JAX-FORGE：一种基于GPU加速的高保真模拟技术，用于增量式敞式锻造过程

《CIRP Annals》：JAX-FORGE: GPU-accelerated high-fidelity simulation for incremental open-die forging

　　科尔顿·赖特 | 胡芳蕾 | 乔舒亚·格罗夫斯 | 迪帕克·夏尔马 | 布赖恩·瑟斯顿 | 格伦·戴恩 | 迈克尔·格罗贝尔 | 曹健
美国俄亥俄州立大学机械与航空航天工程系，哥伦布市

**摘要**
本研究介绍了一种增量式开放式模锻平台——Agility Forge，该平台能够实现灵活的高混合度 Manufacturing。此外，该平台还通过基于 GPU 加速的有限元平台 JAX-FEM 的可微分性来表征高温下的材料性能，该平台能够充分考虑有限应变和温度依赖性的材料参数下的热机械行为。JAX-FORGE 基于 JAX-FEM 构建，为多击锻造操作提供了无缝接口。通过复现 Agility Forge 的机器人锻造过程，并通过激光轮廓仪与实验测量结果进行比较，验证了该框架的有效性。JAX-FORGE 是一个更广泛的过程规划仿真生态系统中的核心组成部分。

**1. 引言**
增量式开放式模锻是一种金属成形工艺，其中工件在平面或简单轮廓的模具之间反复压缩，导致材料流动不连续，而不是封闭模锻过程中观察到的稳定流动 [1,2]。尽管其具有灵活性并在工业中广泛应用，但由于工艺设计和优化的挑战，开放式模锻工艺的实验开发受到限制 [3,4]。这些限制包括难以直接测量工件内的局部热机械状态、生产规模设置下工具和试验的高成本，以及增量式锻造操作特有的高度局部化变形。这些问题使得纯实验方法效率低下且往往不切实际，从而突显了高保真数值模拟在支持基于性能的工艺设计和优化中的重要作用。

有限元方法（FEM）是模拟金属成形工艺最成熟和有效的技术之一。利用 FEM，许多研究已经成功使用 Abaqus [5] 和 DEFORM-3D [4,6,7] 等商业软件包预测了锻造过程中的大变形材料流动和耦合热响应。虽然这些方法表现出强大的预测能力，但它们的实际应用通常受到计算成本的限制，尤其是在模拟涉及大域、精细空间分辨率、多物理现象和长增量成形序列的复杂制造工艺时。为了解决快速且可扩展的工艺仿真需求，我们基于最近开源的有限元库 JAX-FEM [8] 开发了 JAX-FORGE。JAX-FEM 基于 Google JAX [9] 构建，后者是一个最初为机器学习研究开发的高性能数值计算框架，并已被证明是一个高效灵活的 FEM 平台。它已成功应用于晶体塑性 [10]、相场建模 [11]、电化学系统 [12] 和性能识别 [13, [14, [15]] 等领域。在这些基础上，JAX-FORGE 继承了 JAX-FEM 的核心设计原则，并专门针对大规模锻造仿真进行了定制。JAX-FEM 对元素和积分点的 GPU 加速向量化使得问题求解更加高效。此外，自动微分的使用消除了传统 FEM 实现中的一个关键限制，即需要手动推导一致的正切运算符，这容易出错且难以扩展到耦合多物理问题。相反，雅可比矩阵被直接且一致地计算出来。此外，JAX-FEM 的共享生态系统促进了与我们团队开发的其他多尺度仿真工具（如 JAX-PF [11]（相场）和 JAX-CPFEM [10]（晶体塑性）的无缝集成，为未来向微观结构感知的锻造仿真扩展奠定了基础。JAX-FORGE 采用 Python 作为前端，为增量式开放式模锻过程的高保真仿真提供了一个高效、灵活和协作的平台。

