利用数据同化和机器学习技术提升矩形圆柱体的RANS湍流建模效果

《Computers & Fluids》：Enhancing RANS turbulence modeling for rectangular cylinders using data assimilation and machine learning

　　马泰奥·罗塞利尼（Matteo Rosellini）|乔瓦尼·斯塔贝莱（Giovanni Stabile）|亚历山德罗·马里奥蒂（Alessandro Mariotti）|玛丽亚·维多利亚·萨尔韦蒂（Maria Vittoria Salvetti）
意大利比萨大学土木与工业工程系，卢西奥·拉扎里诺广场2号（Largo Lucio Lazzarino 2），56122

**摘要**
本研究开发了一个框架，以提高涡粘性雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）模型的精度，用于模拟具有不同宽高比和雷诺数的矩形圆柱体周围的二维平均流动。这些流动的特点是具有RANS模型难以预测的平均流动结构。所提出的方法整合了变分数据同化（DA）和机器学习（ML）技术。训练和验证数据集是通过大涡模拟（Large Eddy Simulations）生成的。

在RANS动量方程中引入了一个修正项，该修正项既可以作为强迫项，也可以作为扩散项中散度算子下的无迹对称张量，从而产生一个基于物理的修正场，直接解决涡粘性模型的局限性。修正场是通过变分数据同化步骤获得的。然后训练一个ML模型，以从选定的流动特征预测节点修正场。研究表明，要准确再现平均速度以及压力和空气动力载荷，需要在数据同化步骤中包含压力。对ML设置中的不同选择进行了全面的敏感性分析，例如修正场、输入特征和模型架构。这使得我们能够量化与ML相关的选择在明确的方法论和相对简单的框架下对模型预测能力的影响程度。最后，通过对未见过的几何形状和雷诺数的速度场和压力场的准确重建能力进行验证，以及将其泛化到不同于训练时使用的网格上。

**引言**
近来，计算能力的提升和越来越可靠、经过测试的算法使得机器学习（ML）成为多个科学领域中的热门课题。计算流体动力学（CFD）领域数据丰富且充满挑战，为应用ML提供了理想的环境。许多流体力学中的问题都可以表述为优化问题，这与设计用于处理非线性和高维问题的ML算法非常契合[1]、[2]。

对于湍流的纳维-斯托克斯方程的数值求解在计算上可能非常昂贵，甚至目前无法实现，特别是对于高雷诺数流动，因为需要在空间和时间上解决广泛的运动尺度[3]。然而，可以根据具体问题对运动方程进行建模：例如，在工业和工程应用中，通常不需要解析最小的运动尺度，了解平均量就足够了。因此，雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）方法被广泛采用，该方法对纳维-斯托克斯方程进行时间平均处理，虽然计算要求较低，但引入了一个需要建模的雷诺应力张量项。最简单和最常用的模型基于布辛涅斯克假设[4]，该假设认为雷诺应力张量与平均流动速度梯度之间存在线性关系。流行的涡粘性RANS模型的例子可以在[5]、[6]、[7]、[8]中找到。更复杂的模型也有所涉及，例如包含雷诺应力项传输方程的模型（见[9]）。

最近的一个研究方向是将湍流闭合建模视为一个机器学习问题，以构建数据驱动的湍流模型（见[10]、[11]、[12]、[13]），或使用高精度数据补偿传统模型中的误差（见[14]、[15]、[16]、[17]、[18]）。文献中存在几种不同的方法。

