蜉蝣——深度学习融合技术在高维参数识别与历史建筑加固中的应用 钟鹏、 程斌、 张珊军、 李志勇、 李伟

《Buildings》：Mayfly–Deep Learning Fusion for High-Dimensional Parameter Identification and Reinforcement of Historical Buildings Zhong Peng, Bin Cheng, Shanjun Zhang, Zhiyong Li and Wei Li

　　摘要：历史建筑的结构健康评估通常依赖于有限元（FE）模型的更新，然而在稀疏且受噪声污染的模态数据下进行高维参数识别会降低模型的鲁棒性，并导致计算成本过高。本文提出了一种以应用为导向的集成工作流程，该流程在提高识别稳定性的同时加快了更新过程。通过结合自然频率和模态形状的残差以及基于灵敏度的一致性关系，构建了一个多指标目标函数。逆问题使用Mayfly算法（MA）求解，并引入了深度神经网络（DNN）替代模型来替代优化过程中的重复FE模态分析，从而减轻了整体计算负担。该工作流程以中国武汉的基督教路德教堂为例进行演示，该教堂建于1923年至1924年期间，使用了在25个测量点收集的运行模态测试数据。通过识别代表不同楼层柱子、梁、墙壁和楼板的24个分组刚度降低系数，更新了FE模型。更新后的模型与测量的前四个自然频率及其对应的模态形状的一致性显著提高，使得能够定量诊断刚度退化情况，并支持基于刚度的加固规划。采用了20%的刚度增强目标来指导干预措施，并提供了分析性的模态增强检查，以将刚度目标与预期的频率增益联系起来。该工作流程为遗产建筑评估和修复中的数据驱动决策支持提供了一条可复制的途径，同时确定不确定性量化和干预后的验证是未来工作的关键重点。在现有的稀疏模态信息下，逆问题是欠定的；因此，报告的刚度降低系数应被视为受建模和测量不确定性影响的非唯一分组解，加固措施仅作为需要干预后验证的规划级设计提案。

1. 引言
作为文化遗产的重要组成部分，历史遗迹不仅是人类文明的见证，也为研究古代建筑技术和文化演变提供了重要平台[1,2]。随着时间的推移，环境变化和自然老化导致这些建筑出现了不同程度的退化、损坏和结构问题，对其长期保护构成了重大挑战[3,4,5,6,7]。因此，开发科学有效的保护和修复方法至关重要[8,9,10]。结构健康监测（SHM）是遗产保护的基本前提，它在提供结构状况评估和修复决策的关键信息方面发挥着重要作用[11,12,13,14,15]。
在文化遗产保护领域，全球研究人员进行了大量研究，旨在通过先进技术实现精确监测和科学修复。早期的研究主要集中在文化遗产保护的基础理论和传统方法上[16,17,18,19,20]。近年来，结构健康监测的显著进展使其成为文化遗产保护的基石[21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31]。通过实时收集和分析数据，SHM为结构状况评估和修复策略的制定提供了重要支持。例如，Song等人（2018年）[32]研究了有限元模型更新在百年老式两层钢筋混凝土建筑损伤识别中的应用。通过分析振动数据和激光扫描，研究表明有限元模型更新能够有效识别结构损伤的存在、位置和程度。该研究强调了环境激励和强迫振动测试的重要性，并通过对建筑立面的受控损伤实验验证了模型的准确性。同样，Nozari等人（2017年）[33]对一座110年的十层钢筋混凝土结构进行了损伤识别研究。作者首先使用模态测试数据建立了建筑的基线状态，然后通过拆除外部填充墙来引入损伤，并利用运行模态分析来识别自然频率和模态形状的变化。结果显示，不同数据集之间的更新模型参数存在显著差异，损伤识别结果与实际情况高度一致。Ramos等人（2013年）[34]对San Torcato教堂的动态结构健康监测进行了全面研究。通过全局动态识别分析，研究人员实施了静态和动态监测系统来评估结构干预的有效性。这项研究强调了使用手动和稳健优化程序进行模态参数估计的重要性，展示了动态监测在跟踪结构损伤进展方面的价值。Wu等人（2024年）[35]提出了一种基于激光点云的古代住宅建筑健康检测和风安全评估方法。利用高精度3D激光扫描，研究人员评估了台风条件下的结构变形和损伤，证实了该方法在检测结构健康指标方面的有效性，并为古代建筑的保护提供了可靠证据。Soleymani等人（2023年）[36]进行了一项系统综述，探讨了砌体结构的损伤检测和结构健康监测技术。该研究强调SHM系统可以监测加速度、位移和应力等关键指标，通过综合测量和分析技术提高了砌体结构健康状况的评估。作者提倡整合多种检测方法以应对隐藏缺陷和维护成本相关的挑战。
尽管近年来在损伤识别和结构健康监测方面取得了显著进展，现有研究方法仍面临许多挑战和限制。传统方法主要依赖于单一指标或经验模型，难以有效处理高维数据环境的复杂性，从而对参数识别的准确性和效率造成重大限制。当前技术在处理建筑结构的复杂性方面存在明显不足：首先，它们难以全面考虑关键参数；其次，它们的多尺度分析能力较弱；第三，传统优化方法在高维参数识别方面常常受到限制，未能充分利用动态建筑特性的内在潜力。更严重的是，当前的加固方案在很大程度上依赖于工程师的经验，缺乏科学的定量评估基准，这阻碍了加固效果的准确预测和评估，严重限制了这些方案的科学基础和具体性。
在现有的替代方案中，贝叶斯模型更新及相关概率推理框架提供了一种严格的方法来量化参数不确定性并纳入先验信息[24,25,26,27,28,29,30,31]。这些方法在重复测量和噪声模型特征明确的情况下特别有价值[37,38]。然而，在当前的遗产建筑案例中，只有有限的模态量可用，主要目标是获得一个透明的确定性基线以支持工程决策。因此，所提出的工作流程应被视为贝叶斯更新的补充，而不是替代方案。
为了解决这些实际挑战，本研究开发了一种以应用为导向的工作流程，该流程结合了模态残差、灵敏度关系、基于群体的优化和替代建模，用于历史建筑的FE更新。Mayfly算法（MA）被用作分组参数逆问题的搜索引擎，而DNN替代模型仅用于减少重复的FE评估。其目的不是提出一种全新的更新理论，而是展示如何将现有技术整合到一个可行的工程流程中，以便在有限的现场数据下进行状况评估和修复规划。
本研究的主要贡献如下：（1）通过结合频率残差、模态形状残差和弱先验响应约束，构建了一个多指标目标函数，以提高在稀疏模态信息下的鲁棒性。（2）将DNN替代模型与MA优化器结合使用，以减少搜索24个参数分组空间的计算负担。（3）在代表性的遗产建筑案例研究中使用识别的分组系数来支持候选加固措施的优先级排序。因此，本研究的贡献最好理解为一个工程案例演示，而不是与概率或贝叶斯更新方法进行直接的方法论对比。

