利用ORA和MSBL近似方法，对并网太阳能光伏系统进行精确建模和QPSO优化的分数阶控制

《Results in Engineering》：Accurate Modeling and QPSO-Optimized Fractional-Order Control of Grid-Connected Solar PV Systems Using ORA and MSBL Approximation

　　穆罕默德·阿桑·扎米（Muhammad Ahsan Zamee）| 韩东军（Dongjun Han）| 赵明锡（Myeongseok Chae）| 杨浩俊（Hojun Yang）| 全东俊（Dongjun Won）
韩国仁川明知大学电气与计算机工程系

**摘要**
本文提出了一个全面的建模、优化和实时验证框架，用于并网太阳能光伏系统的分数阶控制。开发了一个高保真的10阶非线性状态空间模型，在该模型中，利用Oustaloup递归逼近（ORA）和修正稳定性边界轨迹（MSBL）方法明确纳入了分数阶PI（FOPI）控制器的动态特性，同时保持了低阶且固定的模型阶数。为了进行系统的小信号稳定性分析，对两种逼近技术下的整个系统进行了线性化处理。采用量子行为粒子群优化（QPSO）方法来最优调整两种逼近技术的分数阶设计参数。在最小化谱横坐标方面，MSBL的性能优于ORA。定量分析表明，优化后的MSBL实现使谱横坐标减少了10.5%，最小阻尼比从11.93%提高到了17.50%（提高了46.7%），同时直流链路和d轴电流的超调分别减少了57%和38.6%，同时保持了毫秒级的稳定性能。通过特征值迁移和模态分析，在广泛的运行条件下验证了优化后的基于MSBL的控制器的稳定性和鲁棒性。所提出的框架还通过在Raspberry Pi平台上实施的OPAL-RT实时仿真和控制器-硬件在环（C-HILS）实验进行了进一步验证，实验场景包括低压穿越和电压下降情况。结果表明，优化后的分数阶控制策略在动态运行条件下实现了改进的稳定性特性和鲁棒性能。

**1. 引言**
并网光伏（PV）系统对于大规模可再生能源的整合和向低碳电力系统的转型至关重要。通过电力电子逆变器直接与电网连接，这些系统能够高效利用能源，同时减少传输损耗和温室气体排放。然而，随着并网PV系统渗透率的增加，由于光伏发电的间歇性，出现了电压波动、电力质量下降和稳定性问题等挑战。因此，最优的系统设计和可靠的电网交互能力对于现代电力系统的安全稳定运行至关重要[1][2]。从控制角度来看，并网PV系统是复杂的动态系统，包含电力电子转换器和非线性元件，精确的数学建模对于稳定的电网集成是必不可少的。此类建模是控制器设计和小信号稳定性分析的基础，从而确保系统在光伏功率波动和电网干扰下的可靠性和动态性能[3]。此外，由于PV系统的内在非线性及其与电网的强烈相互作用，不恰当的控制器设计可能导致不稳定性和动态性能下降。因此，系统性和以稳定性为导向的控制设计对于确保稳健的功率调节和安全的并网运行至关重要[4]。

传统上，并网PV系统的控制采用级联控制结构，包括一个外部直流链路电压环和一个内部电流控制环，通常由整数阶比例-积分（PI）控制器进行调节[2][3]。然而，这些传统控制器在面对参数不确定性、电网阻抗变化和PV逆变器的固有非线性特性时往往具有有限的鲁棒性，这在变化的环境条件下可能导致不稳定[4]。在这种情况下，分数阶PI（FOPI）控制器作为一种更优的替代方案受到了广泛关注，它通过分数积分和微分阶数提供了额外的自由度。这种灵活性允许精确的频域环路整形和等阻尼特性，从而在与标准PI方案相比的情况下，确保了更强的稳定性裕度和动态性能[5][6]。此外，最近的研究表明，FOPI策略显著减轻了总谐波失真（THD），并提高了系统对干扰的抵抗力[7][8]。

**2. 研究空白和关键贡献**
然而，嵌入在FOPI/FOPID控制器中的分数阶算子代表了具有有效无限记忆的非局部动态，其精确实现会导致无限维的状态表示。因此，实际的闭环建模、线性化和基于特征值的稳定性评估通常依赖于在指定频率带内的有限维有理（整数阶）近似[9][10][11]。其中最常用的频域近似方法包括Oustaloup型递归滤波器、Charef/Carlson有理化以及基于连分或插值的方案，如CFE/Matsuda[12]。一个持续的缺点是，要达到足够的幅度-相位保真度通常需要多个极点-零点对，因此即使是一个单一的分数积分器也可能引入大量额外的状态，增加整个植物-控制器阶数，并使合成和实时实现复杂化[11]。此外，基于连分展开或频率采样插值的方法可能对近似带和采样点的选择敏感，这可能会限制其在不同运行条件下的便携性[13]。这些限制促使人们寻找能够在尽可能少的状态下保留关键稳定性和频率响应特性的近似程序；在这方面，Oustaloup递归逼近（ORA）因其结构化的带限公式而具有吸引力，而基于稳定性边界轨迹（SBL）的拟合（例如修正SBL（MSBL）已被报道为在得到的整数阶替代方案中直接强制保持稳定性行为的一种手段[9]。

尽管有多种分数阶近似技术可用，但现有解决方案在应用于并网PV系统时存在几个关键限制：（i）由于多个极点-零点对导致系统阶数增加，使得分析和实时实现复杂化；（ii）对近似频率带的选择敏感，限制了在不同运行条件下的鲁棒性；（iii）缺乏将分数动态明确纳入系统级稳定性分析；（iv）缺乏将分数参数直接与基于特征值的稳定性指标关联的系统化调整框架。这些限制突显了需要一个统一、低阶且以稳定性为导向的建模和优化框架。

