单肌腱驱动机器人的运动解耦与α-TDE-NTSM控制方法 袁飞， 李建华， 韩华伟， 徐奇旺， 胡林锋

《Actuators》：Kinematic Decoupling and α-TDE-NTSM Control for Single-Tendon-Driven Manipulators Fei Yan, Jianhua Li, Huawei Han, Qiwang Xu and Linfeng Hu

　　摘要 与刚性连杆机构相比，肌腱驱动的操纵器具有明显的优势，如更轻的重量、更大的灵活性以及对狭小空间的适应性。为了解决反向间隙问题并提高特定应用环境中的运动精度，本文提出了一种新型的单肌腱驱动设计，用于操纵器的每个关节。系统地推导出了操纵器的运动学模型。然后，设计了一种解耦算法来减轻运动耦合效应，并实现电机输入与关节运动之间的精确映射。此外，为了提高肌腱驱动操纵器的轨迹跟踪控制的精度，本文提出了一种基于时间延迟估计（TDE）的非奇异终端滑模（NTSM）控制方案。TDE用于估计未知干扰。基于TDE技术引入了一个可调参数，该参数可以提高系统对外部不确定性和干扰的鲁棒性。通过李雅普诺夫稳定性理论验证了闭环控制系统的稳定性。最后，进行了解耦实验以验证运动学模型和所提设计的可行性，并进行了对比实验以证明所提控制方案的优点。 1. 引言肌腱驱动技术广泛应用于可穿戴机器人[1,2,3]、并联机器人[4,5,6]和串联机器人[7,8,9]中。电缆通常重量轻，适合长距离运动传输，这些特性为机器人设计提供了更大的潜力[10,11]。在设计可穿戴机器人时，设计师可以将电机或其他驱动单元放置在地基上，从而减轻用户承担的驱动电机负担[12,13]。与刚性连杆相比，电缆更适合驱动并联机器人，因此在某种程度上并联机器人离不开电缆[14]。对于串联机器人，当电机安装在机器人臂上时，机器人臂会变得较大且较重，因为电机和减速器会占用大量空间和重量。连续体机器人是一种特殊的串联机器人，其形状类似于蛇。连续体机器人的空间非常有限，因此只能在地基上安装电机并使用肌腱驱动技术[15]。已经为不同目的设计了各种类型的肌腱驱动串联机器人。例如，Martin Varga等人研究了三种不同结构的连续体机器人，即一种弹性模块和两种刚性模块，并通过实验研究了这些结构之间的运动差异[16]。多节连续体结构常用于连续体操纵器的设计。在连续体机器人的建模中通常使用恒定曲率假设，但这在理论上并不精确。多节连续体机器人（MVCRs）也称为多骨架连续体机器人，其曲率是恒定的。换句话说，可以精确计算多节连续体机器人的动态模型而不会出现理论误差。MVCRs比刚性连杆机器人具有更高的柔顺性，并且比软体机器人更可靠。Xinge Li等人设计了一种具有大伸展比的多节连续体机器人，他们将两个可伸展部分连接起来，每个部分都装有中间约束。该结构通过理论和实验得到了验证[17]。多节连续体机器人可以由超弹性NITI合金制成。为了改善角落的不平整度，在操纵器的每个关节上使用了弹性梁。建立运动学模型和几何约束方程及力平衡方程后，这种连续体机器人可以用作微创手术器械[18]。Kaidi Zhu等人提出了一种串联S形骨架结构的连续体机器人，可以通过3D打印技术制造。串联S形骨架可以大大减少连续体机器人的变形。已经进行了实验来验证S形骨架结构的有效性[7]。现有文献中也发现了各种类型的可伸展单节软体机器人[19,20,21]。