超越抛物线模型：一种受表面张力限制的、基于解析与数值方法的Nihoul油膜扩散方程扩展模型

《Marine Pollution Bulletin》：Beyond the parabola: A surface-tension-limited, analytical–numerical extension of Nihoul's oil-slick spreading equation

　　Mehmet Onur Dogan | Ismail Durgut
石油与天然气工程系，中东技术大学，06800，安卡拉，土耳其

**摘要**
Nihoul的垂直平均方程因其简单的计算效率和解析相似解而被广泛用于操作性石油泄漏建模，该解析相似解作为验证数值方案的稳健基准。然而，它依赖于预先定义的抛物线形油膜轮廓，这在油膜边缘引入了系统性误差。与实验室观察结果相比，抛物线形轮廓低估了油膜半径，并高估了油膜尾部的厚度。模拟的油膜厚度场、空间范围和扩散持久性代表了描述表面污染强度和范围的物理危险指标。为了解决这些局限性，我们改进了Nihoul的扩散方程，并将其应用于一个表面张力力阻碍后期扩散的泄漏问题。新的公式既包含解析解也包含数值解，据我们所知，这是首次将解析和数值方法结合起来处理这一扩展问题的尝试。通过这些解，我们推导出了油膜末端范围和厚度分布的新实用表达式，从而改进了对油膜尾部轮廓的描述。与实验室规模的泄漏实验相比，改进后的模型在描述外径增长和变薄行为方面显示出更好的一致性。所提出的方法是在不增加完全多相模拟成本的情况下，对现有扩散模型进行的计算效率提升的扩展。

**引言**
石油泄漏是严重的环境事件，通常由涉及油轮、海上平台、管道或储存单元的事故引发，会向海洋环境中排放大量油类物质。这些事件可能对海洋栖息地以及依赖这些栖息地的人类社区造成广泛而持久的损害。鉴于生态响应的多样性和泄漏动态的复杂性，彻底理解其影响并制定有效的缓解和恢复策略至关重要（Almeida, 2023）。了解石油扩散的空间和时间范围对于实施有效的应对和恢复措施至关重要。因此，控制石油扩散的机制已被广泛研究。石油在海水中的扩散受多种物理现象的影响，例如风切力、乳化作用、惯性力、重力和表面/界面张力。

Langmuir（1933）是最早研究水面上油膜行为的研究者之一，他强调了表面/界面张力作为石油扩散过程中关键驱力的重要性。Fay（1969, 1971）通过实验室观察、经验公式和物理力平衡方程，对平静水面上的油膜演化机制做出了重要贡献。他重点研究了由惯性、重力、摩擦力和表面张力引起的力，并定义了三种主要的油膜扩散模式，即惯性-重力、粘性-重力和粘性-表面张力。尽管Fay的公式可以估算油膜扩散范围，但它们无法捕捉油膜体积内的厚度变化。基于Fay的早期工作，Houl（1972）通过为每种模式构建相似变量并求解油膜边缘演变和厚度分布，发展并验证了理论框架。Stiver和Mackay（1984）利用质量传递理论和实验数据开发了半经验性的石油泄漏蒸发率模型。Lehr等人（2002）基于Fay及后续的工作开发了一个数值模拟器ADIOS来估算油膜演化。后来，Godoy等人（2020）通过加入乳化和扩散过程改进了该模拟器。

Nihoul（1984）仅从物理守恒定律出发研究油膜演化问题，使用动量和质量平衡方程。通过使用无量纲数并对质量平衡方程在油膜体积上进行垂直平均，他能够求解油膜在空间和时间上的扩散演变。Nihoul的方程为后续研究奠定了基础。Deleersnijder和Loffet（1985）简化了Nihoul的方程，使其更适合数值模型，并用遥感数据验证了结果。定义油膜半径R并求解轴对称问题的方程系统是Nihoul方程在实际应用中的不足之处。为克服这一问题，Deleersnijder（1992）提出了Nihoul方程的另一种形式，以适应非轴对称扩散问题，例如由于风力平流引起的扩散。Peishi等人（2011）开发了一个结合扩散和扩散模型的模型，用于冰覆盖的水面。与Nihoul一样，他们的模型基于简化的Navier-Stokes方程。Maderich等人（2012）开发了一种考虑科里奥利力和埃克曼摩擦的粒子跟踪方法。Chebbi（2014）开发了一个结合油膜速度和边界层厚度的模型，并用实验数据验证了其模型。Zanier等人（2017）通过引入科里奥利效应、平流和扩散，扩展了Nihoul的方程，并开发了一个与流体动力学LES-COAST模型耦合的有限体积模型来模拟油膜演化。Durgut和Reed（2017）使用高斯随机行走和Voronoi图开发了用于重力-粘性油膜演化的粒子跟踪方法。Arkhipov和Shapochkin（2019）利用浅水Saint-Venant方程开发了数值模型，并采用特征线方法进行数值求解。Durgut等人（2020）扩展了基于Voronoi图的粒子跟踪方法，加入了表面张力效应，并改进了估算粒子厚度的算法。最近，Chebbi（2022）开发了一个半解析模型，考虑了水中的石油溶解现象，适用于轴对称粘性-重力模式。

