统的基于匹配滤波器的方法不同，基于FRFT的估计在低SNR条件下具有更高的分辨率和更大的稳健性，这得益于其在分数傅里叶域中集中啁啾能量的能力。这一特性使其特别适合为后续细化提供准确的初始多普勒估计。

2.2. 通过循环前缀相关性进行逐符号细化
在通过FRFT阶段获得粗略多普勒因子估计和初始估计之后，所提出方案的第二部分利用每个OFDM符号固有的CP来细化这个值。这种细化是逐符号进行的，从而能够连续跟踪接收帧中的多普勒变化。
设表示接收到的基带信号。其自相关可以定义为：
(7)
幅度在和时达到最大值：
(8)
其中为发射端的采样间隔，为接收端的采样间隔，表示一个OFDM符号的采样点数。
假设，那么，除了之外，和应该具有最大幅度。因此，可以通过以下步骤获得精细估计：
(1) 用前一步的粗略估计开始：
(9)
(2) 定义一个以为中心的搜索邻域，半径为：
(10)
其中为控制搜索分辨率的步长。
(3) 对于每个候选值，计算自相关幅度；选择最大化该值的候选值作为精细估计。
最后，通过(11)获得精细估计：
(11)
其中为产生最大相关幅度的滞后。
在第二步中，自相关计算主导了计算复杂性。以搜索半径和OFDM符号长度为样本，复杂度为，这显著低于需要多次遍历整个帧的全数据包重采样或迭代梯度下降方法。所提出方案的框架如图2所示。提出的算法的伪代码如下（算法1）。

算法1：分层多普勒估计
输入：接收到的LFM信号、OFDM符号、搜索范围
输出：估计的频率比

1. 计算LFM信号在不同候选阶数上的FRFT，分辨率为0.001。
2. 找到使能量集中最大的最优阶数。
3. 使用方程（5）估计初始频率比。
4. 对于每个OFDM符号执行以下操作：
5. 定义搜索集合。
6. 计算每个信号的自相关性。
7. 选择相关性幅度最大的信号。
8. 循环步骤4。
9. 返回结果。

2.3. 理论性能分析
为了补充数值评估，我们提出了对所提出的分层估计器的简洁理论分析，并将其与Cramer–Rao下界（CRLB）进行了对比。

**粗略FRFT估计器的CRLB**
在多普勒失真信道中接收到的LFM脉冲可以表示为（12），其中表示加性高斯白噪声，其功率谱密度为。在中等信噪比（SNR）假设下，参数的CRLB（以及相应的）由（13）给出。该表达式强调了时间-带宽产品的强烈依赖性以及积分时间的影响。

**粗略到精细方案的共同CRLB**
用表示循环前缀中的样本数量，用表示采样频率，因此循环前缀的持续时间为。基于循环前缀的多普勒估计器通过定位循环自相关的峰值来工作。其CRLB可以推导为（14）。值得注意的是，这个界限仅依赖于和SNR，一旦循环前缀长度固定在样本数上，就与采样率无关。由于LFM同步脉冲和OFDM符号的循环前缀在时间上是分离的，它们的观测结果是统计独立的。因此，Fisher信息增加了，两级估计器的共同CRLB是它们的调和平均值（15）。代入典型参数（如）后发现，在相同的SNR下，比小两个数量级以上。因此，共同界限本质上由循环前缀阶段决定。

3. 数值性能结果和讨论
在本节中，进行数值模拟以评估所提出的分层优化方案的可行性和性能。主要内容分为三个部分：主要模拟环境、平均平方误差（MSE）以及所提方案的比特错误率（BER）性能。