范围和局限性：本研究报告了一个单一案例研究，并提供了分组刚度降低系数的确定性点估计。识别的值代表组级别的有效参数，可能不是唯一的，因为在稀疏测量下不同的参数组合可以产生相似的模态响应。此外，这里没有与贝叶斯更新或其他考虑不确定性的方法进行直接比较；相反，这些方法被视为未来工作的补充选项，当有更丰富的模态数据、重复测量和明确的噪声模型时可以使用。第2.5节讨论了可识别性和不确定性，而第3.7节概述了所需的加固后验证程序。
本文的其余部分组织如下。第2节介绍了多指标目标函数、模型简化方法、MA优化器、DNN替代模型和可识别性考虑。第3节描述了基督教路德教堂的建筑案例研究，包括FE模型、模态测试、参数识别和加固规划。第4节总结了本文。

2. 集成参数识别工作流程
2.1 多指标目标函数
鉴于建筑结构的复杂性和涉及的参数数量众多，仅依赖单一指标进行结构参数识别可能会导致忽略关键参数。为了解决这一限制，提出了一种多指标方法进行结构参数识别。首先介绍了结构模态的一阶灵敏度方程。对于具有N个自由度（DOF）的结构，无阻尼振动的特征值方程可以表示为（1），其中K和M分别是结构的初始刚度和质量矩阵；表示初始模型的第i个特征值和相应的特征向量（模态形状），p是计算出的模态数量。对于大多数土木工程结构，质量矩阵在服役期间通常被视为常数，而劣化和材料老化主要体现在刚度矩阵的变化上。因此，如果实际结构的机械参数与初始假设不同，则可以使用更新后的刚度矩阵重写特征值方程（2）。
在参数化FE模型中，可以表示为元素（或区域）刚度矩阵的线性组合，这些矩阵按降低系数进行缩放（3），其中是更新参数的数量，表示初始模型中第n个参数相关的元素/区域刚度矩阵。标量是第n个参数的刚度降低系数（< 0表示刚度损失），向量α = [α1, α2, …, αNe]T收集所有降低系数。
可以使用以下公式计算第i个特征值和特征向量（模态形状）相对于降低系数的一阶灵敏度（4）（5）。
由此，可以写出结构特征值和模态形状相对于结构降低系数的一阶灵敏度方程（6）。
设和分别表示当前结构和初始模型之间的特征值（或等效的自然频率）和模态形状的变化。这里，i = 1, …, p表示计算中使用的选定模态阶数。矩阵S是组装选定模态量相对于参数向量α的灵敏度的一阶灵敏度矩阵。
由于频率和模态形状不可避免地存在测量误差，方程（6）可能不严格成立。因此，可以将其重新表述为（7），其中ε表示收集建模和测量误差的残差向量。通过最小化方程（7）中的残差来获得最优参数向量α*。由于模态频率和模态形状不可避免地受到现场噪声的影响，且逆问题可能条件不佳，我们引入了Tikhonov正则化项（λ‖α‖2），并使用L曲线方法确定λ[40]。此外，为了降低得到符合模态量但产生不现实结构响应的非物理解的风险，还包括了一个基于代表性位移/响应向量的弱先验约束。当有测量的位移数据时，可以从测量中构建；否则（如本案例研究所示），从基线FE模型中获取作为弱先验。由此得到的多指标目标函数定义在方程（8）中（8）。
其中λ是正则化参数，‖·‖2表示欧几里得（L2）范数。在方程（8）中，第一项确保与模态残差/灵敏度方程一致，第二项惩罚过度的参数变化（正则化），第三项对结构响应施加了弱先验约束。具体来说，表示从第i次迭代更新模型计算出的位移/响应向量，而表示从测量中获取的参考向量（或在有测量数据时从基线FE模型中获取的弱先验）。为了防止由于不同的物理单位和量级导致某个单一指标占据主导地位，所有残差向量都通过归一化（例如，通过测量的模态量）转换为无量纲形式，并且在将框架适应于具有不同噪声水平的其他结构时可以引入权重系数。在本案例研究中，频率残差通过测量频率进行归一化，并在测量和解析模态向量在测量自由度（DOFs）处进行一致缩放后，使用模态保证准则（MAC）来量化模态形状的一致性。由于识别出的模态频率的变异系数（COV）较小，因此对归一化的模态指标采用相同的权重。当预期不确定性较高时（例如，强环境噪声或传感器较少），建议使用逆方差加权策略（w = 1/σ2）。方程（8）构成了一个综合的目标函数，其中损伤因子必须满足所有条件以最小化目标函数。这种公式旨在提高在稀疏和噪声较大的模态信息下的损伤识别能力。

