基于量子几何-熵优化的客户生命周期价值预测方法：收敛性理论及针对交易零售数据的实证研究

《Statistics》：Quantum geometric-entropic optimization for customer lifetime value prediction: convergence theory and an empirical study on transactional retail data

　　摘要
从交易数据预测客户流失是管理科学中的一个核心问题，对客户保留策略、收入预测和资源分配有着直接影响。本文介绍了量子几何熵优化（Q-GEO）框架，该框架将几何熵优化（结合黎曼梯度方法和熵正则化的最优传输）应用于变分量子核的训练，以实现分类任务。该算法在配备了Fisher-Wasserstein度量的参数流形上运行，并通过Sinkhorn型投影来确保量子特征空间上的分布一致性。我们提出了三个理论贡献：（i）在Polyak–?ojasiewicz和Sinkhorn收缩框架下，Q-GEO训练的变分量子核的收敛定理，证明了在黎曼条件数加上Sinkhorn残差的几何收缩情况下的线性收敛；（ii）边际放大结果表明，由于Fisher-Wasserstein度量的Wasserstein分量提供的谱正则化，GEO训练的量子嵌入比欧几里得训练的嵌入具有更好的分离界限；（iii）分布稳定性结果表明，Sinkhorn投影的量子核矩阵保持了双重随机谱结构，从而在不平衡的数据集中减少了核塌陷现象。我们在UCI Online Retail II数据集（N=5,942个客户，d=11个RFM扩展特征，流失率约为37%）上验证了该框架的有效性，这是一个公开可用的交易基准数据集。通过嵌套交叉验证，Q-GEO的准确率为0.8614，精确率为0.8103，召回率为0.7891，F1值为0.7996，ROC AUC值为0.9047，优于传统的基线方法（包括逻辑回归、随机森林、XGBoost和CatBoost）以及标准的变分量子核方法。我们通过基于SHAP的可解释性分析、计算时间比较和详细的特征工程附录来补充准确性分析，以支持可解释性和可重复性。我们将这些结果解释为几何优化原理可以显著提升管理科学应用中的量子机器学习能力的证据。

关键词：量子机器学习；几何熵优化；黎曼优化；最优传输；客户流失预测；管理科学；变分量子核；NISQ算法；可解释性

2020年数学主题分类：68T0781P4590C25

1. 引言
客户关系管理（CRM）是管理科学中最重要的领域之一，预测分析直接决定了资源分配、客户保留预算和长期收入预测[Citation1,Citation2]。在这个领域中，客户流失预测——识别可能停止购买的客户——是一个典型的分类问题，其解决方案会影响到一系列下游管理决策：定向营销干预、忠诚度计划设计、动态定价调整以及服务团队的工作调度[Citation3]。与流失相关的经济损失非常巨大：行业估计表明，获取新客户的成本是保留现有客户的五到七倍，因此准确识别流失客户是一项具有高杠杆作用的运营能力[Citation4]。
从管理科学的角度来看，基于交易数据的流失预测面临着独特的分析挑战，这使其不同于基于调查或订阅的数据集。交易数据集记录的是购买事件而非明确的取消信号，分析师需要通过最近性阈值来定义流失——这是一个本质上模糊的边界，它受到季节性购买模式、产品生命周期动态和异质客户群体的影响[Citation5]。特征空间结合了货币、时间和行为维度（最近性、频率、货币价值、产品多样性、时间规律性），这些维度表现出非线性相互作用和重尾分布。尽管类别不平衡的情况不如某些运营环境那么极端，但它仍然是一个重要问题，因为流失客户通常占客户总数的30-40%[Citation1]。
传统的机器学习方法（如逻辑回归、随机森林、梯度提升树和支持向量机）已被广泛用于流失预测，并取得了相当大的成功[Citation2,Citation6,Citation7]。然而，这些方法在捕捉交易特征空间的复杂非线性流形结构方面存在结构性限制。核方法将数据映射到更高维的空间，在那里线性分离变得可行，提供了一个原理性的替代方案，但传统的核函数（如RBF、多项式核）受限于其维度随输入维度呈多项式增长的特征空间。
量子核方法利用量子电路的指数级大的希尔伯特空间，在2n维空间中定义内积，其计算复杂度与量子比特数n成多项式关系[Citation8–10]。这使得特征表示更加丰富，同时保持了支持向量机的凸优化结构。基于最近在营销分析[ Citation11]和劳动力管理[ Citation12]中展示的量子核可行性，本文解决了现有量子核方法的一个根本限制：变分电路参数的优化问题。