在基于ORA和MSBL的整数阶实现中，分数指数α直接决定了环路相位和有效阻尼，从而改变了增益交叉频率和相应的相位/增益裕度。在并网转换器应用中，众所周知稳定性对电网阻抗变化下的相位裕度非常敏感，而分数阶阻尼已被证明可以通过减轻共振来提高鲁棒性，同时保持足够的稳定性裕度[14]。更广泛地说，电力系统稳定性研究表明，改变分数阶可以显著改变稳定性裕度，这表明α是一个主要的稳定性敏感设计变量，而不是次要的调整参数[15]。与此观点一致，分析环路整形框架将分数阶视为明确的设计参数，以满足相位裕度和鲁棒性要求，从而激励系统地优化α以最大化稳定性裕度，而不会引入不必要的模型复杂性[16]。鉴于现有方法的局限性以及ORA和MSBL技术的优势，本文提出了一个全面而准确的并网太阳能PV系统建模框架。开发的高保真模型不仅便于详细的非线性仿真，其线性化公式还使控制设计师和运营商能够进行系统的稳定性分析。鉴于分数阶设计参数对系统性能的显著影响，使用量子行为粒子群优化（QPSO）算法进行了基于特征值最小化的优化。需要注意的是，基于ORA和MSBL的实现本质上是参数依赖的，它们的闭环性能对选定的分数阶和近似频率范围非常敏感。任意或启发式的参数选择可能导致稳定性裕度降低或动态行为不佳，因此需要一个系统化的优化框架。

除了传统的分数增益调整外，本文的框架还将基于ORA/MSBL的实现公式化在一个固定阶的非线性和线性化的状态空间结构中，从而实现了分数设计参数与雅可比矩阵之间的直接分析链接。与大多数先前的FOPI优化研究不同，这些研究独立近似分数算子并通过闭环仿真或频率响应指标来评估其效果，所提出的公式将分数动态直接嵌入到固定阶雅可比表示中，从而能够明确捕捉它们对系统特征结构和特征值轨迹的影响。这种公式允许将分数阶视为对稳定性敏感的结构变量，其影响可以系统地量化，而不仅仅是从时域响应中推断出来。通过在广泛运行条件下的特征值迁移和模态分析进一步验证了最优模型的有效性，并识别了主要参与状态。最后，通过在包括LVRT和电压下降事件在内的各种动态场景下使用Raspberry Pi和OPAL-RT平台进行的控制器-硬件在环（C-HIL）和实时仿真，证明了优化设计的鲁棒性和实际可行性。

**3. 考虑基于ORA/MSBL的分数阶近似的并网完整PV系统建模**
**3.1. 非线性并网PV系统建模**
本节介绍了并网光伏（PV）系统的连续时间动态模型，图1，其中所有分数阶PI控制器均使用ORA/MSBL技术实现。光伏阵列、直流链路电压调节、电网侧电流控制和LCL滤波器的动态都被明确建模。整体状态向量定义为
$$
x = [x_1, y_1, z_1, i_fd, i_q, V_{pv}, v_{cd}, v_{cq}, i_gd, i_gq]^\top
$$
其中 $x_1, y_1, z_1$ 分别代表与分数阶直流链路电压控制器和内部d轴及q轴电流控制器相关的ORA/MSBL状态。下面详细讨论了模型的每个特定部分：

**A. 光伏阵列模型**
光伏阵列输出电流建模为
$$
I_{ph} = G_{ref} \left( I_{sc} + K_t \left( T + \frac{273.15}{T_{ref} \right) \right) I_{ph} - N_p I_{rs} \left( e^{q V_{pv} n_s K_A \left( T + \frac{273.15}{T_{ref} \right) \right)^{-1}
$$
瞬时光伏功率为
$$
P_{pv} = V_{pv} I_{ph}
$$
在本研究中，光伏阵列以准静态方式建模，其中辐照度 $G$ 和温度 $T$ 被视为变化缓慢的外源输入。这种建模假设与已建立的并网PV系统的小信号稳定性研究一致，其中采用单二极管或准静态表示进行控制导向分析，因为与转换器、直流链路和控制器相关的主导动态状态比环境变量（辐照度和热动态）的变化快得多，因此对于基于稳定性的分数阶控制器设计来说已经足够[8][17][18]。

