交叉耦合条件漏斗控制：一种用于加压重水反应堆负荷跟随运行的无模型方法 Fahad Wallam 和 Attaullah Y. Memon

《Eng》：Cross-Coupled Conditional Funnel Control: A Model-Free Approach for Load-Following Operation of Pressurized Heavy Water Reactor Fahad Wallam and Attaullah Y. Memon

　　摘要：本研究提出了一种无模型控制方案，用于压水重水反应堆（PHWR）的负荷跟踪运行。压水重水反应堆是一个70阶多输入多输出、强耦合且开环不稳定的能量生成系统。为了设计适用于PHWR的无模型控制器，我们提出了一种新颖的交叉耦合条件误差面和基于改进的漏斗算法的漏斗控制方案。该控制方案减少了区域间耦合的影响，并提高了稳态精度，同时没有降低瞬态性能。所提出的控制方案复杂度低，且不需要系统动态信息来进行控制器设计。通过闭环稳定性分析确保了闭环系统轨迹的有界性。此外，通过模拟不同场景对控制方案进行了评估，证明了其有效性。

1. 引言
核电站产生的电能经济且碳足迹低，与化石燃料发电厂相比具有优势。然而，核电站的一个主要缺点是其系统的复杂性，尤其是核反应堆，其中热能是通过裂变链反应产生的。热能通过控制反应堆核心中的链反应来调节。核反应堆有多种类型，其中一种是大型的压水重水反应堆（PHWR），它是一个具有14个输入和14个输出的70阶复杂、耦合且开环不稳定的动态系统[1]。由于能源生产成本低和碳足迹可忽略不计等优点，核电站产生的电力在电网中的份额正在增加。随着电网中核电站数量的增加，核反应堆的负荷跟踪运行成为基础负荷运行的自然选择[2]。因此，设计一种能够有效跟踪负荷需求的控制器至关重要。除了良好的负荷跟踪和鲁棒性外，控制器还应能够有效平衡通量倾斜和干扰抑制。
文献中报道了几种用于重水核反应堆负荷跟踪运行的控制方案。例如，在[3]中，提出了一种使用快速输出采样技术对大型PHWR进行空间控制的方法。在[4]中，作者提出了一种基于周期性输出反馈的分散式控制方案。在[5]中提出了一种基于多速率输出反馈的滑模控制（SMC）方案。在[6,7]中提出了一种基于LQR技术的分散式控制方案。在[8,9]中提出了一种用于PHWR的输出反馈SMC方案。在[10]中提出了一种用于先进重水反应堆（AHWR）空间稳定的SMC技术。在[11]中提出了一种鲁棒的分数阶比例-积分控制方案。在[12]中提出了一种基于模糊逻辑方法的SMC方案，用于AHWR的空间控制，而在[13]和[14]中分别提出了基于LQR技术的积分SMC方案，用于大型PHWR和AHWR的空间控制。最近，在[15]中提出了一种使用增强型乌鸦搜索算法的分数阶比例-积分-微分控制方案。需要注意的是，所有上述控制方案都是线性的，即它们的设计基于在操作点附近线性化的过程模型。与非线性控制方法相比，线性化控制方案有两个缺点：（1）线性系统动态不够丰富；（2）线性控制方案只能保证操作点附近区域内的行为[16,17]。因此，线性控制方案的性能无法在操作点附近的狭窄区域之外得到保证。
为了实现良好的负荷跟踪和鲁棒性等性能指标，已经提出了非线性和智能控制技术来控制核反应堆。在非线性控制器领域，SMC方案被广泛用于核反应堆的控制。例如，在[2,17,18,19,20]中提出了多种用于压水反应堆（PWR）控制的SMC方案。这些工作中的SMC方案包括等效控制部分和切换控制部分；等效控制部分的设计需要利用系统动态信息，因此需要过程模型的动态知识。
在智能控制方案领域，模糊逻辑控制（FLC）方法被广泛用于核反应堆的控制。例如，在[21,22]中提出了一种用于PHWR控制的FLC方案，而在[23]中提出了一种用于VVER-1200核反应堆控制的FLC方案。然而，FLC方案需要很好地理解过程模型，或者至少需要系统操作员的经验来设计其规则库。此外，FLC方案由模糊化、规则库、推理机制和去模糊化单元组成，因此与PID、LQR和H∞等技术相比，它需要大量的计算资源。