这种机器人受到生物启发，其结构类似蜂窝或细胞。这类机器人在机械性能上具有一个重要优势：它具有较高的能量吸收潜力。Ibrahim A. Seleem等人提供了一个可伸展单节软体机器人的实际例子。他们的机器人使用纵向和横向分布的平板金属片制造。在电缆的收缩作用下，该机器人可以执行压缩、伸展和弯曲动作[22]。磁性连续体机器人是连续体机器人设计中的一个新颖概念[23,24]。Bentao Zou等人设计了一种用于胃部手术的尺蠖形磁性微机器人，通过优化pH响应水凝胶的批量制造工艺提高了结构性能[25]。Tianxiang Liu等人设计的另一种磁性连续体机器人采用实时静态模型来处理非线性问题，并使用点偶极模型更精确地描述机器人的非线性变形[26]。Chunbo Wang等人设计了一种用于微创手术的预设刚度连续体机器人，该机器人具有集成结构，以实现一定的预设刚度和双向推拉能力[27]。单肌腱驱动使得远端操纵成为可能。单肌腱驱动是提高肌腱驱动机器人远端控制精度的一种有前景的方法。先前的工作使用单肌腱鞘传动来构建精确模型[28]。受这些想法的启发，本工作将使用单肌腱驱动来设计刚性连杆肌腱驱动机器人。对于软体连续体机器人来说，刚度对其工作性能非常重要。Jung-Che Chang等人设计了一种具有6自由度连续体部分的刚度可调连续体机器人。该机器人具有长连续体臂和6自由度连续体末端，适用于工业应用[29]。Pengyuan Wang等人设计了一种基于螺旋结构的连续体操纵器，其刚度可以改变。他们使用软气动执行器来提高柔韧性和负载重量比[30]。一些学者和工程师致力于以不同方式解决肌腱驱动机器人中的运动解耦问题[31]。非圆形滑轮提供了一种补偿运动耦合的方法，误差较小。基于这一想法，可以描述滑轮轮廓并设计解耦系统的机械结构[32]。另一种处理运动耦合现象的方法是使用可移动滑轮。为不同类型的旋转关节（包括滚转、俯仰和偏航）设计了平移补偿和旋转补偿。驱动电缆用于确定可移动滑轮的位置并承受施加在其上的轴向力[33]。肌腱驱动模块也被用作线性解耦机制。通过仔细设计电机与电缆之间的关系，可以实现电机与关节之间的线性传动。通过建立操纵器的静态模型，可以补偿驱动电缆中的运动变形[34]。无论使用哪种解耦方法，主要原则都是避免缠绕，因为缠绕可能导致摩擦甚至损坏电缆传动系统。现有的解耦单元可以避免潜在的缠绕，并有效解决肌腱驱动机器人中的耦合问题。然而，解耦机制或单元会增加机器人臂的额外质量，从而显著增加肌腱驱动系统的移动质量。沉重的臂会降低负载重量比并增加肌腱驱动机器人的能耗。许多学者使用柔性动力学来建立系统，这可以提供高跟踪控制性能。在大多数实验中，时间延迟控制（TDC）方案是一种利用过去系统数据估计当前不确定性的有用方法[35]。时间延迟估计（TDE）技术作为TDC的核心，不仅提供了无模型结构，还近似了机器人的未知动力学和不确定性[36,37]。为了提高系统的有效性，已经进行了许多使用TDE技术的实验。为了减少具有强耦合、非线性和时变不确定性的三轴并联机构的跟踪误差，Zhou等人设计了一种无模型解耦和鲁棒的重复控制器，使用时间延迟估计（TDE）[38]。Alsaied等人设计了一种基于时间延迟估计（TDE）结合优化型2型模糊逻辑的控制方法，用于下肢外骨骼机器人的步态轨迹跟踪[39]。Alqaisi等人将时间延迟估计（TDE）与反馈线性化和滑模控制相结合，TDE用于估计非线性干扰[40]。