**B. 直流链路电压控制动态**
直流链路电压控制误差定义为
$$
u_{vdc} = V_{pv} - V_{dc}^\*
$$
参考电压 $V_{dc}^\*$ 可以使用MPPT算法获得。在本工作中，采用了基于扰动和观察的MPPT算法。由于这种方法在文献中已经得到了充分的证明，因此这里省略了对其的详细讨论，以避免重复。与直流链路控制器相关的分数阶积分器的MSBL/ORA实现形式为：
(1)x˙1=AVdcx1+BVdcuvdc
γ0=CVdcx1+DVdcuvdc
然后得到d轴电流参考值为
idref=Kidcγ0+Kpdc(Vpv?Vdc★)
而q轴电流参考值设置为
iqref=0
C.
内部电流控制环路
d轴电流控制误差为
uid=idref?ifd
基于MSBL/ORA的d轴环路分数阶积分器动态方程为
(2)y˙1=Aifdy1+Bifduid
γ1=Cifdy1+Difduid
d轴电压参考值由下式给出
Vidref=Kicγ1+Kpc(idref?ifd)?ωLfifq+Kfvvcd
类似地，q轴控制误差为
uiq=iqref?ifq
其MSBL/ORA动态方程为
(3)z˙1=Aifqz1+Bifquiq
γ2=Cifqz1+Difquiq
相应的电压参考值为
Viqref=Kicγ2+Kpc(iqref?ifq)+ωLfifd+Kfvvcq
其中Kfv是用于提高系统性能的电容器-电压前馈增益 [19]。
D.
直流链路电容器动态
直流链路电压动态由功率平衡方程控制
(4)V˙pv=1Cdc
Vpv(Ppv?Pin)
其中逆变器输入功率为
Pin=32(Vidrefifd+Viqrefifq)
E.
LCL滤波器和并网侧动态
变换器侧滤波器的动态方程为
(5)i˙fd=1Lf(Vidref?vcd?Rfifd+ωLfifq)
(6)i˙fq=1Lf(Viqref?vcq?Rfifq?ωLfifd)
滤波器电容器的动态方程为
(7)v˙cd=1Cf(ifd?igd+ωCfvcq)
(8)v˙cq=1Cf(ifq?igq?ωCfvcd)
最后，并网侧电流动态方程为
(9)i˙gd=1Lt(vcd?Rgigd+ωLtigq?ed)
(10)i˙gq=1Lt(vcq?Rgigq?ωLtigd)
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图1. 考虑的并网连接的FOPI控制太阳能光伏系统。其中，Lt=Lc（并网侧滤波器电感）+ Lg（并网侧线路电感）。
辅助变量γ0、γ1和γ2是从分数阶运算符的ORA/MSBL实现中获得的，这些运算符由通用公式ηX定义（11）。每个FOPI控制器实现为
GFOPI,X(s)=Kp,X+Ki,Xs
αX,X∈{γ0,γ1,γ2},
其中αX是一个实数分数指数。由于αX < 0，项sαX代表一个类似分数积分器的运算符，使用下面描述的ORA和MSBL方法来实现。值得注意的是，使用ORA/MSBL的目标不是以高频率域精度近似理想运算符sαX。相反，分数运算符是合理实现的，以保持整个系统的一阶状态空间表示，从而可以在线性化的常微分方程（ODE）框架内进行可处理的小信号特征值分析。
3.2. Oustaloup递归近似技术
为了以有理形式实现sαX，在指定的频率带[ω?, ωh]内使用ORA [9]，该频率带具有N个极点-零点对。
1) ORA极点-零点放置
对于选定的近似阶数N和指数αX，ORA定义了N个实数零点{zk}和N个实数极点{pk}，即
zk=ω?(ωh/ω?)^(2k?1)?αX^2
pk=ω?(ωh/ω?)^(2k?1)+αX^2
k=1,…,N
2) ORA有理运算符
然后通过有理传递函数近似分数运算符
αX≈Gapx,X(s)=ωhαX∏k=1^(Ns+zk)/(s+pk)
其中标量增益ωhαX和极点-零点因子(s+zk)/(s+pk)匹配sαX在[ω?, ωh]上的频率响应。
3.3. 分数阶积分器的MSBL近似
对于每个环路X，MSBL [20]过程构建了一个有理传递函数，该传递函数在指定的频率带内近似分数运算符sαX。本质上，该方法强制分数运算符在一对对数间隔的频率点上的频率域行为，使得得到的有理模型能够紧密再现其在[ω?, ωh]上的幅度和相位特性。由于αX < 0，因此在频率带[ω?, ωh]内。
1) 对数频率网格
给定近似阶数N、分数指数αX和频率带[ω?, ωh]，MSBL在N个对数间隔的频率上评估分数运算符：
ωk={ωh^(N/2), k=1,…,N
2) MSBL矩阵构造
对于每一对(r, k)（其中r=1,…,N且k=1,…,N），MSBL方法构建实数矩阵Am∈RN×N和实数向量Bm∈RN，使用以下公式：
Am(r,k)=(jωk)^r?(jωk)^(N?r)×2cos(π/2αX)ωkαX?(jωk)^(N?r)+1sin(π/2αX)ωkαX?1，
Am(r,k)=?(Am(r,k))+?(Am(r,k')),
Bm(k)=?(jωk)^(N+1)+(jωk)cos(π/2αX)ωkαX+1sin(π/2αX)ωkαX?1,
Bm(k)=?(Bm(k))+?(Bm(k))
3) 系数求解
MSBL系数可以通过以下方式获得：
C=(Am?1)?Bm?
4) 有理运算符系数
MSBL有理运算符的分子和分母分别为
numX=[C1,C2,…,CN,1],
denX=[1,CN,…,C2,C1]
然后可以使用ORA或MSBL方法得到的分子和分母来找到状态空间矩阵AFrac,X, BFrac,X, CFrac,X, 和DFrac,X。
5) 状态空间实现
传递函数使用可控规范形式实现，可以表示为
(11)z˙X=AfACrac,XzX+BFrac,XuX,ηX=CFrac,XzX+DFrac,XuX
其中zX∈RN是辅助状态向量，uX是环路误差信号，ηX是分数运算符的输出（ηX ∈ {γ0, γ1, γ2}）。
4) 控制器集成
三个环路的输入uX分别为uγ0=Vdc?Vdc★, uγ1=ifd★?ifd, uγ2=0?ifq，相应的分数输出(γ0, γ1, γ2)进入直流链路和电流控制环路，以及变换器指令vidref, viqref和idref。
3.4. 线性化状态空间表示和A矩阵与B矩阵的结构形式
考虑所有非线性微分方程，包括MSBL/ORA近似的FOPI控制器，系统可以在某个操作点x0附近线性化。下面介绍了线性化系统的矩阵元素。第一部分使用ORA方法获得的矩阵元素，第二部分使用MSBL方法获得的矩阵元素，最后一部分介绍了MSBL和ORA导出的矩阵共有的元素以及输入矩阵B的雅可比矩阵。
A) 基于ORA的系统的派生矩阵元素
为了提高紧凑性和可解释性，使用下面定义的辅助变量将几个重复的代数结构分组。设ORA频率带[wb, wh]的比值及其平方根定义为r?wh/wb，σ?r^(1/2)。
对于任何分数阶αX（其中X ∈ {Vdc, ifd, ifq}），定义以下两个ORA诱导的标量：
A(αX)??wbσr^αX/2, Δ(αX)?wbwhαXσ^(r?αX/2?rαX/2)
为了符号简洁，定义以下关系：
ΔVdc?Δ(αVdc), Δifd?Δ(αifd), Δifq?Δ(αifq)
以及直流电压控制器增益的合并Γdc?Kpdc+KidcwhαVdc
B) ORA/FOPI状态对角项及其主要耦合
使用A(·)和Δ(·)，ORA相关的非零条目为：
1) 与αVdc相关的ORA状态
