在具有非均匀热源、线性和非线性对流的Maxwell Forchheimer流动中，通过基于RSM（Reynolds-Simpson）的分析方法研究可伸缩渗透膜的耗散现象

《Results in Engineering》：Dissipation in Maxwell Forchheimer Flow across a Stretchable Permeable Sheet characterized by Nonuniform Heat Source, Linear and Non-Linear Convections with RSM-Based Analysis

　　M. Srinivas | Y. Rajashekhar Reddy
研究学者，数学系，JNTUH大学工程学院，科学与技术学院，海得拉巴，Kukatpally，海得拉巴，特伦甘纳邦，500085，印度

**摘要**
**新颖性**
本研究探讨了在拉伸板上发生化学反应的非牛顿Maxwell流体的Forchheimer流动现象，同时考虑了具有非均匀热源的Cattaneo-Christov热通量以及非线性热对流和溶质对流的影响。

**方法**
这些非线性常微分方程（ODEs）是从描述流体运动的偏微分方程（PDEs）中推导出来的。在合理定义无量纲变量并应用相似性变换后，使用BVP4C方法数值求解这些方程。研究了不同活性参数对浓度、温度和速度分布的影响。研究结果还包括计算值的表格表示，例如摩擦系数（Skin friction）、Sherwood数和Nusselt数。同时探讨了热辐射和 heat source/sink 的现象。