为了减少机床的轮廓误差，Dai等人设计了一种基于时间延迟的滑模控制方法，并结合了轮廓误差预补偿[41]。在[42]中，提出了一种用于模块化自重构航天器的新型自适应滑模控制方案。该控制方案利用TDE补偿耦合项和不确定性。为了控制未知模型动力学的同轴旋转器无人机位置，提出了一种基于TDE的最优无模型模糊控制算法[43]。此外，TDE技术已广泛应用于机器人操纵器控制领域[44,45,46]。本文设计了一种新型单肌腱驱动操纵器。为了解决操纵器的运动耦合问题，本文通过开发耦合模型和解耦算法建立了运动学模型。然后，基于α-TDE提出了一种非奇异终端滑模控制方案用于轨迹跟踪。我们试图做出以下贡献：设计一种肌腱驱动操纵器，并描述所提操纵器的肌腱如何保持正张力。计算运动学模型并提出解耦算法。设计一种基于α-TDE的新型非奇异终端滑模控制方案。通过实验验证上述方法的可行性和有效性。本文的其余结构如下。第2节给出了操纵器设计方法。第3节描述了解耦的理论知识。第4节给出了系统动力学和主要控制理论结果。第5节介绍了解耦实验和对比实验。最后，第6节总结了本文。 2. 操纵器设计 2.1. 整体结构如图1所示，操纵器安装在一个容纳所有驱动单元和支持设备的载体上。对于关节1，一根肌腱从载体伸出并驱动关节1的绞盘，该绞盘直接驱动连杆1。对于关节2，情况变得更加复杂，因为肌腱必须先通过关节1才能驱动关节2的绞盘。在关节1的轴上设置了一些滑轮来定位通过它的肌腱。一根肌腱从载体伸出，通过关节1，最终驱动关节2的绞盘。另一根肌腱以相同的方式驱动关节3的绞盘。在关节1和关节2的轴上分别设置了两个滑轮。一根肌腱从载体伸出，通过这两个滑轮，最终驱动关节3的绞盘。绞盘驱动相应的轴，然后驱动连杆3完成整个力的传递。图1. 新设计肌腱驱动操纵器的整体结构。 2.2. 肌腱路径如图2所示，为了清晰起见，移动了肌腱驱动操纵器的一些部分。如图所示，关节1由电机1的绞盘驱动的一根肌腱驱动。当电机通电拉动肌腱时，关节1可以顺时针旋转。同时，假设重力向下，第一个关节在重力作用下倾向于逆时针旋转，这确保了关节1的肌腱保持正张力。图2. 肌腱驱动操纵器的电缆路径图。考虑一个简化的2自由度肌腱驱动操纵器，如图3所示。根据上述分析，当手臂位于左侧时，第一个关节的肌腱始终处于正张力状态。然而，仅靠重力往往不足以在外部干扰下保持肌腱的恒定正张力。幸运的是，关节2的驱动肌腱有助于保持关节1的肌腱处于正张力状态。图3. 简化2自由度肌腱驱动操纵器的示例。对于关节2和肌腱2，假设关节1的铰链被锁定，电机2通电拉动肌腱。在这些情况下，肌腱2倾向于缩短并缠绕在电机2的卷扬机上，这可以通过两种方式实现。第一种方法很直接：关节2顺时针旋转。第二种方法是关节1逆时针旋转。换句话说，拉动肌腱2会使关节1产生逆时针方向的旋转趋势。为了讨论肌腱的路径以及如何保持所有肌腱处于正张力状态，图2中的每根肌腱都被单独抽出并在图4中绘制出来。根据之前的分析，肌腱1由电机1驱动，电机1可以使关节1顺时针旋转。当肌腱2被电机拉动时，它会通过关节1并使其逆时针旋转。因此，这两根肌腱为关节1提供了两个相反的扭矩，确保肌腱1保持正张力。其他肌腱和关节的情况也是如此，但在最后一个关节上略有不同。关节2由肌腱2驱动，使其顺时针旋转。同样，肌腱3通过关节2时会使关节2逆时针旋转。因此，两个不同方向的扭矩确保了关节2的可行性。