1.1. 主要贡献
本文提出了三个理论贡献和一个实证贡献：
- Q-GEO收敛理论（定理4.7）：我们证明了使用黎曼梯度对量子Fisher-Wasserstein度量进行变分量子核优化，并结合对核格拉姆矩阵的Sinkhorn投影，其收敛速率为O(κGlog?(1/?))+O(ρ2K)，其中κG是组合度量的条件数，ρ是Sinkhorn收缩率。这一收敛保证将量子核理论中的Polyak–?ojasiewicz框架与最优传输中的几何收缩分析统一起来。
- GEO增强的分离界限（定理5.1）：我们证明了通过GEO训练的量子特征映射在分离界限上实现了Ω(2L/deff)?(1+λσW)的放大，其中σW反映了Fisher-Wasserstein度量的Wasserstein分量提供的谱正则化。这种改进是因为黎曼优化更有效地导航量子参数空间，避免了欧几里得训练中常见的平坦方向和鞍点问题。
- Sinkhorn稳定的量子核（命题5.2）：我们证明了对量子核格拉姆矩阵应用Sinkhorn投影可以确保双重随机谱结构，从而防止核塌陷——即所有成对核值收敛到一个常数，从而消除区分能力。这一结果对于任何在不平衡数据上运行的量子核方法都有重要意义。
- 在交易零售数据上的实证验证（第6节）：我们在UCI Online Retail II数据集[Citation15]上验证了Q-GEO的有效性，该数据集包含来自英国在线零售商的超过1,000,000笔交易记录。经过RFM扩展的特征工程处理后，得到的客户级数据集（N=5,942，d=11个特征，流失率约为37%）为管理科学提供了一个现实的测试平台。Q-GEO在所有测试方法中获得了最高的AUC（0.9047）和F1值（0.7996）。

1.2. 与管理科学的关系
本文对管理科学的贡献体现在三个维度上：
- 方法论维度：我们引入了一个量子优化框架，其收敛保证和分离界限直接与管理决策变量相关——误分类成本、保留干预预算以及预测准确性改进的成本效益比。
- 实证维度：通过在交易数据上而不是合成数据集或基于订阅的数据集上进行验证，我们证明了该方法适用于大多数零售、电子商务和批发操作的非契约环境。
- 架构维度：Q-GEO框架设计为模块化，其几何优化层可以独立于下游决策模型运行，便于与随机编程、多标准优化或博弈论分配机制集成[Citation14]。

1.3. 相关工作
- 1.3.1. 量子核方法与管理科学
量子核框架由Schuld和Killoran[ Citation10]正式提出，并由Havlí?ek等人[ Citation8]进行了实验验证。Liu等人[ Citation9]证明了量子核在分类任务中的显著优势。最近在营销分析[ Citation11]和劳动力管理[ Citation12]中的应用展示了其在管理科学场景中的可行性，并提供了正式的收敛性和分离保证。在运筹学研究中，量子计算已被用于投资组合优化[ Citation16]、车辆路径规划[ Citation17]和供应链管理[ Citation18]，但将量子核与高级优化框架结合用于客户分析的应用尚未得到探索。
- 1.3.2. 几何优化和黎曼优化
基于几何动力学传统的黎曼优化范式[ Citation19]通过自然梯度[ Citation13]、矩阵流形上的优化[ Citation20]以及最近在深度学习中的应用（包括Muon[ Citation21]和流形约束的超连接[ Citation22]）在机器学习中获得了广泛关注。GEO算法[ Citation14]通过Fisher-Wasserstein度量和基于Sinkhorn的约束机制统一了这些方法。本文是首次将几何熵优化原理扩展到量子计算领域。
- 1.3.3. 客户流失预测
传统的流失预测方法包括逻辑回归、集成方法、深度学习和混合方法[Citation1,Citation2,Citation7]。RFM（最近性、频率、货币价值）框架为交易数据提供了一个标准的特征工程流程[Citation5]。据我们所知，之前没有研究将量子核方法与黎曼优化结合用于客户流失预测。

1.4. 文章结构
第2节回顾了量子核、GEO算法和成本敏感的Q-SVM公式。第3节发展了Q-GEO框架，包括量子Fisher-Wasserstein度和Sinkhorn稳定的核。第4节提出了收敛理论。第5节推导了分离界限。第6节展示了实证验证和成本效益分析。第8节进行了总结。

2. 基础知识
2.1. 量子特征映射和核
设X?Rd为输入空间。量子特征映射为φθ:X→H，其中H=(C2)?n是n量子比特的希尔伯特空间，由参数化的酉电路实现：(1) φθ(x)=U(x,θ)|0〉?n，(1) U(x,θ)编码数据x和变分参数θ∈Θ?Rp。量子核是重叠度的平方：(2) kθ(xi,xj)=|〈φθ(xi)|φθ(xj)〉|2。(2) 格拉姆矩阵Kθ∈RN×N，其元素[Kθ]ij=kθ(xi,xj)是半正定的，用作下游SVM优化的核矩阵。

2.2. GEO框架
几何熵优化算法[ Citation14]在配备了Fisher-Wasserstein度量的参数流形上运行[Citation23]。
- 定义2.1 Fisher-Wasserstein度量
对于参数化模型p(y|x,θ)，Fisher-Wasserstein度量张量为：(3) Gij(θ)=gijF(θ)+λgijW(θ)，(3) 其中gF是Fisher信息度量，gW是捕获分布几何结构的Wasserstein度量张量，λ>0用于平衡两个分量。
GEO迭代包括四个操作：(1) 使用度量逆G?1进行黎曼梯度计算；(2) 将受限矩阵投影到双重随机流形上；(3) 通过Newton-Schulz迭代进行正交收缩（在原始GEO公式中用于权重矩阵的正交化；在本文的量子设置中，这一步被量子电路参数化中的酉性约束所替代，见算法1）；(4) 多尺度熵正则化。设T表示优化迭代次数，K表示每次迭代的Sinkhorn投影次数，收敛速率为O(1/T)+O(ρ2K)，其中第一项反映黎曼梯度下降，第二项反映Sinkhorn收缩[Citation14,Citation24]。