3.1. 模拟参数
模拟中使用的多径信道是用Bellhop生成的，发射机和接收机分别位于40米和10米的深度。图3a显示了声速梯度，图3b显示了发射机和接收机之间相距2公里时的信道脉冲响应（CIR）。生成的仿射频率调制（AFM）多径声学信道的均方根（RMS）延迟扩散为6.5毫秒，相干带宽为154.87赫兹。编码后的UWA OFDM系统的模拟参数见表1。信道编码方法的编码速率为1/2，低密度奇偶校验（LDPC）码的奇偶校验矩阵的大小分别为和。为了使比较更合理，Turbo编码中的交错器长度分别设置为1536和2304，对应于两个奇偶校验矩阵。卷积码的编码块长度分别为768和1152，以确保编码数据长度与其他两种编码方法相同。所有BER结果都是基于独立蒙特卡洛运行的平均值。选择时域重采样和频域重采样作为比较方法。UWA OFDM系统的参数列在表1中。参数选择在频谱效率、对多径的鲁棒性和硬件约束之间取得了平衡。

3.2. 平均平方误差性能
FRFT的最优阶数能够实现啁啾信号的能量集中。然而，聚焦性能会随着信号长度的变化而变化，这直接影响最优阶数的估计，从而导致多普勒因子的估计。图4a展示了仅从FRFT阶段获得的多普勒因子估计的MSE，评估了三种不同的LFM长度。
从经典估计理论的角度来看，基于FRFT的初始估计器的方差预计至少会随着LFM长度的增加而衰减，其中确切的衰减速率取决于信噪比（SNR）和FRFT阶数的搜索分辨率。同时，基于循环前缀的细化过程通过对样本进行平均，预计会以与成比例的速率减少估计方差。因此，结合分层估计器既受益于粗略到精细的结构，也受益于较长观测长度和内置冗余所带来的固有方差减少。

3.3. 两步方案的BER性能
通过所提出的粗略到精细方案获得精细多普勒因子后，使用两种最先进的重采样技术进行多普勒补偿：一种在时域操作，另一种在频域操作。图5比较了它们的性能。频域方法由于其避免了抗混叠滤波器的需求而略具优势。因此，在后续模拟中采用了基于频域的重采样多普勒补偿方案。

图5. 时域和频域重采样方法的性能比较，编码块长度分别为768（a）和1152（b）。使用三种编码方法（卷积码、Turbo码和低密度奇偶校验码）的UAC OFDM系统来评估两步方案的BER性能。数值模拟是在恒定多普勒和符号率时变多普勒条件下进行的。

3.3.1. 恒定多普勒
使用三种编码方法的编码后的水下声学OFDM系统通过图3b中显示的多径信道。图6展示了所提出的两步方案与无多普勒信道之间的BER性能比较。图6a,b显示了通过具有多普勒因子的多径信道的三种编码方法（编码块长度分别为768和1152）的BER性能比较。图6c,d显示了通过相同多径信道的同一编码OFDM系统在不同多普勒因子下的BER性能。
图6显示了在恒定多普勒因子下，编码OFDM系统的BER性能，编码块长度分别为768和1152。在所有子图中，所提出的两步方法产生的BER曲线与理想的无多普勒参考曲线非常接近。对于卷积码（图6a,c），在BER = 10^-3时，两种块长度和多普勒值下的SNR差距都在分贝的很小范围内，表明粗略到精细估计完全补偿了恒定多普勒效应。

Turbo编码系统的差距同样可以忽略不计，其错误底限不受多普勒补偿的影响。LDPC编码系统以其明显的瀑布特性而闻名，在整个SNR范围内，所提方案的曲线与无多普勒曲线完全重叠。对特定多普勒值（与）的不敏感性表明，基于FRFT的粗略步骤提供了可靠的初始估计，经过CP细化后，其准确性足以恢复子载波的正交性，而不受测试范围内频率偏移幅度的影响。总体而言，这些结果证实了所提方案与各种信道编码策略和块大小兼容，并且基本上消除了恒定多普勒信道中由多普勒引起的干扰串扰（ICI）惩罚。