在本研究中，JAX-FORGE 在 Agility Forge 上进行了评估，Agility Forge 是一种新型机器人制造平台，该平台利用增量式开放式模锻将原材料变形为复杂的零件几何形状。如图 1 所示，Agility Forge 集成了多轴运动平台、感应加热元件、电动伺服压力机和定制的传感器系统。在整个锻造过程中，通过激光轮廓仪和热摄像头捕获零件的几何形状和温度历史。还记录了伺服压力机的负载和行程。有关 Agility Forge 的更多信息见附录 I。为了直接比较数值 JAX-FORGE 和实验结果，应用了相同的加热和变形工艺动作。研究了演变温度场对材料流动和工艺响应的影响，强调了热机械耦合在增量式开放式模锻中的重要性。

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**图 1. 建立在 Tormach 1100M CNC 铣床上的 Agility Forge 系统。**

**2. JAX-FORGE 系统的开发**
**2.1. JAX-FORGE 的示意图**
Agility Forge 平台的显著特点是将热机械过程控制和原位传感紧密集成。如图 2 所示，JAX-FORGE 以闭环方式再现了实验过程，捕获了锻造循环的关键阶段：(i) 通过红外相机将坯料加热到预定温度分布；(ii) 随着网格上的温度场变化进行非稳态冷却，包括工件表面和局部加热区域，与周围环境的热交换通过现象学表面冷却处理来模拟以考虑环境热量损失；(iii) 对工件不同区域施加增量式锻造操作。在步骤 iii 中，锻造过程通过施加的位移来规定，即在上下模具与工件之间的接触区域施加 Dirichlet 边界条件（公式 (1)），包括旋转角度 R、深度 h 和平移向量 x 的序列。这种处理方式简化了工具运动学的表示，无需引入单独的一般接触/摩擦定律，从而支持高效且可微分的过程尺度仿真。相应的接触几何形状和边界条件信息随后传递给 JAX-FEM 求解器，以评估耦合的热机械本构律（第 2.2 节）。在整个仿真过程中采用自适应步进策略，以确保数值稳定性和工作流程的收敛性。

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**图 2. JAX-FORGE 的示意图。**

**2.2. 热塑性有限应变模型**
为了准确捕获 Agility Forge 过程中的弹塑性行为，考虑了具有经典 Mises-Huber 屈服准则和 Voce 硬化机制的各向同性有限应变塑性公式，其中机械耗散作为热方程中的热源。我们解决了以下涉及完全耦合（温度场 θ 和位移场 u 相互作用）的时变问题。参考配置 B?R3 中的动量平衡表示如下：
(1) {???·P = 0, in B, u = uD, on ΓD, P·n = t, on ΓN，
其中 P 是第一 Piola-Kirchhoff 应力张量，u 是待求解的位移场，uD 是 ΓD 上的边界位移，t 是 ΓN 上的外法线向量，??(·) 是相对于参考坐标的梯度。

对于几乎不可压缩的情况，基于位移的 u 公式可能导致体积锁定。因此，在我们的框架中，对于公式 (1) 的预测-校正算法中采用了选择性简化积分（F-bar）投影 [16] 来处理体积响应。变形梯度被分解为体积部分和等容部分：
(2) F? = J?13F，
其中 F = I + ??u 是变形梯度，det(F) = 1，且逐元素投影的雅可比矩阵 J? 用于定义修改后的体积响应，同时保持等容响应的完全积分。实际上，体积对应力的贡献使用投影的 F-bar 量计算，而等容贡献在标准积分点处评估。

塑性流动由以下 Mises-Huber 屈服函数控制：
(3) ?f(τ, α) ?∥dev[τ]∥?23(σ? ? βα) ≤ 0，
其中 τ 是 Kirchhoff 应力张量，α 是等效塑性应变，σ? > 0 是屈服应力，指数 Voce 法律定义为：
(4) ?βα ??K(α) = Q(1 ? e?βα)，
Q 和 b 是与硬化效果相关的材料参数。张量 s 定义为 ?s ?||dev[τ]∥。

硬化变量的演变由速率方程控制：
(5) α˙ = 23γ，
其中 γ 是受 Kuhn-Tucker 加载/卸载条件约束的一致性参数：
(6) γ ≥ 0, f(τ, α) ≤ 0, γf(τ, α) = 0，
再加上一致性条件：
(7) γf˙(τ, α) = 0。