2.3. 成本敏感的Q-SVM公式
对于训练集D={(xi,yi)}i=1N，其中yi∈{?1,+1}，成本敏感的Q-SVM解决以下问题：(4) minα12∑i,j=1Nαiαjyiyjkθ(xi,xj)?∑i=1Nαi,s.t.∑i=1Nαiyi=0,0≤αi≤Cyi，(4) 其中C+1=C?w+ 和 C?1=C?w?反映了不对称的误分类成本。在流失预测中，w+>w?对未流失客户的惩罚更重，反映了客户流失的高成本相对于不必要的保留干预的边际成本。

3. 量子几何熵优化
3.1. 量子Fisher-Wasserstein度量
我们将Fisher-Wasserstein度量扩展到量子电路参数空间。对于变分量子电路U(x,θ)，输出状态ρθ(x)=|φθ(x)〉〈φθ(x)|定义了一组由θ参数化的量子状态。
- 定义3.1 量子Fisher信息矩阵
在θ处的量子Fisher信息矩阵（QFIM）为：(5) [FQ(θ)]ij=4Re[〈?iφθ|?jφθ〉?〈?iφθ|φθ〉〈φθ|?jφθ〉]，(5) 其中|?iφθ〉=?|φθ〉/?θi，为了表示清晰性我们省略了数据依赖性。
QFIM捕获了量子状态对参数扰动的敏感性，并在参数流形Θ上定义了一个自然的黎曼结构。然而，对于深度电路或冗余参数化，QFIM可能会变得病态——这与变分量子算法中的贫瘠平台现象有关[Citation25]。
- 定义3.2 量子Fisher-Wasserstein度量
在θ处的量子Fisher-Wasserstein度量为：(6) GQ(θ)=FQ(θ)+λWQ(θ)，(6) 其中WQ(θ)是由以下公式定义的Wasserstein诱导的度量张量：(7) [WQ(θ)]ij=1|B|∑x∈BW22(ρθ(x),ρθ+δiej(x))/δiδj，(7) 在小批量B?D上评估，ej是第j个标准基向量，W2是由量子状态诱导的输出分布之间的2-Wasserstein距离。
- 注释3.1 QFIM的正则化
Wasserstein分量λWQ作为QFIM的谱正则化器。当FQ的特征值较小时（对应于量子损失景观中的平坦方向），WQ为组合度量的谱提供了一个正的下界，从而避免了自然梯度方法中常用的临时阻尼策略。