**应用**
这些新发现有助于设计高效的药物输送、涂层和过滤系统，因为它们提供了关于粒子沉积行为的洞察。该研究的另一个重要优势在于能够模拟某些聚合物和土木材料的性能，这些材料的性能完全依赖于热传递过程。

**结果**
决定系数（R2）对于Cf、Nu和Sh都大于0.98，表明预测值与计算结果之间有极好的一致性。随着热Grashof数的增加，Nusselt数增加了25-40%；而吸力参数的变化则使热传递率变化了15-20%。

**1. 引言**
许多工业应用依赖于非线性拉伸板，例如用于金属板冷凝处理的冷却浴和通过染料挤出的聚合板等。为了获得所需的聚合板宽度，在生产过程中将熔融材料通过狭缝拉伸。最终产品的质量取决于用于制造板材的原料的拉伸速率。对于这些关键工业应用，流体在线性和非线性拉伸下的流动行为已经被多次研究。
可渗透介质包含许多开放孔隙或孔洞，但仍然是固体且受限制的。多孔介质是指材料的体积与表面积比高的材料。天然材料和合成材料都可能具有孔隙，这可以在相关规范中找到。泡沫聚合物、砂岩、浮石、纺织海绵、人类皮肤、装有石头的压实刨花、石灰石、压实的沙子和泥土都是天然多孔材料的例子。它在许多不同领域都有广泛的实际应用。达西定律（Darcy's Law）定义了压力梯度、重力和液体通过可渗透介质流动之间的关系。这一方程由著名工程师和数学家William Darcy提出，适用于低孔隙率介质、具有牛顿特性流体以及较低雷诺数的情况。当将介质孔隙增大时，达西定律的效果会相反。1901年，荷兰工程师P. Forchheimer基于达西的理论提出了改进方案。Forchheimer通过将动量方程平方并加入速度分量，修正了达西定律以考虑惯性力。Guedri等人[1]分析了三维混合纳米流体在非线性可拉伸板上的二维非线性对流达西-Forchheimer流动。Jawad等人[2]研究了受热泳动、热导率和化学反应影响的Maxwell Darcy-Forchheimer流体在线性可渗透拉伸板上的流动，以及其与质量和热传递的关系。Musharafa等人[3]使用Darcy-Forchheimer和Williamson-Casson流体研究了双层流问题，包括在指数膨胀板上的流动以及热和浓度传递。Bikram等人[4]统计分析了三元纳米流体在多孔介质中通过拉伸表面的流动，以及混合对流和Thomsontrion滑移如何影响Darcy-Forchheimer流动和热传递特性。Ahmad等人[5]使用Darcy-Forchheimer多孔介质和焦耳加热因子数值模拟了包含纳米材料的磁流体混合对流流动。Hundasa等人[6]使用两相模型研究了变量粘度、焦耳加热和辐射对Darcy-Forchheimer可渗透介质中磁流体（MHD）流动行为的影响。Shah等人[7]报告了熔化过程中、微旋转和径向旋转圆盘中的热传递研究。Hafez等人[8]提出了一种具有化学惰性、稳定性和有效热导率的非牛顿Casson流体在拉伸板上的达西-Forchheimer流动。Suresh等人[9]对含有单壁碳纳米管（SWCNTs）的水基纳米流体在垂直多孔板上的热传递进行了数值模拟。本研究还考虑了粘性耗散和均匀磁场等其他流动控制因素。Askasasbeh[10]研究了Casson纳米流体在Darcy-Forchheimer体制下的对流边界流动特性，及其在工程和生物医学中的应用。Kumari等人[11]使用三元Casson纳米流体模拟了具有MHD停滞特性的多孔弯曲拉伸表面上的达西-Forchheimer流动。与线性对流相比，二次对流由于能够表示非线性热产生和流体动力学，显著影响了边界值问题。在边界层分析中，二次对流通常导致更高的热传递率和更小的边界层。在涉及显著非线性热浮力效应的过程中（例如在水体接近最大密度时），二次模型比线性模型更具准确性。然而，两种模型之间的选择最终取决于具体的物理现象。在电子元件冷却和纳米流体行为等实际应用中，非线性现象起着主导作用，二次对流往往能实现更高的热传递率。因此，研究人员开始研究非牛顿流体在现代技术应用中的潜力。Ibrahim和Zemedu[12]还展示了微极纳米流体围绕等温球体的流动特性与密度依赖性。Saeed等人[13]利用布朗运动和热泳动分析了热量和质量传递特性。Ali等人[14]指出，受磁场和旋转框架影响的微极流体动力学受到线性和二次对流的影响。Pandey等人[15]基于牛顿流动模拟了垂直伸展板中的非线性辐射和混合非线性对流。Goud等人[16]通过可变形圆柱体内的磁偶极子研究了非线性加热。Kenea和Ibrahim[17]的工作专注于由被动控制和対流热驱动的Oldroyd B流体围绕旋转停滞球体的非线性对流。
工程和自然过程依赖非均匀热源，因为它们能够实现更高效的热传递、更好的温度控制和热管理，应用于电子、生物医学和制造等领域。通过利用先进的数学建模和数值技术，研究人员可以优化性能并更好地理解热扩散等现象。它们生成热梯度的能力使其在驱动复杂流体流动方面非常重要；这些梯度可以用于熔融纺丝和控制药物释放等过程。使用非均匀热源而不是均匀热源可以大大提高热传递率，尤其是在处理复杂的热边界条件时。例如，当轮子和刹车接触时产生的摩擦加热，用非均匀热源比均匀热源能更好地进行建模，这适用于许多工业和自然系统。Gireesha等人[18]模拟了在含有尘埃颗粒的条件下，非牛顿流体在受对流加热的拉伸板上的二维混合对流流动。Ragupathi等人[19]提出了在不同热源和热汇之间具有非均匀相互作用的多孔Riga板上多种纳米流体的三维稳态模拟。Sina[20]对恒速纵向鳍片的组合对流-辐射热传递进行了分析。Prashanth和Rao[21]报道了使用具有磁场的可渗透拉伸板对粘性纳米流体的混合对流。Zhang[22]指出，模拟合适的加热源模型使得预测轮子-刹车-鞋摩擦在长下坡坡道上的热行为变得困难。
最近，纳米流体的热和质量传输研究中越来越多地使用结合了传统知识和尖端计算资源的混合模型。尽管ANN和深度学习在预测复杂传输行为方面取得了成功（如M. D. Kumar及其同事的研究[23],[24],[25],[26],[27]所示），但这有时会削弱物理可解释性。Rehman等人[28],[31],[32],[33]使用优化和敏感性研究研究了反应性和非牛顿流体，尽管通常缺乏完整的机制理解。M. Waqas Ashraf等人[29,30]开发的混合计算方法为理解生物对流和辐射过程的各种因素提供了见解。Ghulam Rasool[34]发现，斜率和多孔材料显著影响流动稳定性，这与预期相反。受这些缺点的启发，本研究旨在通过研究磁场角度、多孔阻力及纳米流体运动的综合效应，提供更科学合理的评估。
Cattaneo-Christov热通量模型中的松弛时间参数消除了傅里叶定律中无限热传播速度的物理悖论。傅里叶定律预测介质中的热响应是恒定的，而Cattaneo–Christov模型通过材料导数考虑了热惯性，确保热以有限速度以波动形式传播。这一区别对于高频过程、激光脉冲加热和微尺度流动尤为重要，因为扩散模型在高频率过程中会高估热传递率，并未能考虑温度梯度与产生的热通量之间的时间滞后。