然而，对于关节3来说，没有肌腱通过它，因为它是末端关节。肌腱3拉动关节3顺时针旋转，而带有弹簧的肌腱4用于将关节3拉向相反方向旋转。弹簧有一个显著的缺点：其力在操作过程中会有显著变化。过大的预载会增加电机的负担并提高能耗。因此，这项工作找到了另一种方法来紧固肌腱，即使用另一个电机和肌腱代替弹簧，如图5所示。肌腱4通过关节1和关节2，并连接到驱动电机，从而提供恒定的力。这可以视为一种改进，因为可以根据不同的工作要求自由调整预载。此外，重力在运动过程中也起作用。通过限制肌腱驱动的机械手的工作范围，重力扭矩与驱动扭矩相反，有助于保持肌腱处于正张力状态。图4. 肌腱驱动机械手的肌腱路径示意图。图5. 紧固肌腱的另一种方法（肌腱4的示意图）。在本文中，工作空间被分为两个部分，因为机械手总是在左侧区域工作以保持肌腱紧绷。左侧被称为“正”侧，用来描述多自由度肌腱驱动机械手的电缆路径。肌腱1在关节1的左侧缠绕在关节1上，与机械手的工作区域在同一侧。在这项工作中，肌腱1位于关节1的正侧。相比之下，肌腱2从相反的一侧通过关节1，因此我们认为肌腱2从负侧通过关节1。同样，肌腱2位于关节2的正侧，而肌腱3从负侧通过关节2。3. 运动学模型 3.1. 运动耦合的描述运动学模型对于肌腱驱动机械手的轨迹规划和实际应用至关重要。运动耦合是肌腱驱动机械手中存在的一种独特现象，在建立运动学模型之前应对其进行分析。首先，我们做出以下假设。假设1. 肌腱在操作过程中长度保持不变。假设2. 肌腱在操作过程中保持正张力，并且从不从滑轮上松开。假设3. 肌腱驱动机械手的连杆在工作过程中不会改变形状。假设4. 如果肌腱缠绕在卷扬机上，肌腱相对于卷扬机不会滑动。对于传统的直接驱动机械手，一个关节的旋转不会改变另一个关节的位置。然而，对于肌腱驱动机械手，靠近基部的关节会影响靠近末端的关节。如图6所示，肌腱1、2和3分别用红色、橙色和绿色表示。从图6a的姿势到图6b的姿势，只有电机1旋转以拉动肌腱1。电机2在此过程中保持稳定，但关节2逆时针旋转，使得连杆2看起来只是平移而没有旋转。这种现象被称为肌腱驱动机械手的运动耦合。图6. 电机旋转后肌腱驱动机械手的姿势变化。3.2. 符号表示法动态建模的目的是利用电机的旋转角度来计算末端执行器的位置。首先，需要建立电机和关节之间的旋转关系。第一个关节，编号为关节1，不会受到其他关节的影响，仅由电机1的旋转角度决定。为了简化问题并且不失一般性，当电机拉动肌腱并使其缠绕在卷扬机上时，卷扬机的旋转方向被视为正方向。用 表示连接到电机1的卷扬机的直径，用 表示电机2的直径，用 表示电机3的直径。为了给出一个n自由度肌腱驱动机械手的通用解，用 来表示电机n的卷扬机直径。关节1的轴上有几个滑轮和一个卷扬机。卷扬机用于驱动关节1，其直径用 表示。肌腱2通过关节1，并且需要一个滑轮来引导它，其直径用 表示。这里，1表示滑轮位于关节1，2表示肌腱2由该滑轮引导。其他滑轮和卷扬机的直径也将用相同的规则表示。第一个下标p表示滑轮所在的关节，第二个下标q表示被滑轮引导的肌腱。具体来说，当p等于q时， 表示驱动关节p的卷扬机的直径。对于n自由度肌腱驱动机械手，电机的旋转角度用 表示，关节的旋转角度用 表示。3.3. 运动耦合的数学表达式回到图4，首先考虑关节1。可以发现，因为肌腱的速度在任何地方都是恒定的。进一步来说，关节2的旋转角度不仅由电机1决定，还受到关节1的影响，即关节2的旋转角度是上述两个因素的总和。