设计上述控制方案需要完整的过程模型知识，其性能取决于过程模型的准确性或对过程动态的理解。由于PHWR是一个耦合的动态过程，一个区域的功率变化会干扰其他区域的功率，因此应尽量减少区域间的耦合效应，以实现反应堆功率对需求功率的平稳调节。为了减少耦合效应，文献中广泛研究了集中式和分散式算法，如集中式PID和分散式PID[24]。然而，集中式和分散式算法的设计复杂，并且需要线性化的系统动态信息。此外，分散式算法在大型系统中的性能并不令人满意。
基于上述讨论，本研究的重点是提出一种低复杂度的无模型控制器，用于大型PHWR过程的功率需求鲁棒跟踪。为了实现这一目标，我们考虑了在[25]中提出的漏斗控制，该控制适用于相对一阶系统。漏斗控制的显著特点是设计简单，同时对过程动态的先验知识要求较低。然而，漏斗控制的实现存在一个缺点，即如果参考信号不够平滑，误差面可能会超出漏斗边界，导致控制器不稳定。这给使用漏斗控制方法进行PHWR的负荷跟踪运行带来了困难。为了解决这个问题，本研究提出了一种改进的漏斗函数，它是[26]中提出的算法的修改版本。此外，为了提高稳态误差精度，通常会使用积分作用；然而，积分控制会降低闭环系统的瞬态响应[27]。在[28]中提出了条件漏斗控制的概念，提高了漏斗控制方案的稳态精度；然而，所提出的技术需要系统的部分动态信息，因此它不能提供无模型解决方案。此外，[26,28]中提出的控制器是为SISO系统设计的。因此，为了在不降低瞬态性能的情况下提高稳态误差精度，减少区域间耦合干扰并提供无模型控制解决方案，我们提出了用于PHWR控制的交叉耦合条件漏斗控制（CCC-FC）。据作者所知，CCC-FC是首次提出的。因此，本研究的主要贡献如下：
与之前提出的线性控制方案[3,4,5,6,7,8,9,11,13,15]相比，本研究提出了一种用于大型PHWR的非线性控制方案，该方案能够有效跟踪需求功率并有效抑制输入干扰。在漏斗控制架构中引入了交叉耦合项，减少了区域间耦合的影响，从而减少了使用复杂线性技术（如失谐和解耦算法）的需求。
与[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,13,14,15,17,18,19,20,21,22,23]中的控制方案相比，所提出方案的设计过程复杂度较低。此外，[13,14,29]中设计的控制器需要完整的状态（即过程的所有状态）作为反馈，而所提出的控制器只需要输出状态及其导数作为反馈。
与[1,2,17,18,19]中的控制方案相比，在设计控制器时对PHWR模型的动态功能要求完全放宽；因此，在这种情况下，所提出的控制方案提供了无模型解决方案。
与[21,22,23]中的模糊控制方案相比，设计所提出的控制方案不需要有经验的PHWR操作员的知识或PHWR过程专家的知识。
尽管所提出的控制方法的设计不需要PHWR模型的任何动态功能，但需要适当选择其参数以实现所需的性能。因此，在第5节提供了详细的参数选择指南。尽管如此，所提出的控制方法的完整设计过程比[1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,13,15,17,18,19,20,21,22,23]中的方法简单。
本研究的目的是提出一种低复杂度的控制方案，用于PHWR过程，该方案（1）确保稳态精度而不降低瞬态性能，（2）减少区域间耦合干扰，（3）有效跟踪参考信号同时抑制输入干扰，（4）在其设计中不需要PHWR模型的任何动态功能。本文的其余部分安排如下：第2节介绍了PHWR过程及其动态转换为误差形式；第3节介绍了漏斗控制；第4节介绍了交叉耦合条件漏斗控制（CCC-FC）的设计；第5节讨论了仿真结果；最后，第6节总结了本研究。

术语表：在本研究中，使用以下符号：表示实数集，分别表示正实数集和大于零的实数集；表示具有有界导数的有界函数类；分别表示参数的下确界和上确界；分别表示“”的范数和绝对值；和分别表示标准符号函数和饱和函数；表示参数的最小特征值。

