量子GHZ多路复用器：用于1→2n量子网络的分层量子传送技术 Luis Adrián Lizama-Pérez

《Entropy》：Quantum GHZ Multiplexer: Hierarchical Teleportation for 1→2n Quantum Networks Luis Adrián Lizama-Pérez

　　摘要 我们介绍了一种量子多路复用器（GHZ MUX）架构，该架构能够利用仅在二叉树中排列的局部三方格林伯格-霍恩-蔡林格（GHZ）态，实现从一个单一发送者到2^n个接收者中的一个接收者的确定性量子比特路由。在该架构的每一层中，通过贝尔基测量和经典前馈将编码的量子信息沿选定的分支传输，同时保持适当的泡利校正框架。与依赖全局纠缠的多方态的量子路由架构不同，所提出的设计将小的GHZ簇组合成一个模块化传输层次结构，该结构仅需要局部纠缠生成和保持相干性。这种结构在保持确定性路由控制的同时，实现了输入-输出的完全连接性，适用于近期的小规模量子网络。除了路由功能外，我们还展示了相同的GHZ树结构自然支持隐藏目的地通信。我们将这种扩展形式化为隐藏秘密GHZ树路由（HS-GTR）协议，在该协议中，最终接收者对外部观察者来说是未知的，而且传输的量子态可以选择性地通过量子一次性密码本进行保护。这种构造表明，层次化的GHZ路由不仅可以作为量子开关架构，还可以作为分布式量子网络中保护隐私的通信和多接收者密钥建立的构建块。

1. 引言
量子传输是量子信息科学中的一个核心过程，它通过预先共享的纠缠和经典通信，实现了任意量子态在远距离节点之间的忠实传输[1]。该协议最初由贝内特等人提出，并已在包括光子系统[2]、囚禁离子[3]和超导量子比特[4,5]在内的多个物理平台上得到实验验证。最近，量子传输已经在混合量子系统和城域规模的光纤网络[6,7]中得到实现，为量子通信奠定了操作基础，并为量子互联网的发展铺平了道路。
在开创性的理论贡献中，西拉克等人[8]引入了纠缠交换的概念，这是一种通过中间节点共享贝尔对来扩展量子传输范围的方法。后续研究通过为多用户量子网络优化了高效的纠缠交换协议[9]。基于这些发展，潘特等人[10]提出了量子路由器，该协议能够使用多方GHZ态将量子信息分发到多个接收者。这一想法显著扩展了量子网络拓扑的设计空间，实现了动态路由和并行纠缠分发，并得到了多方路由算法和GHZ态生成方面的最新进展[11,12,13]的支持。
最近的进展进一步强调了多方纠缠作为近期量子网络资源的重要性。例如，最近研究了在网络环境中一般图态纠缠的优化分发（参见范等人的2024年研究[14]），其中研究了在异构基础设施上生成和路由复杂纠缠拓扑的问题。也提出了依赖于局部相干纠缠簇的模块化网络架构，作为量子通信基础设施的可扩展蓝图（例如，森等人的2023年研究[15]）。这些发展共同支持了这样的观点：基于GHZ和图态的策略可能是近期完全相干的全局路由器模型的实用替代方案。
在这个框架内，所提出的GHZ MUX通过利用层次化的局部三方GHZ态结构，实现了从单一发射器到多个接收者的量子态的确定性传输。这种排列形成了一个纠缠的二叉树，每一层都通过贝尔基测量和经典通信进行传输步骤。该设备实现了完全的连通性——任何输入都可以到达任何输出——同时保持了局部的纠缠簇，使其在功能上类似于经典多路复用器开关，但使用了量子资源来实现。

2. GHZ MUX的基本操作模式
GHZ MUX通过使用层次化的局部三方GHZ态，将量子态从发射器（Alice）传输到可能的接收者（Bob或Charlie）中的一个。每个GHZ态作为量子通信通道，连接发射器、中间节点或接收器。因此，网络可以被可视化为一个二叉纠缠树，其中每个节点执行贝尔基测量，将量子信息向下传输直到到达指定的输出节点。这一过程结合了量子传输和经典路由控制，实现了输入和输出之间的确定性映射。其基本机制最好通过首先分析最简单的配置来理解，然后是其递归泛化。

