一种基于混合径向基函数-有限差分矩阵算子（RBF-FDMO）的方法，用于在非均匀有限差分网格上对接地系统进行数值模拟 作者：Xuan-Binh Nguyen, Nhat-Nam Nguyen, Phan-Tu Vu

《Energies》：A Hybrid Radial Basis Function–Finite Difference Matrix Operators (RBF–FDMO) Approach for Numerical Simulation of Grounding Systems on Non-Uniform FD Mesh Xuan-Binh Nguyen, Nhat-Nam Nguyen and Phan-Tu Vu

　　**摘要**
本文提出了一种混合数值方法，称为径向基函数-有限差分矩阵算子（RBF-FDMO）方法，该方法旨在提高传统FDMO技术在三维（3D）电磁场分析中的准确性和灵活性。三维电磁场分析受拉普拉斯-泊松方程的支配。传统数值方法在处理非均匀离散化和复杂几何形状时常常面临计算复杂性和灵活性受限的挑战。在本方法中，空间导数通过基于径向基函数（RBF）的插值来近似，而不是使用泰勒级数展开得到的有限差分方案。这种表述方式使得在均匀和非均匀差分网格上都可以构建高精度的导数算子，从而提高了数值稳定性和对复杂几何形状的适应性。首先，通过一个3D基准问题比较了该方法的性能与FDMO方法，结果显示RBF-FDMO方法在均方根误差（RMS）和最大误差上均降低了两个数量级以上。此外，RBF-FDMO方法首次被应用于IEEE Std. 80?标准规定的接地系统（GS）配置分析，以及越南一个实际的110 kV变电站的接地系统分析。所得到的电位分布、接地电阻以及接触电压和跨步电压测试结果证明了该方法的有效性和可靠性。研究结果表明，该方法具有简单的数学表达式和良好的计算效率，使其成为有限元方法（FEM）和边界元方法（BEM）等传统方法在接地系统分析和设计中的实用替代方案。

**1. 引言**
接地系统（GS）是电力系统设计和运行中的关键组成部分之一。它主要承担三项功能：系统运行接地、设备保护接地和防雷接地。当电力系统中发生绝缘击穿、对地短路或雷电放电等故障时，接地系统为故障电流和浪涌电流提供了低阻抗的流入大地的路径。因此，接地系统不仅确保了保护装置的有效运行，还保障了人员安全，并有助于整个电力系统的电磁兼容性和稳定性[1,2,3]。在保护接地方面，这一问题通常由三维拉普拉斯方程描述：
$$\nabla^2 \varphi = \rho \nabla \varphi$$
其中$\varphi$表示电位。准确求解拉普拉斯方程有助于评估关键的安全参数，如接地电阻、接触电压和跨步电压，这些参数对于符合国家和国际标准（包括IEEE Std. 80?）至关重要[1,4]。
对于具有不规则几何形状和非均匀土壤条件的复杂接地系统进行分析，通常需要使用先进的数值方法来获得可靠且精确的结果。在现有数值方法中，有限元方法（FEM）因其稳健性和灵活性而脱颖而出，特别是在处理材料性质在空间上变化的复杂三维区域时能够达到高精度[5,6,7]。通过将整个计算域离散化为大量有限元，FEM将控制拉普拉斯方程转换为代数方程组。然而，这种体积离散化会导致大量未知数，从而产生大型稀疏矩阵，需要大量的计算资源和内存[8,9]。此外，对于包含众多埋设导体和多层土壤结构的接地系统来说，网格生成过程往往较为繁琐。由于需要使用人工边界来准确表示无限大的土壤域，也会引入建模不确定性，边界距离和类型的选择会显著影响求解精度。因此，基于FEM的接地系统分析变得耗时且计算成本较高，尤其是在处理大型变电站或参数变化范围较广的情况时。
作为FEM的补充，边界元方法（BEM）因能够降低问题维度和计算成本而受到广泛关注[10,11,12,13]。与FEM不同，BEM仅需沿问题域边界进行离散化，从而大大减少了元素数量，简化了开放边界问题的表示。尽管如此，当处理非均匀或多层土壤时，BEM的效率较低，因为合适的格林函数推导在数学上较为复杂，且所得系统矩阵往往条件不佳。对于大型或高度互联的接地系统配置，BEM固有的密集矩阵会导致更大的内存需求和更长的计算时间。