在目前的工作中，我们提出了一种数据驱动的传统RANS湍流模型修正方法。RANS模型被视为一个黑箱，不对控制方程进行任何修改，这与[19]、[20]、[21]中的其他方法不同，后者通过各种数据驱动技术引入了显式代数雷诺应力模型（EARSM），包括基因表达编程（GEP）或稀疏回归框架（如SPARTA [17]）。我们的选择针对的是修改模型困难或对用户不可行的情况，旨在提供一种不限于特定RANS闭合模型的方法。另一方面，我们选择保留湍流模型而不是更换它，这是许多类似研究中的常见做法（例如[10]、[11]、[12]、[13]）。这样做的理由是保留标准RANS闭合模型作为物理基线，同时将数据驱动部分限制为一个修正项。在本研究中，我们考虑了Spalart-Allmaras涡粘性模型[6]。修正项被引入到RANS动量方程中，可以作为雷诺强迫向量（RFV，见[13]、[22]、[23]），或者作为雷诺应力张量（RST）的散度（见[24]）。这种修正的目的是补偿所有涡粘性模型所基于的布辛涅斯克近似的固有限制。

由于我们没有替换RANS闭合模型，因此修正项不能直接从高精度模拟中推断出来，如[11]、[13]、[22]中所做的那样。因此，需要一个初始的数据同化（DA）步骤来计算修正项，如[23]、[24]、[25]、[26]中所示。本研究采用了一种变分数据同化框架，通过解决包含高精度参考数据的全局优化问题来获得修正项。

也可以使用其他方法，例如基于卡尔曼滤波器的数据同化技术[27]，这些技术对于非稳态流动有效（见[28]），但计算要求较高。Tracey等人[29]、Duraisamy [14]、Singh等人[15]也采用了基于逆方法的数据同化技术，主要关注增强线性涡粘性模型的尺度提供方程。对于本研究中考虑的高维、节点定义的修正场，基于伴随的变分方法特别适用，因为它们可以以不随控制参数数量增加而增加的成本提供精确的梯度。当控制空间维度较低或修正项以简化基础表示时，基于集合的方法（如集合卡尔曼滤波器（EnKF）也非常有效，因为集合协方差的秩等于集合成员的数量。然后训练一个ML模型，以建立节点修正场与选定流动特征之间的回归关系。

数据驱动的或修正的RANS模型已被应用于多种二维（例如[10]、[30]）和三维（例如[12]、[19]、[20]、[21]、[31]）流动，研究了模型在雷诺数或几何形状方面的插值能力。我们对矩形圆柱体周围的流动进行了测试。无限展向长度的矩形圆柱体周围的流动具有实际意义，因为这种几何形状可以被视为研究民用结构（如高层建筑和桥梁）风载荷的简化模型。尽管几何形状简单，流动动力学却非常复杂。在所有情况下，上游边缘都会发生流动分离。分离的剪切层会发生Kelvin-Helmholtz不稳定性，并卷曲成涡旋结构。对于宽高比较小的矩形圆柱体，平均流动不会沿圆柱体侧面重新附着，流动动力学主要由尾流中的经典冯·卡门涡街（von Kármán vortex street）支配。相反，对于细长的矩形圆柱体，平均流动会沿圆柱体侧面重新附着，冯·卡门涡脱落从后边缘开始，对侧面流动动力学的影响较小。因此，平均流动结构，从而宽高比，对作用在圆柱体上的风载荷（例如阻力系数）有很大影响。出于这些原因，矩形圆柱体的空气动力学多年来一直受到高度重视（参见例如[32]、[33]、[34]等开创性工作和综述）。特别是宽高比为5的配置是著名的BARC基准测试的对象[35]，该测试也在ERCOFTAC QNET-CFD知识库Wiki中记录[36]。此外，由于平均流动结构主要由单一几何参数（即宽高比）控制，这种配置提供了一个方便的框架，通过仅改变这个参数来评估所提出的数据驱动模型在不同几何形状下的插值能力，类似于[13]中对周期性丘陵测试案例采用的方法。

在这方面的主要贡献是引起人们对模型预测矩形圆柱体上平均压力分布能力的关注。据我们所知，文献中以前的类似研究都没有评估基于ML的闭合模型准确预测压力的能力，也没有强调其重要性。对于钝体和风工程应用，压力分布通常比摩擦阻力更为重要。我们在这里展示，仅基于速度场的数据驱动修正在预测压力方面表现不佳。