**表1. 本研究的新颖性**
表格1展示了本研究的新颖性：没有其他作者同时报告了线性/非线性热对流、线性/非线性溶质对流、Forchheimer效应和非均匀热源的结合。本研究填补了这一研究空白，分析了线性/非线性热对流、线性/非线性溶质对流、Forchheimer效应和非均匀热源的影响。非线性常微分方程是从描述流体运动的偏微分方程中推导出来的。在合理定义无量纲变量并应用相似性变换后，使用BVP4C方法数值求解这些方程。研究了不同活性参数对浓度、温度和速度分布的影响。研究结果还包括计算值的表格表示，例如摩擦系数、Sherwood数和Nusselt数。同时探讨了与热源或热汇相关的热辐射现象。该研究的一个重要优势在于能够模拟某些完全依赖于热传递过程的聚合物和土木材料的性能。利用这些新发现有助于设计高效的药物输送、涂层和过滤系统。

**参考文献**
参考编号 | 作者（参考编号） | Darcy–Forchheimer效应 | 线性/非线性热对流 | 溶质对流 | 综合热+溶质（线性/非线性）
1 | Guedri等人 [1] | ? |××× | | |
2 | Jawad等人 [2] | ? |× |× |
3 | Saleem等人 [3] | ? |××× | |
4 | Singh等人 [4] | ? |? |× |
5 | Ahmad等人 [5] | ? |? |× |
6 | Nagari等人 [6] | ? |××× | |
7 | Shah等人 [7] | ? |××× | |
8 | Hafez等人 [8] | ? |××× | |
9 | Suresh Kumar等人 [9] | ? |××× | |
10 | Alkasasbeh [10] | ? |××× | |
11 | Kumari等人 [11] | ? |? |×× |
12 | Ibrahim & Zemedu [12] | × |? |×× |
13 | Saeed等人 [13] | × |? |×× |
14 | Ali等人 [14] | × |? |（线性+非线性） |
15 | Pandey等人 [15] | × |? |×× |
17 | Kenea & Ibrahim [17] | × |? |? |（无Forchheimer） |
18 | Gireesha等人 [18] | × |? |? |（无Forchheimer） |
19 | Manthramurthy等人 [21] | × |? |? |（无Forchheimer） |
20 | Rehman等人 [21] | ? |××× | |
21 | Rasool等人 [21] | ? |? |（线性+非线性） |
22 | Kenea & Ibrahim [17] | × |? |? |（不同配置） |图1从物理角度对问题进行了建模，其中（?w,θw）分别代表浓度和温度。下载：下载高分辨率图像（193KB）下载：下载全尺寸图像
图1. 流动几何形状。
由于外部场强度很高，工业环境中的大多数导电流体表现出很小的磁感应（Fonseca等人 [35]）。然而，更广泛的模型没有考虑Dufour和Soret效应（Abdullahi等人 [36]），尽管这些效应在高梯度系统中非常重要，例如同位素分离和纳米流体流动。
为了提出这个问题，我们做出以下假设：
i. 流动场被认为是恒压场。
ii. 磁体的雷诺数被假设为非常小，因此诱导的磁场可以忽略不计。
iii. 这种流动被称为层流。
iv. 由于扩散物种的扩散率很低，因此排除了Dufour和Soret效应。
根据上述假设，流动结构如图1所示。
Boussinesq对所提出的流动模型的近似公式，在满足前述条件的情况下如下 [37]：
(1) ?u ?x + ?v ?η = 0
(2) u ?2u ?x + v ?u ?η + δ1 [u2 ?2u ?x2 + 2uv ?2u ?x ?η + v2 ?2u ?η2] = ν ?2u ?η2 + Ue ?Ue ?x ? .......
B02σsin2αρ [u ? Ue + δ1v ?u ?η] ? μρk [u + δ1v ?u ?η] ? Cbku2 + .....g [βT(θ ? θ∞) + βT(θ ? θ∞)2] + g [βC(? ? ?∞) + βC(? ? ?∞)2]
(3) δ2[u2 ?2θ ?x2 + v2 ?2u ?η2 + 2uv ?2θ ?x ?η + u ?u ?x ?θ ?x + u ?v ?x ?θ ?x + v ?u ?η ?θ ?x + v ?v ?η ?θ ?η] =....κρCp ?2θ ?η2 ? 1ρCp ?qr ?η + νCp(?u ?η)2 ? u ?θ ?x ? v ?θ ?η + 1ρCpq″′
(4) u ?? ?x + v ?? ?η = DB ?2? ?η2 ? k1[? ? ?∞]
以及相关的边界条件：
(5) u = uw(x) = dx, v = -vw, θ = θw, ? = ?w
at η → ∞
Rosseland近似用于近似热流量：
(6) qr = -43σk1 * ?θ? ?η
(7) θ? ≈ 4θ∞3θ ? 3θ∞?
方程 (3) 是从 (6)-(7) 转换而来的；
(8) δ2[u2 ?2θ ?x2 + v2 ?2u ?η2 + 2uv ?2θ ?x ?η + u ?u ?x ?θ ?x + u ?v ?x ?θ ?x + v ?u ?η ?θ ?x + v ?v ?η ?θ ?η] =....κρCp ?2θ ?η2 + 1ρCp16σθ∞33k1 * ?2θ ?η2 + νCp(?u ?η)2 ? u ?θ ?x ? v ?θ ?η + 1ρCpq″′
使用的转换包括：
(9) u = dx
f′(ξ); v = -dVf(ξ); ξ = dVη; φ(ξ) = ? ? ?∞?w ? ?∞; θ(ξ) = θ ? θ∞θw ? θ∞; q″′ = kuwv[A1(θw ? θ∞)f′ + B1(θ ? θ∞)]
转换后的常微分方程为：
(10) f″′ + [Mpβnsin2α ? Daβn + 1]ff″ ? f′2 + βn[2ff′f″ ? f2f″′] ? ……Mpsin2α[f′ ? λ] ? Daf′ + λ2 ? Frf′2 + GrTθ + GrCφ + λTθ2 + λCφ2 = 0
(11) [1 + 43Rd]θ″ + Prfθ′ ? ζPr[ff′θ′ + f2θ″] + Ecf′′2 + 1Pr[A1f′ + B1θ] = 0
(12) φ″ + Scfφ′ ? ScKnφ = 0
转换后的边界条件为：
(13) At ξ = 0: f(ξ) = S, f′(ξ) = 1, θ(ξ) = 1, φ(ξ) = 1
at ξ → ∞: f′(ξ) = λ, θ(ξ) = 0, φ(ξ) = 0
其中 Mp = B02σρd; βn = δ1d; λ = bd; Da = μρkd; Rd = k1*κ4σθ∞3; Pr = ρvCpκ; ζ = δ2d; Ec = dx2Cp(θw ? θ∞); Sc = νDB; Kn = k1d; Fr = Cbk; GrT = gβT(θw ? θ∞)d2; λT = gβT(θw ? θ∞)2d2; GrC = gβC(?w ? ?∞)d2; λC = gβC(?w ? ?∞)d2
工程应用如下：
(14) Dq = 2τwρuw2; Nux = xgwk(θw ? θ∞);
Shx = xfwCB(?w ? ?∞)
其中剪切应力、热流量和质量流量分别为：
τw = μ(?u ?η); η = 0; gw = -k(?θ ?η); η = 0; fw = -CB(?? ?η)η = 0
方程 (14) 变为：
(15) 1/2DqRex?.5 = f″(0); NuxRex ? 0.5 = -?′(0); ShxRex ? 0.5 = -φ′(0)