2.1 基本情况：从1到2的MUX
考虑GHZ MUX的基本配置，其中Alice（A）打算将一个任意的量子比特传输到两个接收者中的一个：Bob（B）或Charlie（C）。这种最简单的GHZ MUX配置在图1中示意性地展示。Alice持有处于未知状态的量子比特以及另一个量子比特，后者是一个共享的三方GHZ态的一部分：其中属于Bob，另一个属于Charlie。根据Alice测量后发送的经典控制信号，目标是将量子比特传输到Bob或Charlie。
图1. GHZ MUX的示意图（基本情况）。
发射器（Alice）使用一个三方GHZ态将一个任意的量子比特传输到两个接收者中的一个（Bob或Charlie）。
初始组合系统为：
Alice对她的两个量子比特进行贝尔基测量，定义如下：
(1)
(2)
展开并将结果转换为贝尔基表示后，我们得到：
(3)
每个贝尔测量结果出现的概率相等。假设Alice的贝尔基测量结果为。
那么Bob和Charlie的条件状态变为
更一般地，四个可能的贝尔测量结果产生条件状态：
(4)
(5)
(6)
(7)
这些测量后的状态通常是幅度为和的双方纠缠态。因此，Alice执行的贝尔基测量不应该被解释为立即将量子比特定位在Bob或Charlie处。相反，它构成了GHZ MUX的基本路由步骤：量子信息以由Alice的贝尔测量结果确定的形式编码在Bob-Charlie分支中。
在这个阶段，量子信息还没有在单个节点上定位，而是分布在Bob-Charlie子系统中。选择特定的接收者需要一个额外的局部操作：不属于选定分支的量子比特在X基中进行测量。这个测量打破了双方纠缠，并将选定分支投影到状态上，直到Alice的贝尔测量结果和X基测量结果共同决定了泡利校正。然后，选定的接收者根据Alice的贝尔测量结果和X基测量结果应用相应的泡利校正，恢复原始状态。这种基于测量的定位完成了GHZ MUX中的基本路由操作。

关于选择测量基的选择：定位步骤可以使用不同的测量基在非选定分支上实现。特别是，在X基上的测量保留了协议的泡利框架描述，而在Y基上的测量也保留了传输的量子信息，但会在泡利群之外引入相位校正。为了清晰起见，表1总结了在最简单情况下不同测量基的效果。
表1. 基本情况下非选定分支上选择测量的效果。

2.2 从1到2的通用化
该方案通过将n个三方GHZ态互连成一个深度为n的二叉树，递归地扩展到多个接收者。每个内部节点代表一个中间量子中继，执行贝尔基测量，将编码的量子信息沿两个分支之一传输。对于（四个接收器），该结构的定义如下：- 将Alice（）与中间节点（）和（）连接起来。- 将（）与接收器（）和（）连接起来。- 将（）与接收器（）和（）连接起来。系统的初始状态是：路由过程通过一系列n次贝尔基测量逐步将编码的量子信息沿着二元GHZ树的一个分支传播。Alice进行测量，将量子信息注入与中间节点和相关的第一个GHZ分支中。属于所选子树的转发节点（无论是（）还是（）对其传入的量子比特和其本地的GHZ份额进行下一次贝尔基测量，从而将路由状态传播到树的下一层。这个过程递归地进行，直到到达与所选路径相关联的最终接收器节点。总共需要经典比特来传输沿路径产生的贝尔测量结果序列，以及来自非选择分支上的选择测量的额外经典信息，这些共同决定了有效的泡利框架。这些经典消息决定了与路由状态相关联的累积泡利框架。一旦状态到达最终接收器节点，就可以应用相应的泡利校正来恢复原始量子比特。对于具有k个同时发射器的网络，该方案在GHZ资源上的扩展是线性的，需要在所有输入-输出对之间保持完全连接性。因此，这种分层切换机制提供了一种基于仅限于局部纠缠操作和经典协调的确定性量子路由框架。