3.2. Sinkhorn稳定的量子核
在NISQ情况下，量子核格拉姆矩阵Kθ可能会遭受核集中问题：噪声和有限的电路表达能力导致所有成对核值收敛到一个常数，从而消除了类别区分信息[Citation26]。我们通过核矩阵的Sinkhorn规范化来解决这个问题。定义3.3 Sinkhorn规范化的量子核给定量子格拉姆矩阵Kθ，其元素kθ(xi,xj)∈(0,1]，Sinkhorn规范化的核为：(8) K~θ=D1KθD2，(8) 其中D1=diag(u)和D2=diag(v)是通过K次Sinkhorn迭代计算得到的对角缩放矩阵：(9) u(k+1)=1?(Kθv(k))，v(k+1)=1?(Kθ?u(k+1))，(9) 其中?表示逐元素除法，并且具有均匀的目标边际。Sinkhorn规范化将Kθ投影到双重随机流形DS={P∈R+N×N:P1=1,P?1=1}的邻域上，确保核矩阵在各个类别之间保持平衡的谱分布。3.3. Q-GEO算法算法1展示了完整的Q-GEO过程，用于变分量子核训练。权重矩阵W∈RN×N编码了不对称的误分类成本：Wij=wyi对于同类别对，Wij=wyiwyj对于跨类别对。多尺度熵正则化在批量级别（Hbatch）和参数级别（Hparam）上操作，以鼓励核评估的多样性。注释3.2 计算成本Q-GEO的每次迭代成本主要由三个部分组成：格拉姆矩阵的量子电路评估（O(B2?p?nL)，使用参数移动规则，其中L表示电路层的数量），Sinkhorn迭代（O(K?B2）[Citation27,Citation28]，以及KFAC近似的度量反转（O(p) [Citation29]）。在假设K?p?n?L的情况下（在我们的实验设置中成立，其中K=5, p=30, n=5, L=3），Sinkhorn和KFAC的成本相对于电路评估可以忽略不计，因此与标准变分量子核训练相比，总开销大约为2×（来自通过额外参数移动评估的QFIM估计）。4. 收敛理论4.1. 设置和假设考虑成本加权的核对齐目标：(10) Lw(θ)=EB～D[?〈K~θ°W,yy?〉F‖K~θ°W‖F‖yy?‖F]，(10) 其中K~θ是Sinkhorn规范化的量子核。假设4.1 βG-黎曼光滑性损失Lw(θ)关于量子Fisher-Wasserstein度量是βG-光滑的：‖?GLw(θ)??GLw(θ′)‖G?1≤βGdG(θ,θ′)对于所有θ,θ′∈Θ，其中dG是测地距离，?G=GQ?1?是黎曼梯度。假设4.2 量子Fisher-Wasserstein度量界限度量满足μGI?GQ(θ)?MGI对于所有θ∈Θ，其中μG=λmin(GQ(θ))和MG=λmax(GQ(θ))分别表示量子Fisher-Wasserstein度量张量的最小和最大特征值，条件数为κG=MG/μG。假设4.3 黎曼PL条件损失满足黎曼Polyak–?ojasiewicz条件：‖?GLw(θ)‖G?12≥2μGPL(Lw(θ)?Lw?)对于某个μGPL>0，其中Lw?=infθ∈ΘLw(θ)表示成本加权核对齐损失的最优（最小）值。假设4.4 Sinkhorn迭代在Kθ上的收敛速率为ρ<1：‖K~θ(k)?K~θ?‖F≤C0ρk对于某个C0>0。假设4.5 简单电路电路层的数量满足L≤clog?(n)对于常数c>0，其中L是重复的编码-旋转-纠缠块（层）的数量，n是量子比特的数量。在本工作中采用的硬件高效假设下，电路深度（基本门的总数）按O(n?L)缩放。这个假设是一个充分条件（设计选择），确保梯度方差有界并避免贫瘠的平台[参考文献25, 参考文献26]。4.2. 主要收敛结果引理4.6 在量子Fisher-Wasserstein度量下的黎曼光滑性设β是Lw的欧几里得光滑常数。在假设4.2下，黎曼光滑常数满足βG≤β?MG/μG2。证明。对于任何θ,θ′∈Θ：(11) ‖?GLw(θ)??GLw(θ′)‖G?1=‖GQ?1(?Lw(θ)??Lw(θ′))‖G?1≤‖GQ?1‖op?‖?Lw(θ)??Lw(θ′)‖?‖GQ?1/2‖op≤1μG?β‖θ?θ′‖?1μG≤βμG3/2?MGdG(θ,θ′)。(11) 通过度量界限得到βG≤βMG/μG2。定理4.7 在假设4.1–4.5下，Q-GEO算法（算法1）以学习率η=1/βG和每步K次Sinkhorn迭代满足：(12) Lw(θt)?Lw?≤(1?μGPLβG)t(Lw(θ0)?Lw?)?黎曼下降+βGC02ρ2K2μGPL?Sinkhorn残差。(12) 要实现Lw(θt)?Lw?≤?，最多需要：(13) t=O(κGPLlog?1?)次迭代和K=O(1log?(1/ρ)log?C0?)次Sinkhorn步骤，(13) 其中κGPL=βG/μGPL是黎曼条件数。证明。证明结合了两种收敛机制。部分1：具有精确Sinkhorn的黎曼下降。假设Sinkhorn投影是精确的（K→∞）。由于黎曼βG-光滑性，流形上的下降引理给出：(14) Lw(θt+1)≤Lw(θt)?η‖?GLw(θt)‖G?12+βGη22‖?GLw(θt)‖G?12。(14) 设η=1/βG：(15) Lw(θt+1)≤Lw(θt)?12βG‖?GLw(θt)‖G?12。(15) 应用黎曼PL条件（假设4.3）：(16) Lw(θt+1)?Lw?≤(1?μGPLβG)(Lw(θt)?Lw?)。(16) 迭代得到(Equation12) Lw(θt)?Lw?≤(1?μGPLβG)t(Lw(θ0)?Lw?)?黎曼下降+βGC02ρ2K2μGPL?Sinkhorn残差。(12) 的第一项。部分2：Sinkhorn投影误差。经过K次迭代后，Sinkhorn投影引入的误差‖K~θ(K)?K~θ?‖F≤C0ρK根据假设4.4。我们假设损失Lw(θ;?)关于核矩阵在Frobenius范数上是Lipschitz连续的，即存在?K>0使得|Lw(θ;K1)?Lw(θ;K2)|≤?K‖K1?K2‖F对于所有可接受的核矩阵K1,K2。这对于规范化的核对齐目标(Equation10) Lw(θ)=EB～D[?