基于逆动力学的人体-结构交互模型中踝关节运动学参数化特征的方法框架

《Results in Engineering》：Methodological Framework for the Parametric Characterization of Ankle Kinematics in Inverse Dynamics–Based Human–Structure Interaction Models

　　马塞拉·佩拉拉萨 | 布莱恩·卡斯蒂略 | 彼得·汤姆森
哥伦比亚考卡山谷省圣地亚哥-德卡利市瓦莱大学土木与地理信息工程学院

**摘要**
本文提出了一种三阶段的方法论框架，用于踝关节运动学的参数化合成，该框架专为集成到基于逆动力学的“人-结构互动”（HSI）模型而设计。该过程建立了一个标准化的工作流程，包括：（i）基于智能手机的实验运动捕捉；（ii）通过矢量轨迹处理系统地识别步态阶段；（iii）基于内在参数构建可扩展的数值架构。本研究的关键成就包括将行走速度和特定受试者的人体测量数据有效地映射到参数化缩放函数中，从而能够在无需进行个性化实验的情况下合成受试者依赖的运动轮廓。所获得的模型通过将人体测量参考值与标准化背景曲线联系起来，描述了站立阶段脚的翻转角度和踝关节的空间轨迹。对该框架进行实验测量的验证表明，在捕捉运动趋势方面具有高保真度，脚的翻转角度的相对误差为1.01%，空间轨迹的相对误差低于9.4%。此外，通过置信区间纳入受试者内部的变异性，能够实现对连续步态周期的真实、非确定性的表示，从而解决了人类步态的固有变异性问题。这些结果证实了该框架是一个稳健、计算效率高且模块化的工具，它通过对不同行人特征提供物理上一致的运动学输入，提高了结构可用性评估的准确性。

**1. 引言**
向更轻量化、更纤细的民用结构发展的趋势增加了这些结构对人为振动的敏感性，尤其是在行人设施（如人行桥、地板和楼梯）中。在这种情况下，“人-结构互动”（HSI）成为一个关键的研究领域，因为这些系统的动态响应不仅受结构特性的影响，还受到行人与支撑表面之间相互作用的影响。许多实验和数值研究表明，忽略HSI效应可能会导致对结构响应、用户舒适度和可用性的预测不准确[1],[2],[3]。为了应对这些挑战，已经提出了越来越复杂的建模策略[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11],[12]，从简化的移动载荷表示发展到将行人建模为多段关节系统的生物力学公式[13]。这些方法旨在更真实地捕捉人类运动与结构响应之间的耦合动态。
在多段关节的行人行走生物力学模型中，可以使用基于逆动力学的优化框架计算关节扭矩和地面反作用力[14],[15]。在这些方法中，每个身体段的运动是预先规定的，相应的关节力矩是通过求解关节系统的运动方程来获得的。施加的运动模式不是任意的；相反，它们是作为优化过程的一部分确定的，在该过程中，通过最小化行走者的机械能耗来识别每个多段模型的步态模式，从而得到更接近真实人类行走行为的运动轨迹。施加的段位移可以使用傅里叶级数来描述，其系数构成了优化问题的决策变量[15]。同时实施生物力学约束，以确保关节旋转保持在生理上可接受的范围之内，防止身体段发生非生物相容性的运动。因此，预测的行人诱导力的准确性在很大程度上取决于所得运动学描述的质量和通用性。
因此，准确表示人类步态运动学至关重要。然而，人类步态是一个高度复杂且适应性强的生物力学过程[16]，受内在因素和外在因素的共同影响。内在因素包括特定于受试者的特征，如身高、肢体比例、足部几何形状、人体测量数据以及自选行走速度，而外在因素与支撑表面的机械性能和环境条件有关[17],[18],[19],[20],[21],[22],[23]。这些参数的变化显著影响步态的特征、关节运动学以及行走过程中的载荷传递机制[24],[25]。在运动链中，这些内在和外在步态参数的影响最终通过关节级别的运动表现出来，这决定了力量向支撑表面的传递。在下肢关节中，踝关节在调节步态动态方面起着核心作用，有助于推进、减震和在整个行走周期中的平衡控制[26],[27],[28]。行走速度、人体测量数据或表面条件的变化会直接影响踝关节的运动学和动力学，改变关节角度、力矩和脚的翻转行为[8],[29],[30]。因此，对于用于HSI应用的生物力学步态模型而言，准确表示踝关节运动至关重要。
由于脚在行走过程中作为运动链的起始段，因此在逆动力学公式中尤为重要。与其他身体段不同，脚的有效长度不是恒定的，因为其运动涉及整个步态周期中的协调足底屈曲和背屈阶段。因此，足部运动学通常作为外部输入参数引入，而不是进行优化。足部运动学取决于个体的人体测量特征，因此通常需要通过先前的实验测量来获得其轨迹，然后将其植入数值模型中。因此，在使用基于逆动力学和优化的多段HSI模型模拟具有不同人体测量数据和行走速度的行人时，需要对每个受试者进行专门的实验测试，然后再进行数值模拟。这一要求大大增加了实验工作量、时间消耗和相关成本，最终限制了此类模型的适用性。
受这一限制的启发，本研究的目标是提出一个踝关节运动学参数化合成的方法论框架，该框架分为三个基本阶段：（i）实施经过验证的低成本实验策略来捕捉步态模式；（ii）轨迹处理和步态阶段的识别，建立它们与特定受试者的人体测量数据和行走速度的相关性；（iii）基于傅里叶级数构建可扩展的参数化数值架构。
这种方法并不旨在建立一个全面的通用步态数据库，而是提供了一种标准化程序来重建受试者依赖的踝关节轨迹，有效减少了通常与多段HSI模拟相关的实验负担。重要的是要强调，本文中提出的分析本质上是二维的。通过关注矢状面，该模型明确考虑了水平（Xank）和垂直（Yank）空间运动以及脚的翻转旋转（θft）。虽然当前的公式是通过特定的实验组来演示的，但所提出的框架是可扩展的，允许将来纳入更多多样化的行人群体以进一步细化模型参数。
整个方法论框架，包括受试者人体测量特征以及数据收集和处理程序，在第2节中描述。第3节介绍了与脚的水平（Xank）和垂直（Yank）轨迹、计算出的脚翻转角度（θft）、识别的步态周期以及这些结果与受试者人体测量数据和行走速度（v）之间建立的关系，以及可扩展模型的构建。最后，第4节总结了研究的主要结论。