2.3. 通用形式表示
GHZ MUX可以通过将局部三方GHZ状态排列在深度为n的二叉树中来为任意数量的接收器进行形式化，从而创建一个MUX。系统的初始全局状态包括由Alice持有的输入量子比特以及分布在整个树的内部和终端节点上的一组GHZ三元组。形式上，初始状态可以写为（8），其中每个GHZ状态都具有某种形式。在树的第一层，Alice对（）对进行贝尔基测量，其中（）表示她所拥有的份额。让（）代表这次测量的结果，对应于四种泡利框架。在给定（）的条件下，编码在输入状态中的量子信息与测量结果相关的泡利框架信息一起被传输到第一个GHZ分支中。此时，量子信息仍然分布在相应的分支上，而不会局限于单个节点。通过在对非选定子树进行后续的X基局部测量来实现特定分支的有效激活。这一步去除了与被丢弃分支的残余纠缠，并更新了与活动分支相关联的有效泡利框架，结合了贝尔结果和选择测量结果。更一般地，在二叉树的第?层，属于活动分支的转发节点对其本地的GHZ份额和传入的量子比特进行贝尔基测量。用（）表示相应的测量结果，经过?层后的系统状态可以表示为（9），其中（）表示与第j次贝尔测量结果相关联的泡利算符，（）表示由前?次传输步骤选择的活动分支相关的有效逻辑量子比特。方程（9）中出现的泡利算符应被解释为一个有效算符，它不仅累积了来自贝尔基测量结果的贡献，还累积了在每一层对非选定分支进行的X基选择测量结果所带来的贡献。因此，整体泡利框架取决于贝尔结果序列和相应的选择测量结果。经过n层后，路由的量子信息在与选定路径相关联的接收器节点处局部化。然后局部分别校正累积的泡利框架，使接收器能够恢复原始状态。方程（9）应被解释为描述在第?次路由步骤后与活动分支相关联的有效泡利框架。此时，量子信息尚未严格局限在单个节点上，但仍分布在相应的分支上。只有在去除与非选定子树的残余纠缠的测量诱导选择步骤之后，才完成到单个量子比特的局部化。这种表示法强调了多路复用器通过一系列确定的贝尔基投影来操作，这些投影逐步将编码的量子信息沿着选定的二元纠缠树分支传播。该结构确保了完全的输入-输出连接性，同时只需要局部相干性，因为每个GHZ状态只参与一个路由决策。

3. 量子设备的比较
GHZ MUX与两种量子通信中的基础架构进行了比较：Cirac等人[8]引入的量子开关和Pant等人[10]提出的量子路由器。分析重点关注这些设备的路由行为、相干性要求以及资源利用，这些因素定义了它们之间的操作权衡。

3.1. 量子开关
Cirac等人[8]引入的量子开关的概念使用贝尔对作为基本的纠缠资源。例如，（）状态作为两个节点之间的通信通道。在 linear network 中，中间节点B 处的纠缠交换使得节点A和C能够间接纠缠。为了传输一个量子状态，协议的操作方式是…这种架构的特点是连接性受到网络拓扑的限制，需要为N个节点准备（）个贝尔状态，并且每次跳转需要两个经典比特。该系统以非阻塞方式运行，具有线性可扩展性，特别适合长距离量子通信，因为在这些情况下，局部纠缠交换足以扩展相干性。

3.2. 量子路由器
量子路由器通过利用多方GHZ纠缠来实现量子叠加中的路由[10]。一个代表性的资源是四量子比特的GHZ状态：（），其中每个量子比特可能对应于一个不同的网络节点。通过对选定的量子比特进行X基测量，在外围节点之间动态生成有效的贝尔对，建立基于测量结果的纠缠链接。这种设计允许多个路由路径共存并保持相干性，从而实现量子信息的同时分发到多个目的地。然而，这种能力要求在所有共享多方GHZ状态的节点之间保持全局相干性，随着系统规模的增加，这在实验上是一个巨大的挑战。因此，量子路由器实现了出色的可扩展性和灵活性，但代价是更高的相干性要求和更复杂的实验控制，这与它在未来量子互联网架构中的预期角色相符。