为克服这些方法的局限性，研究人员提出了FEM-BEM混合技术[14]。在这种方法中，FEM有效地捕捉了土壤内的体积复杂性，而BEM则精确模拟了无穷远处的行为，从而提高了整体精度。不过，这种混合化增加了实现的复杂性，因为需要耦合两种不同的数学公式并在它们之间交换边界信息。此类过程通常涉及额外的预处理和后处理步骤，使得混合方法在处理大规模或迭代性接地系统研究时不够直观。
另一种广泛使用的方法是矩量法（MoM），它将电位分布问题重新表述为积分方程框架[15]。MoM适用于细导线模型的接地系统，尤其适用于评估纵向电流分布。然而，由于其密集阻抗矩阵随 segment 数量呈二次方增长，其应用于大型接地系统的能力受到限制。此外，MoM假设了简化的土壤模型，并在结合实际的多层或频率依赖性土壤特性时面临挑战。这些因素共同增加了计算成本并降低了建模的灵活性。
总体而言，尽管FEM、BEM和MoM在某些应用中表现出稳健性和准确性，但它们的固有缺点——复杂的网格划分、高计算需求以及 对非均匀土壤的有限适应性——凸显了需要更高效和灵活的数值框架来进行实际的接地系统分析。尽管传统数值方法在接地系统分析中有效，但它们仍面临一些数学和计算上的挑战，包括需要精细和结构化的网格划分以维持数值稳定性、生成大型稀疏或密集矩阵系统所带来的显著内存和处理需求，以及在对不规则几何形状或高度异质土壤的处理上的灵活性有限。
在接地系统分析中，本研究对数值方法的比较主要集中在与当前问题最相关的方面，即公式简洁性、对非均匀离散化的适应性以及对实际接地网格建模的适用性。从这个角度来看，尽管FEM、BEM和MoM在许多应用中已得到验证且有效，但它们的局限性促使人们开发出能够保持数值精度同时又具有更直观算子表达的替代方法。
因此，本研究的主要创新在于将基于RBF的导数近似方法整合到传统的三维接地系统分析FDMO框架中。与FDMO传统公式中使用的泰勒级数导数构建方法不同，所提出的混合RBF-FDMO方法能够在均匀和非均匀网格上实现更灵活和准确的算子构建，从而扩展了FDMO方法在接地系统建模中的应用范围。
基于这些考虑，有限差分方法（FDM）因其数学上的简单性、良好的计算效率和广泛的应用性而被用于接地系统模拟[16,17]。在此工作中，我们首次提出了RBF-FDMO方法，该方法将[17]中提出的三维FDMO方法与RBF插值技术结合起来用于接地系统分析。首先，我们在三维域中开发了RBF-FDMO方法，并通过解决一个基准三维问题对其进行了验证。然后将该方法与非均匀差分网格结合使用，提高了对复杂几何形状接地系统建模的灵活性和准确性。该方法应用于IEEE Std. 80?中定义的几种接地系统配置以及越南110 kV高压变电站的接地系统分析。结果表明，RBF-FDMO方法与传统方法（如BEM、FEM和IEEE Std. 80?中规定的方法）相比，能够提供更准确的解决方案。
本研究的主要贡献如下：
- 成功开发了一种新的混合方法，将RBF与FDMO方法相结合，形成了RBF-FDMO方法。这种组合不仅在三维域中实现了比原始FDMO更高的解决方案精度[17]，而且通过使用RBF插值，在处理复杂几何形状和均匀/非均匀网格时提供了更大的灵活性。
- 本研究标志着RBF-FDMO技术首次用于模拟和评估理论和实际接地系统。特别是，本工作中使用的三维差分网格是非均匀的，其有效性已在[18,19]中得到验证。该方法提供的精度与众所周知的方法（如FEM和BEM）相当，同时具有更直观的数学框架和更简单的实现方式。

**2. 用于解决泊松-拉普拉斯方程的混合RBF-FDMO方法**
在笛卡尔坐标系中，三维泊松-拉普拉斯方程可以表示为：
$$\nabla^2 \varphi = \rho \nabla \varphi$$
其中$\nabla^2$是拉普拉斯算子，$\rho$是电荷密度，$\varphi$是电位。
本节通过扩展[17,21]中的FDMO方法并引入遗传算法（GA）、多重QU（MQ）、指数QU（IQ）和逆多重QU（IMQ）形式的RBFs[22]，发展了RBF-FDMO公式。本研究使用的具体RBF形式详见表1。该方法旨在以提高精度和稳定性来解决三维域中的接地系统电位分布问题。