2.2 模型简化
在结构损伤识别中，结构中的自由度（DOFs）数量通常超过可用传感器的数量，导致模态数据只能捕获部分DOFs。为了解决这个问题，需要减少模型的DOFs以与测量数据对齐。结构的特征值方程可以表示为以下块形式：
\[ \text{特征值方程} \]
其中m和n分别表示测量和未测量的DOFs的索引。\( \mathbf{M} \)和\( \mathbf{M'} \)分别代表第i阶模态形状的测量和未测量部分。设\( m + n = N \)。从块特征值方程中，我们可以得到：
\[ \text{进一步推导} \]
\[ \text{迭代改进模型简化技术} \]
通过递归公式更新变换矩阵\( \mathbf{B} \)：
\[ \text{迭代应用公式} \]
通过迭代应用此公式，可以表示出与测量DOFs m相对应的刚度矩阵\( \mathbf{K} \)和质量矩阵\( \mathbf{M} \)：
\[ \text{表示对应于全局DOFs N的刚度矩阵和质量矩阵} \]
在本研究中，IRS细化仅进行一次迭代（i = 1）。这种选择反映了精度和效率之间的权衡：对于建筑尺度SHM中感兴趣的低阶模态，IRS通常收敛迅速，单次细化已经纠正了初始静态（Guyan）简化引入的一阶凝聚误差。增加j次迭代会增加计算成本，并可能放大重构的未测量DOFs中的测量噪声。因此，在后续的灵敏度和优化计算中采用j = 1得到的凝聚刚度/质量矩阵。

2.3 蜻蜓算法
蜻蜓算法（MA）是一种新兴的群体智能优化技术，旨在高效搜索目标函数的最小值。作为一种基于种群的元启发式方法，MA为当前的逆问题提供了一种可行的全局搜索策略，但在这里不声称其优于其他优化器。在该算法中，蜻蜓被分为雄性和雌性，通过一系列社会行为（如飞行、交配和位置调整），个体动态适应以实现优化目标。蜻蜓在求偶过程中的社会行为表现出个体和集体互动的特点。这些行为不仅受个体经验的影响，还受到集体智能的影响。在优化损伤系数时，蜻蜓的位置代表结构元素的损伤程度，位置的连续更新由解决方案空间内的社会行为序列指导。
在优化过程开始时，随机生成雄性和雌性蜻蜓并将它们定位在问题空间内，形成一个n维的损伤系数向量。蜻蜓位置的变化由其速度控制。每只蜻蜓调整其移动方向，以更接近其个体最优位置（\( \mathbf{x}_i^* \)）和整体最优位置（\( \mathbf{x}^* \)）。在这种情况下，第i只蜻蜓在时间t的位置表示为\( \mathbf{x}_i(t) \)，其在时间t+1的位置更新如下：
\[ \text{位置更新公式} \]
雄性蜻蜓的速度更新遵循以下公式：
\[ \text{速度更新公式} \]
其中\( v_i \)表示第i只蜻蜓在第j维上的速度。\( a_i \)和\( b_i \)是正的吸引系数，分别量化个人经验和社会互动的影响。参数\( \alpha \)是限制蜻蜓观察范围的可见性因子。距离计算可以表示为：
\[ \text{距离计算公式} \]
为了确保群体中表现最好的蜻蜓保持速度的适度波动，可以使用以下公式更新它们的速度：
\[ \text{速度更新公式} \]
其中k是舞蹈系数，r是介于-1和1之间的随机值。雌性蜻蜓与雄性蜻蜓的行为不同，因为它们的移动方向是朝向雄性蜻蜓的。更新位置的过程可以表示为：
\[ \text{位置更新过程} \]
根据配偶选择标准，雌性蜻蜓选择最健康的雄性，其速度更新公式如下：
\[ \text{配偶选择公式} \]
其中\( \mathbf{x}_f \)表示雌性蜻蜓的位置，\( d \)是雌性和雄性蜻蜓之间的笛卡尔距离。所有蜻蜓通过交配产生后代，过程描述如下：
\[ \text{后代生成过程} \]
使用MA进行损伤识别的基本步骤如下：
确定损伤参数及其范围，并初始化损伤因子向量\( \mathbf{x} \)，该向量代表蜻蜓的位置。
评估每个候选解\( \mathbf{x} \)（损伤系数向量）的目标函数，并更新每只蜻蜓的个人最佳（局部最优）以及种群最佳（全局最优）解\( \mathbf{g}^* \)。
更新雄性和雌性蜻蜓的位置，以实现损伤系数的自适应调整。蜻蜓将根据MA的原则进行交配，生成新的损伤系数。
将新生成的损伤系数分配给雄性和雌性种群，并重新计算目标函数。随后，更新局部最优解\( \mathbf{x}^* \)和全局最优解\( \mathbf{g}^* \)。
检查终止条件。当达到最大迭代次数或最佳目标值的相对改进小于预设的容忍度\( \epsilon \)（本研究中\( \epsilon = 10^{-4} \)）时，优化停止。否则，重复步骤（3）-（5）。
通过这种方式，MA可以作为当前逆问题的实用优化器，并在稀疏模态信息下为结构损伤识别提供可行的搜索策略。

实施细节：在本研究中，MA的实施采用相等数量的雄性和雌性蜻蜓（\( N_m = N_f = 25 \)），最多1000次迭代，惯性权重\( w = 0.7 \)，吸引系数\( c_1 = c_2 = 1.5 \)，舞蹈系数\( k = 0.1 \)，飞行系数\( f_l = 0.1 \）。速度限制在参数搜索范围的20%以内。这些设置遵循MA文献中常用的建议，并在探索和利用之间提供了合理的平衡。由于MA是一种随机优化器，可以进行具有不同随机种子的独立运行，并报告最佳解。重要的是，所提出的识别工作流程与优化器无关，可以根据特定应用的需求与其他元启发式方法（如PSO、GA、CMA-ES）结合使用。附录A提供了在24维测试函数上的补充优化器基准测试。