从图4a和图4b中，我们可以分析由关节1引起的肌腱2的长度变化。两滑轮之间的肌腱长度保持不变，因为肌腱是两个滑轮的切线。当关节和连杆旋转时，两滑轮之间的距离不会改变。因此，当关节1旋转时，肌腱2的长度变化仅是肌腱缠绕在相应滑轮上或从滑轮上脱离的长度。肌腱2由于关节1的旋转而产生的长度变化与关节1的旋转角度成正比。此外，我们还应该考虑变化是正还是负。我们可以看到，肌腱1和肌腱2相对于关节1的缠绕方向相反。当肌腱1向正方向移动，即电机1拉动肌腱1时，肌腱2缠绕在滑轮上，肌腱2拉动关节2。因此，当关节1向正方向移动时，关节2也向正方向移动，所以 表示正相关。从图4c可以看出，肌腱3从左侧通过关节1，所以 表示负相关。数学上， 用于表示肌腱2通过关节1时的耦合量。如果从图4的角度看，一个关节顺时针旋转，我们认为该关节向正方向旋转。如图所示，当肌腱被拉动时，所有关节都顺时针旋转，用 来表示这一点。对于肌腱驱动机械手的关节n，存在以下关系。 (1) 运动耦合可以用矩阵形式重新表示，即 。通常，我们希望获得关节的旋转角度来定位末端执行器，运动耦合矩阵将会有所帮助。 的内容可以通过重新排列上述公式得到，如下所示。 (2) 是一个下三角矩阵，其对角线上的元素表示电机与其驱动的关节之间的传动比。 是非零的，因此可以通过矩阵求逆得到，这也是一个下三角矩阵。对角线以下的元素表示运动耦合的影响，随着 的增加和 的减少而减小。注1. 在建模过程中，我们已经考虑了机器人臂滑轮的制造公差；使用的滑轮直径可以使用 vernier 卡尺准确测量，公差非常小。4. NTSM方案设计与TDE 4.1. 系统动力学方案n自由度单肌腱驱动机械手的动力学模型可以表示为 (3) (4) (5) 其中 和 分别表示关节和电机的位置。 和 是电机的惯性矩阵。 是机械手的质量-惯性矩阵。 是科里奥利矩阵。 和 分别表示重力矢量和摩擦矢量。 是集总未知干扰。 是电机输入扭矩矢量。 是关节柔顺性扭矩矢量。 和 分别是关节刚度和阻尼矩阵。将(3)与(4)结合，并使用一个常数矩阵，可以得到以下方程 (6) 其中 是一个常数参数。 (7) 如(7)所示， 非常复杂，使用传统方法难以获得。为了获得 的信息，采用了TDE技术，如下所示 (8) 其中L是延迟时间。首先，我们使用TDC方案和TDE来建立控制律，如下 (9) 其中 是跟踪误差。 和 是控制参数。将(9)代入(6)后，结果如下 (10) 如果使用适当的 和 ，控制误差 和 可以被限制在一定范围内。4.2. NTSM控制设计尽管TDC控制方案在许多实际系统中取得了良好的效果，但它也存在需要进一步改进的缺点。为了获得良好的控制性能，提出了NTSM表面，如下 (11) 其中 是正控制参数。 设计为 (12) 其中 ， ， 和 。 和 分别如下给出 (13) 之后，为了减少到达阶段外部干扰的影响，我们使用的线性到达律如下 (14) 其中 是正控制参数。与TDC方案相比，我们提出了α-TDE方案。α-TDE设计使用时间t ? L和时间t ? 2L的数据以及参数α来估计总体不确定性。参数α可以提高估计精度并增强系统对不确定性的鲁棒性。公式如下 (15) 其中 是一个常数参数。 和 通常如下获得 (16) 由于加速度编码器在机械手控制中不常用，大多数实验都是从位置编码器获取角度信号，然后通过数值微分获得角加速度。这种方法已在基于TDE的控制方案中被广泛采用。