**2.1. 一维泊松方程的RBF-FDMO公式**
对于仅涉及一个空间变量$x$的问题，(2)中的三维公式可简化为：
$$\nabla^2 \varphi(x) = \rho \nabla \varphi(x)$$
其中计算域由$D$表示，其边界由$B$给出。
通过对径向基函数展开应用中心差分表达式，可以导出一阶和二阶空间导数的RBF基公式[22,23]。
(5) 和 (6) 可以表示为矩阵形式：
$$\begin{bmatrix}
A & B \\ B & C \\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
X & Y \\ Y & Z \\
\end{bmatrix} = 0$$
(7) 和 (8) 是针对网格内部节点$(x, y, z)$的公式。在两个边界节点$(x_0, y_0, z_0)$和$(x_1, y_1, z_1)$，这些表达式需要使用边界外的值，因此不能直接应用于边界。为了获得所需的导数近似，边界处采用正向RBF离散化，内部区域采用反向RBF离散化。相应的公式如下：
$$\begin{bmatrix}
A & B \\ B & C \\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x_0 & y_0 & z_0 \\ x_1 & y_1 & z_1 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
a_{11}x_1 + a_{21}x_0 + a_{31}z_0 \\ a_{12}x_1 + a_{22}x_0 + a_{32}z_0 \\ a_{13}x_1 + a_{23}x_0 + a_{33}z_0 \\
\end{bmatrix}$$
(9) 和 (10) 分别是正向和反向RBF近似公式，其中权重系数$a_{ij}$在附录A中给出。

将(9)–(12)组合起来得到(13)和(14)中的矩阵形式：
$$\begin{bmatrix}
A & B \\ B & C \\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
a_{11}x_1 + a_{21}x_0 + a_{31}z_0 & a_{12}x_1 + a_{22}x_0 + a_{32}z_0 & a_{13}x_1 + a_{23}x_0 + a_{33}z_0 \\ a_{11}y_1 + a_{21}y_0 + a_{31}y_0 & a_{12}y_1 + a_{22}y_0 + a_{32}y_0 \\ a_{11}z_1 + a_{21}z_0 + a_{31}z_0 & a_{12}z_1 + a_{22}z_0 + a_{32}z_0 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23} \\
b_{31} & b_{22} & b_{33} \\
\end{bmatrix}$$
对于非均匀差分网格，系数$a_{ij}$会因区间而变化，而不是一恒定值。因此，差分矩阵中的默认均匀网格项需要被替换为考虑相邻节点实际间距的局部系数。这样得到的代数矩阵表达式用于导数算子：
$$\begin{bmatrix}
a_{11} \delta_{ij} & a_{12} \delta_{ij} & a_{13} \delta_{ij} \\ b_{11} \delta_{ij} & b_{12} \delta_{ij} & b_{13} \delta_{ij} \\ b_{21} \delta_{ij} & b_{22} \delta_{ij} & b_{23} \delta_{ij} \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\delta_{ij1} & \delta_{ij2} & \delta_{ij3} \\ \delta_{ij1} & \delta_{ij2} & \delta_{ij3} \\ \delta_{ij1} & \delta_{ij2} & \delta_{ij3} \\