A1,1=A(αVdc),
A2,1=KidcΔVdc,
A4,1=?1.5ifdCdcVpv(KidcKpcΔVdc+KicKidcwhαifdΔVdc),
A5,1=1Lf(KidcKpcΔVdc+KicKidcwhαifdΔVdc)
2) 与αifd和αifq相关的ORA状态
A2,2=A(αifd),
A4,2=?1.5KicifdCdcVpvΔifd,
A5,2=KicLfΔifd,
A3,3=A(αifq),
A4,3=?1.5KicifqCdcVpvΔifq,
A6,3=KicLfΔifq
3) 直接直流电压环路注入：
A2,4=Γdc
C) PV非线性块和紧凑辅助表达式
PV二极管的指数和辅助常数定义如下：
Ψ?AKns^(T+2/3.15),
E(Vpv)?exp(qVpvΨ),
以及（依赖于辐照度/温度的）光电流项定义为：
Iph?Gnp(Isc+Kt^(T?Tref+2/3.15))Gref
然后在线性化中表示的PV I?V贡献可以写为
Ipv(Vpv)?Irsnp(E(Vpv)?1)?Iph,
dIpvdVpv(Vpv)?IrsnpqΨE(Vpv)
接下来定义直流电压环路内部组合和分数（ORA）补偿项
Θdc?ifd+Kpdc(Vdc,ref?Vpv)+Kidc[whαVdc(Vdc,ref?Vpv)?x1ΔVdc],
Θifd?whαifdΘdc?y1Δifd,
uifq?ifq?iqref,
Θifq?whαifquifq?z1Δifq
最后，在直流链路线性化中重复出现的dq变换器侧复合信号定义为：
Φd?KpcΘdc?KfvVcd+KicΘifd+Lfifqw,
Φq?KfvVcq?Kpcuifq?KicΘifq+Lfifdw
D) 直流链路/PV雅可比条目和滤波器-电流环路耦合
1) PV/直流链路自耦合A4,4
使用上述IPv(Vpv)和dIpvdVpv，以及定义的Φd, Φq，条目A4,4变为
A4,4=VpvIpv(Vpv)?1.5(ifdΦd?ifqΦq)CdcVpv^(2?1)
CdcVpv[1.5ifd(KpcΓdc+KicwhαifdΓdc)+Ipv(Vpv)+VpvdIpvdVpv(Vpv)]
2) 直流电压环路注入到ifd动态
A5,4=KpcΓdc+KicwhαifdΓdcLf
3) 直流链路对ifd状态的敏感性
A4,5=1.5CdcVpv[KpcΘdc?KfvVcd+KicΘifd+ifd(Kpc+Kicwhαifd)]
4) d轴和q轴滤波器-电流自项
A5,5=?Kpc+Rf+KicwhαifdLf,
A6,6=?Kpc+Rf+KicwhαifqLf
5) 直流链路对ifq状态的敏感性
A4,6=1.5CdcVpv[ifq(Kpc+Kicwhαifq)?KfvVcq+Kpcuifq+KicΘifq]
此外，对于ORA，找到一些具有相同值的矩阵元素：
A2,5=A3,6=?A1,
A4,5=?1.3.
5.5. 基于MSBL的系统矩阵的紧凑表示
对于MSBL实现，辅助量定义为：
ΔVdcMSBL?CVdc,11
Kidc,
ΓdcMSBL?Kpdc+DVdc,11
Kidc
3.5.1. 对角线和对直接耦合项
A1,1=AVdc,11,
A1,4=BVdc,11,
A2,1=Bifd,11
CVdc,11
Kidc=Bifd,11
ΔVdcMSBL,
A4,1=?1.5ifdCVdc,11
Kidc
CdcVpv(Kpc+Difd,11Kic),
A5,1=CVdc,11
KidcLf(Kpc+Difd,11Kic),
A2,2=Aifd,11,
A4,2=?1.5Cifd,11
KicifdCdcVpv,
A5,2=Cifd,11
KicLf,
A2,5=?Bifd,11,
A3,3=Aifq,11,
A4,3=?1.5Cifq,11
KicifqCdcVpv,
A6,3=Cifq,11
KicLf,
A3,6=?Bifq,11
3.5.2. 紧凑的MSBL辅助状态
ΘdcMSBL?ifd+Kpdc(Vdc,ref?Vpv)?Kidc(CVdc,11x1?DVdc,11(Vdc,ref?Vpv)),
ΘifdMSBL?Cifd,11y1?Difd,11
ΘdcMSBL,
ΘifqMSBL?Cifq,11
z1?Difq,11
uifq,
ΦdMSBL?KfvVcd?KpcΘdcMSBL+KicΘifdMSBL+Lfifqw,
ΦqMSBL?KfvVcq?Kpcuifq+KicΘifqMSBL+Lfifdw
3.5.3. 剩余的MSBL系统矩阵条目
A2,4=Bifd,11
ΓdcMSBL
A4,4=VpvIpv(Vpv)+1.5ifqΦqMSBL
LCdcVpv^(2?1)
CdcVpv[1.5ifdΓdcMSBL(Kpc+Difd,11Kic)+Ipv(Vpv)+VpvdIpvdVpv(Vpv)]
A5,4=KpcΓdcMSBL+Difd,11
KicΓdcMSBLLLf
A4,5=?1.5CdcVpv[KfvVcd?ifd(Kpc+Difd,11Kic)?KpcΘdcMSBL+KicΘifdMSBL]
A5,5=?Kpc+Rf+Difd,11
KicLf,
A6,6=?Kpc+Rf+Difq,11
KicLf
A4,6=?Kpc+Rf+Difq,11
KicLf
A4,6=?1.5CdcVpv[KfvVcq?ifq(Kpc+Difq,11Kic)?Kpcuifq+KicΘifqMSBL]
分数阶环路参数
每个分数阶环路系数AX,11, CX,11, 和 DX,11（X ∈ {Vdc, ifd, ifq}）代表在相应控制环路中使用的MSBL近似分数积分器的内部参数。为了紧凑性，这些量用ωh（上限频率）、分数阶αX和辅助三角项表示：
sX=sin(π/2αX),
cX=cos(π/2αX)
控制所有环路的共同分子和分母项为
Φnum(X)=ωh^2+ωh^1?αX(sX+cX),
Φden(X)=ωh^2?αX(cX?sX)+ωh
因此，相应的MSBL系数采用统一形式：
AX,11=?Φnum(X)Φden(X),
DX,11=Φnum(X)Φden(X),
CX,11=1?(Φnum(X)Φden(X))
这些系数被代入雅可比元素（例如，A1,1=AVdc,11, A2,2=Aifd,11, A3,3=Aifq,11）中，以将频率依赖的分数动态纳入线性化的A矩阵结构。
3.5.4. 从MSBL和ORA方法得出的共同元素
MSBL和ORA方法都发现了一些具有相同值的矩阵元素：
A7,5=A8,6=?A7,
A8,10=1
Cf,
A5,7=A6,8=Kfv由于（14）中的目标是最小化光谱横坐标，这一结果证实了在MSBL实现下小信号稳定裕度得到了提高。为了将光谱改进与模态特性联系起来，检查了优化工作点处振荡模式的阻尼比。由于光谱横坐标由最右边的特征值控制，最小阻尼比可以作为最弱阻尼振荡模式的简洁指标。MSBL实现的最小阻尼比为17.50%，其余振荡模式的阻尼比分别为22.55%、29.32%和99.15%。在相同条件下，ORA实现的最小阻尼比为11.93%，其他振荡模式的阻尼比分别为18.69%和38.26%。因此，除了将最右边的特征值向左移动外，MSBL还将最坏情况下的阻尼从ORA的11.93%提高到了17.50%（大约提高了46.7%），表明对轻阻尼振荡的鲁棒性得到了增强。MSBL实现的完整模态分解见第5节（表3）。