2. 压水重水反应堆（PHWR）
压水重水反应堆（PHWR）是一个开环、不稳定的耦合动态系统，其中重水用作减速剂和冷却剂，而天然铀用作燃料源。本研究中考虑的PHWR具有较大的核心，可产生约1800 MW的热能。由于其较大的尺寸，反应堆核心被划分为14个区域以管理空间功率。因此，每个区域通过耦合系数与其他区域相连，每个区域的功率通过液区隔板（LZC）进行控制。因此，本研究中研究的PHWR是一个复杂的70阶能量生成系统，具有14个输入和14个输出[5]。PHWR的建模及其与基准实验数据的验证在[30]中给出。PHWR的动态以正常形式描述如下[1,5,8,9]：
(1) (2) (3) (4) (5)
其中fi(.)和gi(zi,1)分别定义如下：
(6a) (6b)
其中fi,1(.)和fi,2(.)分别给出如下：
(6c) (6d)
其中和；，，和分别是第i区的热功率（单位MW）、标准化延迟中子浓度（单位MW·cm?1·s）、标准化氙浓度（单位MW·cm?1·s）和标准化碘浓度（单位MW·cm?1·s）；是耦合系数（无量纲）；是分数产额（无量纲）；，和分别是延迟中子、氙和碘的衰变常数（单位s?1）；是第i区的氙的标准化微观热中子吸收截面（单位MW?1·s?1）；和分别是碘和氙的产额（无量纲）；和是LZC常数；是第i区的输入；是瞬发中子寿命（单位s）。反应堆的全球（总）功率可以按照以下方法计算：(6e) 注1. ηYi和zi分别被称为所考虑的PHWR系统的内部和外部动态。属性1. 反应堆的区域能量不能为负，即zi,1 ≥ 0。属性2. PHWR的相对度为2。如果PHWR的内部动态在整个感兴趣的区域内保持稳定，则可以设计出稳定的跟踪控制器[31,32]。因此，以下引理确保PHWR的零动态保持稳定。引理1. 如果满足以下条件，则方程(1)–(5)中描述的系统的零动态保持稳定：(7a) (7b) (7c) 证明。请参考[1]中引理1的证明。□ 转换为误差坐标为了设计控制器和进行闭环系统的稳定性分析，需要将外部动态转换为误差动态结构。因此，设(8a) (8b) 其中是第i个区域功率的参考信号。现在，方程(1)–(5)中给出的动态可以表示为误差坐标结构如下：(9) (10) (11) (12) (13) 假设1. 参考信号ri及其所有导数都是有界的。3. 漏斗控制介绍漏斗控制背后的理论是在误差接近称为漏斗边界的预定边界时增加增益。考虑一个MIMO系统，定义为，其中i = 1到M，M表示子系统的总数，每个子系统的相对度为一。在介绍漏斗控制之前，考虑以下定义[25,33,34]：(14) (15) 其中，是输出，是参考信号。漏斗控制定义如下：(16) 增益定义如下：(17) 其中是漏斗边界。在这项研究中，我们考虑了以下在文献[33,34,35]中广泛报道的漏斗函数：(18) 其中，和是常数。注2. 如果，漏斗控制保证误差轨迹从变为狭窄的带状。4. 交叉耦合条件漏斗控制（CCC-FC）4.1. CCC-FC的设计根据属性2，PHWR每个区域的相对度为2；因此，我们不能使用方程(16)和(17)中给出的漏斗控制来控制PHWR过程。因此，通过利用误差曲面的概念，我们提出以下CCC-FC的设计：(19) 其中是条件漏斗增益，是误差曲面，定义如下：(20) 其中和在方程(8a,b)中定义，而在中定义如下[27,28]：(21) 其中方程(19)中的被称为条件漏斗增益，定义如下：(22) 基于方程(20)中定义的误差曲面，方程(15)中给出的性能漏斗函数修改如下：(23) 注3. 可以在方程(19)–(22)中注意到，所提出的控制器不需要任何关于PHWR过程的动态知识或PHWR过程专家的知识来进行设计，因此它是一个无模型控制器。这是所提出的控制方案与[1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,13,15,17,18,19,20,21,22,23]中定义的控制方案之间的主要区别。