\end{bmatrix}$$
将这些表达式应用于节点值向量，可以得到一阶和二阶空间导数的离散近似。使用这些算子，(4)中的微分方程可以重写为线性代数系统：
$$\begin{bmatrix}
A & B \\ B & C \\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\delta_{ij1}x_1 + \delta_{ij2}x_2 + \delta_{ij3}x_3 & \delta_{ij1}y_1 + \delta_{ij2}y_2 + \delta_{ij3}y_3 & \delta_{ij1}z_1 + \delta_{ij2}z_2 + \delta_{ij3}z_3 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23} \\
b_{31} & b_{22} & b_{23} \\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
a_{11}y_1 + a_{12}y_2 + a_{13}y_1 & a_{11}y_2 + a_{12}y_2 + a_{13}y_2 \\ a_{11}z_1 + a_{12}z_1 + a_{13}z_1 \\ a_{12}y_1 + a_{22}y_2 + a_{23}y_2 \\
\end{bmatrix}$$
其中系统矩阵$A$和边界算子$B$分别具有形式(18)和(19)。通过这次扩展，我们在(13)和(14)中引入的一维算子被整合到了3D环境中，表示为(20)、(21)、(22)以及(23)、(24)和(25)。将(20)–(25)中的关系代入三维公式后，(18)和(19)中的表达式可以重新表述为以下形式：(26)。边界条件的算子定义如下：(27)，其中是一个大小为的单位矩阵。在本研究中考虑的地面系统应用中，远场截断边界被视为狄利克雷边界，而地表被建模为均匀诺伊曼边界。这种行替换过程产生了一个单一的全局代数系统，可以统一解决内部和边界节点的问题。

3. 选择RBFs的最佳形状参数
RBFs的最佳形状参数可以通过多种方法确定，如[24]中所讨论的。在这项工作中，我们采用了Victor Bayona等人[20]提出的算法来选择最佳形状参数，并将其适配到我们的RBFs中。这种方法旨在提高RBF插值的准确性和效率，具体步骤如下：考虑一个离散为N个散布点的一维域，其中表示域内的内部点总数。因此，差值对应于两个边界点。RBF-FDMO误差由(28)给出，其中…是RBF-FDMO近似值，…是精确解。为了找到“最佳”的形状参数值，需要最小化(28)中定义的近似误差。这是通过以下表达式实现的，该表达式允许高效地确定，从而获得最佳的近似结果。

4. 数值结果
4.1. 将RBF-FDMO方法应用于3D基准问题
考虑以下3D泊松方程，如[25]中所讨论的，它是许多工程和物理问题的基础。在这个背景下，该方程将标量势场（通常表示为）与源函数（可以代表电静力学中的电荷密度或重力问题中的质量分布）的空间分布联系起来。这个方程的解提供了由源产生的势场的模型，允许分析和预测各种应用中的物理行为。(30)，其中。精确解由(31)给出。如图1a,b所示，RMS误差范数和最大误差范数清楚地评估了RBF-FDMO方法在识别第3节讨论的最佳形状参数方面的性能。两个误差指标都在大约某个值处达到最小，表明在近似精度和数值稳定性之间取得了平衡。图1. 3D基准问题的RBF-FDMO解和误差范数。(a) RBF-FDMO解的RMS误差范数与形状参数的关系。(b) RBF-FDMO解的最大误差范数与形状参数的关系。(c) IQ-FDMO和FDMO解之间的误差范数比较。(d) y = 0.5时的三维IQ-FDMO解。图1a,b还提供了GA、MQ、IQ和IMQ径向基函数数值性能的比较评估。可以观察到所有RBFs都对形状参数的选择敏感，每条曲线都显示出一个明显的最小值。其中，IQ函数在测试范围内始终产生较低的RMS误差和最大误差，表明在准确性和数值稳定性之间具有更优的平衡。基于这一观察，后续的地面系统仿真中采用了IQ函数。