**2. 方法**
**2.1 第一阶段：实验数据采集**
为了实施所提出框架的第一阶段，进行了一项实验活动，使用多轴人-结构互动测试框架（HSI-MTF）[1]结合基于反射标记和智能手机设备的光电运动捕捉系统来收集踝关节运动学数据。选择这种采集方法是基于之前的验证研究，这些研究将其性能与OptiTrack[31]等商业运动捕捉系统进行了比较。尽管商业系统提供了更高的光学冗余度，但它们仍然存在与标记可见性和空间覆盖范围相关的限制。相比之下，基于智能手机的系统尽管在光学冗余性和空间分布方面存在固有的限制，但已被证明能够提供相对于商业系统误差较小的准确运动学测量数据[32]。
为了评估所提出的框架，4名女性（F）和6名男性（M）作为志愿者参与了实验。在数据收集时，所有参与者都没有报告任何步态障碍或影响正常行走模式的情况。虽然这个群体代表了一个特定的人口统计特征，但它作为一个案例研究，用于展示该方法论的可扩展性和参数适应性。详细的人体测量数据可以在表1中找到（见图1中的命名法）。所有涉及人类受试者的研究都严格遵守世界医学会《赫尔辛基宣言》中规定的伦理标准，研究方案得到了瓦莱大学的伦理委员会的批准。

**表1. 人体测量数据**
- 年龄（岁）
- 身高（cm）
- 体重（Kg）
- BMI（）

**2.2 第二阶段：轨迹处理和步态阶段识别**
为了实施框架的第二阶段，使用专门为这项研究开发的自定义MATLAB算法（R2023b）处理收集到的视频。处理过程首先顺序提取每个视频帧，算法执行图像处理步骤以识别和隔离用于轨迹重建的单独标记。
为了计算θft，从每个视频帧中提取识别出的标记的踝关节、脚跟和跖骨的坐标，并通过两个向量之间的点积公式进行矢量处理：
(1)
θft = arccos(MA→·M→|MA→|)
其中MA→是从跖骨标记到踝关节标记的脚的纵向向量，表示脚段在矢状平面上的方向。向量M→是从跖骨标记沿水平方向定义的参考向量，表示与地面对齐的参考轴。这种公式允许相对于水平方向量化脚的方向，从而识别步态周期的阶段。将站立阶段（MS）确定为脚与地面持续接触的间隔，而HS和TO阶段分别从脚跟和跖骨标记的垂直坐标的局部最小值确定。
在这系统地识别步态阶段之后，分析了实验数据，以研究行走速度对个别步态模式的影响，特别关注脚趾离地（TO）时的足底屈曲和脚跟落地（HS）时的背屈（图3）。这一过程提供了验证速度依赖的踝关节运动学变化及其对脚运动线性和角向分量影响的实证证据。