3. 方法论
MATLAB中的bvp4c函数实现了三阶段Lobatto IIIa配置方法作为有限差分方案。通过这种算法，生成了一个在整个积分区间内具有四阶精度的C1-连续解。在定义了第一个常微分方程系统并指定了边界条件后，选择一个点网格，并提供了解的初始猜测值。为了求解PDEs (2), (8), (4)，它们被简化为非线性常微分方程 (10) -(12)，并使用MATLAB的bvp4c边界值问题求解器。为了简化方程，引入了无量纲变量，从而更容易求解。常微分方程的数学结构被简化以促进数值解。bvp4c数值系统的流程图如图2所示。
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图2. 解决方法流程图。
为了确保解的准确性和稳定性，使用MATLAB求解器bvp4c以10^-4的相对误差容忍度和10^-5的绝对误差容忍度进行了数值求解。
3.1. 所涉及的步骤
• 必须将高阶微分方程转换为一阶常微分方程。
• 函数应具有签名 dydx ?=?odefun(x, y) 并描述一阶常微分方程系统。
• 创建一个MATLAB函数 res?=?bcfun(ya, yb），表示问题的边界条件。
• 使用bvpinit函数创建网格点和解的初始猜测。
• 使用基本语法 sol?=?bvp4c(odefun, bcfun, solinit) 解决边界值问题。解包含在输出 sol 中，包括网格点 (sol.x)、这些点的近似解 (sol.y) 和导数的近似值 (sol.yp)。
• 使用deval和输出 sol 计算区间内特定点的连续解。