2.4 深度学习替代模型
在评估方程（8）中的目标函数时，必须反复调用商业FE软件（SAP2000 v26.1.0；Computers and Structures, Inc.，Walnut Creek, CA, USA）来计算模态频率和模态形状。对于大型建筑和高维更新，这种重复的特征分析在计算上非常昂贵。因此，引入了一个高效的替代模型来近似从更新参数到模态响应的映射，以加速优化过程。深度学习作为一种强大的机器学习技术，可以直接建立高维结构参数与结构频率和模态形状之间的复杂映射关系[42]。因此，本研究采用深度学习替代模型来计算Christian Lutheran Church Building的频率和模态形状。
在这个框架下，假设结构特征可以通过一组参数来表征。样本生成使用拉丁超立方抽样（LHS）方法，该方法涉及构建一个均匀分布的一维样本集\( X \)。每个参数被划分为X个区间，每个区间代表一个样本。在每个区间内进行随机抽样，这些样本组合起来生成X维空间中的样本点。样本生成过程可以表示为：
\[ \text{样本生成公式} \]
其中\( a_j \)和\( b_j \)分别表示第j个参数的下限和上限。样本的全面表示可以通过以下矩阵呈现，该矩阵包含所有生成的参数样本：
\[ \text{样本表示矩阵} \]
对于每个生成的参数样本，使用FE软件（SAP2000 v26.1.0）进行频率分析，以计算相应的特征值和特征向量。
在本研究中，为Christian Lutheran Church Building建立深度学习替代模型的具体步骤如下。首先，构建一个包含输入层、多个隐藏层和输出层的模型。输入层接收与建筑相关的结构参数，这些参数有效地表征了建筑的几何形状和材料属性。隐藏层设计为多层全连接网络，激活函数使用ReLU（修正线性单元）来增强模型的非线性表示能力。输出层用于预测建筑的特征值和特征向量。
为了保证可重复性，本研究中使用的DNN替代模型是一个全连接前馈神经网络。输入维度等于更新参数的数量（本例中为24个）。输出向量包含前四个自然频率和在测量DOFs处的相应模态形状分量，之后从中计算MAC值。第3.5节描述的1000个LHS样本被分为800个开发样本和200个独立测试样本；在开发集中，10%的样本进一步保留用于训练期间的验证。采用五层架构（256-256-128-128-64个神经元）和ReLU激活函数，输出层使用线性激活函数。输入根据规定的参数范围归一化到[0, 1]，每个输出分量使用训练子集的均值和标准差进行标准化。网络参数通过使用Adam优化器最小化DNN预测和FE计算出的模态量之间的均方误差来估计，初始学习率为1 × 10^-3，批量大小为32，最大迭代次数为1000次。为了减轻过拟合，应用了提前停止（patience = 50次迭代）、L2权重衰减（1 × 10^-5）和dropout（rate = 0.1）。
一旦训练完成，替代模型在计算上可以忽略不计的前向传递中进行评估。因此，在优化循环中，DNN取代了大部分FE调用，FE求解器仅用于（i）生成训练数据集和（ii）偶尔验证识别出的最优解。这种方式为当前逆问题提供了一个实用的优化器，并在稀疏模态信息下为结构损伤识别提供了可行的搜索策略。

实施细节：在本研究中，MA的实施采用相等数量的雄性和雌性蜻蜓（\( N_m = N_f = 25 \)），最多1000次迭代，惯性权重\( w = 0.7 \)，吸引系数\( c_1 = c_2 = 1.5 \)，舞蹈系数\( k = 0.1 \)，飞行系数\( f_l = 0.1 \）。速度限制在参数搜索范围的20%以内。这些设置遵循MA文献中常用的建议，并在探索和利用之间提供了合理的平衡。由于MA是一种随机优化器，可以进行具有不同随机种子的独立运行，并报告最佳解。重要的是，所提出的识别工作流程与优化器无关，可以根据特定应用的需求与其他元启发式方法（如PSO、GA、CMA-ES）结合使用。附录A提供了在24维测试函数上的补充优化器基准测试。

2.4 深度学习替代模型
在评估方程（8）中的目标函数时，必须反复调用商业FE软件（SAP2000 v26.1.0；Computers and Structures, Inc.，Walnut Creek, CA, USA）来计算模态频率和模态形状。对于大型建筑和高维更新，这种重复的特征分析在计算上非常昂贵。因此，引入了一个高效的替代模型来近似从更新参数到模态响应的映射，以加速优化过程。深度学习作为一种强大的机器学习技术，可以直接建立高维结构参数与结构频率和模态形状之间的复杂映射关系[42]。因此，本研究采用深度学习替代模型来计算Christian Lutheran Church Building的频率和模态形状。
在这个框架下，假设结构特征可以通过一组参数来表征。样本生成使用拉丁超立方抽样（LHS）方法，该方法涉及构建一个均匀分布的一维样本集\( X \)。每个参数被划分为X个区间，每个区间代表一个样本。在每个区间内进行随机抽样，这些样本组合起来生成X维空间中的样本点。样本生成过程可以表示为：
\[ \text{样本生成公式} \]
其中\( a_j \)和\( b_j \)分别表示第j个参数的下限和上限。样本的全面表示可以通过以下矩阵呈现，该矩阵包含所有生成的参数样本：
\[ \text{样本表示矩阵} \]
对于每个生成的参数样本，使用FE软件（SAP2000 v26.1.0）进行频率分析，以计算相应的特征值和特征向量。
在本研究中，为Christian Lutheran Church Building建立深度学习替代模型的具体步骤如下。首先，构建一个包含输入层、多个隐藏层和输出层的模型。输入层接收与建筑相关的结构参数，这些参数有效地表征了建筑的几何形状和材料属性。隐藏层设计为多层全连接网络，激活函数使用ReLU（修正线性单元）来增强模型的非线性表示能力。输出层用于预测建筑的特征值和特征向量。
为了保证可重复性，本研究中使用的DNN替代模型是一个全连接前馈神经网络。输入维度等于更新参数的数量（本例中为24个）。输出向量包含前四个自然频率和在测量DOFs处的相应模态形状分量，之后从中计算MAC值。第3.5节描述的1000个LHS样本被分为800个开发样本和200个独立测试样本；在开发集中，10%的样本进一步保留用于训练期间的验证。采用五层架构（256-256-128-128-64个神经元）和ReLU激活函数，输出层使用线性激活函数。输入根据规定的参数范围归一化到[0, 1]，每个输出分量使用训练子集的均值和标准差进行标准化。网络参数通过使用Adam优化器最小化DNN预测和FE计算出的模态量之间的均方误差来估计，初始学习率为1 × 10^-3，批量大小为32，最大迭代次数为1000次。为了减轻过拟合，应用了提前停止（patience = 50次迭代）、L2权重衰减（1 × 10^-5）和dropout（rate = 0.1）。
训练完成后，替代模型在计算上可以忽略不计的前向传递中进行评估。因此，在优化循环中，DNN取代了大部分FE调用，FE求解器仅用于（i）生成训练数据集和（ii）偶尔验证识别出的最优解。这在基于物理的准确性和计算成本之间提供了有效的平衡。
在优化过程中，训练好的DNN权重保持不变。如果后续应用探索了原始LHS样本覆盖范围之外的参数区域，则应生成额外的FE样本，并在解释识别出的解之前重新训练替代模型。
模型的数学表达式为：
\[ \text{模型表达式} \]
其中\( \mathbf{p} \)表示模型参数，在训练阶段进行优化以提高预测准确性。
在模型训练中，我们使用均方误差（MSE）作为损失函数，定义如下：
\[ \text{损失函数} \]
其中\( \mathbf{y}_i \)表示第i个样本的真实值，\( \hat{y}_i \)表示模型对第i个样本的预测值。这些参数用于计算预测误差，以评估模型的性能。利用反向传播算法和优化器（如ADAM）在训练过程中迭代更新模型参数，以实现最佳拟合。
经过充分训练后，模型获得了预测新样本的能力。预测过程表示为（27）。此外，为了验证模型的准确性，我们使用已知样本的特征值和特征向量来测试模型，并计算预测结果与实际结果之间的相关性。模型的性能通过决定系数R2来评估，其计算公式为（28），其中表示真实值的平均值。建立了一个深度学习替代模型来进行建筑物的有限元分析（FE分析），具体的参数设置将在后续示例中详细说明。模型构建、训练、预测和验证的整个过程都围绕着计算建筑物的频率和模态形状展开，以确保模型的有效性和准确性。本研究介绍了一个集成优化框架，用于结构损伤识别，该框架结合了多指标目标函数、智能优化算法和深度学习，以提高复杂结构中的检测精度。该方法包括五个关键步骤。