为了增强这些发现的可靠性，进一步的研究可以包括围绕c的更细范围扫描、检查网格敏感性，或者使用自动参数选择策略，如留一法交叉验证或基于条件数的优化，从而为实际RBF-FDMO应用中选择形状参数提供更通用的框架。图1c展示了随着离散化水平N的增加，RBF-FDMO和FDMO两种方法的两种误差范数的比较。结果表明，所提出的方法显著提高了精度，RMS误差从减少到，最大误差从减少到，相比3D FDMO方法[17]提高了两个数量级以上。特别是，RBF-FDMO方法在点数远少于的情况下达到了可比的精度，表明在基准问题中具有更优越的计算经济性。与需要数千个点才能达到类似精度的3D FDMO方法[17]不同，RBF-FDMO方法用更少的点就能保持高精度，使其成为一种更计算经济的方法。这种所需点数的减少，加上其稳定的性能，使得RBF-FDMO方法成为高效解决3D科学和工程问题的强大工具。最后，图1d展示了使用最佳形状参数的IQ-FDMO方法获得的三维解，进一步证实了所提方法在处理复杂系统方面的准确性和有效性。

4.2. RBF-FDMO方法在GS分析中的应用
埋设在均匀土壤中的GS产生的电场可以用标量势表示，该势满足相应的边界条件下的拉普拉斯方程。具体来说，在3D域内，拉普拉斯方程控制着势，而二维边界受到特定的约束，例如地球表面和无穷远处的约束。控制方程可以如下表述：
在计算域内：(32)
在边界上：(33)
(32)的IQ-FDMO解允许在高精度下计算电势和相关的电流密度，这些计算可以在计算域内的非均匀FD网格上的任意位置进行，如图17的图2所示。图2. 非均匀FD网格的模型[17]。在本研究中呈现的数值示例中，假设土壤是均匀的，以便专注于在明确建模框架下提出的RBF-FDMO方法的公式化和验证。这个假设也与常用于方法验证和比较的基准配置一致。该解决方案假设GS被激励到一个指定的电位，通常称为地面电位升（GPR），相对于一个遥远的地球参考点进行测量。这种公式化能够详细表征GS的电磁行为。
4.2.1. 方形GS案例
选择[26]中的R04P16 GS作为第一个测试案例来评估所提出的方法。网格的尺寸为，由相隔的导体组成，形成了一个网格配置。这个GS埋设在0.5米的深度，并在其周边放置了长度为2米、半径为5毫米的垂直接地棒，如图3a所示。假设土壤电阻率为，并将GPR设置为1伏特。使用形状参数，并应用非均匀FD网格的IQ-FDMO方法（如图3b所示），仿真结果分别在图4a中展示并在表2中总结。图3. 方形GS：(a) [26]中的模型；(b) 使用非均匀FD网格的模型。图4. 方形GS的势分布：(a) 所提出的IQ-FDMO方法的解；(b) [26]中BEM的解。表2. 对于故障电流的地球电阻、GPR、接触电压和步进电压的比较。评估了IQ-FDMO方法与BEM [26]和IEEE Std. 80? [1]的性能，考虑了地球电阻（）、GPR、最大接触电压（）和最大步进电压（）等参数。IQ-FDMO实现了，并且GPR = 20.1 kV，与BEM的结果非常接近，并且与IEEE Std. 80?相比地球电阻降低了5.6%。对于接触电压，IQ-FDMO产生的值为，与BEM（28%）非常吻合，并且超过了IEEE Std. 80（24.9%），表明安全评估既保守又准确。值得注意的是，IQ-FDMO产生的步进电压最低，比BEM（16%）降低了37.5%，比IEEE Std. 80?（11.7%）降低了14.5%，从而显著提高了安全性。这些结果表明IQ-FDMO结合了高精度——与BEM非常接近——和优越的步进电压缓解能力，使其成为接地系统设计中一种高效的方法。
4.2.2. 矩形GS案例