3.3. GHZ MUX
GHZ MUX利用在二元纠缠树中排列的局部三方GHZ资源，从一个发射器到可能的（）个接收器实现确定性量子路由。与其依赖于全局多方相干性不同，该架构将小的GHZ簇组合成一个分层结构，在该结构中，每个转发节点执行贝尔基测量，将编码的量子信息传播到选定分支的下一层。在这个模型中，经典通信既传递了贝尔测量结果的序列，也传递了X基选择测量的结果，共同定义了与路由状态相关联的累积泡利框架。经过n个路由阶段后，量子状态在与选定分支相关联的接收器处局部化，最后的泡利校正恢复了原始状态。尽管该方案是阻塞的且不如量子路由器可扩展，但它在抗退相干性和实验简单性方面具有明显优势，因为只需要生成和维护局部的GHZ状态。这些特性使得GHZ MUX特别适合近期网络实现中的确定性量子通信任务。

3.4. 路由行为的比较
这三种设备的路由特性在表2中进行了总结。GHZ MUX通过在贝尔基测量之后进行经典后选择来实现确定性路由，仅使用局部GHZ纠缠保持完全的连接性。相比之下，量子路由器允许路由的相干叠加，允许多个通信路径同时存在，但需要全局同步和相干性的维持。Cirac等人的量子开关仅依赖于预先建立的贝尔链接之间的纠缠交换，提供了低实验复杂性但有限的路由灵活性。总体而言，表2强调了这些架构之间的可扩展性、灵活性和实验可行性之间的内在权衡。

表2. 量子设备中的路由行为。GHZ MUX不实现相干路由叠加，因此不应被解释为完全意义上的量子路由器。相反，它实现了一种基于局部纠缠资源的测量驱动的确定性路由机制。

3.5. 资源比较
对资源需求的定量评估对于评估不同量子路由架构的可扩展性和实际可行性至关重要。本节比较了GHZ多路复用器和量子路由器在量子比特消耗、结构组织和相干性要求方面的差异，说明了每种方法如何优化量子网络设计的不同方面。对于接收器：GHZ MUX：每个接收器在三方GHZ状态的二叉树中遵循一条独特的路径；需要（）个量子比特，接收器选择是通过经典控制来执行的。量子路由器：信息在所有接收器中以叠加态编码；单个多方GHZ状态就足够了，通过测量控制量子比特来量子地确定路由。比较揭示了结构确定性与量子并行性之间的根本权衡。GHZ MUX构建了一个局部GHZ状态的分层结构，确保每个接收器都通过独立的传输路径到达。随着网络的扩展，这种架构需要更多的量子比特，但表现出强大的模块性和对退相干的鲁棒性，因为每个纠缠簇都是独立操作的。相反，量子路由器通过减少量子比特的数量并实现路由叠加来提高效率，允许将量子信息并行传输到多个目的地。然而，保持大型多方GHZ状态在整个分布式网络中的全局相干性仍然是一个重大的实验挑战，因为任何子系统的退相干或丢失都可能破坏整个路由过程。在实际应用中，GHZ MUX优先考虑确定性控制和局部稳定性，而牺牲了可扩展性；而量子路由器则优先考虑效率和量子并行性，但牺牲了相干的鲁棒性。这两种互补策略体现了量子网络工程中的两种不同范式：一种面向容错和局部相干的操作，另一种面向全局纠缠和高容量的通信。这种比较评估表明，GHZ MUX代表了一种介于局部和全局纠缠路由范式之间的中间架构。它的确定性控制和模块化设计可能使得使用现有的GHZ生成平台在近期实现量子路由成为可能，特别是在可以高效保持局部相干性的超导或光子系统中。这样的实现可以作为小规模网络中进行受控量子多路复用的实际测试平台，并为可扩展的量子互连协议的设计提供信息。