表1. PI、ORA和MSBL实现的稳定性性能比较。
指标 PI ORA MSBL
最右边特征值 (η=max?(λ))?1 -100.38 -199.17 -1
|η|的改进百分比 (%) -98.41 19.3
最小阻尼比 (%) -11.93 17.50

表2. ORA和MSBL实现的时间域性能比较。
指标 ORA MSBL
直流链路超调 (%) 0.007 0.003
直流链路稳定时间 (ms) 3.6 3.5
d轴超调 (%) 17.69 6.1
d轴稳定时间 (ms) 11.3 13.5
q轴超调 (%) 68.53 11.3
q轴稳定时间 (ms) 20.3 6.9

表3. 在(1000 W/m2, 25°C)下特征值和主要参与者的分析。
指数 实部 (1/s) 虚部 (rad/s) 阻尼比 (%) 自然频率 (Hz) 主要参与者 (占比 > 10%)
1,2-1 120 6 29 17.50 4
10 18.3 1 ifd, Vpv 3
3,4-5 32.4 17 36 29.3 2
8 28 9.0 1 vcq, igq 5
5,6-2 28 6 23 7 20 2.07 3
igd, vcd, vcq, igq 9,10 22 0.1 8.8 9
9 9.1 0.3 35.3 7 9
4x1, y 17 38 7 1 -100.0 20.69 1
8 -28 3.9 1 -100.0 45.1 8

图3显示了优化参数对应的时间域响应。使用2%的稳定带，直流链路电压控制器的超调从0.007%（ORA）降低到0.003%（MSBL），大约提高了57%，同时稳定时间几乎相同（3.6 ms vs. 3.5 ms）。对于d轴电流控制器，超调从17.696%降低到10.863%（大约减少了38.6%），稳定时间保持在同一数量级（11.3 ms vs. 13.5 ms）。对于q轴电流控制器，ORA和MSBL实现的超调分别为68.535%和113.098%，稳定时间分别为20.3 ms和26.9 ms。这些结果表明，光谱横坐标驱动的优化主要增强了主导的电压和d轴电流通道，同时在所有状态下保持了毫秒级的收敛速度。

总之，结果证实了最小化光谱横坐标不仅将关键特征值向左移动，还提高了最坏情况下的阻尼比，并在不降低响应速度的情况下实现了实际的动态性能改进。为了清晰和简洁的比较，关键稳定性和动态性能指标总结在表1和表2中。

**结果分析**
本节分析了不同工作点下优化的基于MSBL模型的特征值迁移和模态特性。进一步通过参与因子分析研究了主导的参与因素和阻尼特性。最后，使用OPAL-RT和C-HILS平台在动态变化的工作条件下进行了实验验证，包括低电压输入（LVRT）和电压凹陷场景。