3.2. 网格分析
为了验证bvp4c求解器的数值稳定性和准确性，进行了网格敏感性分析。使用从50到300不等的网格点数来求解控制方程。监测的物理参数包括摩擦系数、努塞尔数和谢伍德数。随着网格密度的增加，连续网格细化之间的差异显著减小。将网格大小增加到200个点消除了变化，确认数值结果与网格大小无关。使用MATLAB bvp4c求解器进行了广泛的网格敏感性分析，以确保数值准确性和鲁棒性。使用50、100、150和300个点的离散网格来划分计算域。系统地研究了网格细化对几个关键工程参数的影响，包括摩擦系数、局部努塞尔数和谢伍德数。根据结果，网格密度显著减少了连续网格细化之间的变化。在200个网格点时，所有监测的量都可以忽略不计，确认网格独立性达到6位小数。

4. 结果和讨论
本研究分析了线性/非线性热对流、线性/非线性溶质对流、Forchheimer效应和非均匀热源效应。非线性常微分方程是从描述流体运动的PDEs推导出来的。在正确定义无量纲变量并应用相似性变换后，使用bvp4c方法数值求解这些方程。参数范围为：0.5 ≤ Mp ≤ 1.5, 0.2 ≤ βn ≤ 0.6, 0 ≤ α ≤ π2, 0.1 ≤ Da ≤ 0.5, 0.5 ≤ Fr ≤ 1.5, 0.05 ≤ GrT ≤ 0.15, 0.05 ≤ GrC ≤ 0.15, 0.1 ≤ λT ≤ 0.3, 0.1 ≤ λC ≤ 0.3, 0.2 ≤ S ≤ 0.6, 0.05 ≤ λ ≤ 0.15, 0.1 ≤ ζ ≤ 0.3, 0.5 ≤ Rd ≤ 1.5, 0.5 ≤ Ec ≤ 1.5, 0.1 ≤ A1 ≤ 0.3, 0.1 ≤ B1 ≤ 0.3, 0.1 ≤ Kn ≤ 0.3, 0.1 ≤ Sc ≤ 0.3。
图3显示，随着磁参数Mp的增加，速度剖面减小。从物理上讲，流体是导电的；磁参数Mp是磁力与惯性力的比值。磁场对流体的作用使磁场和流体的电流相互作用，产生洛伦兹力，导致速度随Mp的增加而显著减小。
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图3. f′(ξ) 与磁参数 (Mp) 的关系。
图4显示了Deborah数 (βn) 对速度 f'(ξ) 的影响。随着βn的增加，速度剖面变得更平缓。从物理上讲，材料的弹性（由其松弛时间衡量）和流动过程的时间框架（与速度成反比）都受到Deborah数的影响。当Deborah数较大时，材料表现得像固体，因为其松弛时间大于流动的特征时间。另一方面，当Deborah数较小时，材料更像流体，因为流动的时间尺度比其松弛周期短得多。图5显示了角度 (α) 对 f'(ξ) 的影响。随着α的增加，速度剖面 f′(ξ) 减速。从物理上讲，当 α 增加时，流动的磁场变强，导致流动受到磁力的阻碍。根据浮力效应等变量，倾斜角度可能会以不同方式改变加速度、湍流和速度剖面。图6图形显示了孔隙率参数 (Da) 对流体速度剖面的影响。其背后的物理机制是：流体的速度受到达西数 (Darcy number) 的影响，达西数衡量作用在多孔介质上的惯性力与粘性力的比值，从而影响流动阻力。根据结果，材料的孔隙率与流体速度之间存在直接关系。这意味着像过滤、地热系统和增强型石油开采这样的系统依赖于流体通过多孔介质的流动，因此孔隙率较高的材料允许更好的流体运动和更高效的传输。如图7所示，随着Forchheimer数 Fr 的增加，速度剖面变小。由于多孔介质特有的非线性阻力效应，随着Fr的增加，流动阻力增大。图8显示了热格拉肖夫数 (Thermal Grashof number) 对速度的不同影响。随着热格拉肖夫数的提高，表面速度呈现出上升趋势。作为自然对流对流体速度影响强度的衡量标准，热格拉肖夫数在物理上非常重要，因为它表达了粘性力与浮力之间的比率。图9显示了溶质格拉肖夫数 (Solutal Grashof number) 对速度的冲突影响。图10显示了溶质格拉肖夫数对速度的冲突影响。随着溶质格拉肖夫数的增加，表面速度的趋势上升。图11直观展示了非线性溶质格拉肖夫数对速度的增强驱动效应。随着非线性溶质格拉肖夫数的增加，增强驱动力对流体有更强的效果，导致速度加快。由于浮力变得更强，浮力与粘性力的比率导致流体的速度加快。图12表明，随着S的变化，F'(ξ) 持续减小。当流体靠近表面时，热和质量的传递可能会改善，导致边界层变薄。图13显示了拉伸参数 (λ) 对 f'(ξ) 的波动影响。图13显示了速度分布的改进。拉伸参数的增加导致变形加快，从而更有效地加速了流体，使得边界层速度更高。拉伸参数是物理上衡量边界变形和拉伸程度的指标，如图14所示。图14确认了材料松弛参数随温度的变化。在较高温度下，能量使聚合物链或分子能够克服二次相互作用并更自由地移动，因此松弛模量更快地减小，松弛时间也更短。图15显示了表面温度曲线作为辐射的函数。斯特凡-玻尔兹曼定律 (Stefan-Boltzmann Law) 支配辐射电磁能量的强度和波长，这两者都取决于温度。图16显示了Eckert数对表面温度剖面的影响。Eckert数象征着粘性功与焓之间的相关性。当流体受到高速度或拉伸时，流体会“自我加热”，因为内部摩擦或粘性应力将动能转化为热量。图17和图18显示了A1和B1值的增加导致表面温度上升。通过调整热源设置，流体可以产生额外的热量。图19展示了带有化学反应的热系统中边界层的演变。在化学反应参数较高的情况下，观察到更薄的边界层。从物理上讲，反应速率与反应物的浓度成正比，因为当浓度增加时，有更多的分子可以碰撞和反应。图20显示了施密特数 (Schmidt number) 对浓度场的影响。随着施密特数的增加，热边界层变薄。与速度边界层相比，较小的浓度边界层是流体中物种浓度减少的通常结果。流函数的表面等高线图展示了流体在表面上的流动组织情况，如图21、图22、图23和图24所示。流体中的颗粒沿着这些流线运动，紧密排列的等高线表示高速度区域和陡峭的坡度，而间距较宽的等高线则表示流速较慢且梯度较平缓，因为等高线之间的距离代表了局部速度的差异。通过这种可视化手段可以更好地理解边界层行为和流动动力学。Fr和Mp是从物理角度明显影响流体流动的两个磁性参数。等高线图中紧密排列的流线和强烈的循环表明了具有薄边界层的稳定流动。结果是边界层变厚，流线密度降低。