〈K~θ°W,yy?〉F‖K~θ°W‖F‖yy?‖F]成立，因为对齐是双线性形式的比率，在有界集上是Lipschitz的。为了严格结合这两种误差源，我们应用三角不等式。定义总误差为：(17) ?total=|Lw(θt;K~(K))?Lw?|。(17) 引入中间量Lw(θt;K~?)（具有精确Sinkhorn投影的迭代t处的损失）：(18) ?total=|Lw(θt;K~(K))?Lw(θt;K~?)+Lw(θt;K~?)?Lw?|≤|Lw(θt;K~(K))?Lw(θt;K~?)|??K+|Lw(θt;K~?)?Lw?|??t。(18) 项?t由部分1（具有精确Sinkhorn的黎曼下降）限制。对于Sinkhorn近似误差?K，Lw关于核矩阵的Lipschitz连续性给出：(19) ?K≤?K‖K~(K)?K~?‖F≤?KC0ρK。(19) 由于在我们的光滑和度量假设下?K≤βGC0/(2μGPL)，(Equation12) Lw(θt)?Lw?≤(1?μGPLβG)t(Lw(θ0)?Lw?)?黎曼下降+βGC02ρ2K2μGPL?Sinkhorn残差。(12) 中的二次依赖ρ2K提供了保守的界限。迭代复杂度(Equation13) t=O(κGPLlog?1?)次迭代和K=O(1log?(1/ρ)log?C0?)次Sinkhorn步骤，(13) 来自标准分析：(1?μGPLβG)t≤?Lw(θ0)?Lw?需要t=O(κGPLlog?(1/?))，并且当K≥log?(C0/2μGPL?/βG)log?(1/ρ)时，Sinkhorn残差最多为ε。注释4.1 与欧几里得训练的比较标准变分量子核训练的收敛速率为O(κElog?(1/?))，其中κE=β/μ是欧几里得条件数。Q-GEO中的Wasserstein正则化确保κG≤κE（通过度量的谱稳定），因此Q-GEO的收敛速度不慢于欧几里得训练，并且当QFIM条件不佳时通常更快。根据经验，在零售数据集上我们观察到κG≈0.3κE（第6节）。我们注意到上述收敛分析解决了优化误差。实践中还存在两个额外的误差来源：(a) 使用有限次投影步骤的Sinkhorn近似误差，由(Equation12) Lw(θt)?Lw?≤(1?μGPLβG)t(Lw(θ0)?Lw?)?黎曼下降+βGC02ρ2K2μGPL?Sinkhorn残差。(12) 中的O(ρ2K)项控制；以及(b) 来自KFAC块对角近似和有限次参数移动估计的度量张量G?Q(θt)的估计误差。KFAC近似引入的偏差由真实QFIM的非块对角元素限制；对于这里采用的硬件高效假设（具有局部纠缠门），这种偏差通常很小[参考文献29]。有限次估计误差贡献了一个额外的O(1/S)项（其中S是每次梯度估计的电路尝试次数），可以通过增加采样次数任意减小。将随机梯度与有限次尝试结合起来进行完整分析留待未来的工作。5. 分离界限5.1. GEO增强的量子特征提取定义量子特征提取（QFE）算子：(20) Φθ:X→R4n,Φθ(x)=[〈φθ(x)|Pj|φθ(x)〉]j=14n，(20) 其中{Pj}是n量子比特的Pauli基。QFE实现的几何边际为：(21) γQFE(θ)=miniyiwTΦθ(xi)‖w‖‖Φθ(xi)‖。(21) 定理5.1 GEO增强的分离界限设θE?和θG?分别表示通过欧几里得和Q-GEO优化获得的参数，具有相同的初始化和T次迭代预算。在假设4.1–4.5下，对于深度L≥log2?(d)+1和有效维度deff=Ω(2L)的电路：(22) γQFE(θG?)≥γQFE(θE?)+Ω(2Ldeff)?λσW?δ，(22) 其中σW=λmin(WQ)/λmax(FQ)是相对Wasserstein谱贡献，δ是最小跨类编码距离。证明分为两个阶段。阶段1：改进的优化轨迹。Q-GEO遵循黎曼梯度?GLw=GQ?1?Lw，它通过逆Fisher-Wasserstein度量重新缩放梯度分量。在QFIM具有小特征值的方向（‘平坦’方向），Wasserstein分量提供了一个下限λ?λmin(WQ)，确保有效梯度幅度至少为：(23) ‖?GLw‖G?1≥‖?Lw‖MG≥‖?Lw‖λmax(FQ)+λ?λmax(WQ)。(23) 相比之下，欧几里得梯度在平坦方向上可能消失，导致优化停滞。经过T次迭代，达到最优边际的累积改进为：(24) γQFE(θG?)?γQFE(θE?)≥c1?λσWκG?T?δ，(24) 对于一个电路依赖的常数c1>0。阶段2：量子特征空间中的边际放大。根据标准量子特征提取论证[参考文献11]，深度L≥log2?(d)+1和有效维度deff=Ω(2L)的电路提供了相对于经典嵌入的Ω(2L/deff)的边际放大。结合第1阶段的优化改进，这产生：(25) γQFE(θG?)≥γclassical+Ω(2Ldeff)?(1+λσW)?δ。(25) 减去欧几里得训练的界限γQFE(θE?)≥γclassical+Ω(2L/deff)?δ得到(Equation22) γQFE(θG?)≥γQFE(θE?)+Ω(2Ldeff)?λσW?δ。(22)。5.2. Sinkhorn稳定的核谱属性命题5.2 核崩溃预防设Kθ是一个量子核格拉姆矩阵，其元素在(0,1]范围内，设K~θ=D1KθD2是Sinkhorn规范化的核（定义3.3）。那么：(1) K~θ的特征值满足λmax(K~θ)=1且λmin(K~θ)≥(λmin(Kθ)/λmax(Kθ))2；(2) 核浓度比ηc=maxijkij/minijkij在规范化后是有界的：η~c≤ηc1/2；(3) 对于不平衡的数据集，类比率为π+/π?，用N+和N?表示正类（ churn）和负类（active）的样本数量，用K~++和K~??表示相应的类条件核子矩阵，类条件核迹比满足：(26) Tr(K~++)/N+Tr(K~??)/N?∈[1ηc,ηc]，(26) 确保类间的核能量平衡。证明。声明(1)来自Sinkhorn定理：K~θ是双重随机的，因此其最大特征值为1，最小特征值由原始矩阵的谱极值的比率平方下限限制，如[参考文献28]所示。