所研究的GS是一个尺寸为63米乘以84米的矩形布置[1]。导体以7米的间距排列，形成了10乘以10个互连段的网格。网格埋设在0.8米的深度，其边界上放置了长度为3米、直径为10毫米的垂直棒，如图5a所示。土壤电阻率为，最大网格电流为。该配置使用非均匀FD网格进行IQ–FDMO仿真，如图5b所示。图5. 矩形GS：(a) IEEE Std 80? [1]中的模型；(b) 使用非均匀FD网格的模型。图6显示了网格上的势分布和相应的等势线，突出了GS内部的电场行为。图7比较了IQ–FDMO方法和FE模型得到的ESP结果。图6. 矩形GS的IQ-FDMO解：(a) 三维势分布；(b) 地表上的等势线。图7. 比较了IQ–FDMO和FE方法在矩形GS中势分布的结果：(a) ；(b)。比较结果表3显示，两种方法计算出的最大和最小势非常接近。具体来说，结果显示使用IQ–FDMO方案计算出的最大势为pu，比FEM方法得到的值（pu）略高。相比之下，IQ–FDMO估计出的最小势为pu，略低于FEM的结果（pu）。此外，IQ–FDMO预测的峰值电位变化为pu，超过了FEM的pu。这些小的偏差源于两种方法采用的网格构造和数值离散化的固有差异。两组结果之间的密切一致性证实了所提方法的准确性。此外，IQ-FDMO相比FEM具有多个优势，包括在非均匀有限差分网格上的基于算子的实现、处理不规则几何形状的更大灵活性以及在预处理期间降低的计算复杂性。这些特点使得RBF-FDMO成为在复杂环境中高效准确分析接地系统的有希望的替代方法。表3. 使用IQ-FDMO和FEM计算的矩形接地系统（GS）的电势比较。此外，如表4所示，IQ-FDMO方法得到的地球电阻为，比IEEE Std. 80?的高出1.14%。GPR值也略微升高到5.03 kV，比5.02 kV高了0.2%。关于接触电压，IQ-FDMO产生的值为，比IEEE Std. 80?（14.8%）高出0.68%。最显著的是，IQ-FDMO将最大步进电压降低了6.0%，比IEEE Std. 80?（7.76%）降低了22.7%，从而显著提高了安全性。这些结果证明IQ-FDMO结合了高精度——与BEM非常接近——和优越的步进电压缓解能力，使其成为一种高效的接地系统设计方法。
4.2.3. L形GS案例
为了研究不同的接地布局，检查了一个L形GS。网格占据的主要面积为105米乘以70米，并包括从一角延伸出来的额外35米乘以35米的部分，与[1]中报告的配置一致。导体以7米的间距排列，形成了100个网格单元。网格埋设在0.8米的深度，其边界上安装了长度为3米、直径为10毫米的垂直棒，如图8a所示。土壤电阻率为，最大网格电流为。该配置使用非均匀FD网格进行IQ–FDMO仿真，如图5b所示。图5. L形GS：(a) IEEE Std 80? [1]中的；(b) 使用非均匀FD网格的。图6显示了网格上的势分布和相应的等势线，突出了GS内部的电场行为。图7比较了IQ–FDMO方法和FE模型得到的ESP结果。图6. IQ-FDMO解的矩形GS：(a) 三维势分布；(b) 地表上的等势线。表3显示，两种方法计算出的最大和最小势非常接近。具体来说，结果表明，使用IQ–FDMO方案计算出的最大势为pu，略高于FEM方法得到的值（pu）。相比之下，IQ–FDMO估计出的最小势为pu，略低于相应的FEM结果（pu）。此外，IQ–FDMO预测的峰值电位变化为pu，超过了FEM的值pu。这些小的偏差源于两种方法采用的网格构造和数值离散化的固有差异。两组结果之间的密切一致性证实了所提方法的准确性。此外，IQ-FDMO相比FEM具有几个优势，包括在非均匀有限差分网格上的基于算子的实现、处理不规则几何形状的更大灵活性以及在预处理期间降低的计算复杂性。这些特点使得RBF-FDMO成为在复杂环境中高效准确分析接地系统的有希望的替代方法。表3. 使用IQ-FDMO和FEM计算的矩形接地系统（GS）的电势比较。此外，如表4所示，IQ-FDMO方法得到的地球电阻为，比IEEE Std. 80?的高出1.14%。GPR值也略微升高到5.03 kV，比5.02 kV高了0.2%。关于接触电压，IQ-FDMO产生的值为，比IEEE Std. 80?（14.8%）高出0.68%。最值得注意的是，IQ-FDMO将最大步进电压显著降低了22.7%，比IEEE Std. 80?（7.76%）降低了22.7%。这些结果强调了所提方法在评估GS安全性方面的准确性和可靠性，强化了其作为常规数值技术的稳健和高效替代方案的潜力。表4. 使用IQ–FDMO与IEEE Std. 80?比较的矩形GS的计算安全参数。