温度场 θ 的控制方程如下：
(8) {ρ?cθ˙ = w˙ + [?J?·(qJ) + r],
in B, θ = θD, on ΓD, k?θ·n = q, on ΓN，
其中热通量通过各向同性傅里叶定律与温度梯度相关：q = ?k?θ，k 是热导率，J = det(F)，r 是热源，w˙ 是定义中的总应力功率。

考虑到当前问题，在每次锻造动作之前，感应加热元件内的加热过程由红外相机提取的温度分布定义（如第 2.1 节所述）。变形过程中的外部热源不起作用，即 r = 0。此外，我们忽略了相对较小的热塑性耦合效应 [21]。基于这些假设，热方程 (8) 可以近似为：
(9) ρ?cθ˙ = XDmech + ?·(k?θ)，
其中 X ∈ [0.85, 0.99] 是一个常数耗散因子，表示塑料功率 Dmech [18,19,21] 转换为热量的比例，如下定义 [17,18]：
(10) Dmech = [∥dev[τ]∥ + 23βα]γ。

工具和坯料之间的热传递通过在接触表面 ΓC 上规定的界面热传递条件来建模：
(11) q = ?qc = ?hc(θc ? θtool),
on ΓC，
其中 hc 是接触热传递系数，θtool 是规定的工具温度。

对于完全耦合的 associative 热塑性材料（包括温度场 θ 和位移场 u），在有限元实现中，我们考虑了温度依赖的机械本构参数（见表 1）；机械耗散对温度场演变的影响（公式 (11)）；以及温度对 von-Mises J2-塑性反映射算法中应力/应变场选择的影响：
(12) τn+1 = Jn+1(pn+1 ? βexp(θ?θ?))I+sn+1，
其中 ?p ?κ2(J2?1)/J，βexp = E1?2vαL 是热膨胀系数，E 是杨氏模量，v 是泊松比，αL 是线性热膨胀系数。在本研究中，尽管机械本构参数是温度依赖的，但热性质假设为常数，包括 hc 和 αL。详见参考文献 [16]。

**表 1. 15-5PH 钢的温度依赖材料参数。**
| 温度 θ [°C] | 68 | 27 | 65 | 80 | 0 | 89 | 81 | 100 |
| 初始屈服应力 σ?(θ) [MPa] | 330 | 315 | 240 | 100 | 70 |
| 硬化速率 b(θ) | 4.8 | 4.7 | 4.7 | 4.5 | 4.3 |
| 饱和硬化 Q(θ) [MPa] | 250 | 240 | 300 | 220 | 80 |实验压缩测试结果与基于JAX-FEM中校准参数的仿真结果（红色）之间的比较。为了确定温度依赖的材料参数，使用JAX-FEM和轴对称圆柱模型以及与实验配置相匹配的边界条件，对压缩实验进行了数值再现。在这个初始校准步骤中，假设工件温度在空间上是均匀的，并将其设置为每次测试测量的变形温度。通过将模拟响应与实验数据拟合来识别本构参数，这是基于每个温度下的等效应变真应力-真应变曲线。如图4所示，红色虚线曲线表示仿真结果，它很好地捕捉了硬化行为，但没有捕捉到初始屈服点。通过施加更合适的硬化律，可以在未来的工作中改进这一差异。在每个温度下获得的校准参数值总结在表1中。请注意，温度范围是根据Agility Forge的实际操作条件选择的。对于校准数据点之间的温度，通过线性插值获得材料参数。

3.2 热机械锻造仿真的验证
JAX-FEM是JAX-FORGE的底层有限元（FEM）引擎，为热机械耦合锻造仿真提供了核心的数值能力。为了评估在锻造条件下的本构公式的物理一致性，图5展示了一个从红外（IR）相机测量数据初始化的代表性单次冲击仿真。