**2.3 第三阶段：构建可扩展的参数化架构**
在框架的第三阶段，构建了一个基于内在参数的可扩展数值模型来合成踝关节运动学。该参数化架构旨在通过将人体测量参考值与标准化背景曲线联系起来来重建受试者依赖的轨迹。具体来说，足部翻转角度θft是根据站立阶段（θft0）的参考足部翻转角度来制定的，该角度来源于人体测量数据，并通过根据行走速度进行缩放的基线轮廓进行调整。同样，水平和垂直踝关节轨迹Xank和Yank也是通过傅里叶级数公式描述的，这些公式结合了缩放函数，以考虑行走速度和个体特定人体测量参数的影响。由于基于逆动力学和优化的几个人体-结构交互（HSI）模型[13]主要集中在足部与地面接触阶段，即负载传递到支撑面的阶段，因此本方法论提案专门关注站立阶段对应的踝关节轨迹部分。这种战略性的限定确保了运动学模型为结构适用性模拟提供最相关的输入，同时保持了可扩展的基础，可以扩展到更广泛的人群群体。

3. 结果与讨论
本节展示了实验和数值发现，以验证所提出方法论框架的三个阶段。结果表明，捕获的运动学模式（第一阶段）和识别的步态阶段（第二阶段）为制定和校准可扩展参数化架构（第三阶段）提供了稳健的实证基础。通过将合成轨迹与实验测量结果进行比较，评估了该方法在捕捉个体特定踝关节运动方面的有效性。

3.1. 运动学模式对行走速度的适应性
在图4中，展示了其中一个受试者的踝关节标记坐标的处理后轨迹。随着v值的增加，水平位移的幅度也增加，表明步幅逐渐延长。这一行为与之前的研究一致，这些研究表明步幅长度是一个受步态速度强烈影响的运动学变量[19]、[24]、[25]。同样，步态周期内垂直踝关节位移的最大幅度也遵循相同的趋势：在较慢的速度1.0 m/s时，垂直幅度减小，因为踝关节的机械特性表现为运动范围较小且在触地阶段（TO）产生的动力有限。先前的研究报告称，在较慢的速度下，轨迹的幅度趋于减小，反映了总体机械需求的降低[33]。在这种情况下，踝关节的跖屈肌在触地阶段产生的正动力较小，从而减少了足部的向前推进和垂直抬升[26]、[27]。相比之下，在更高的v值（如2.0 m/s和3.0 m/s）下，观察到更大的垂直踝关节幅度。这是因为在HS期间踝关节背屈在增加足部离地高度方面起着关键作用，从而允许更高的轨迹[34]。此外，在这些条件下，TO产生了一股正向动力，同时推动了质心并加速了摆动腿[27]，起到了类似弹弓的机制，增强了垂直抬升[26]。这些依赖于速度的生物力学特征证明了在所提出的框架中包含基于速度的缩放函数的必要性，确保了合成轨迹在广泛的运动速度范围内保持物理一致性。

此外，随着v值的增加，步态周期频率也上升。这一效应可以通过站立阶段和摆动阶段随着v值的增加而逐渐缩短来观察到，反映了步态周期每个阶段可用时间的减少。因此，步态的时间结构变得更加动态，HS和TO事件之间的转换更快，这与维持更快运动所需的机械适应是一致的。

在图5中，显示了其中一个受试者的θft随v值变化的情况。在较低的v值下，HS时的翻转角度减小，表明在初始接触时的背屈需求降低，而在TO期间的跖屈需求也较低，因为在慢速行走条件下，这一事件发生在相对较大的θft值下。这些特征共同表明，在低v值下，踝-足复合体的整体运动范围减小，这与先前的研究结果一致，这些研究报道在慢速步态期间关节活动范围减小，机械需求降低。相反，随着v值的增加，翻转角度的运动范围逐渐扩大，表现为HS期间背屈增加和TO期间跖屈更加明显。这种依赖于速度的行为与生物力学证据一致，表明更高的行走速度与增加的踝关节动力产生和改善的蹬地机制有关，这有助于更大的向前推进和改善的足部离地高度[26]、[27]、[33]。