注意，由于漏斗控制器是一个预定的性能控制器，我们可以通过选择合适的漏斗函数来简单地实现误差曲面(si)的期望性能，这与传统的滑模控制不同，在滑模控制中，滑模曲面的性能取决于控制器增益，这需要调整或计算有界项。一旦通过漏斗函数选择了误差曲面的期望性能，我们就可以通过选择误差曲面参数“ci,j”来实现输出误差的性能。此外，参数“”是根据漏斗函数参数选择的，而“”被选择得足够大以确保快速收敛。注4. 还可以在方程(20)中注意到，误差曲面中引入了交叉耦合项，这些项提供了关于其他区域功率误差变化的信息给第i个区域控制器。基于这些信息，第i个区域控制器及时采取纠正措施以减少区域间功率耦合引起的干扰。因此，首次提出了基于交叉耦合的漏斗控制方案。此外，为了在不降低瞬态性能的情况下提高稳态精度，在误差曲面的设计中使用了方程(21)中的积分器。从注2中我们得出结论，如果，漏斗控制保证从变为狭窄的带状。因此，如果我们在条件漏斗增益（在方程(22)中给出）中使用传统的漏斗函数（在方程(18)中定义），在跟踪不够平滑的参考信号时，有可能会逃出狭窄的漏斗带。为了解决这个问题，下面提出了算法1，它是[26]中给出的漏斗算法的修改版本。算法1：修改后的漏斗算法步骤1：使用计算：(24)步骤2：使用计算：(25)步骤3：计算：(26)步骤4：使用计算漏斗函数的值：(27) 其中，，，和是常数，是继电器变换函数，定义如下：(28) 注意，所提出的算法依赖于三个代数方程。由于这些方程中没有积分器，因此可以以较低的计算成本轻松实现。然而，其计算开销略高于仅包含一个代数方程的简单漏斗函数，但在跟踪不够平滑的参考信号时，简单漏斗函数存在稳定性问题，因此我们不能在跟踪不够平滑的参考信号时使用简单漏斗函数。4.2. 稳定性分析为了对闭环系统进行稳定性分析，我们首先提出引理2–4，分别证明，和保持有界，其中。类似于[34]，然后通过提出定理1来证明误差曲面和条件漏斗增益保持有界。注意，所提出的控制器在其设计中不需要任何PHWR模型的动态函数；本节中使用的PHWR模型只是为了便于闭环系统的稳定性分析。假设2. 假设其中，和是常数。注5. 从漏斗函数的定义中，我们推断出漏斗边界是Lipschitz的，其中是一个Lipschitz常数，即对于时间间隔，(29) 通过使用事实以及方程(9)–(13)和方程(19)–(22)，我们得到以下闭环系统：(30) (31) (32) (33) 其中，，和分别是3 × 3、3 × 1和3 × 3的适当矩阵，使得，和，其中，和分别是，和的元素。注6. 由于漏斗函数是有限的，我们可以定义。此外，定义。引理2. 对于，存在一个常数，使得集合保持正不变，其中是定义为，其中是一个14 × 1矩阵，是一个对称正定矩阵，使用计算得出，其中和是14 × 14的对角矩阵，是一个14 × 14的单位矩阵。证明。通过对取时间导数并进行一些排列，可以证明集合保持正不变。□引理3. 对于，存在一个常数，使得集合保持正不变，其中是一个常数，是一个14 × 1矩阵，是一个14 × 1矩阵，定义为，其中是一个14 × 14的对称正定矩阵，可以使用计算得出，其中是一个14 × 14矩阵，是一个14 × 14的单位矩阵。证明。通过对取时间导数并进行一些排列，可以证明集合保持正不变。□引理4. 对于，存在一个常数，使得集合保持正不变，其中也是一个常数，且也是常数，定义为，其中是一个42 × 1矩阵，是一个42 × 42的对称正定矩阵，使得，其中是一个42 × 42矩阵，是一个42 × 42的单位矩阵。证明。通过对取时间导数并进行一些排列，可以证明集合保持正不变。□从引理2到4，我们可以定义以下紧凑集合：(34) (35) 其中，是一个14 × 1矩阵，因此。注7. 由于，对于，我们有，这表明和之间存在严格正距离，其中是一个14 × 1矩阵。此外，从假设1和引理2到4，存在，使得：(36)定理1. 考虑方程(30)–(33)中呈现的闭环系统。假设满足假设1和2，和。然后，通过注5–7，存在，确保误差曲面在漏斗区域内演变并始终保持在其中。此外，方程(22)中定义的条件漏斗增益对于所有都保持有界，其中和代表变化发生的时刻。