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图4. f′(ξ)vs Deborah数（βn）的示意图。
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图5. f′(ξ)vs 倾斜角（α）的示意图。
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图6. f′(ξ)vs Darcy参数（Da）的示意图。
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图7. f′(ξ)vs Forchheimer数（Fr）的示意图。
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图8. f′(ξ)vs 热Grashof数（GrT）的示意图。
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图9. f′(ξ)vs 溶质Grashof数（GrC）的示意图。
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图10. f′(ξ)vs 非线性热对流（λT）的示意图。
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图11. f′(ξ)vs 非线性溶质对流（λC）的示意图。
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图12. f′(ξ)vs 吸力参数（S）的示意图。
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图13. f′(ξ)vs 伸展参数（λ）的示意图。
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图14. ?(ξ)vs 材料松弛参数（ζ）的示意图。
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图15. ?(ξ)vs 热辐射参数（Rd）的示意图。
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图16. ?(ξ)vs Eckert数（Ec）的示意图。
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图17. ?(ξ)vs 与空间相关的热源参数（A1）的示意图。
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图18. ?(ξ)vs 与时间相关的热源参数（B1）的示意图。
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图19. φ(ξ)vs 化学反应参数（Kn）的示意图。
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图20. φ(ξ)vs Schmidt数（Sc）的示意图。
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图21. Fr=0.5时的等高线图示意图。
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图22. Fr=1.0时的等高线图示意图。
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图23. Mp=1.0时的等高线图示意图。
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图24. Mp=1.5时的等高线图示意图。

从表2可以看出：
(i) 随着GrC、λT、λC、A1和B1值的增加，Cfx增强；而随着Mp、Fr、ζ、Sc和GrT值的增加，Cfx减弱。
(ii) 随着GrC、GrT、λT和λC值的增加，Nux增强；而随着Mp、Fr、ζ、A1和B1值的增加，Nux减小。
(iii) 随着GrC、GrT、λT、λC、A1、B1值的增加，Shx增强；而随着Mp、Fr和ζ值的增加，Shx减小。