这四个图中的数值结果表明，所提方案的BER性能要么与无多普勒系统相同，要么略差。这表明，在完成两个估计步骤后，所提出的方法能够准确估计多普勒因子。其性能与无多普勒方法保持一致，无论使用的是哪种编码方案或多普勒因子。通过OFDM符号数表示的符号速率时变多普勒因子，以及不同编码方案下BER的变化。(a,b)：使用卷积码时，通过OFDM符号数表示的BER变化。(c,d)：使用Turbo码时，通过OFDM符号数表示的BER变化。(e,f)：使用LDPC码时，通过OFDM符号数表示的BER变化。可以看出，在所有这些图中都有三条曲线；点划线曲线表示一步骤方案的结果，该方案仅使用啁啾探针信号的FRFT来估计多普勒因子。代表两步骤方案的曲线是实线，而无多普勒干扰的情况用虚线表示。可以看出，一步骤方案无法跟踪OFDM符号间的多普勒因子变化；它将一个帧内的所有符号视为具有相同的多普勒因子，导致每个符号的BER严重受到多普勒因子变化的影响。然而，所提出的两步骤方案可以通过基于每个符号的循环前缀相关性来区分这两种情况；其BER接近无多普勒干扰的情况。图8显示了三种不同信道编码方法的总BER比较。它还表明，两步骤方案的性能大致与无多普勒干扰的OFDM系统相当，无论使用哪种编码方法。图8. 使用编码块长度分别为768（a）和1152（b）时，一步骤方案、两步骤方案和无多普勒干扰系统之间的BER比较。与基于重采样或BER梯度多普勒估计的完整包方法不同，所提出的方案逐符号地进行操作。它只需要当前的OFDM符号及其循环前缀来更新多普勒估计，从而实现真正的实时处理，而无需存储整个帧。这一特性使其特别适合于硬件资源有限的水下声学调制解调器，因为在这些设备中，低延迟和减少内存占用至关重要。3.4. 鲁棒性裕度分析从图4a可以看出，当信噪比(SNR)低于5 dB时，基于FRFT的初始估计器的均方误差(MSE)显著增加，这表明了在低信噪比条件下载参数估计的典型阈值效应。所提出的两步骤方案通过基于循环前缀(CP)的细化来减轻这种效应，使得即使在SNR = 0 dB的情况下也能进行稳定的多普勒估计，如图6中的BER性能所证明的那样。具体来说，在SNR = 0 dB时，与高信噪比情况相比，BER的下降大约为1 dB，我们认为这是可以接受的，足以确保系统的鲁棒运行。关于SNR阈值和偏差-方差权衡的更严格理论分析留待未来的工作。4. 结论本文介绍了一种用于编码OFDM水下声学通信系统的粗到细的多普勒估计策略。在提出的方法中，首先对LFM同步探针应用分数傅里叶变换(FRFT)来提取啁啾率变化，从而得到一个初始的多普勒因子估计。然后利用循环前缀(CP)相关性逐符号地对这个粗估计进行细化，从而无需缓冲整个接收到的数据包就能持续跟踪时变的多普勒偏移。当多普勒变化时，该方法还可以跟踪通过符号变化的多普勒效应。所提出的两阶段方案首先对LFM探针应用分数傅里叶变换以获得粗略的多普勒估计，然后利用循环前缀相关性逐符号地进行细化。在时不变和时变多普勒信道下的广泛仿真表明，所提出的方法可以有效补偿由多普勒引起的干扰信道干扰(ICI)，实现接近理想无多普勒干扰参考情况的通信可靠性，同时显著降低内存需求和处理延迟。符号级的跟踪能力也使得该方法非常适合在硬件资源有限的水下声学调制解调器中进行实时操作。与现有的完整包重采样或迭代梯度下降方法相比，所提出的框架在精度上相当或更优，同时显著减少了存储需求和计算复杂度。重要的是，因为该方法逐符号地进行操作，且不需要接收完整的数据包，因此特别适合在硬件资源有限的水下声学调制解调器中进行实时实现。作为未来工作的一部分，我们计划将所提出的方法扩展到多输入多输出(MIMO) OFDM系统，并通过实际的水下环境中的现场试验来验证其性能。此外，我们还打算探索机器学习技术，以进一步降低FRFT阶数搜索过程的计算成本。