4.2.3. L形GS案例
为了研究不同的接地布局，检查了一个L形GS。网格占据的主要面积为105米乘以70米，并包括从一个角延伸出来的额外35米乘以35米的部分，与[1]中报告的配置一致。导体以7米的间距排列，形成了100个网格单元。网格埋设在0.8米的深度，其边界上安装了长度为3米、直径为10毫米的垂直棒，如图8a所示。土壤电阻率为，最大网格电流为。计算域覆盖了145米乘以110米的区域，深度为30米。L形接地系统使用非均匀FD网格进行离散化，类似于矩形案例，如图8b所示。图8.L形接地系统（GS）在其周边装有垂直杆：（a）在IEEE Std 80? [1]中；（b）在非均匀FD网格中。L形GS的电位分布模拟结果分别在图9和图10中以3D和2D视图展示，说明了所提出的RBF-FDMO方法在准确建模任意几何形状的GS方面的适用性和多功能性。图9. L形GS的IQ–FDMO结果：（a）3D电位分布；（b）地面等电位线。图10. L形GS的土壤等电位线：（a）中心（x轴）；（b）边界区域。图11和表5展示了使用IQ–FDMO和FEM得到的L形接地系统的电位分布的比较。两种方法产生的最大和最小电位几乎相同，其中IQ–FDMO的最大电位略高，最小电位略低。最大电位变化的差异很小，表明IQ–FDMO能够准确地再现空间电位分布。这些结果证实了IQ–FDMO是用于不规则几何形状GS的FEM的可靠替代方案。图11. L形GS的IQ-FDMO和FE解的电位分布比较：（a）m；（b）m。表5. L形接地系统的电位分布：IQ–FDMO与FEM。表6比较了IQ–FDMO方法与IEEE Std 80?指南在评估L形接地系统的接触电压和跨步电压方面的性能。两种方法得出的接地电阻（）和地面电位升高（GPR = 5.23 kV）的值相同，表明它们在对基本接地参数的估计上是一致的。然而，在预测的安全电压方面观察到一些细微差异。具体来说，IQ–FDMO方法估计的最大接触电压（）为14.9%，最大跨步电压（）为6.0%，分别略低于IEEE Std 80?规定的15.4%和8.1%。这些偏差表明IQ–FDMO可以对电压曲线提供更精细和可能更为保守的评估，支持其在对任意几何形状的GS进行安全评估时的有效性和可靠性。表6. 使用IQ–FDMO与IEEE Std 80?比较L形接地系统的关键安全参数评估。

4.2.4. 案例4：越南的实际接地系统
本节分析了越南可再生能源扩展计划中的110 kV–63 MVA Da Mi浮动式太阳能变电站的接地系统。该站点位于平顺省Ham Thuan Bac区的Da Mi水电站水库。将浮动光伏技术与现有的水电站结合，提供了一种高效且可持续的能源解决方案。图12展示了太阳能变电站的接地系统配置和相应的设备布置，其占地面积为m。接地网由直径为14毫米的镀锌钢导体构成，并辅以直径相同、长度为3米的垂直杆（绿点）。此外，设计中还包括了GEM井（红点），这些井由直径为120毫米的钢电极组成，安装深度为30米。所有接地组件均埋设于0.8米的统一深度，以确保有效运行和结构寿命。图12. 越南太阳能变电站的接地系统和设备布置。该接地系统具有在故障条件下的关键参数。对于相地故障，施加了一个持续时间为0.5秒的电流来评估跨步电压和接触电压限值。土壤电阻率为，这会影响电位分布。总的接地电阻（包括变电站的贡献）为，确保了有效的故障电流消散并满足安全要求。采用IQ–FDMO方法评估了越南的实际接地系统，得到图13和图14所示的电位分布和等电位模式。图15a,b展示了从IQ–FDMO和FE模拟得到的地表电位（ESP）的比较，相应的数值总结列在表7中。结果显示，两种技术在接地区域内的电位曲线非常接近。尽管两种方法总体上一致，但IQ–FDMO倾向于预测略微更高的电位变化，提供了更为保守的视角，有利于确保安全性。此外，IQ–FDMO的数学复杂性较低，计算负担较小，使其成为快速而可靠的评估工具。这些优点突显了IQ–FDMO作为传统基于FE的分析的实用且稳健的替代方案。