表2. 不同参数值下的 skin-friction（Cfx）、Nusselt数（Nux）和Sherwood数（Sh）

Mp Fr GrT GrC λT λC ζ A1 B1
Cfx Nux Shx
0.1-0.5 1495 20.33 450 50.41 050.2-0.5 642 490.32 920 90.40 90 140.3-0.6 1150 70.32 410 70.40 75
81 0.5-0.7 828 920.30 565 00.40 2569
1.0-0.9 620 770.29 145 30.39 882 41.5-1.1 177 780.27 931
40.39 575 60.01-0.8 191 390.29 884 70.40 083
30.02-0.8 100 180.30 059 40.40 127
50.03-0.7 909 290.30 719 30.40 387 90.02-0.8 091
40.03-0.7 914 0.30 073 50.40 131 10.04-0.7 916 320.30 4029
0.06-0.7 741 610.30 725 30.40 298
40.01-0.7 276 100.31 111 90.40 4035
0.02-0.7 207 910.31 197 60.40 426
0.03-0.7 139 950.31 282 40.40 449
10.02-0.7 197 370.31 211 10.40 430
0.04-0.7 068 820.31 370.40 472 70.06-0.694
0.530.31 527 80.40 515 00.2-0.70 173
30.31 942 70.40 481 50.4-0.70 439
10.33 029 90.40 456 10.6-0.70 712
90.34 225 20.40 430 80.1-0.697 839
0.287 856 0.40 515 30.3-0.68 666
20.17 96120.40 606 80.5-0.674 338
0.068 4260.40 707 50.2-0.68 737
90.34 157 20.40 595 0.4-0.72 693
90.33 498 20.40 921 10.6-0.756 211
0.328 276 0.41 181-0.73 646
80.30 509 81.00 544 32-0.748 031
0.30 329 71.495 657 3-0.75 355
10.30 267 11.88 9044

考虑使用RSM-线性回归分析Cf、Nu和Sh：
y≈1+GrTGrC+GrTS+GrCS+(GrT)2+(GrC)2+S2
从响应面方法（RSM）得到的回归方程基于一个完整的二次（二次方）多项式模型，可以用标准数学形式表示为：
Y=β0+∑i=1kβiXi+∑i=1kβiiXi2+∑i 0.96）。每一行对应于一种具有唯一M、Bi和Be组合的运行。RSM使用这些组合来模拟Cf、Nu、Sh随三个输入的变化。实际上，我们可以注意到：
(i) 高R2值（0.968–0.987）意味着RSM模型提供了出色的预测；
(ii) 低RMSE值意味着实际值和预测值之间的误差非常小；
(iii) 非常小的P值（< 0.005）表明所有模型在统计上都是显著的。表5显示skin摩擦随着GrT、GrC和S的增加而减小，从这个表中我们可以注意到强烈的二次行为。值得注意的是，skin摩擦主要取决于GrT、GrC和S的单独效应和非线性二次效应，而不是交互效应。表6显示热传递随着参数的增加而增加，但由于二次效应最终达到饱和。Nusselt数主要取决于单独效应，并具有强烈的非线性依赖性。表7显示质量传递也随着参数的增加而增加，并显示出非线性依赖性。Sherwood数对控制参数表现出正线性但负非线性依赖性。图25显示skin摩擦系数（Cf）随（i）热Grashof数（由于温度引起的浮力）和溶质Grashof数（由于浓度引起的浮力）的变化而变化。从这个图中可以看出，较高的浮力增强了表面附近的流体运动，因为随着GrT或GrC的增加，Cf也会增加，这表明热和溶质浮力的共同作用增强了向上这些图表从视觉上验证了表格中报告的高R2值。图32、35和38显示，在整个参数空间内，残差值都接近零。图33、36和39表明，预测误差很小且呈正态分布，显示出很强的稳定性和高的预测准确性。下载：下载高分辨率图像（258KB）下载：下载全尺寸图像

图31. 比较实际值与预测值关于Cf的情况。下载：下载高分辨率图像（270KB）下载：下载全尺寸图像

图32. Cf的展示及残差图。下载：下载高分辨率图像（1011KB）下载：下载全尺寸图像

图33. Cf的误差分布。下载：下载高分辨率图像（301KB）下载：下载全尺寸图像

图34. 比较实际值与预测值关于Nu的情况。下载：下载高分辨率图像（307KB）下载：下载全尺寸图像

图35. Nu的展示及残差图。下载：下载高分辨率图像（862KB）下载：下载全尺寸图像

图36. Nu的误差分布。下载：下载高分辨率图像（282KB）下载：下载全尺寸图像

图37. 比较实际值与预测值关于Sh的情况。下载：下载高分辨率图像（237KB）下载：下载全尺寸图像

图38. Sh的展示及残差图。下载：下载高分辨率图像（978KB）下载：下载全尺寸图像

图39. Sh的误差分布。

如表8所示，φ′(0)的值与Agunbiade等人[37]计算的结果进行了比较。通过设置α=π/2、λ=βn=0.2、Mp=1.00和S=0=Kp，得到了Agunbiade等人[37]的结果。将本研究的结果与他们的结果进行比较后，表明两者之间存在强烈相关性。