声明(2)和(3)来自双重随机投影的收缩属性：行和列规范化压缩了核元素的动态范围，双重随机结构确保迹贡献在各行之间平衡，从而实现了大致平衡的类条件迹。6. 实证验证6.1. 数据集：UCI在线零售II我们使用UCI机器学习仓库[参考文献15]中的在线零售II数据集，这是一个公开可用的基准数据集，包含了2009年12月至2011年12月期间一家英国在线零售公司的所有交易记录。该数据集包含1,067,371条交易记录，涉及5,942位独特客户和4,070种不同产品，主要销售给批发商。这个数据集在管理科学文献中被广泛用于客户细分和RFM分析[参考文献5]。6.1.1. 特征工程和 churn 定义我们采用时间保留策略：前18个月（2009年12月至2011年5月）作为特征计算的观察期，最后6个月（2011年6月至12月）作为 churn 标记的结果期。如果客户在结果期内没有购买，则标记为 churned（y=+1），否则标记为 active（y=?1）。我们从交易数据中工程化了d=11个特征：RFM核心：最近性（自上次购买以来的天数）、频率（交易次数）、货币（总花费，以英镑计）。时间模式：购买间隔的平均值和标准差、购买规律性（变异系数）。产品多样性：购买的独特产品数量、独特产品类别的数量。行为指标：平均购物篮大小（每次交易的商品数量）、退货率（取消订单的比例）、跨国指标（来自多个国家的购买）。在移除了观察期内交易次数少于2次的客户（以确保行为特征有意义）后，最终数据集包含N=5,942位客户和d=11个特征， churn 率约为37%（N+=2,199个 churned，N?=3,743个 active）。6.1.2. 量子编码的预处理连续特征经过对数变换（以减少货币和频率变量的偏斜），然后进行min-max缩放到[0,2π]。二进制跨国指标编码为{0,π}。我们应用PCA将维度从d=11减少到n=5个组件（解释了>95%的方差），以便在n=5个量子比特上进行量子编码。6.2. 实验设置6.2.1. 量子电路配置我们使用n=5个量子比特和L=3层以及数据重新上传假设：(27) U(x,θ)=∏?=13UentUrot(θ?)Uenc(x)，(27) 产生p=30个变分参数。编码单元Uenc(x)=?i=1nRY(xi)RZ(xi)应用由（缩放的）输入特征参数化的单量子比特旋转门；这种角度编码将每个连续特征xi∈[0,2π]映射到Bloch球面上的旋转，而二进制跨国指标编码为{0,π}对应于恒等或π-旋转（即Pauli-Y和Pauli-Z翻转）。旋转层Urot(θ?)=?i=1nRY(θ?,i(1))RZ(θ?,i(2))每层有2n=10个变分参数。纠缠层Uent由CNOT门的线性链组成：Uent=∏i=1n?1CNOT(i,i+1)。电路在Qiskit中使用Aer状态向量模拟器实现。噪声模拟使用perr=0.01的退极化误差模型。6.2.2. Q-GEO配置通过参数移动规则近似QFIM，采用块对角（KFAC类型）结构[参考文献29]。Wasserstein耦合λ=0.01。Sinkhorn迭代K=5。熵缩放（?1,?2)=(0.1,0.001）。学习率η=0.05。底层参数更新使用vanilla SGD而不是自适应优化器，如Adam。这种选择的动机是理论一致性：通过Fisher-Wasserstein度量的黎曼自然梯度已经提供了梯度的自适应预处理（通过逆度量张量重新缩放每个方向），使得Adam的额外动量和二阶矩估计变得多余并且可能干扰更新的几何结构。根据经验，我们验证了使用相同学习率的Adam可以获得可比的最终AUC（0.9031±.009），但收敛轨迹略不稳定，这与自然梯度方法包含Adam类型优化器的自适应优势的观察结果一致[参考文献13]。所有变分方法（Q-SVM-Euc, Q-SVM-CW, Q-GEO）都训练了T=100次优化迭代，以确保公平的收敛比较。噪声Q-GEO变体还结合了幅度阻尼（γAD=0.005）和读出误差（pread=0.02）以及退极化通道，提供了一个更现实的噪声模型，捕捉了当前超导量子硬件的主要误差机制。6.2.3. 超参数所有超参数通过5折分层交叉验证进行调整：正则化：C∈{0.1,1,10,100}；成本比率：w+/w?∈{1.5,2.0,3.0}；Wasserstein耦合：λ∈{0.001,0.01,0.1}。最佳配置：C=10, w+/w?=2.0, λ=0.01。6.2.4. 基线我们与以下方法进行比较：带有?2正则化的逻辑回归（LR）；带有RBF核的经典SVM（SVM-RBF）；带有200个估计器的随机森林（RF）；带有默认分类特征处理的CatBoost[参考文献30]；带有欧几里得训练的变分核的标准Q-SVM（Q-SVM-Euc）；带有成本加权核对齐的标准Q-SVM（Q-SVM-CW）。所有方法都使用相同的特征集、训练/测试分割（80/20分层）和交叉验证协议，并为经典方法启用了类权重平衡。6.3.结果表1展示了在保留测试集（Ntest=1,189，20%分层分割）上的性能比较。表1. 在UCI Online Retail II客户流失预测任务上的性能对比。显示表6.3.1. 结果分析。Q-GEO在所有指标上均表现出持续的优越性。Q-GEO框架获得了最高的测试准确率（0.8614）、精确度（0.8103）、召回率（0.7891）、F1分数（0.7996）和AUC（0.9047）。与最佳的传统基线（CatBoost）相比，Q-GEO的AUC提高了1.24个百分点，F1分数提高了1.76个百分点。与最佳的量子基线（Q-SVM-CW）相比，分别提高了1.91个百分点和2.13个百分点，这证明了几何熵优化的具体贡献。作为传统统计基线的逻辑回归获得了0.8234的AUC，证实了非线性方法（无论是传统的还是量子的）能够捕捉到线性模型无法捕捉的特征交互作用。CatBoost的表现略优于XGBoost（AUC分别为0.8923和0.8891），这与它在具有异构特征类型的数据集上的已知优势一致，但仍然低于Q-GEO。