5.1. 不同工作点下的特征值迁移和模态特性
图4描述了随着工作点从100 W/m2增加到1000 W/m2（辐照度）时，系统特征值在复平面上的迁移情况，同时温度保持在T=25°C，因为太阳能光伏的性能主要受辐照度变化的影响。每条轨迹的起点和终点分别用绿色圆圈和红色方块标记，颜色表示相应的阻尼比。根据阻尼比ζk=?σk/σk2+ωk2和与虚轴的接近程度，识别出阻尼不良的振荡模式。具有相对较小的ζk值和向右迁移趋势的模式被认为是动态上关键的。通过跟踪每个模式在辐照度水平下的实部和虚部变化来评估特征值对工作点变化的敏感性，从而识别出具有更高参数影响的模式。所有特征值在整个工作范围内始终严格位于左半平面内，证实了在所有考虑条件下的小信号稳定性。最快的振荡模式对出现在σ≈?1180附近，具有较大的虚部（|ω|≈6300），实部仅有轻微的向右移动，振荡频率几乎没有变化；其阻尼比保持在一个中等值（大约0.18）。一个中频振荡模式对出现在σ≈?550附近，|ω|≈1700，实部逐渐向右移动，虚部略有增加；这种行为在插图（b）和（c）中详细说明，分别展示了同一复共轭对的正负虚部分支。插图（e）隔离了一对在σ≈?220附近的弱振荡但高阻尼的模式对，其虚部较小（|ω|<40），其轨迹基本上是水平的，表明对工作点变化的敏感性有限。

5.2. 参与因子分析
除了特征值之外，识别参与或影响模式的主要状态也很重要。表3提供了关于特征值、阻尼比、自然频率以及每个模式的主要贡献状态的详细信息，对最优模型进行了全面的描述。尽管表格报告的是特定工作点的结果，但主导的参与模式在所有其他工作点下保持一致；因此，选择这个案例作为一个代表性的例子。

系统表现出四种不同的模式，每种模式都有独特的阻尼特性和贡献因素。模式4的阻尼比接近99.15%，几乎完全阻尼，几乎不发生振荡，主要受分数阶积分器变量x1、y1和z1的影响。模式1、2和3的阻尼比分别为17.504%、29.319%和22.547%，显著的振荡频率分别在202.072 Hz和1018.31 Hz之间变化，分别主要由ifd、Vpv（模式1）、vcq、igq（模式2）和igd、vcd、vcq、igq（模式3）主导。值得一提的是，低频、高阻尼的模式主要由分数阶积分器状态x1、y1、z1主导，表明控制器内部动态与电气子系统适当隔离。

剩余的特征值不与主导模式相关，表现出临界阻尼，表明系统行为高度稳定且不发生振荡。所有特征值的实部均为负值。根据Lyapunov直接方法，如果存在一个正定矩阵P使得ATP+PA=?Q（其中Q是一个指定的正定矩阵），则系统稳定性得到保证。这样的矩阵P的存在确保所有状态变量将渐近收敛到平衡点。尽管通过分析建立了理论稳定性，但需要进行实验验证以确认模型的实际性能。这种验证在以下部分详细说明。

5.3. 基于C-HILS的性能分析
为了实验验证所提出的基于MSBL的近似模型的性能，开发了一个C-HILS平台（图5），使用OPAL-RT实时模拟器（OP5600）与Raspberry Pi控制器（Raspberry Pi 4.0 Model B Rev 1.5）接口。采用了50 μs的固定系统采样时间进行实时执行。MPPT控制器的更新速率较慢（系统采样时间的10倍），以减少高频参考扰动和采样交互效应，而状态空间FOPI控制器使用相同的基采样周期进行离散化。实现了基于时间戳的同步和一步延迟补偿结构，以减轻硬件在环设置中的通信和调度延迟。尽管本研究使用OPAL-RT平台进行实时验证，但所提出的分数阶建模框架本质上是平台无关的，可以应用于其他行业标准的模拟器（例如，dSPACE、Typhoon HIL）。验证在包括辐照度阶跃变化、LVRT和电压凹陷事件在内的多种电网和操作扰动条件下进行。所有测试场景在单个连续实验中依次执行，以保持系统的一致性并捕捉子系统之间的累积动态交互。如果分别执行这些场景，将会掩盖这些交互并降低验证的真实性。重要的是要提到，所有派生的内部状态变量和电气量都可以实时监控；然而，为了清晰和简洁，仅展示了最关键的控制和功率变量。

实验结果在图6中呈现，说明了五个关键变量的动态响应：逆变器注入功率Pin、公共耦合点Ppcc的功率以及状态变量Vdc、ifd和ifq。后三个变量直接由基于MSBL的FOPI控制器调节，因此代表了控制器的性能。与建模部分不同，在建模部分ifq被限制为强制单位功率因数操作，实验设置调节ifq以抵消电网的无功电流igq，从而减少了电网的无功功率需求，这也展示了系统在非单位功率因数条件下的性能。

图6显示了在不同操作场景下基于MSBL的C-HILS的性能比较：辐照度（每2秒阶跃变化）、从0.97秒到1.12秒的LVRT以及从4.87秒到5.17秒的电压凹陷。（1）逆变器和PCC的有功功率，（2）直流链路电压，（3）d轴滤波器电流，（4）q轴滤波器电流。对于每个变量，都包含了两个插图，以突出LVRT和电压凹陷期间的系统响应。通常，LVRT和电压凹陷条件会扰动电网电压（ed, eq），从而改变电网侧的动态并在LCL滤波器中引入瞬态交互（通过v˙cd（方程（7））和v˙cq（方程（8））。这些变化通过i˙fd（方程（5）和i˙fq（方程（6））影响逆变器电流，改变瞬时功率Pin=32(Vidrefifd+Viqrefifq)，并激发直流链路的动态。因此，在凹陷事件期间可能会出现电流应力、功率振荡和临时直流链路偏差。所提出的级联FOPI控制结构通过动态调整idref并调节内部电流环路，从而在严重的电网扰动下确保了良好的阻尼恢复。