表8. 化学反应参数φ′(0)与皮肤摩擦数ScKn的比较

Agunbiade等人[37] | 现本研究结果
--- | ---
φ′(0) | 1.1678 | 1.1678
63 | 1.21 | 1.2846
81 | 1.2846 | 41.51 | 1.4434
81 | 1.4434 | 81 | 1.21 | 1.2522
74 | 1.2522 | 74 | 1.3688
52 | 1.3688 | 52 | ...

结论

本研究分析了线性/非线性热对流、线性/非线性溶质对流、Forchheimer效应及非均匀热源效应。Cattaneo-Christov模型可以应用于涉及辐射和粘性热耗散的固体和流体。这些非线性常微分方程（ODEs）是从描述流体运动的偏微分方程（PDEs）推导出来的。在正确定义无量纲变量并应用相似性变换后，使用bvp4c方法对这些方程进行数值求解。这项研究的一个重要优势在于能够模拟某些仅依赖于热传递过程的聚合物和地质材料的性能。

本研究的关键科学贡献和见解包括：
- 增加Forchheimer数（Fr）会降低速度剖面，突显出多孔介质中惯性阻力的主导作用及其对边界层发展的影响。
- 热浮力（GrT, λT）和溶质浮力（GrC, λC）均显著提高了表面速度并减小了速度边界层厚度，为理解非线性对流如何改变流动结构提供了定量见解。
- 材料松弛参数表现出温度依赖性变化，说明了流体弹性如何与浮力和惯性效应相互作用，从而改变动量和热传递。
- Nusselt数（Nu）和Sherwood数（Sh）受到热浮力、溶质浮力、Forchheimer阻力以及内部热源的强烈影响。回归分析和等值线分析显示了哪些参数最有效地控制热量和质量通量，为多孔系统中的热传递和质量传递优化提供了设计导向的框架。

5.1. 局限性

尽管存在局限性，鉴于本研究专注于特定参数范围的稳态层流，它仍然适用于复杂的湍流或瞬态条件。此外，RSM基于二次近似，可能无法考虑选定设计空间之外的高阶非线性。在本分析中，使用bvp4c获得数值解，因此网格大小和容差水平会影响分析的准确性。除了GrT和GrC之外，其他物理效应并未纳入考虑。

术语表

B0：磁感应强度 [T]
(u, v)：速度分量 [Ls?1]
δ1：松弛时间 [s]
ν：运动粘度
α：倾斜角度 [°]
μ：基础流体的粘度
κ：热导率 [s2/m]
θ：温度
δ2：热通量松弛时间 [s]
ρ：流体密度 [kg/m3]
Cp：比热 [J/kg·K?1]
DB：质量扩散率 [m2/s]
?：浓度场 [kmol/m3]
k1：反应速率
(b, d)：大于零的常数
σ：流体的电导率 [W/m2·K?]
k：多孔介质的渗透率 [L2]
qr：辐射热通量
(σ, k1*)：斯特凡-玻尔兹曼常数和吸收体积系数
Mp：磁参数
βn：Deborah数
λ：正数常数
Da：达西-孔隙度参数
Rd：辐射普朗特数
Pr：普朗特数
ζ：热松弛参数
Ec：Eckert数
Sc：Schmidt数
Kn：化学反应参数
x：沿板材的维度距离 [L]
f：垂直于板材的维度距离 [L]
ν?：运动粘度 [m2s?1]
θ：维度温度 [K]
μ：流体粘度 [m2s?1]
?：无量纲温度
?：无量纲浓度
ξ：无量纲距离
Cb：阻力系数
Fr：Darcy-Forchheimer数/惯性系数
(A1, B1)：空间相关和温度相关的热源/汇参数
(GrT, GrC)：Grashof数
(λT, λC)：非线性热/溶质对流

M. Srinivas：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原始草稿，可视化，监督，资源，方法论，研究，定量分析，概念化。
Y. Rajashekhar Reddy：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原始草稿，可视化，验证，项目管理，方法论，研究，定量分析，概念化。