在方程（1）-（8）中，多指标目标函数通过一阶敏感性分析来建立，将结构特征值与损伤系数相关联，从而实现全面的结构健康评估。优化中的残差最小化策略采用了Tikhonov正则化（如方程（7）所示），以减轻测量误差的影响，从而提高所提出方法在实际应用中的鲁棒性和可靠性。方程（9）-（14）中的模型简化方法解决了高自由度（DOFs）和有限传感器覆盖范围所带来的挑战。迭代细化系统（IRS）技术被用来有效地将测量数据与模型预测对齐，从而加快优化过程，减少计算时间，并保持结果的准确性。方程（17）-（23）中提出的MA方法通过模拟个体和集体社会行为来优化损伤识别。蜉蝣的交配和位置更新机制增加了损伤因子调整的灵活性，从而提高了找到全局最优解的概率。如方程（25）-（27）所描述的深度学习替代模型取代了有限元分析（FEA），大大降低了计算成本。LHS方法用于生成多维样本，有效捕捉结构参数与动态响应之间的复杂映射关系。在模型训练阶段，均方误差（MSE）作为损失函数，通过反向传播优化模型参数以提高预测精度。决定系数R2用于模型评估，从而确认其有效性和性能。最后，将所提出的方法应用于识别基督教路德教堂建筑物的运营状态，目的是基于更新后的模型为其评估和修复提供定量指导。该案例研究展示了在稀疏模态数据下进行高维参数识别的集成工作流程的可行性。

2.5. 可识别性和不确定性考虑
当更新参数的数量相对于测量数据的数量和质量较大时，高维FE模型更新可能会遇到病态问题。在当前框架中，通过以下方式提高了可识别性：（i）按楼层和组件类型对参数进行分组（案例研究中为24个参数，而不是逐个元素更新）；（ii）在目标函数中同时使用测量自由度处的模态频率和模态形状作为多个指标。尽管只使用了前四个模态阶数，但每个模态都提供了一个标量频率和在25个位置测量的空间模态向量，这比四个标量方程提供了更多的信息。正则化和弱先验约束（方程（8）通过抑制非物理解并减轻场噪声的影响进一步减少了病态性。识别的系数应被解释为分组组件的有效刚度缩放因子，反映了材料退化和建模简化的影响。即使在参数分组之后，逆问题仍然只是部分可识别的。因此，实际目标是恢复一个物理上合理的组刚度模式，以再现测量的模态特征，而不是声称一个数学上唯一的参数集。这种解释在将识别出的系数转化为修复优先级时非常重要。因此，当前的反演应被视为一个欠定问题，识别的系数对应于一个可接受的非唯一解模式，而不是单一的精确解。

识别参数的不确定性来源于测量噪声、传感器覆盖范围有限、建模假设（例如，重建的图纸和名义材料等级）以及模态截断。在本研究中，由于可用的现场数据不足以支持稳定的概率校准，因此只报告了确定性估计。因此，24个系数应被解释为有效的组刚度指标，而不是唯一或完全可识别的物理常数。对于需要概率输出的应用，可以通过以下方式扩展相同的工作流程：（a）根据估计的不确定性对测量模态数据进行自助法（bootstrapping）并重复识别；（b）使用灵敏度矩阵和假设的测量噪声协方差计算线性化协方差估计；（c）将分组参数模型嵌入贝叶斯更新框架中。这些选项在这里讨论是为了定义当前的范围并指导未来的应用。因此，识别的参数是受不确定性影响的非唯一解，而不是唯一确定的物理常数。最后，从稀疏传感器布局计算出的MAC值可能会偏向较高值。为了减轻这一问题，仅在测量自由度处评估MAC，并在测量和解析模态向量经过一致归一化后进行评估，目标函数结合了多个指标，而不仅仅依赖于MAC。整个条件评估工作流程总结在图1中。

图1. 基督教路德教堂建筑的结构条件评估框架。

3. 基督教路德教堂建筑案例研究
基督教路德教堂建筑是一座晚期古典风格的结构，最初建于1923年，完成于1924年。主建筑于1924年完工，采用现浇钢筋混凝土框架结构，墙壁由烧制粘土砖建造。内墙厚度为240毫米，外墙厚度为490毫米。楼层由200毫米厚的现浇混凝土构成。主体结构是砖-混凝土复合结构，总长度为32.56米，宽度为28.40米，总面积为5407.85平方米。地下室高度为2.20米，第一层高度为4.20米，第二至第四层高度均为3.80米。20世纪90年代，又增加了两层，采用木制楼板和木制屋顶结构。第五层和第六层的高度分别为3.30米和3.00米，屋顶呈斜坡设计，高度为1.50米。建筑物的总高度为23.75米。图2a显示了建筑物的外观。