3.2. 受试者人体测量数据与踝关节轨迹之间的相关性
此外，还确认了受试者人体测量数据对踝关节运动学有显著影响。这种相关性是第3.4节描述参数化架构的基础。在模型开发过程中，评估了几个身体测量变量，以确定哪些变量提供了最佳预测性能。结果一致表明，受试者身高和总腿长（L8+L9）与踝关节运动学轨迹表现出最强的相关性。结合这些参数的模型产生了最低的拟合误差，并且在不同的v值下对所有受试者都表现出最稳定的表示。

3.3. 踝关节运动学的个体内变异性
为了更详细地了解踝关节的行为，图6展示了在给定v值下，一个代表性受试者的踝关节位移Xank-Yank与足部翻转角度θft之间的关系。这种表示显示，θft的时间演变伴随着水平和垂直踝关节轨迹的协调变化，导致连续步态周期中的运动学模式平滑且可重复。观察到小范围的周期间变化，这种变化在水平踝关节位移中比在垂直分量中更为明显。这些差异反映了步长和周期间前进进度的固有变异性，而垂直运动则相对一致。尽管这些变化很微妙，但忽略它们可能导致对踝关节运动学的过度简化描述。考虑到这种变异性，特别是在水平轨迹中，有助于更真实地表示步态，并提高了在不同行走条件下的生物力学和HSI模型的稳健性。

3.4. 基于内在参数的模型
为了概括实验观察结果，框架的第三阶段涉及开发一个可扩展的数值架构。该模型通过整合通过实验分析确定的关系，提供了合成个体依赖性运动模式的数学基础。这种公式使得无需对每个新受试者进行单独的运动捕捉，就能直接计算角度和线性的踝关节轨迹。

3.4.1. θft数值模型
为了开发所提出的模型，最初假设在移动阶段（MS阶段）的足部翻转角度（图7）可以通过个体特定的足部人体测量参数通过三角关系进行估计：
(2)θft0=180?α[deg]
其中角度α定义为：
(3)α=arccos(L102?L112?L122?2L11L12)[deg]
该值被确定为模型的个体特定参考值。基于此，将不同v值的θft轨迹标准化，使其在站立阶段的进展可以量化为其MS值的百分比（θfto）。
根据这种公式，模型通过定义其相对于MS值的标准化演变来估计θft轨迹。随后，通过根据人体测量参数得出的个体特定中立阶段角度来缩放该轨迹，以重建站立阶段的完整θft曲线。模型的一般数学公式为：
(4)θft=(θftθft0)*θft0
其中标准化的足部翻转角度定义为：
(5)(θftθft0)*={f(NGC)fHS(v)?10.035,NGC≤54,fTO(v)?(f(NGC)?0.7700.230)(1?fTO(v)),NGC>54。
该函数基于一个基线曲线f(NGC)，由三阶傅里叶级数表示，该级数捕捉了足部翻转角度轨迹的一般形状（公式（6））。本节中介绍的所有傅里叶级数的系数在表2中报告。
(6)f(NGC)=a0+∑i=13[aicos(iωNGC)+bisin(iωNGC)]
表2. 对应于每个模型背景曲线的傅里叶级数系数值。

3.4.2. Xank数值模型
公式（9）提出了Xank轨迹的通用公式。该模型基于通过标准化所有受试者的实验踝关节轨迹获得的折叠、无量纲表示。标准化过程是通过将原始踝关节曲线除以两个缩放函数来进行的：一个依赖于速度的函数fx(v)，和一个依赖于人体测量的函数fx(h)。这个程序近似了一个折叠曲线，代表了不同受试者和行走速度下的水平踝关节运动形状。折叠轨迹表示为从傅里叶级数表示（公式（10）获得的数值函数。一旦定义，就可以使用相同的函数fx(v)和fx(h)来为所需的v值和受试者人体测量重新构建踝关节轨迹。