从公式(16)来看，数值微分通常会引入较大的噪声效应，因此选择适当的小控制参数可以有效解决上述问题。结合设计的NTSM表面和到达律，提出的控制方案如下 (17) (18) α-TDE基NTSM的总体控制方案如图7所示。图7. α-TDE基NTSM的总体控制方案。4.3. 稳定性分析将(18)代入(6)，我们得到 (19) 其中 是TDE的估计误差，其范围受到 [47] 的限制。TDE误差的有界性已被应用于许多实验结果中。选择Lyapunov函数作为（20），并沿时间对（20）求导，得到以下结果（21）。将（19）与（21）结合，我们得到（22）。如果...，则方程（22）将保持不变。因此，系统的流形将收敛为（23）。情况1：对于...；在这种情况下，跟踪误差e被限制在...和...之间。然后，将（11）与（23）结合，我们得到以下结果（24）。方程（24）可以进一步推导为（25）。然后，将（13）代入（25），...将收敛为（26）。情况2：对于...；在这种情况下，...，方程（24）变为（27）。从（27）可以写出以下方程（28）。当...时，方程（28）将保持NTSM表面。考虑到...，...将收敛为以下结果（29）。最后，考虑到这两种情况，...将收敛为以下结果（30），...将收敛为以下结果（31）。

5. 实验
在本节中，有两个实验，包括一个解耦实验和一个比较控制实验。进行解耦实验是为了验证所提出的运动学模型的设计的可行性和有效性。然后，进行了比较控制实验，以证明基于α-TDE的所提出的NTSM控制方案的优势。

5.1. 实验设置
实验使用了名为“Lumidouce II”的操作器，该操作器配备了一个SDGA-01C11BD电机。该电机在3000转/分钟的额定速度下的额定扭矩为...，它连接到一个减速比为1:100的谐波减速器。我们通过E6B2-CWZ1X4096P/R编码器收集反馈信息，其分辨率为0.022°。然后，我们使用带有NI PCI-6229板的Simulink实时系统来运行所有控制器。采样时间设置为1毫秒。
注2：本实验中使用的采样周期为1毫秒，这在操作器控制实验中是常用的。较小的采样周期可以提高时间延迟估计的准确性，但会增加控制器的计算负担。相反，较大的采样周期可以减少计算负担，但会降低估计准确性。

5.2. 解耦实验验证
图2中展示的操作器已经制造完成，并在图8中展示。在这种设计中，使用了一个额外的电机来提供张力，而不是弹簧。弹簧力会随着其长度的变化而变化，这使得保持恒定的张力变得不可能。在这项研究中，假设操作器的连杆不会弯曲，且关节铰链没有间隙。然而，当施加的力增加时，连杆会改变形状。因此，我们尝试通过使用电机而不是弹簧来最小化力的变化影响。

图8. 设计的腱驱动操作器原型。耦合矩阵的元素已测量并计算，如表1所示。考虑了肌腱和滑轮的直径。使用表1中的数据，可以按以下方式计算方程（2）的耦合矩阵（32）。
表1. 耦合矩阵的元素。电机的角度位置显示在图9中，用于估计关节的位置。关节位置的估计结果和实际值分别显示在图10、图11和图12中。关节的位置可以通过...计算得出，其中...由（33）给出。
图9. 电机的角度位置。
图10. 关节1的角度位置。
图11. 关节2的角度位置。
图12. 关节3的角度位置。