**第一种也是最短的油膜演化模式**是由惯性力驱动的。如果忽略惯性力，油膜演化主要是重力和表面/界面张力之间的竞争过程。Houl（1972）指出，表面张力产生的水平力可以阻止扩散。当重力和表面张力方向一致时，正向力有助于持续扩散。如果产生的表面/界面张力与重力相反，则会抵消重力，达到扩散停止的平衡状态。此时油膜厚度达到所谓的终端膜厚度。这一参数已被引入油膜演化模型中（Daling等人，1997；Venkatesh等人，1990；Reed等人，2010）。为了更好地理解终端厚度的原因，Br?nner等人（2018）对不同类型的石油进行了油膜演化实验。他们的理论基于经验屈服应力概念，假设只要重力驱动的扩散力超过屈服应力，油膜就会继续扩散，而当重力引起的应力低于屈服应力阈值时，扩散就会停止，忽略了主要反对力即表面张力。在我们之前的工作（Dogan和Durgut，2025）中，我们基于物理守恒定律推导并求解了Nihoul的扩散方程，无论是解析还是数值方法。这使我们能够得出一个基于物理的终端厚度表达式，并将其与实验扩散测量结果进行了比较。尽管SINTEF的模型与实验数据更具一致性，但它本质上是经验性的，不依赖于物理守恒定律。然而，我们之前的工作（Dogan和Durgut，2025）基于Nihoul的物理扩散方程（图1中的虚线），但在捕捉扩散轮廓的尾部方面仍存在局限性。这种差异源于Nihoul原始公式中建议的抛物线形状。早些时候，Deleersnijder和Roland（1993）在质量平衡方程中引入了一个形状因子（方程（1）），修改了扩散系数以包含a，并提出了一个包含形状因子‘a’的通用轮廓方程（方程（2）。当‘a’等于2时，方程（2）简化为Nihoul的抛物线轮廓：
$$
\frac{\partial h}{\partial t} = \frac{1}{r}\frac{\partial^2 h}{\partial r^2} + \frac{\partial^2 h}{\partial r\partial r\sqrt{m}}
$$
其中‘h’是油膜厚度，‘r’是径向距离，‘a’是定义扩散轮廓几何形状的形状因子。方程（1）没有包含Nihoul扩散方程的详细形式，特别是省略了粘性-重力和粘性-表面/界面张力效应以及表面/界面张力变化函数的表达。因此，既没有Nihoul完整扩散方程的解析解，也没有包含形状因子和相反表面张力效应的数值解。

石油泄漏建模通常采用拉格朗日粒子跟踪方法或欧拉公式。拉格朗日方法在操作模型中得到广泛应用，因为它们计算效率高，适合模拟由环境流动驱动的大规模传输。传统拉格朗日粒子跟踪方法的一个关键局限性在于通常忽略了粒子之间的相互作用。在拉格朗日模型中，扩散和混合通过随机扩散项表示，因此必须使用后处理程序间接计算物理意义上的量，如油膜厚度和浓度。在本研究中，采用了欧拉公式，因为它通过守恒方程直接求解油膜厚度和空间梯度，提供了对油膜几何形状和扩散动力学的物理一致描述。这使得该方法特别适合研究模型结构（如形状因子的纳入）对油膜轮廓演化的影响。虽然拉格朗日方法适用于传输和影响聚焦的应用，但可以在本研究中开发的扩散公式基础上进一步扩展，以包括更大规模的流动和传输过程。

本研究专门关注油膜扩散的物理描述，重点关注垂直平均扩散方程的公式化和求解。本文旨在通过将形状因子纳入Nihoul的方程来改进Dogan和Durgut（2025）的最新工作，以捕捉正确的扩散形状，同时考虑粘性-重力和粘性-表面/界面张力效应。模型产生的模拟油膜厚度场、径向范围和扩散持续时间代表了物理扩散特性，最适合作为危险指标，描述表面污染的强度、空间范围和持久性。该模型没有涉及暴露或脆弱性问题，这些需要明确表示受体（如海岸线、生态系统或社会经济资产）及其与演变中油膜的相互作用。因此，风险评估和影响评估超出了本框架的范围，不在本文的讨论范围内。

**材料与方法**
首先介绍了在负表面张力条件下包含形状因子的油膜扩散方程，确定了作为形状因子函数的终端厚度和终端半径的物理基础表达式。接下来，为瞬时释放情况推导了方程的解析解。最后，对瞬时和连续释放情况进行了数值求解。

**结果与讨论**
首先，对Nihoul的抛物线轮廓解（Dogan和Durgut，2025）和包含形状因子的修改版Nihoul扩散方程进行了比较分析，以确定形状因子是否确实是估算油膜演化的关键参数。接下来，进行了敏感性分析，以考察表面张力、阻力系数、释放体积和形状因子的变化对模型行为的影响。

**结论**
在平静的冷水表面上，重油逐渐扩散，直到达到终端半径，此时表面张力抵消了重力驱动的扩张。在我们之前的研究中，我们使用Nihoul的原始扩散模型，通过解析方法和数值模拟研究了油膜的形状和终端膜厚度。Nihoul的油膜演化方程采用的抛物线形油膜厚度轮廓导致终端半径的低估。

**作者贡献声明**
Mehmet Onur Dogan：撰写 – 审稿与编辑、撰写原始草稿、可视化、验证、软件、方法论、调查、形式分析、数据整理、概念化。
Ismail Durgut：可视化、验证、监督、方法论、形式分析、概念化。

**资助**
作者声明在准备本手稿期间未收到任何资金、补助或其他支持。

**利益冲突声明**
作者声明没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文所述的工作。