3.6. 保真度分析
对路由保真度的定量评估对于评估GHZ MUX的可扩展性和实际可行性至关重要。尽管该架构在逻辑层面上是确定性的，但跨n个层次级的传输链引入了来自（i）局部GHZ状态的生成和（ii）在二元纠缠树的每个层次上执行的不完美贝尔基测量的累积噪声。用（）表示局部生成的三方GHZ状态相对于理想状态的保真度，用（）表示转发节点执行的贝尔基测量的保真度。对于深度为n的树，所需的GHZ状态总数为（），而恰好n次贝尔基测量定义了传输量子比特通过选定分支所采取的路径。在标准假设下，即错误在各个层次上独立累积的情况下，端到端传输的保真度可以通过（10）来近似。这个乘法模型捕捉了GHZ介导的分层传输中的主要噪声贡献：由于纠缠结构的全局准备，GHZ不完美性随着网络规模的增加而指数级累积，而贝尔测量错误随着路由深度的增加而线性累积。这种行为与多跳传输和GHZ辅助路由架构中报告的保真度分析一致。该模型应被解释为基于独立错误贡献的一阶分析近似（参见参考文献[11,12,13]中关于基于多方GHZ的通信和路由架构的保真度分析）。这种指数依赖性突显了GHZ MUX架构在当前模型下的一个根本限制：虽然路由深度随n线性增长，但所需GHZ状态的数量随（）增长，导致不完美性的迅速累积。因此，这种架构最适合小型量子网络，尤其是在4到8个输出节点的范围内，此时端到端的保真度仍保持在实际可行的范围内。为了说明方程（10）的行为，我们考虑了最近在超导和光子GHZ生成实验中观察到的代表性值。表3总结了深度为的开关的端到端保真度。表3. 代表性的GHZ和Bell测量保真度的端到端量子隐形传态保真度。结果突显了一个关键的操作权衡：虽然GHZ MUX实现了确定的路由和完全的连通性，且只需要局域相干性要求，但其可扩展性最终受到GHZ状态缺陷指数级累积的限制。尽管如此，对于深度为的情况，观察到的保真度衰减仍在实验上相关的容差范围内，特别是对于短期的量子中继链、多方密钥分发和GHZ辅助的量子通信任务。这些发现加强了在现实噪声假设下小型到中型GHZ MUX网络的实际可行性，并为前几节中开发的架构比较提供了定量基础。为了补充方程（10）中的分析估计，我们还进行了数值模拟，其中包含了沿活动路由路径的简单但具有物理意义的噪声贡献。特别是，每个路由阶段通过结合三种有效的噪声机制来建模：振幅衰减、退相以及由Pauli错误信道表示的不完美的Bell测量/校正步骤。相应的参数被选为振幅衰减为，退相为，每个阶段的有效Bell测量错误概率为。这些值被选为保守的低噪声参数，旨在代表不假设特定硬件校准数据的现实短期情况。振幅衰减参数捕捉了每个路由阶段的小但不可忽略的能量松弛效应，而退相参数考虑了空闲或中间量子比特的适度相位相干性损失。Bell测量错误概率被引入以模拟测量和校正循环中的残余缺陷，超出了理想化的分析处理。总之，这些参数定义了一个适合测试分析表达式是否捕捉到主导保真度趋势的最低现实噪声场景。根据这个模型，获得的数值保真度显示在表4中。结果与分析估计值接近，表明方程（10）为这里考虑的小型范围内的保真度衰减提供了一个合理的一阶描述。特别是，分析和数值结果都支持将GHZ MUX解释为具有4到8个输出节点的微集群量子网络的实际路由原语。表4. 分析保真度模型与沿活动路由路径包含现实噪声贡献的数值模拟之间的比较。分析和数值值之间的密切一致性表明，乘法模型为小型范围内的保真度衰减提供了一个可靠的一阶描述。这些模拟旨在作为对分析趋势的最小物理动机验证，而不是作为硬件校准的性能预测。它们的目的是验证在包含基本退相干机制的情况下，方程（10）所捕获的主导保真度行为是否保持一致。