由于建筑物的年代久远，原始设计图纸已经丢失。一家测绘机构对该建筑物进行了重新评估并重建了其原始设计图纸。结构设计根据网格线划分，如图2b所示。结构分为三个主要区域：A、B和C。区域A由轴线5、7、9、12和14的网格线以及A-I轴线两侧的边界网格定义，这些网格线确定了墙壁和结构节点的位置。区域B由轴线1到轴线5的网格线和A-U轴线两侧的边界网格定义。区域C由轴线5到轴线16的网格线以及I-U轴线两侧的边界网格定义。底部节点通过三维固定支撑来确保建筑物的整体稳定性。

3.1. 建筑物的初始FE建模
建筑物的初始FE模型是使用SAP2000结构分析软件根据获得的图纸开发的。该模型全面考虑了所有结构组件，包括柱子、梁、楼层和墙壁。图3展示了每层的详细初始有限元模型。具体来说，柱子结构使用了总共370个元素，梁包含575个元素，楼层包含195个元素，墙壁包含516个元素。表1列出了建筑模型中每个结构组件的材料参数。柱子和梁使用框架元素建模，而楼层和隔墙使用壳元素建模。每个结构组件的质量基于假设的材料密度分布，从而构成了组件的自重。

根据《工业建筑和结构可靠性评估标准》（GB 50144-2019）[43]，那个时代的建筑物通常使用普通波特兰水泥，大致相当于当前的C10–C20等级。因此，在初步模型中，混凝土强度假设为C15。通过对烧制粘土砖进行回弹测试，估计地下室柱子的强度为14.9 MPa，而第一层梁组件的强度估计为12.3 MPa。根据《砌体结构设计规范》（GB 50003-2011）[44]，设计使用寿命为25年或更长的砌体结构中使用的普通烧制砖的强度等级应为M5。现场回弹测试评估了建筑物柱子中普通烧制砖的强度，测试结果表明从地下室墙壁到第六层墙壁的砖强度等级为MU10。此外，使用穿透型砂浆强度测试设备测试了砌体砂浆的强度，发现从地下室到第四层墙壁的砂浆强度为1.7 MPa。对于强度等级为MU10的砖，弹性模量计算为E = 1600 × 1.70 = 2720 MPa。第五层和第六层墙壁的砂浆强度估计为2.0 MPa，相应的弹性模量为E = 1600 × 2.0 = 3200 MPa。第一层到第四层的楼层由200毫米厚的现浇混凝土板构成。

值得注意的是，1990年，在原始结构上增加了两层和屋顶，使用了木制楼板。楼板由木材制成，屋顶桁架采用木制三角形桁架结构。根据初步调查报告，使用的木材是橡木。鉴于武汉相对潮湿的气候条件，木材的初始弹性模量确定为7000 MPa。屋顶采用四面倾斜设计，覆盖着红色瓦片，某些区域设计为可进入的屋顶。为了进行仿真分析，屋顶和第五层及第六层被统一建模为木结构。整个建筑物的最终初始FE模型如图4所示。图4. 整体FE模型。应当注意的是，为了提高建模效率并合理利用计算资源，在模型构建过程中适当简化了非承重结构，如门、窗户和楼梯；然而，这些简化并没有显著影响模型的整体准确性和可靠性。

在根据设计图纸建立建筑物的初始FE模型之后，使用SAP2000 v26.1.0结构分析软件计算了结构的前四个模态，如图5所示。第一个模态是向东弯曲的模态，自然频率为4.66 Hz，如图5a所示。第二个模态是向南弯曲的模态，自然频率为4.94 Hz，如图5b所示。第三和第四个模态是扭转模态，自然频率分别为6.873 Hz和10.002 Hz，对应于图5c和d中显示的振动模态。

3.2. 基督教路德教堂建筑的环境模态测试
为了评估基督教路德教堂建筑的实际状况并评估由于腐蚀和疲劳等因素造成的损伤程度，进行了模态测试。最初，根据有限元（FE）模型计算出的频率和模态形状，确定该建筑表现出典型的低频振动特性；因此，选择了低频传感器进行模态测试。计算出的模态形状表明，前两种模态是弯曲模态，而第三和第四种模态是扭转模态。鉴于高阶模态的复杂性，主要的测量目标是捕捉建筑的前四个固有频率及其对应的模态形状。所使用的测试设备是东华动态数据采集系统。根据初始模型计算出的模态形状特性，制定了传感器布置方案，如图6所示。共建立了25个加速度测量点。使用了五个低频加速度计分批收集加速度信号，其中B1和D1传感器作为参考点。采样频率设置为200 Hz。在这五个传感器中，有两个特别放置在参考点上并保持静止。其他三个传感器分批移动以收集数据，共收集了八批加速度信号，每批的采集时间不少于10分钟。现场测试设置和传感器如图7所示。图6. 基督路德教堂建筑的加速度测量点布局。图7. 采集系统和传感器：(a) 采集仪器和模态识别系统；(b) 低频加速度传感器。

3.3 模态识别
从25个测量点获得的加速度数据被导入模态分析系统。采用功率谱密度方法来识别建筑的固有频率和模态形状。前四种模态的测量频率总结在表2中。表2. 前四种模态的频率（Hz）。如表2所示，第一种弯曲模态的测量频率为2.539 Hz，比最初计算的4.66 Hz降低了45.52%。同样，第二种弯曲模态的测量频率也为2.539 Hz，比最初计算的4.94 Hz降低了48.60%。前两种弯曲模态构成了一对间距较近（接近简并）的模态对，这在刚度分布大致对称的结构中很常见；在操作激励和有限的频率分辨率下，它们的识别频率可能看起来相同，但相应的模态形状仍然可以区分（图8）。第三种模态的测量频率为3.32 Hz（比最初的6.873 Hz低51.70%），第四种扭转模态的测量频率为5.667 Hz（比最初的10.002 Hz低43.34%）。前四种模态的测量频率的变异系数相对较小，表明模态提取稳定。