图5. 全耦合单次冲击锻造仿真，包含IR测量的初始温度场：(a) 冲击前的IR温度场；(b) 来自IR和JAX-FORGE的x轴初始温度分布；(c) 第一次冲击后的模拟温度场；(d) 在(a)中显示的四个选定区域的模拟和测量温度历史（°C）。
图5a显示了冲击前立即测量的棒材温度场，该场用于初始化JAX-FORGE。图5b比较了来自IR图像（蓝色）的x轴温度分布与JAX-FORGE中规定的温度分布（红色）。使用这个基于IR的初始条件，用全耦合模型模拟了第一次冲击。冲击在x轴方向上0.6H处施加；旋转15°后，工具垂直向下移动1.63毫米。图5c显示了冲击过程中的模拟温度场，在接触区域附近有明显的热量传递效果。图5d比较了图5a中显示的四个选定区域的模拟和测量温度历史，附录III提供了额外的塑性耗散验证，表明JAX-FORGE能够捕捉到坯料的耦合热机械响应。

3.3 多次锻造动作的再现
模拟了一个多冲击开放式锻造序列，以评估JAX-FORGE在真实工艺条件下的性能。直径为15.9毫米的15-5PH钢圆坯使用宽度为12.7毫米的平工具逐步锻造成大约12.6毫米×14.6毫米的矩形截面。该过程包括交替的方向（0°/90°），每次冲击的锻造深度分别为0.62毫米和1.63毫米。在一个热循环（6次冲击）后以及两个热循环（12次冲击）后，评估了实验与仿真之间的几何精度。精度使用倒角距离和Hausdorff距离进行了量化（见附录IV），总结见表2。图6展示了12次冲击动作序列的实验和预测表面轮廓，子图(a)展示了3D轮廓，而(b)提供了轴向轮廓，(c)在Hausdorff距离处提供了横截面。比较结果表明实验和预测的几何形状吻合良好，倒角距离反映了较小的整体几何差异，Hausdorff距离表明最大局部偏差有限。

表2. 扫描数据与求解器预测之间的几何比较
动作序号 倒角距离 [mm2] Hausdorff距离 [mm]
10 6.132 1.332
2 6.022 1.440
3 12.027 1.395

图6. Agility Forge几何扫描（蓝色）和JAX-FORGE预测几何形状（红色，虚线）的表面轮廓：(a) 3D形状；(b) 轴向轮廓；(c) 在Hausdorff距离处的横截面。

4. 结论
本研究提出了一个增量锻造平台，并将JAX-FEM的能力扩展到JAX-FORGE，以实现这种灵活成形过程的快速高保真仿真。主要结论如下：
• Agility Forge结合JAX-FEM展示了通过识别材料参数来表征温度依赖材料特性的能力。
• 通过利用GPU加速和JAX-FEM框架，JAX-FORGE在RTX 6000 GPU上的运行速度比DEFORM-3D中的类似仿真快大约61%。
• 采用的Voce硬化模型很好地捕捉了硬化行为，但没有明确考虑应变率敏感性、动态恢复或再结晶。尽管仿真结果准确再现了在研究条件下的锻造几何形状和耦合热响应，但在未来的工作中，我们将纳入更先进的微观结构感知模型，例如在JAX-PF [11]中开发的再结晶相场模型。

总之，这些结果确立了JAX-FORGE作为一个有效的、可扩展的工具，适用于需要数百次冲击的增量锻造应用中的过程规划。

CRediT作者贡献声明
Colton Wright：写作 – 原初草稿，可视化，验证，软件，调查，形式分析，数据整理，概念化。
Fanglei Hu：写作 – 原初草稿，可视化，验证，软件，方法论，调查，形式分析，概念化。
Joshua Groves：软件，方法论。
Deepak Sharma：验证，软件，方法论，形式分析。
Brian Thurston：软件，方法论，数据整理。
Glenn Daehn：写作 – 审阅与编辑，监督，方法论，资金获取。
Michael Groeber：写作 – 审阅与编辑，监督，方法论，资金获取。
Jian Cao (1)：写作 – 审阅与编辑，验证，监督，资源管理，项目管理，方法论，资金获取，概念化。