证明。通过常微分方程的存在性和唯一性定理([16])：定理3.1)，闭环系统的解存在于上，其中。从注7中，我们有。因此，存在一个时间，使得，其中。由于，对于，因此，和是有界的。定义作为，其中，和，和分别在注5、6和7中定义，表明以下不等式的存在：(37) 使用矛盾理论，这是漏斗控制理论[25,34]中的标准程序。因此，类似于[34]，在不等式(37)中寻找矛盾，我们假设存在一个时间间隔，在此期间不等式(37)不成立，其中和。通过函数的连续性，我们将时间间隔划分为，使得(38) (39) 其中使用假设2、方程(22)、方程(32)、不等式(39)和定义，我们有：(40) 通过对区间积分不等式(40)并使用注5和不等式(38)和(39)，我们得到，这与矛盾，证明了不等式(37)成立。通过使用事实和，我们得到。由于系统和参考信号及其导数的轨迹是有界的，我们根据微分方程的最大解性质得出结论，解对于所有都是有效的，即。因此，(41) 使用不等式(41)，方程(22)中给出的条件漏斗增益满足。因此，漏斗增益对于所有都保持有界。这完成了证明。□ 5. 仿真结果在本节中，通过模拟三种不同的场景来证明所提出的控制方案对PHWR过程的有效性，并讨论了它们的结果。所提出的控制方案的关键参数的敏感性分析如下附录：(1) 对于，由于（即）仅向第i个区域控制器提供关于其自身区域输出误差（即第i个区域输出误差）的信息，参数主要影响第i个输出误差的响应速度。因此，较高的值通常会导致更快的上升时间，但显著增加超调的可能性和幅度。(2) 对于，由于向第i个区域控制器提供所有其他区域的输出误差信息，通过使用这些信息，如果任何区域输出误差（除了第i个区域功率）发生变化，第i个区域控制器可以提前采取纠正措施，从而减少其他区域功率变化对第i个区域功率的影响。因此，较高的值通常可以抑制区域间的干扰；然而，较高的值也会使控制器对区域间干扰更加敏感。（3）该参数主要影响控制器达到目标值的速度；因此，该参数的值越大，控制器达到目标值的速度就越快。（4）该参数决定了何时开始积分器的动作；因此，该参数的值越小，系统的瞬态性能就越好。（5）该参数影响漏斗函数的收敛速度，由于误差表面在漏斗函数内演变，它也决定了误差表面的收敛速度。（6）该参数影响漏斗函数的初始值，而另一个参数影响漏斗函数在移动时的值。根据[35]中的分析，这些参数被尽可能精确地选取。（7）该参数影响漏斗函数的最终收敛点。由于漏斗函数将误差表面引导到特定区域，较大的该参数值会使该区域变宽，从而扩大误差表面；而过小的该参数值则会降低误差表面的值，但代价是漏斗增益增大。根据上述讨论，选择控制器参数的指导原则如下：首先，选择决定漏斗函数收敛速度和收敛边界的参数；然后，选择确保误差表面进入边界时积分器开始工作的参数；接着，选择足够大的参数以确保控制器能够快速达到目标值；再选择足够大的参数以确保误差表面最初被包含在漏斗函数内。由于反应堆系统中不希望出现较大的超调，因此选择较小的参数以确保输出误差的超调在可接受范围内。由于当选择较大的该参数值时区域控制器会变得敏感，因此需要选择足够大的该参数值。根据上述指导原则，选定了以下控制器参数：5.1. 场景1：参考跟踪 在此场景中评估了所提出的控制方案对压水反应堆（PHWR）的参考跟踪能力。假设在某时刻，反应堆以100%的全功率运行。随后，功率需求以-10 MW/s的速率开始变化，并在某一时刻达到1620 MW，如图1a所示。所提出的控制方案能够紧密跟随功率需求，并将反应堆的总功率调整到新的需求功率。从图1a可以看出，反应堆的总功率在稳定到1620 MW之前先达到了1619.3 MW的最小值，而[5]和[8]中报告的反应堆功率分别达到了1613 MW和1611 MW的最小值。此外，所提出的控制方案在大约1秒内将反应堆功率稳定到需求功率，而[5,8]中提出的控制方案则需要约3000秒。进一步假设，在另一时刻，功率需求以10 MW/s的速率开始变化，并在某一时刻达到1799.46 MW。从图1a可以看出，所提出的控制方案在达到1800.2 MW的最大值后，将反应堆功率稳定到了1799.46 MW。