3.4 需要识别的参数选择
为了识别基督路德教堂建筑的当前刚度退化情况并支持修复规划，必须以物理上有意义且可识别的方式选择关键更新参数。基于现场检查、历史信息和结构配置，定义了24个分组参数（θ1–θ24）。每个参数代表某一楼层（柱子、梁、墙或板）的有效刚度缩放系数（图9）。与逐个元素更新相比，分组减少了维度，并提高了数值稳定性和工程可解释性。

3.4.1 地下室参数
地下室的结构完整性依赖于四个关键组件：
- 地下室柱子（θ1）作为支撑上层结构的主要承重元素，因此被作为关键更新组进行监测，以捕捉潜在的刚度退化。
- 地下室梁（θ2）在跨度上分配荷载，并对整体刚度有显著影响；它们被包括在更新组中，以反映弯曲和剪切能力的恶化。
- 地下室墙（θ3）有助于侧向刚度和整体稳定性；它们被更新以反映可能的砌体退化和开裂。
- 地下室板/楼板（θ4）连接地下室系统并影响隔膜作用；它们被包括在内，以捕捉由于损坏或材料老化引起的刚度变化。

3.4.2 一楼参数化
对于一楼，分组参数定义为：柱子（θ5）、梁（θ6）、墙（θ7）和板（θ8）。由于这一层直接与地面相连并承受大量的静态和动态荷载，这些参数对整体结构评估至关重要。

3.4.3 二楼至四楼
二楼至四楼的参数化采用相同的分组策略以确保一致性。具体来说，二楼的参数是柱子（θ9）、梁（θ10）、墙（θ11）和板（θ12）；三楼的参数是柱子（θ13）、梁（θ14）、墙（θ15）和板（θ16）；四楼的参数是柱子（θ17）、梁（θ18）、墙（θ19）和板（θ20）。这种统一的选择便于逐层解释刚度退化情况。

3.4.4 五楼和六楼
对于新增的五楼和六楼，其结构组件为木材，分组参数定义为柱子（θ21）、梁（θ22）、墙（θ23）和板（θ24）。这种选择反映了木材系统的独特机械性能以及监测时间依赖性退化机制（例如，湿度和生物效应）的必要性。

总之，这些参数的选择优先考虑了承重功能和层级的可解释性。为了考虑材料和截面属性的不同数值大小，识别目标被定义为无量纲系数。对于钢筋混凝土柱子、梁和板，θk定义为弹性模量相对于其名义值的相对变化，即θk = E/E0 ? 1。对于砌体墙，θk定义为相关砌体属性（例如，抗压强度或等效弹性模量）相对于其名义值的相对变化，θk = f/f0 ? 1（或E/E0 ? 1）。因此，1 + θk表示刚度保留率。例如，θk = ?0.5表示减少了50%（E = 0.5E0）。

3.5 参数识别
在选择出要识别的参数后，采用LHS方法生成了1000个样本集来计算建筑的前四个固有频率和模态形状。鉴于测量频率的显著降低以及视觉检查的结果，参数采样范围设定在（?0.8, ?0.2）之间，表明建筑的假设损伤程度在?80%到?20%之间。选定的样本被输入到SAP2000 v26.1.0软件中，以计算每个样本集对应的前三种模态形状和频率，结果归一化到初始值。之前的采样范围进一步得到了测量频率下降的验证。对于质量大致恒定的建筑规模系统，刚度的降低通常会导致固有频率的降低，遵循频率和刚度之间的平方根型依赖关系。因此，可以通过取测量固有频率与相应初始模型频率之比的平方来估计整体保留的刚度。使用表2中的初始和测量频率，前四种模态的推断保留率大约为0.23–0.32，相当于整体水平上约68–77%的刚度损失。相应的前四种模态的测量形状如图8所示。从图8中显示的测量模态形状可以看出，尽管与最初计算的模态形状总体一致，但在节点处存在显著差异。这些微妙但关键的差异不仅表明建筑结构可能存在损坏，还揭示了结构性能的进一步退化。

3.4.2 选择要识别的参数
为了识别基督路德教堂建筑的当前刚度退化情况并支持修复规划，必须以物理上有意义且可识别的方式选择关键更新参数。基于现场检查、历史信息和结构配置，定义了24个分组参数（θ1–θ24）。每个参数代表某一楼层（柱子、梁、墙或板）的一种有效刚度缩放系数（图9）。分组减少了维度，同时提高了数值稳定性和工程可解释性。

3.4.1 地下室参数
地下室的结构完整性依赖于四个关键组件：
- 地下室柱子（θ1）作为支撑上层结构的主要承重元素，因此被作为关键更新组进行监测，以捕捉潜在的刚度退化。
- 地下室梁（θ2）在跨度上分配荷载，并对整体刚度有显著影响；它们被包括在更新组中，以反映弯曲和剪切能力的恶化。
- 地下室墙（θ3）有助于侧向刚度和整体稳定性；它们被更新以反映可能的砌体退化和开裂。
- 地下室板/楼板（θ4）连接地下室系统并影响隔膜作用；它们被包括在内，以捕捉由于损坏或材料老化引起的刚度变化。

3.4.2 一楼参数化
对于一楼，分组参数定义为：柱子（θ5）、梁（θ6）、墙（θ7）和板（θ8）。因为这一层直接与地面相连并承受大量的静态和动态荷载，这些参数对整体结构评估至关重要。

3.4.3 二楼至四楼
二楼至四楼的参数化采用相同的分组策略以确保一致性。具体来说，二楼的参数是柱子（θ9）、梁（θ10）、墙（θ11）和板（θ12）；三楼的参数是柱子（θ13）、梁（θ14）、墙（θ15）和板（θ16）；四楼的参数是柱子（θ17）、梁（θ18）、墙（θ19）和板（θ20）。这种统一的选择便于逐层解释刚度退化情况。