4. 局限性和未来工作
虽然GHZ MUX提供了一种确定性的、模块化的机制来在二元量子隐形传态层次结构中路由量子信息，但有几个限制因素限制了其可扩展性和长距离应用性。这些限制主要源于GHZ纠缠的结构、跨连续层次的Bell基测量的累积效应以及所需资源的指数级增长。
4.1. 局域GHZ保真度和退相干累积
如保真度分析中所讨论的，端到端性能严重依赖于局部生成的GHZ状态的质量。由于深度为n的开关需要三方的GHZ资源，这些状态中的任何缺陷都会呈指数级累积，导致保真度衰减的形式为。这自然地对可实现的深度施加了实际限制，尤其是在GHZ状态在噪声或损耗较大的平台上生成时，例如光子纤维网络或相干时间有限的超导电路。尽管该架构只需要局域相干性——这是相对于全局多方GHZ路由的一个关键优势——但其噪声容忍度随着网络的扩大而降低。
4.2. 可扩展性有限和资源指数级增长
开关的纠缠结构本质上要求与网络深度成指数的GHZ状态数量。对于接收者，开关需要以二叉树形式排列的GHZ节点。这与使用单个-qubit GHZ状态为所有接收者服务的量子路由器形成对比。因此，GHZ MUX提供了更好的鲁棒性和模块性，但代价是可扩展性降低。这种权衡使得该设备适合作为小型到中型网络的近期架构，而不是大型量子互联网骨干。
4.3. 单路径确定性及缺乏路由叠加
与利用多路径叠加的相干路由方案不同，GHZ MUX沿着单一的经典协调分支确定性地操作。沿二叉树进行的Bell基测量序列逐步将路由状态传播到一个输出节点，而经典通信则跟踪相应的Pauli框架。这种设计消除了干扰效应并简化了经典控制逻辑，但它也阻止了量子信息同时分发到多个目的地。因此，该架构适用于单播传输，而不是多播或基于叠加的分发。
4.4. 实验考虑
当前的实验平台在生成和维持高保真度三方GHZ状态的能力上差异很大。光子平台可以以中等速率产生GHZ状态，但面临损耗和预警效率低下的问题，而超导电路可以实现高保真度，但受到连通性约束的限制。此外，跨多个层次的Bell基测量需要在中继节点之间进行精确的校准和同步。这些实际问题并不削弱开关的可行性，但表明近期实现可能仅限于较小的深度，此时GHZ保真度和路由可靠性仍在实验上相关的容差范围内。
4.5. 未来方向
GHZ MUX的模块结构提示了几个有前景的研究方向。结合局部GHZ簇和纠缠交换的混合架构可以减轻资源指数的增长。诸如纠缠纯化和错误检测隐形传态之类的技术可以在不改变核心路由机制的情况下提高端到端保真度。最后，将开关集成到多层量子网络堆栈中可以在应用层实现确定性路由，同时依赖于传统的中继链进行长距离分发。

总体而言，GHZ MUX代表了从确定性、局域相干路由到完全相干、全局纠缠量子网络之间的一个实际中间步骤。

5. 结论
本研究介绍了GHZ多路复用器（GHZ MUX），这是一种分层量子路由架构，它仅使用局部生成的三方GHZ状态，从单一发射器确定性地传输未知量子状态到一个接收器。通过将这些资源组织成二叉量子隐形传态树，该架构实现了完全连通性，同时保持了严格的局域纠缠要求和经典前馈协调。所提出的设计与全局纠缠路由方法（如量子路由器[10]形成对比，后者需要在整个网络中共享大型多方GHZ状态。尽管这样的架构提供了路由叠加和提高了量子比特效率，但它们对全局相干性的要求很高，在实验上具有挑战性。相比之下，GHZ MUX通过将小型GHZ集群组合成确定性切换结构来优先考虑模块性和鲁棒性，使其成为近期量子通信网络实现的有希望的候选者。
除了确定性路由之外，GHZ MUX还可以支持传输量子状态的有效目的地对外部观察者隐藏的通信场景。特别是，相同的层次路由结构可以与经典控制和可选的量子一次性密码本保护结合使用，以实现隐藏目的地的通信原语。在这种设置中，发送者决定最终哪个叶子节点重建量子状态，而没有路由记录的观察者无法在候选节点集合中识别出活动接收者。我们对这种扩展的正式描述，我们称之为隐藏秘密GHZ-树路由（HS-GTR）协议，在附录A中提出。这种构造说明了GHZ MUX架构不仅可用于分层路由，还可以作为量子网络中隐藏目的地通信和多方接收者密钥建立场景的构建块。
总体而言，GHZ MUX代表了简单量子隐形传态链和完全相干的多方路由系统之间的一个实际中间架构。其模块结构和依赖于局域纠缠资源的特点使其特别适合小型到中型量子网络。未来的工作可以探索结合GHZ多路复用与纠缠纯化、纠缠交换或自适应路由机制的混合设计，以提高分布式量子通信基础设施的可扩展性和鲁棒性。