可以观察到，尽管存在严重的电网扰动，所有变量仍然保持稳定和良好的阻尼，证明了所提出控制策略的鲁棒性。使用峰值超调和稳定时间指标评估了定量性能，确认了在所有操作条件下的稳定稳态行为。具体来说，对于Ppcc（代表Pin和Ppcc之间的最大值），在LVRT条件下的峰值超调和稳定时间分别为?64.142%和0.0722秒，在正常操作条件下分别为2.784%和0.0031秒。LVRT期间在Ppcc观察到的较大负超调是由于电网电压突然降至其额定值的20%直接引起的，这短暂降低了公共耦合点的有功功率传输量。这种瞬态欠调是由扰动驱动的，而不是控制器引起的，Vdc、ifd和ifq的有界恢复证实了系统的稳定性没有恶化。从动态角度来看，LVRT扰动通过电网电压状态ed（i˙gd=1Lt(vcd?Rgigd+ωLtigq?ed）进入系统，这扰动了（igd, igq），并通过LCL动态传播到（vcd, vcq）和（ifd, ifq）。由于传输的功率为Pin=32(Vidrefifd+Viqrefifq)，这些耦合的状态变化在LVRT期间产生了振荡的功率交换。直流链路电压遵循能量平衡方程 V˙pv=1CdcVpv(Ppv?Pin)；因此，Vpv 整合了由电压下降引起的功率不匹配，并通过外环关系 idref=Kidcγ0+Kpdc(Vpv?Vdc★) 直接影响系统稳定性。因此，Vpv 的有界偏差确保了级联控制结构在低电压穿越（LVRT）期间保持闭环稳定性。直流链路电压 Vdc 的峰值超调为 2.7813%，这是所有运行条件中观察到的最大值，相应的稳定时间为 0.0188 秒。同样，d 轴滤波器电流 ifd 在 LVRT 条件下的峰值超调为 3.54%，在正常运行条件下的超调为 1.82%，稳定时间分别为 0.0896 秒和 0.00001 秒。相比之下，q 轴滤波器电流 ifq 在正常运行条件下的峰值超调为 ?41.165%，稳定时间为 0.1417 秒。由于参考电流 ifq* 被设置为等于网侧无功电流 igq 以最小化与电网的无功功率交换，在 LVRT 条件下 ifq 的超调和稳定时间未进行报告。在 LVRT 期间，电网在不断变化的条件下运行；因此，在 LVRT 条件下评估 ifq 的超调和稳定时间是不可靠的，且在物理上意义不大。在讨论中，负的峰值超调表示系统响应的欠调；然而，为了术语的一致性，无论正值还是负值都保留了“峰值超调”这一术语。除了峰值超调和稳定时间外，还计算了控制性能指标。在本研究中采用了时间加权绝对误差积分（ITAE）作为各种基于误差的性能指标之一。与 IAE 和 ISE 不同，ITAE 不同于不考虑时间权重地同等对待误差，而是按比例对误差进行惩罚。这一特性使得对瞬态和稳态性能的评估更加一致，同时避免了平方误差指标在收敛附近对小误差的过度衰减。由于所提出的系统包括三个协调控制环路，即直流链路电压、d 轴电流和 q 轴电流控制器，因此分别计算每个环路的 ITAE，然后求和得到总体性能指标。对于 LVRT 和电压下降案例研究，直流链路电压、d 轴电流和 q 轴电流控制器的个别 ITAE 值分别为 1.032、2.352 和 1.645，总 ITAE 为 5.0287。由于 LVRT 和电压下降条件下的严重瞬态干扰，较大的超调和稳定时间自然会导致较高的 ITAE 值。尽管如此，系统如上所述成功恢复了正常运行。可以发现，在具有多个光伏单元的正常运行条件下（下一小节），相应的 ITAE 值显著较小，这证实了瞬态平滑性和动态调节的提高。应当提到的是，在 Raspberry Pi 执行时间（包括控制计算和 UDP 通信开销）的测量中，LVRT 和电压下降实验的平均时间为 120.12 μs，最坏情况下为 298.46 μs。这些值保持在有效的监控控制范围内，并未在 C-HILS 响应中引入可观察的瞬态失真。这些结果共同验证了所提出的基于 MSBL 的控制器在极端电网干扰下能够快速恢复瞬态和稳健运行。

5.4. 多光伏配置下的可扩展性验证
为了验证所提框架的可扩展性，系统从单一逆变器配置扩展到一个通过配电线路连接的两个光伏逆变器网络，并连接到无限母线。第一个光伏逆变器的额定容量约为 100 kW（与基线情况相同），而第二个单元的额定容量约为 60 kW，具有不同的串联面板配置。配电线路的电阻和电感参数以及第二个光伏阵列的配置在附录中提供。扩展系统在 0.3 秒的时间范围内进行模拟，模拟过程中光照条件不断变化。为了模拟快速的环境变化，每 0.1 秒故意快速改变运行点。光照剖面定义如下：对于第一个逆变器为 [1000,?600,?800] W/m2，对于第二个逆变器为 [1000,?700,?600] W/m2，同时两个单元的温度保持在 25°C。图 7 展示了可扩展性验证结果。图 7(a) 显示了通过配电线路连接的两个光伏逆变器的系统配置。图 7(b) 展示了在时变光照条件下的逆变器有功功率输出。峰值超调和稳定时间直接从响应中测量得到。对于逆变器功率，超调值分别为 3.02%（Pinv1）和 17.36%（Pinv2），稳定时间分别为 0.0016 秒和 0.0018 秒。图 7(c) 显示了 d 轴电流响应（当 iq=0 时，对应于单位功率因数运行）。测得的超调值分别为 1.42%（ifd1）和 15.52%（ifd2），稳定时间分别为 0.0048 秒和 0.0037 秒。图 7(d) 显示了逆变器 dq 轴电压响应，超调值分别为 2.69%（Viq1）和 16.84%（Viq2），两个单元的稳定时间均为 0.004 秒。尽管运行点每 0.1 秒快速变化，两个逆变器仍然表现出快速收敛和稳定的动态调节能力。即使在突然的光照变化下，控制器也能在几毫秒内将系统驱动到稳态，显示出较强的鲁棒性和动态适应性。