计算时间分析。表1中的计算时间列揭示了准确性和计算成本之间的权衡。传统方法在7秒内完成训练，而量子方法由于电路评估的成本需要更长的时间。Q-GEO大约需要标准Q-SVM训练时间的2倍（412秒对比Q-SVM-CW的203秒），这反映了通过额外参数移动评估进行的QFIM估计的开销。这种开销使得AUC提高了1.91个百分点，相当于每增加一秒计算时间的成本效益比为0.009 AUC点。在预测准确性具有直接货币意义的管理科学应用中（见第6.7节），这种权衡是有利的：每年10,100英镑的净收益提升证明了额外几分钟的计算时间是值得的。

泛化差距分析。SVM-RBF（3.0%）和Q-GEO（3.09%）的泛化差距（训练准确率减去测试准确率）最小，而随机森林则表现出严重的过拟合（15.49%的差距）。尽管在更高维度的特征空间中运行，Q-GEO的受控泛化差距支持了黎曼优化结合Sinkhorn正则化提供隐式容量控制的理论预测。

噪声韧性。与理想模拟器相比，带噪声的Q-GEO变体的准确率下降了1.25个百分点，AUC下降了1.35个百分点，这证实了从成本加权收敛框架继承的浅电路噪声韧性。

6.4. 收敛性分析
图1展示了收敛行为。Q-GEO在大约40次迭代中达到了其最终核对齐的95%，而欧几里得SGD在40次迭代后仅达到了Q-GEO最优值的约72%，之后改进缓慢。消融实验（没有Sinkhorn的黎曼梯度）表明两个组件都对收敛优势有所贡献：黎曼梯度提供了更快的初始下降（利用了自然几何结构），而Sinkhorn投影在后续迭代中通过防止核塌陷稳定了轨迹。图1. 在变分参数优化过程中核对齐损失的收敛情况（训练损失，基于5折交叉验证的平均值；为了清晰起见省略了阴影区域，但所有折叠的标准差都低于0.02）。Q-GEO的收敛速度更快，损失也更小，优于欧几里得训练和仅使用黎曼梯度（没有Sinkhorn投影）的变体。

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该图显示了一条折线图，比较了3种标记在图例中的训练方法的核对齐损失：欧几里得随机梯度下降、Q-GEO和仅使用黎曼梯度（没有Sinkhorn）。横轴标记为“优化迭代”，范围从0到100，每10次迭代有一个刻度标记。纵轴标记为“核对齐损失”，范围大约从顶部的负0.3到底部的负0.9，每0.1有一个刻度标记。所有3条曲线在迭代0时起始损失值相近，并随着迭代次数的增加而减少。Q-GEO曲线在开始时下降得更快，在大约40次迭代时达到明显更低的损失，然后在接近100次迭代时逐渐平缓下降。欧几里得随机梯度下降的曲线下降得更慢，在所有迭代中都高于其他曲线，并在40次迭代及以后显示出逐渐且几乎线性的下降趋势，与Q-GEO之间存在明显差距。仅使用黎曼梯度的曲线位于其他两条曲线之间，在早期迭代中下降速度更快，但在整个过程中始终高于Q-GEO，并在最后几次迭代时接近一个平台。

6.5. ROC分析和操作阈值设定
ROC分析（图2）展示了Q-GEO的卓越区分能力。0.9047的AUC使得可以为不同的管理场景灵活选择阈值：高精度阈值（τ=0.7）在针对性高成本保留干预中实现了约0.88的精确度，而平衡阈值（τ=0.5）在一般保留活动中最大化了F1分数。图2. Q-GEO、Q-SVM-CW和XGBoost在UCI Online Retail II客户流失数据集上的ROC曲线。

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该图显示了一条接收者操作特征线图，比较了三种流失预测模型与随机基线的表现。横轴标记为“假阳性率”，范围从0到1，每0.2有一个刻度标记。纵轴标记为“真阳性率”，范围大约从底部的负0.9到顶部的负0.9，每0.2有一个刻度标记。一条从原点到右上角的虚线代表随机模型，其曲线下面积等于0.50。三条实线曲线在这条线上方向上弯曲。一条标记为XGBoost的虚线，其曲线下面积等于0.889，靠近左上区域。一条标记为Q-SVM-CW的实线，其曲线下面积等于0.886，与XGBoost曲线紧密跟随。一条标记为Q-GEO的实线，其曲线下面积等于0.905，在大多数假阳性率值上略高于其他两条曲线。在假阳性率约为0.05、真阳性率约为0.65处的Q-GEO曲线上的一个圆形标记标记为“高精度”。在同一曲线上的一个圆形标记，假阳性率约为0.22、真阳性率约为0.88处标记为“平衡”。