图1b显示了前三个区域的误差表面图以及漏斗边界图，表明误差表面没有超出漏斗边界。控制信号图显示在图1c–f中，而区域功率图显示在图1g–j中。控制信号的幅度保持在1 V以内，[5,8]中给出的控制器信号的幅度也在1 V以内，因此所提出控制器的输出与[5,8]中提出的控制器相当。为了证明改进后的漏斗算法的有效性，我们还使用[33,34,35]中提出的传统漏斗函数以及[18]中的方程式(18)模拟了控制方案。使用传统漏斗函数的控制器结果如图1k–l所示。从图1l可以看出，当功率需求变化时，误差表面会超出漏斗边界，从而导致控制器不稳定。图1. 场景1. (a) 所提方案的反应堆总功率和需求功率图。(b) 所提方案的参数(i = 1至3)图。(c) 区域1、2和5的控制器输出图。(d) 区域6、7和12的控制器输出图。(e) 区域3、4、10和11的控制器输出图。(f) 区域8、9、13和14的控制器输出图。(g) 区域1、2和5的功率图。(h) 区域6、7和12的功率图。(i) 区域3、4、10和11的功率图。(j) 区域8、9、13和14的功率图。(k) 方程式(18)中给出的漏斗函数的反应堆总功率和需求功率图。(l) 方程式(18)中给出的参数(i = 1至3)图。5.2. 场景2：功率倾斜 在此场景中，评估了所提出的控制方案对压水反应堆功率倾斜[36]的校正能力。假设初始的区域功率分布与所需分布不同。[36]中列出的初始分布具有-2%的左右倾斜和轴向倾斜以及0%的上下倾斜，而实际需要的是0%的左右倾斜和轴向倾斜以及约2.5%的上下倾斜。反应堆总功率的瞬态行为如图2a所示，倾斜情况如图2b所示。从图2a可以看出，绝对最大功率约为0.19%，而[5,8]中报告的绝对最大功率约为0.45%；然而，与[5,8]相比，实现这一结果需要较大的控制努力。此外，图2b显示所提出的控制方案在大约10秒内校正了倾斜，而[5]和[8]中的图表显示分别需要至少2000秒和3000秒。控制器输出显示在图2c–f中，区域功率图显示在图2g–j中。图2. 场景2. (a) 总功率变化图。(b) 轴向、左右和上下倾斜图。(c) 区域1、2和5的控制器输出图。(d) 区域6、7和12的控制器输出图。(e) 区域3、4、10和11的控制器输出图。(f) 区域8、9、13和14的控制器输出图。(g) 区域1、2和5的功率图。(h) 区域6、7和12的功率图。(i) 区域3、4、10和11的功率图。(j) 区域8、9、13和14的功率图。(k) 方程式(18)中给出的漏斗函数的反应堆总功率和需求功率图。(l) 方程式(18)中给出的参数(i = 1至3)图。5.3. 场景3：输入干扰 在此场景中，评估了所提出的控制方案对输入干扰的鲁棒性。假设反应堆以100%的全功率运行，并且在某一时刻，反应堆第1区域的输入端出现了干扰。输入干扰信号在10秒内以某一速率变化，接下来的10秒内以另一速率变化，之后保持不变。注意，在[5]中，输入干扰的变化速率较低，为0.01 V/s（首先以0.01 V/s的速率减小，然后在接下来的10秒内以相同的速率增加）。反应堆总功率的图显示在图3a中，表明绝对最大偏差约为0.00032 × 10^-2%，而[5]中报告的绝对最大偏差约为5 × 10^-2%。控制器输出显示在图3b–e中，区域功率图显示在图3f–i中。为了进一步研究所提出控制方案的鲁棒性，我们通过改变耦合参数的值来模拟上述场景，图2k显示了相应的总功率变化。从图2k可以看出，仅通过改变耦合参数，总功率偏差就从0.19%（图2a所示）增加到了0.3%。5.3. 场景3：输入干扰 在此场景中，评估了所提出的控制方案对输入干扰的鲁棒性。假设反应堆以100%的全功率运行，并且在某一时刻，反应堆第1区域的输入端出现了干扰。输入干扰信号在10秒内以某一速率变化，然后接下来的10秒内以另一速率变化，之后保持不变。注意，在[5]中，输入干扰的变化速率较低，为0.01 V/s（首先以0.01 V/s的速率减小，然后在接下来的10秒内以相同的速率增加）。