此外，我们对ML过程中不同选择的影响进行了广泛和系统的研究，涵盖了所有最相关的方面，如输入特征的选择、ML架构以及基于RFV和RST的修正之间的选择。我们确定了一个“最佳”设置，这可能特定于所采用的方法和所考虑的问题。更重要的是，我们量化了与ML相关的选择在明确的方法论和相对简单的框架下对模型预测能力的影响程度。最后，我们评估了所提出方法在跨雷诺数和几何形状的插值能力，以及将其泛化到不同于训练时使用的网格的能力。

**工作结构**
第2节介绍了用于构建高精度数据集（第2.1节）和低精度数据集（第2.2节）的方法。第2.3节详细比较了高精度和低精度平均流动解，考虑了速度场和压力场，而第2.4节讨论了与布辛涅斯克近似相关的限制。在此基础上，第3节描述了本工作中使用的数据同化框架。研究了两种同化策略：单独同化速度场（第3.1节）和同时同化速度场和压力场（第3.2节）。相应的结果在第3.3节中报告。通过数据同化获得的修正场为第4节中介绍的机器学习方法奠定了基础。第4.1节讨论了模型设计中考虑的物理不变性，第4.2节详细介绍了输入特征集的构建。第4.3节总结了本研究中评估的机器学习架构。本研究的一个核心组成部分是第5节中引入的全面敏感性分析。这种分析在指导所提出框架的设计中起着关键作用，它使得能够识别最具信息量的输入特征子集（第5.1节）、最有效的数据同化策略（第5.2节）以及最佳的机器学习架构和超参数（第5.3节）。最后，第6节展示了在先前未见过的配置上测试的增强型ML-RANS模型的性能，包括雷诺数插值和几何形状插值。参考图10，前一节详细介绍的数据同化阶段使得能够为计算域内的每个节点提取修正参数θ?。在这个程序阶段，我们可以预先表示出一个流特征向量，以下简称为η。由于设计机器学习算法涉及调整许多参数，而这种方法的公认缺点之一是在某些情况下输出的可解释性有限，因此考虑该框架对所涉及参数的敏感性是非常重要的。在这种情况下，敏感性是针对三个参数进行考虑的：1. 对事先选定的流特征的敏感性，这些特征用于模型训练，以构建回归函数θ?=Mη?；

基于前几节进行的敏感性分析，现在将优化后的模型应用于一组测试案例，以构建一个增强机器学习的RANS求解器。机器学习模型使用表6中确定的最佳特征集以及表8中报告的架构和超参数进行离线训练。一旦训练完成，模型就会按照图10中所示的工作流程由RANS求解器进行查询。采用了基于一次性的推理策略。

结论

在这项研究中，我们开发了一个框架，以提高RANS求解器在不同雷诺数和纵横比下预测矩形圆柱周围流动的准确性。我们的方法包括一个中间数据同化阶段，用于确定一个修正场，以最小化RANS流场与高保真LES参考流场之间的差异。这种方法不仅提供了可解释性，还为求解器引入了基于物理的修正措施。

作者贡献声明

Matteo Rosellini：撰写——原始草案、软件、方法论、概念化。
Giovanni Stabile：撰写——审阅与编辑、监督、资源、概念化。
Alessandro Mariotti：撰写——审阅与编辑、监督、资源、概念化。
Maria Vittoria Salvetti：撰写——审阅与编辑、监督、资源、概念化。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文所述的工作。

致谢

作者感谢Pisa大学计算服务部门computing@unipi提供的计算资源支持。Giovanni Stabile获得了欧盟（ERC项目DANTE，GA-101115741）的资助。然而，所表达的观点和意见仅代表作者本人，并不一定反映欧盟或欧洲研究理事会执行机构的立场。欧盟或资助机构对此不承担责任。