图13. 实际接地系统的IQ–FDMO结果：（a）3D电位分布；（b）地面等电位线。图14. 实际接地系统的土壤等电位线：（a）中心（x轴）；（b）边界区域。图15. 实际接地系统的电位分布：IQ–FDMO与FEM的比较（a）和（b）。表7. 实际接地系统的电位分布：IQ–FDMO与FEM。表8表明，计算出的接地电阻0.5与现场测量的0.49非常吻合，仅相差0.01%。考虑到人体重量为70公斤，归一化到GPR的最大接触电压远低于IEEE Std 80?规定的25.1%的限值，安全裕度接近59.8%。同样，每GPR的最大跨步电压也大大低于允许的12.98%阈值，相应的裕度约为76.7%。IEEE Std 80?的标准依据附录B中总结的公式得出。这些结果不仅证明了接地系统的强大性能和可靠性，还突显了IQ–FDMO方法在分析实际变电站设施时的精确度和实际适用性。

5. 总结与评论
在这里，我们可以提出以下主要观点：
数学公式：与FEM、BEM和MoM等数值技术相比，FDM以其概念上的简单性和计算上的简洁性而脱颖而出。它的数学结构更为直接，简化了编码、算法管理和整体实现。当与RBF–FDMO框架结合使用时，可以通过构建相应的一维算子的连续Kronecker积来高效地处理三维问题，如2.2节所描述。这种策略尤其适用于大规模领域、复杂几何形状和多种边界条件类型，使其成为实际工程应用中的强大选择。
准确性：当使用RBF近似代替经典的泰勒级数基FD近似时，RBF-FDMO方法在形状参数的小值范围内显示出比传统数值方法显著更高的准确性。特别是在结合了最优形状参数选择算法的情况下（如[20]中所述），可以获得如图1a,b所示的结果。
成本效益：如图1c所示，RBF–FDMO方法在使用数千个离散化节点的情况下，达到了与FDMO解决方案相当甚至更好的准确性。相比之下，FDMO方法需要数十万个节点才能达到类似的误差水平。这表明RBF–FDMO可以大幅降低计算需求，使其非常适用于不需要极高精度的大型或几何形状复杂的问题。
适用性：RBF–FDMO框架可以适应各种接地系统配置，包括方形、矩形、L形和实际变电站布局。凭借其低计算复杂性和简单的实施方法，它是高压变电站中接地系统设计和优化的有效工具。它还能够根据IEEE、IEC和国家标准评估关键安全参数，如接地电阻以及跨步电压和接触电压限值，如第4节所述。
本文介绍了RBF–FDMO方法的发展，该方法通过使用一维微分算子的Kronecker积将先前提出的FDMO公式[17,21]扩展到完全三维问题。这一扩展代表了重要的方法论进步，因为它能够在不需要复杂网格生成或域离散化的情况下高效构建多维有限差分算子。通过将RBFs集成到FDMO框架中，所提出的方法显著提高了导数近似的准确性、平滑性和数值稳定性，从而在精度和计算成本之间取得了更好的平衡。
应当注意的是，目前的工作是在理想化条件下进行的，包括均匀土壤假设和标准化的接地配置。此外，这里展示的计算效率主要体现在基于算子的公式的简洁性以及该方法在基准问题中用相对较少的离散化点就能实现高精度的能力，而不仅仅是基于完整运行时间和内存的基准测试。未来的工作将考虑对收敛行为、计算性能以及更复杂土壤模型和接地配置的扩展进行更全面的分析。
本研究的新颖之处在于，在均匀和非均匀节点网格上制定了3-D RBF增强的有限差分算子方案，该方案继承了传统FDM的简洁性，同时利用了RBF插值的灵活性来处理不规则节点分布和复杂几何形状。与传统数值方法（如FEM、BEM或MoM）不同，后者严重依赖于网格划分或积分核的计算，RBF–FDMO构建了纯粹的代数算子，可以轻松实现并适应多样化的接地系统配置和异质土壤条件。所提出的方法使用了一个成熟的3-D基准问题进行了验证，在该问题中，RBF–FDMO解决方案的准确性优于相应的FDMO结果。在此验证之后，该方法成功应用于模拟了包括越南实际110-kV变电站在内的各种几何形状的接地系统的电位分布。模拟结果与FEM和BEM等传统数值方法的结果非常吻合，同时具有竞争性的计算效率，并提供了更简单的数值公式。
总体而言，该系统完全满足了安全标准，无需额外的校正措施，并确保在高压故障条件下的安全运行。