反应堆总功率的图显示在图3a中，表明绝对最大偏差约为0.00032 × 10^-2%，而[5]中报告的绝对最大偏差约为5 × 10^-2%。控制器输出显示在图3b–e中，区域功率图显示在图3f–i中。为了进一步研究所提出控制方案的鲁棒性，假设在某一时刻，反应堆第1区域的输入端出现了0.5 V的阶跃干扰（而不是之前考虑的斜坡输入干扰）。反应堆总功率的图显示在图3j中，表明绝对最大偏差约为0.008 × 10^-2%。控制器输出显示在图3k–n中，区域功率图显示在图3o–r中。注意，[5,8]中没有模拟阶跃输入干扰的情况，因此我们无法对[5,8]中给出的控制器的稳定性和性能进行评价。图3. 场景3. (a) 斜坡输入干扰下的总功率变化图。(b) 斜坡输入干扰下区域1、2和5的控制器输出图。(c) 斜坡输入干扰下区域6、7和12的控制器输出图。(d) 斜坡输入干扰下区域3、4、10和11的控制器输出图。(e) 斜坡输入干扰下区域8、9、13和14的控制器输出图。(f) 斜坡输入干扰下区域1、2和5的功率图。(g) 斜坡输入干扰下区域6、7和12的功率图。(h) 斜坡输入干扰下区域3、4、10和11的功率图。(i) 斜坡输入干扰下区域8、9、13和14的功率图。(j) 阶跃输入干扰下的总功率变化图。(k) 斜坡输入干扰下区域1、2和5的控制器输出图。(l) 斜坡输入干扰下区域6、7和12的控制器输出图。(m) 斜坡输入干扰下区域3、4、10和11的控制器输出图。(n) 斜坡输入干扰下区域8、9、13和14的控制器输出图。(o) 斜坡输入干扰下区域1、2和5的功率图。(p) 斜坡输入干扰下区域6、7和12的功率图。(q) 斜坡输入干扰下区域3、4、10和11的功率图。(r) 斜坡输入干扰下区域8、9、13和14的功率图。6. 结论 本研究提出了一种无模型的控制方案，用于压水反应堆的负荷跟踪操作，通过改进漏斗控制方案来实现。所提出控制方案的优点如下：(1) 控制器的设计复杂度低；(2) 控制器在不使用复杂算法的情况下减少了区域间耦合的影响；(3) 控制器在不降低瞬态性能的情况下确保了稳态精度。为了评估所提出控制方案的性能，模拟了三种不同的场景（参考跟踪、功率倾斜和输入干扰）。仿真结果表明：所提出的控制方案能够高效地跟踪参考信号，并在大约1秒内将反应堆功率稳定到需求功率，同时最大超调/欠调约为±0.043%。所提出的控制方案在大约10秒内校正了功率倾斜，最大绝对偏差为0.19%。所提出的控制方案能够有效抑制斜坡和阶跃输入干扰，而不会使反应堆进入不稳定状态。斜坡输入扰动的最大绝对偏差约为0.00032 × 10^-2%，而阶跃输入扰动的最大绝对偏差约为0.008 × 10^-2%。由于漏斗控制（Funnel Control, FC）理论仍在不断发展中，许多相关研究[25,26,28,33,34,35,37,38,39]在设计时并未考虑输入约束问题。因此，文献中关于如何基于正式理论框架（包括闭环稳定性分析）设计具有输入约束的漏斗控制器的研究相对较少。例如，最近在[40]中提出了一种考虑输入约束的漏斗控制器，但这些研究也存在一定的局限性。此外，在[6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,29,41,42]等研究中，控制器设计过程中并未考虑输入约束问题，因此这些研究未能为压水反应堆（PHWR）的输入约束控制提供正式的理论支持。同样，我们在本研究中提出了一种新型的CCC-FC（Cross-Coupled Conditional Funnel Controller）方案用于PHWR的控制；因此，可以通过在该方案中考虑输入约束问题来进一步扩展这项工作。未来的研究方向还包括设计用于估计控制器中所需导数项的估计器，以及开发自适应版本的交叉耦合条件漏斗控制器（Cross-Coupled Conditional Funnel Controller），使其能够根据性能要求自动调整参数，从而减少对控制器参数预先选择的依赖。