如图10、图11和图12所示，从运动学模型计算出的轨迹与从编码器获得的轨迹基本相同。这表明理论模型和实验测量结果具有高度一致性。关节1的轨迹差异很小，因为关节1完全由其驱动电机决定，不受其他关节的影响，因此关节1可以实现精确且独立的控制。关节2的轨迹由其驱动电机和关节1的旋转角度决定，这引入了小的耦合效应。然而，由于关节之间的有效补偿和协调，关节2的轨迹仍然很小。关节3的轨迹由其驱动电机以及关节1和2决定。由于装配间隙和弹性，作为远端的关节3受到很大影响。因此，关节3的轨迹误差略大于其他关节。然而，计算出的轨迹和测量出的轨迹在增长趋势上相似，这证明了理论的正确性。总体而言，实验结果支持本文中提出的运动学模型的正确性。
为了进一步验证所提出的运动学模型的正确性，基于比较控制实验的数据进行了额外的分析。从编码器获得了关节旋转角度。然后，将关节角度代入...，得到了实验电机角度。使用相同的方法，获得了与预期关节角度相关的理论电机旋转角度。如图13所示，当关节2和关节3具有相同的预期角度时，电机2和电机3的角度有显著差异。原因是关节3的耦合角度几乎等于预期角度，因此当关节旋转到预期角度时，电机3只需要旋转一个小角度。通过进一步分析图13，电机角度的理论和实验结果基本相同。由于外部干扰和关节反转，实验关节角度会发生变化，这导致实验电机角度也发生变化。尽管如此，电机角度的理论和实验结果的变化趋势相似，从而验证了所提出的运动学模型的正确性。

5.3. 比较实验研究
控制器1（所提出的）。基于α-TDE的非奇异终端滑模控制方案。
控制器2. 基于TDE的非奇异终端滑模控制方案。控制器2中采用的滑模表面与所提出的控制器1相同。
（34）
控制器3. 基于TDE的终端滑模控制方案。
（35）
（36）
对于我们基于α-TDE提出的控制方案，参数设置为单位...、...、...、...和...。控制器2的控制参数与我们的相同。控制器3的控制参数设置为...，其他参数也选择与我们的相同。
在比较实验中，腱驱动的操作器移动以跟踪图14a,b中显示的轨迹。两个关节的跟踪误差显示在图14c,d中。如图14c,d所示，可以观察到三个控制器的控制性能都取得了良好的结果。然而，所提出的控制器1实现了三个控制器中最小的跟踪误差。特别是在快速加速和减速阶段，控制器1的优势最为明显。然后，基于跟踪误差数据计算了平均绝对误差（MAE）和均方根误差（RMSE），计算结果显示在表2中。为了使比较具有定量性，我们进一步比较了表2中的数据。对于MAE，所提出的控制器1的值可以达到0.261°和0.219°，分别对应于控制器2的90.3%和91.2%，而控制器3的值分别为85.5%和82.3%。对于RMSE，所提出的控制器1的值可以达到0.311°和0.261°，分别对应于控制器2的82.9%和89.3%，而控制器3的值分别为71.3%和74.7%。总体而言，MAE和RMSE的比较表明，所提出的控制器1在跟踪精度方面优于其他控制器。

图14. 轨迹跟踪性能和跟踪误差。
表2. 轨迹跟踪性能的MAE和RMSE。
实验结果显示在图15中。如图15a,b所示，三个控制器的滑模表面相似，表明所有控制器都保持了稳定的滑模状态。进一步分析图15c,d，当腱驱动操作器向上移动时，所提出控制器的值小于其他两个控制器。由于重力的影响，连杆的拉力增加，导致非线性干扰增大。所提出的控制器1使用了α-TDE技术，该技术利用了两个时刻（t ? L, t ? 2L）的加权平均值以及一个调整参数α，可以提高时间延迟估计的准确性。这使得单腱驱动的操作器具有更好的跟踪性能。当腱驱动操作器向下移动时，重力可以帮助操作器向下移动，在这种情况下，所提出控制器1的值与其他两个控制器相似。
