具有时间约束的最优轨道转移轨迹设计的双贝塞尔曲线参数化方法

《Accident Analysis & Prevention》：Dual Bézier curve parameterization for optimal orbit transfer trajectory design with temporal constraints

　　曹珉 CG | 李秀元 | 朴昌德
韩国首尔国立古 Inspired 大学汽车与移动学院

**摘要**
本文提出了一种双贝塞尔曲线参数化方法，用于在严格的时间约束下优化航天器轨迹，以实现燃料高效的单轨道有限燃烧轨道转移。与传统基于形状或脉冲式转移方法不同，所提出的方法通过使用独立的贝塞尔曲线来定义三维路径和沿轨迹的时间演变，将空间轨迹几何与时间进程解耦。这种架构使得在保持平滑连续推力曲线的同时，能够同时优化轨迹形状和速度调度。该方法采用标准化坐标空间来改善数值条件，并利用序贯二次规划（SQP）解决由此产生的非线性优化问题。通过真实轨道转移案例研究的验证，证明了该方法在处理具有挑战性的平面变换机动时的有效性。在具有不同时间约束的蒙特卡洛模拟中，该框架在300次试验中的可行性率达到100%，并且基于贝塞尔的时间参数化将ΔV相对于线性时间基线平均减少了26.66%。对倾角变化和时间参数化顺序的进一步分析进一步证实了该方法的稳健性、可扩展性和在实际任务规划中的适用性。

**引言**
新太空时代从根本上改变了航天器轨迹设计理念，从传统的节省燃料的方法转变为优先考虑任务响应性和操作敏捷性的时间约束方法[1]。可重复使用运载火箭技术的革命性进展，例如SpaceX的Falcon 9以及Starlink等新兴的大型星座，使得需要快速重构能力的分布式、敏捷的空间系统成为可能[2]。现代地球观测、灾难监测和应急通信任务必须在极其严格的时间窗口内执行轨道转移，这些时间窗口通常只有几小时或几天，而不是几周。这一操作范式提出了一个基本挑战：如何在不消耗过多燃料的情况下实现时间上的准时性，这是一个仅靠专注于燃料最小化的传统优化方法无法充分解决的双重要求。在此背景下，感兴趣的轨道转移问题特征是必须使用有限持续时间的推力来满足严格的时间约束的单轨道机动，而不是依赖于多圈或长时间转移的假设。

传统的基于形状的轨迹设计方法在处理假设飞行时间较长的多圈转移时显示出了显著的计算效率[3]、[4]。这一类别中的代表性方法包括指数正弦形状[5]、航时图方法[6]、有限傅里叶级数表示[7]和伪十二点元素变化[8]，每种方法都针对特定任务场景提供了独特的优势。然而，这些方法从根本上依赖于为长时间转移设计的固定功能形式，而没有明确考虑时间约束，因此它们不适用于时间窗口仅有几小时或几天的轨道转移[9]。相反，针对快速轨道转移的研究主要依赖于基于Lambert的方法或脉冲推力近似，尽管计算简单，但无法捕捉有限燃烧动力学中的连续速度演变和时间分布。此外，某些基于形状和贝塞尔的方法在轨迹表示上提供了几何灵活性；然而，在大多数情况下，空间几何和时间进程仍然紧密耦合，限制了轨迹形状和速度调度的独立优化[10]、[11]。

基于样条线和NURBS的相关几何参数化也被用于轨迹优化，利用控制点基形状和光滑的导数属性，在某些公式中还使用了凸包型边界限定，以方便处理约束[12]、[13]、[14]。特别是，赵等人的最新工作[14]开发了一种基于SCP的NURBS公式，用于具有严格路径约束的上升轨迹优化，将参数化扩展到状态和控制变量，从而可以直接处理状态约束，同时提高计算效率。这些几何基础与贝塞尔表示有几个有用的共同特点；然而，在严格的时间约束下，在统一几何框架内独立调节预定义路径上的时间（即参数速度）仍然非易事。在这方面，本研究的主要区别不仅在于所选择的几何基础，还在于双贝塞尔参数化架构，它将单轨道有限燃烧轨道转移的空间轨迹几何与时间进程解耦。

总体而言，这些现有方法未能充分解决必须同时考虑有限燃烧推力动力学和严格时间约束的单轨道轨道转移问题，同时精确满足边界条件，因此需要一个新的轨迹参数化和优化框架[15]。