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图 7. 两光伏配置下的可扩展性验证。
(a) 两个光伏逆变器的系统图。
(b) 在快速变化的光照条件下的逆变器有功功率响应。
(c) 当 iq=0 时的 d 轴电流响应。
(d) 逆变器 dq 轴电压响应。

为了提供一个定量性能度量，通过汇总直流链路电压和 dq 电流控制器的贡献，分别为每个光伏单元计算 ITAE，这与 LVRT 和电压下降案例研究一致。得到的 ITAE 值分别为 0.0422（PV1）和 0.0214（PV2），这些值显著低于极端 LVRT 条件下的值。这证实了即使在多逆变器网络中，所提出的框架也保持了卓越的瞬态平滑性和控制精度。总体而言，结果验证了所提出的控制和建模框架不仅限于单一逆变器场景，在扩展到通过配电线路连接的多个分布式光伏单元时仍然稳定、阻尼良好且动态响应迅速。

5.5. 参数变化下的系统性能
为了评估在实际参数不确定性下的鲁棒性，同时将转换器和滤波器网络的关键被动元件 Lf、Lg、Rf、Rg、Cf 和 Cdc 按名义值的 ±10% 进行扰动。因此考虑了三种情况：名义值、+10% 和 ?10%。对于每种情况，都模拟了完整的非线性模型，并获得了相应的功率、电压和电流响应。图 8 展示了三种情况下的动态响应，其中 (a) 显示了逆变器和 PCC 的有功功率，(b) 展示了逆变器的 dq 轴电压，(c) 描述了滤波器的 dq 轴电流。所有情况下的响应都非常一致，仅显示了轻微的瞬态变化。

表 4. 不同案例研究下的 ITAE 值总结。

案例 总 ITAE
步长 +LVRT + 电压下降 5.0287
双光伏系统（PV1 / PV2） 0.0422 / 0.0214
名义参数 0.003771
+10% 参数变化 0.004301
?10% 参数变化 0.003283

6. 结论
本文提出了一个全面的建模、优化和实时验证框架，用于并网太阳能光伏系统的分数阶控制。通过使用 Oustaloup 递归近似法和修改的稳定性边界轨迹方法显式嵌入分数阶 PI 控制器的动态，开发了一个固定阶数的 10 阶非线性状态空间模型。所得模型被线性化，以便进行系统的小信号稳定性分析，同时保留了必要的分数阶动态特性。采用量子行为粒子群优化方法以模型一致的方式优化分数阶和控制器参数，发现 MSBL 方法优于 ORA。特征值迁移和模态分析表明，优化的基于 MSBL 的分数阶控制器在广泛的运行条件下提供了改进的稳定性特性和增强的鲁棒性。最优系统的李雅普诺夫分析也保证了所提控制器的鲁棒性。尽管采用 QPSO 来解决非凸和计算密集型的优化问题，但未来的工作将包括与先进的元启发式和基于学习的优化方法进行系统基准测试，以进一步评估全局最优性和收敛效率。所提框架的有效性和实用性通过使用 Raspberry Pi 平台的 OPAL-RT 基现实时仿真和 C-HILS 实验在各种电网干扰场景下得到了进一步验证，包括 LVRT 和电压下降条件。实验结果确认，优化的分数阶控制器在具有挑战性的电网条件下保持了稳定和可靠的性能。定量来看，在 LVRT 条件下，直流链路电压的最大超调为 2.78%，稳定时间为 0.0188 秒，而 d 轴电流的超调为 3.54%，稳定时间为 0.0896 秒。在 LVRT 和电压下降事件期间的累计 ITAE 为 5.0287，证实了瞬态能量的有界性。在多光伏正常运行条件下，ITAE 值显著降低到 0.0422（第一个光伏单元）和 0.0214（第二个光伏单元），表明所提框架的瞬态平滑性和可扩展性得到了提高。虽然所提框架在分析和实时验证环境中表现出强大的性能，但需要注意的是某些实际问题。优化过程依赖于在非凸搜索空间内的基于仿真的评估，这可能会根据系统大小和参数搜索的分辨率引入额外的计算工作。此外，将所提框架应用于更大的多逆变器或网络系统可能涉及额外的系统级交互，如协调和通信动态，这些需要进一步的结构化研究。这些方面代表了对所提方法在更广泛系统级研究中应用的重要方向。未来的工作将侧重于将所提框架扩展到多级并网太阳能光伏系统，还包括 DC-DC 转换器、其他可再生能源（如 DFIG 和 PMSG 基的并网风力涡轮机系统）。同时，还将研究在更大网络、电网阻抗不确定性和部分阴影或非 MPPT 条件下的性能。总之，这项研究成果为使用分数阶控制器的详细系统级分析提供了基础路径。此外，未来的增强工作将考虑分布式多控制器部署以及通信延迟和网络引起的不确定性，以评估在真实电网条件下的可扩展性和网络物理交互效应。

在准备本手册的过程中，作者使用了 Grammarly/ChatGPT/Gemini 来改写句子以减少相似性指数。使用该工具/服务后，作者根据需要审查和编辑了内容，并对出版物的内容负全责。

作者贡献声明：
Muhammad Ahsan Zamee：写作 – 原始草稿、验证、软件、方法论、概念化。
Dongjun Han：写作 – 审查与编辑、可视化、监督、软件。
Myeongseok Chae：写作 – 审查与编辑、写作 – 原始草稿、可视化。
Hojun Yang：写作 – 审查与编辑、写作 – 原始草稿。
Dongjun Won：写作 – 审查与编辑、监督、项目管理、资金获取。