3.4.3. Yank数值模型
公式（15）定义了Yank轨迹的数值模型。虽然该公式的制定遵循了与Xank相同的标准化和缩放框架，但在这种情况下只考虑了人体测量的变异性。这种简化是因为观察到行走速度对站立阶段踝关节的垂直位移影响相对较小。Yank轨迹使用依赖于人体测量的函数fy(L8, L9)进行标准化，这使得能够捕获跨受试者的共同垂直踝关节运动模式。在评估的人体测量参数中，腿长（L8+L9）与垂直踝关节轨迹的相关性最强。

3.5. 模型与实验数据的验证
图8-10将所提出的数值模型与不同v值的受试者1的实验数据进行了比较。这些模型与实验测量结果非常吻合，准确捕捉了站立阶段踝关节运动学的主要趋势。

3.6. 模型与实验数据的验证
图8-图10将所提出的数值模型与不同v值的受试者1的实验测量结果进行了比较。结果表明，该框架准确捕捉了站立阶段踝关节的主要运动学趋势，有效再现了HS、MS和TO事件之间的转换。
从定量上讲，θft轨迹的精度很高，平均相对误差为1.007%。空间位移Xank和Yank的平均误差分别为9.359%和5.544%。在人体-结构交互（HSI）建模的背景下，这些误差水平被认为是完全可以接受的。该框架能够准确捕捉全球运动学特征和关键的载荷传递阶段，这些阶段是结构响应的主要激发因素。这些结果证实了所提出的建模方法在工程应用中的可靠性，为模拟受试者依赖的行人激励提供了坚实且可扩展的基础，无需进行个性化的实验研究。3.7. 将受试者内变异性纳入模型正如第3.3节所确定的，踝关节运动学在连续的步态周期中表现出平滑且可重复的模式。然而，周期间的可变性仍然存在，尤其是在水平方向上。为了纳入这种固有的分散性并避免对运动的过度简化表示，在所提出的运动学模型中引入了置信区间。这些区间是通过成比例调整定义每个模型背景曲线的傅里叶级数的系数来构建的。上下界的确定使得根据第3.4.2节和第3.4.3节中提供的函数标准化的实验数据完全包含在相应的区间内。分析显示，对于Xank模型，傅里叶系数的变化范围为±10%就足够了，而Yank模型则需要更大的变化范围±20%（图11）。下载：下载高分辨率图片（414KB）下载：下载全尺寸图片图11. 与Xank和Yank模型背景曲线相关的置信区间，这些区间是根据测试受试者的实验数据标准化得到的。虚线代表各个标准化的曲线，而实线黑色曲线表示使用傅里叶级数从标准化数据拟合出的平均响应。为了捕捉周期间的变异性，每个模型的系数被允许在其各自的置信区间内波动。因此，背景曲线在每个周期中并不完全相同，导致踝关节轨迹出现微小但真实的变化。4. 结论本研究提出了一种系统化的踝关节运动学参数合成方法，特别适用于集成到基于逆动力学的HSI模型中。与提供静态特征描述不同，该方法建立了一个标准化的三阶段过程，结合了实验数据采集、步态阶段识别和可扩展的数值架构。研究发现显示，步行速度和人体测量特征（如受试者身高和腿部长度）可以通过参数缩放函数有效地进行映射。与实验测量的验证表明，脚部翻转角度的相对误差为1.01%，空间轨迹的相对误差低于9.4%，这证实了重建过程的稳健性。通过置信区间纳入受试者内变异性，标志着与传统确定性模型的显著区别。通过允许周期间变化的非确定性再现，该框架捕捉了人类运动的固有随机性，同时在关键载荷传递阶段（HS和TO）保持了物理一致性。这一能力确保了该方法满足结构服务性评估的严格要求。虽然当前的公式化关注矢状面上的运动学，但所提出的方法框架可以类似地应用于制定额面和横向平面运动的数学表示。未来的发展将利用这种适应性，提供踝关节-足部力学的完全三维近似，进一步提高行人激励模型的精度。最后，尽管模型参数是使用特定的实验群体进行校准的，但该架构本身是可扩展的。正在进行的研究将纳入更多样化的行人群体，以进一步完善缩放函数，确保该方法成为复杂工程环境中高保真人-结构交互模拟的多功能工具。未引用的浮动图9.CRediT作者贡献声明Marcela Perlaza：写作 - 审查与编辑、撰写 - 原始草稿、可视化、验证、软件、方法论、调查、形式分析、概念化。Bryan Castillo：写作 - 审查与编辑、监督、概念化。Peter Thomson：写作 - 审查与编辑、验证、概念化。