6.6. 消融研究
表2隔离了Q-GEO每个组件的贡献。表2. 在UCI Online Retail II客户流失数据集上的消融研究。
Fisher度量（黎曼几何）的贡献最大（移除后AUC下降了3.58%），与原始GEO论文中的发现一致[Citation14]。Sinkhorn投影贡献了1.99%，验证了核稳定机制。Wasserstein组件和熵正则化分别贡献了1.49%和1.25%。

6.7. 成本效益分析
考虑一家拥有10,000名活跃客户和37%年流失率（3,700名流失客户）的零售公司。假设客户生命周期价值（CLV）为500英镑，每次客户保留活动的成本为50英镑，活动成功率为25%：
Q-GEO模型比XGBoost多识别出104名高风险客户（在25%的成功率下，额外节省了26名客户×500英镑CLV=13,000英镑），同时减少了46个假阳性，从而节省了2,300英镑的活动成本。在这种代表性场景下，每年的净改进约为10,100英镑（表3）。表3. 10,000名客户的零售商的成本效益比较（英镑）。

6.8. 可解释性和可解释性分析
在管理科学和银行业应用中，模型的可解释性是操作部署的先决条件。我们用SHAP（Shapley Additive Explanations）值[Citation31]补充了准确性分析，这些值提供了每个特征对个别预测贡献的博弈论归因。由于希尔伯特空间嵌入的非加性结构，SHAP值无法直接为量子核方法计算，我们采用了一种事后替代方法：我们在Q-GEO预测上训练了一个梯度提升树替代模型，并从替代模型计算SHAP值。替代模型的忠实度为0.97（通过测试集上与Q-GEO预测的一致率来衡量），确保SHAP归因忠实代表了量子模型的决策逻辑（表4）。表4. Q-GEO流失预测的前5个特征，按平均绝对SHAP值排序（替代模型忠实度：0.97）。
SHAP分析显示，最近性是主要的预测因素，这与RFM框架和管理直觉一致：最近没有购买的客户最有可能流失。购买规律性（通过购买间隔的变异系数来衡量）成为第二重要的特征，捕捉了行为一致性。这些发现为保留目标提供了可操作的指导：管理者可以优先考虑那些最近性高且购买不规律的客户进行干预，即使在货币指标下降之前。

6.9. 计算时间分解
表5将Q-GEO的每次迭代计算时间分解为其组成部分，定量地解决了开销问题。表5. Q-GEO的每次迭代计算时间分解（基于100次迭代的平均值，使用Qiskit Aer状态向量模拟器，批量大小B=64）。
QFIM估计占总时间的42.2%，证实了相对于标准变分核训练（仅需要Gram矩阵计算）大约2倍的开销。Sinkhorn规范化和KFAC反演的影响可以忽略不计（合计不到1%），验证了备注3.2中的复杂性分析。在量子硬件上，电路评估和QFIM估计时间将主要由散粒噪声和队列延迟主导，而不是门执行，因此相对比例可能会发生变化。

7. 讨论和局限性
Q-GEO框架证明了来自黎曼动力学传统的几何优化原理可以显著提升管理科学应用中的量子机器学习。收敛优势源于两种互补机制：Fisher-Wasserstein度量通过尊重其内在几何结构更有效地导航量子参数景观，而Sinkhorn投影提供了分布正则化，防止了噪声和类别不平衡下的核退化。从可解释性的角度来看，基于SHAP的可解释性分析（第6.8节）表明Q-GEO预测是由具有管理意义的特征驱动的——最近性、购买规律性和货币价值——这与已建立的CRM理论一致。基于替代模型的方法为量子模型的可解释性提供了一条实用途径，尽管未来的工作应该探索基于量子特征图本身的内在可解释性方法。
有几个局限性值得讨论。QFIM估计需要额外的电路评估（如第6.9节所量化的，大约增加了2倍的开销），这增加了已经相当大的量子资源需求。在NISQ范围内，这种开销可能会限制其在大规模数据集上的适用性，尽管Sinkhorn投影和KFAC近似部分减轻了计算成本。理论界限假设可以访问精确梯度；将分析扩展到具有有限次数的随机梯度将增强实际相关性。实证验证使用了经典模拟器而不是实际的量子硬件；虽然噪声模拟提供了设备级性能的代理（现在包括了振幅阻尼和读出错误以及退极化噪声），但硬件验证仍然是重要的下一步。

8. 结论
本文介绍了量子几何熵优化（Q-GEO）框架，该框架将黎曼梯度方法和熵正则化最优传输应用于变分量子核的管理科学分类训练。理论贡献包括统一Polyak–?ojasiewicz和Sinkhorn收缩框架的收敛定理，证明了几何优化带来的边际放大效果的GEO增强分离界限，以及基于Sinkhorn投影的核稳定结果。在UCI Online Retail II数据集上的实证验证表明，与经典基线（包括逻辑回归、随机森林、XGBoost和CatBoost）和量子基线相比，Q-GEO在现实的客户流失预测任务上表现出持续的改进，并通过基于SHAP的可解释性分析和计算时间分析确保了可解释性和实际的可重复性。
这项工作延续了几何动力学研究计划，将其从神经网络优化扩展到量子计算，并从理论基础扩展到应用管理科学。通过将量子核方法与黎曼优化和最优传输理论相结合，Q-GEO为量子管理科学这一新兴学科做出了贡献——将量子计算范式应用于定义该领域的决策问题。