图15. 实验结果。
如图15e,f所示，在向上阶段，所提出控制器1的控制扭矩显著小于其他两个控制器。这种减少归因于α-TDE的影响；这解释了α-TDE-NTSM控制器能够有效解决腱驱动操作器的非线性动态问题。此外，所提出控制器1的更平稳的扭矩减少了机械振动，有利于轨迹跟踪。总体而言，所提出的控制器1实现了更好的跟踪性能，并且使用了更低的控制扭矩。这进一步表明了我们提出的控制器1在实际应用中的有效性和实用性。
总体而言，实验中使用的所有控制方案都为单腱驱动的操作器提供了良好的跟踪控制。然而，实验结果表明，我们提出的控制方案表现出更卓越的综合控制性能。

5.4. 有负载和无负载的控制实验
为了验证我们提出的控制方案对未知不确定性的鲁棒性，向机器人操作器的末端执行器增加了额外的0.2千克负载。实验使用了与之前的比较实验相同的期望轨迹和周期。实验结果显示在图16中，从实验数据计算出的RMSE和MAE值总结在表3中。
图16. 有0.2千克负载与无负载的实验结果。
表3. 有0.2千克负载与无负载的控制性能。
如图16a,b所示，我们提出的控制器在负载干扰下仍能保持准确的跟踪性能。对于MAE，关节1和关节2的值分别增加了1.1%和3.7%。对于RMSE，关节1和关节2的值分别增加了4.5%和1.5%。总结上述实验结果，可以看出我们新提出的控制方案的强大鲁棒性得到了证明。

6. 结论
本文介绍了单腱驱动操作器的设计、建模和实验验证。所提出的设计利用单个肌腱的驱动方法来减少反冲并提高运动精度，而额外的肌腱和电机作为张紧装置在整个操作器的工作空间内保持肌腱的恒定张力。然后，我们基于α-TDE为单腱驱动操作器设计了NTSM控制方案用于轨迹跟踪控制，并进行了比较实验以验证所提出控制器的优越性。开发了一种腱路由策略，确保所有肌腱始终保持正张力。这是通过利用相对扭矩和主动张紧机制实现的，其中电机驱动的肌腱替代了传统的弹簧，允许进行一致的预加载调整。推导出了一个运动学模型，该模型明确考虑了关节之间的运动耦合——这是腱驱动系统的独特特征。耦合矩阵被构建用来关联电机输入和关节角度，从而实现精确的正向运动学。NTSM控制设计使单腱驱动操作器能够实现更好的轨迹跟踪。这是通过使用α-TDE技术实现的，该技术估计外部干扰，并通过延长采样数据周期来减轻TDE引起的超调问题。控制系统的稳定性是采用李亚普诺夫（Lyapunov）方法进行分析的。同时完成了原型的制造以及运动学模型的实验验证。实验结果显示，预测的关节轨迹与实际测量轨迹非常吻合，仅存在微小偏差，这些偏差主要归因于装配公差和结构弹性，尤其是在末端部分。与两种TDE（Tendon-Driven Exercise）控制方案相比，α-TDE方案能够实现更小的跟踪误差，并且运动轨迹更为平滑。此外，包含负载和不包含负载的对比实验进一步证实了所提控制器的可靠性，特别是在面对较高鲁棒性要求的情况下。所提出的设计与建模方法在应用方面显示出可行性，其在减重、减小阻力以及实现解耦控制方面具有优势。我们的控制方案在单肌腱驱动的机械臂轨迹跟踪任务中表现出优异的性能。未来的工作可以集中在动态建模、闭环控制以及将该设计扩展到具有更多自由度的机械臂上。