贝塞尔曲线提供了一个数学上严谨且几何上直观的框架，将轨迹优化从一个抽象的控制问题转变为一个几何设计任务，特别适合于需要严格执行边界条件和几何约束的轨道转移问题[16]、[17]。与将约束满足视为需要最小化的优化惩罚的传统方法不同，贝塞尔曲线通过其内在的数学属性（包括端点插值[19]、凸包保证[20]和导数保持特性[18]）实现了约束满足。这些属性特别适用于单轨道转移，其中必须精确满足初始和最终状态约束，同时生成平滑的有限燃烧推力曲线。本研究通过双贝塞尔曲线参数化利用了这些优势，将空间轨迹几何与时间进程解耦[21]、[22]，使用一条曲线定义三维空间路径，而第二条独立曲线控制沿此路径的时间演变。这种架构创新使得在保持现代推进系统所需平滑连续推力曲线的同时，能够独立优化轨迹形状和速度调度[23]。这直接解决了一个关键的研究空白，因为现有的贝塞尔曲线轨迹优化研究主要集中在利用长飞行时间的低推力行星际任务[16]、[21]、编队重构[24]或具有姿态约束的初步轨迹设计[25]，而快速轨道转移研究主要依赖于简化的脉冲推力模型，这些模型无法充分捕捉有限燃烧动力学[15]、[26]。此外，本研究考虑的问题是一个高维的非线性约束优化问题，其中空间几何、时间调度和轨道动力学本质上是耦合的，简化分析模型或固定时间参数化不足以解决这一问题。

本文提出了一个全面的框架，用于在严格的时间约束下解决单轨道有限燃烧轨道转移问题，主要贡献有三个方面。首先，我们开发了一种数学上严谨的双贝塞尔曲线方法，能够在统一的优化框架内独立参数化和优化空间轨迹几何和时间进程，从而在满足复杂边界条件方面实现了前所未有的灵活性。其次，通过标准化设计空间的协同组合，我们实现了卓越的计算效率，这些空间确保了数值条件，Bernstein多项式属性保证了约束满足，而SQP优化则提供了稳健的收敛性[27]。第三，我们通过具有挑战性的平面变换机动的全面轨道转移案例研究证明了该方法的实际有效性。该框架的通用性和数学基础使其成为处理多样化的轨迹优化问题的多功能工具，在这些问题中，燃料效率、时间响应性和约束满足之间的平衡至关重要[28]，为新时代航天器任务规划系统提供了理论和计算基础。本文的其余部分安排如下：第2节建立问题描述，第3节介绍贝塞尔曲线方法，第4节展示数值结果，第5节讨论实施和操作考虑，第6节总结关键发现。

**轨道规格**
本工作中的转移轨迹优化方法需要两个给定的轨道作为边界条件：初始轨道和最终轨道。在地球观测任务中，这些轨道通常被设计用于观测特定的地面目标。轨道参数取决于目标位置、所需的观测频率和地面跟踪模式。然而，这些轨道的设计不是本文的重点，假设已由现有方法确定。

**基于贝塞尔曲线的方法**
虽然在其他领域已经讨论了解耦空间和时间变量的概念，但其在实际应用到轨迹优化中仍然很大程度上尚未探索。这种困难源于动态约束公式中链式规则项引入的分析复杂性，这阻碍了将其直接整合到传统优化框架中。通过利用贝塞尔基函数的内在大致性和可微性，所提出的方法...

**优化结果**
本节通过系统的验证方法展示了双贝塞尔曲线参数化方法的有效性。验证策略从使用真实转移案例研究建立基线性能开始，通过与现有转移方法的基准比较，通过蒙特卡洛模拟进行统计稳健性评估，再到跨不同任务场景的性能扩展分析。

**实施和操作考虑**
贝塞尔曲线表示生成的平滑连续推力曲线确保了与现实推进系统的兼容性。对于以离散开关模式运行的化学推进器，可以通过脉冲宽度-脉冲频率（PWPF）调制技术实现连续控制命令。分析确认，PWPF近似的最优连续轮廓在保持轨迹精度在0.1%的同时，保持了燃料最优性。

**结论**
本文提出了一种双贝塞尔曲线参数化方法，用于航天器轨迹优化，解决了现代空间操作中对燃料高效轨道转移日益增长的需求，这些转移在时间约束下进行。该方法独特地结合了空间轨迹形状和独立的时间参数化，能够在统一的公式中直接优化转移路径和时间轮廓，同时保持适合计算效率...

**作者贡献声明**
曹珉 CG：撰写——原始草稿，可视化，验证。
李秀元：撰写——原始草稿，监督，方法论，调查，正式分析，概念化。
朴昌德：撰写——审阅与编辑，项目管理，资金获取。

**关于手稿准备过程中生成式AI和AI辅助技术的声明**
在准备本工作时，作者使用了Claude（Anthropic的AI助手）来改进英语语法和表达，增强句子结构，并协助翻译。使用该工具/服务后，作者根据需要审查和编辑了内容，并对发表文章的内容负有全部责任。

**关于利益冲突的声明**
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

**致谢**
本工作得到了韩国国防技术研究所（KRIT）的资助，该资助由韩国政府（DAPA（国防采购计划管理局）提供（编号KRIT-CT-22-030, ReUSV-41, 2025）。