3.4.4 五楼和六楼
对于新增的五楼和六楼，其结构组件为木材，分组参数定义为柱子（θ21）、梁（θ22）、墙（θ23）和板（θ24）。这种选择反映了木材系统的独特机械性能以及监测时间依赖性退化机制（例如，湿度和生物效应）的必要性。

总之，这些参数的选择优先考虑了承重功能和层级的可解释性。为了考虑材料和截面属性的不同数值大小，识别目标被定义为无量纲系数。对于钢筋混凝土柱子、梁和板，θk定义为弹性模量相对于其名义值的相对变化，即θk = E/E0 ? 1。对于砌体墙，θk定义为相关砌体属性（例如，抗压强度或等效弹性模量）相对于其名义值的相对变化，θk = f/f0 ? 1（或E/E0 ? 1）。因此，1 + θk表示刚度保留率。例如，θk = ?0.5表示减少了50%（E = 0.5E0）。

3.5 参数识别
在选择出要识别的参数后，采用LHS方法生成了1000个样本集来计算建筑的前四个固有频率和模态形状。鉴于测量频率的显著降低以及视觉检查的结果，参数采样范围设定在（?0.8, ?0.2）之间，表明建筑的假设损伤程度在?80%到?20%之间。选定的样本被输入到SAP2000 v26.1.0软件中，以计算每个样本集对应的前三种模态形状和频率，结果归一化到初始值。之前的采样范围进一步得到了测量频率下降的验证。对于质量大致恒定的建筑规模系统，刚度的降低通常会导致固有频率的降低，遵循频率和刚度之间的平方根型依赖关系。因此，可以通过取测量固有频率与相应初始模型频率之比的平方来估计整体保留的刚度。使用表2中的初始和测量频率，前四种模态的推断保留率大约为0.23–0.32，相当于整体水平上约68–77%的刚度损失。因此，采用的参数范围（?0.8, ?0.2）（即保留率0.2–0.8）涵盖了合理的退化程度，同时允许楼层和组件的变化。

使用800个样本集，根据方程（27）训练DNN模型，而剩余的200个样本集用于验证替代模型的准确性。图10将替代模型的预测响应与实际值进行了比较。如图10a所示，DNN替代模型预测的前四种固有频率与SAP2000 v26.1.0计算的结果非常吻合。图10b表明，DNN预测的模态保证标准（MAC）值主要分布在0.985到1之间，表明DNN预测的模态形状与SAP2000 v26.1.0计算的非常相似。这些结果表明，DNN替代模型可以高精度地近似FE预测的模态特性，同时显著降低了评估成本，这对于加速高维参数识别非常有益。替代模型并不取代基于物理的FE模型；相反，它在优化循环中作为一个高效的仿真器。

接下来，将表2中测量到的前四个固有频率和图8中的模态形状代入方程（8），并使用提出的MA进行优化。当达到最大迭代次数（1000次）或最后50次迭代中最佳目标值的相对改进小于10?4时，优化终止。所有要识别参数的搜索范围设定在（?0.8, ?0.2）之间。图11展示了优化过程中（归一化）目标函数的演变。大约经过200次迭代后，目标值达到一个平台，相对改进变得非常小。在本次运行中，停止条件由最大迭代次数（1000次）触发，最终目标值为0.80。由于目标函数汇总了多个归一化指标，其绝对大小取决于采用的缩放/权重；因此，识别解决方案的质量主要通过更新后的模态频率与测量模态频率之间的一致性来评估。

图12展示了所有24个分组刚度降低系数的识别结果。该图显示了相对较大的刚度降低——尤其是在地下室柱子和梁以及四楼组件中，降低幅度高达约60%。相比之下，五楼和六楼的墙和一楼的梁和柱子的降低幅度较小，约为40%。这些分组系数因此提供了相对刚度降低的定量指示。它们通过帮助优先考虑详细评估和修复规划的位置，补充了传统的视觉检查或直接材料测试方法。图13展示了现场检查中的一些代表性地下室损坏观察结果。图13. 地下室可视化结果（一些梁和柱子）。(a) 地下室的三维视图（SAP模型）。(b) 次要梁的严重锈蚀和混凝土剥落。(c) 梁的严重变形。(d) 主梁严重锈蚀，钢筋暴露。(e) 柱子开裂。(f) 柱子损坏。(g) 拆裂的柱子，钢筋暴露。为了进一步验证识别结果的准确性，使用识别的参数作为建筑的当前状态参数来计算其当前的模态特性。图14将当前计算得到的模态特性与初始值和测量值进行了比较。图14. 当前状态下的模态属性比较。(a) 识别前后的频率比较。(b) 识别前后的MAC比较。如图14a所示，当前状态模型的响应与测量值之间有明显的一致性，表明识别的参数可以准确复制建筑的当前频率。此外，图14b显示了计算出的模态与当前状态下测量模态形状之间的MAC值。图14b的结果清楚地表明，计算出的模态形状与测量模态形状高度一致，进一步证实了识别参数有效地描述了建筑的当前状况。这为后续的修复和加固工作提供了具体的依据。

3.6 加固策略
根据识别的刚度退化情况，提出了规划级别的加固措施以提高结构安全性和适用性。根据当地标准“建筑结构加固效果评估标准（DBJ51/T 131-2019）”[45]，采用至少20%的刚度提升作为定量干预目标。这些措施应被视为从更新后的模型中得出的候选方案，而非通过实验验证的加固结果。具体措施如下：

**遗产保护考虑**：对于历史建筑，加固应遵循最小干预、材料兼容性以及（在可行的情况下）可逆性的原则。因此，所提出的措施应尽可能地局部化且非侵入性。例如，优先使用兼容的修复砂浆和砖块进行砌体工作。涉及环氧树脂粘接或外部粘接的FRP技术可能具有有限的可逆性，应在符合遗产保护要求的前提下谨慎使用；在实际应用中，可以根据遗产保护部门的要求，用更可逆的替代方案（如钢套、机械锚固系统或其他可拆卸的加固细节）进行替换或补充。

**3.6.1 地下室关键承重柱的修复（θ1 = ?0.69）**
地下室柱子的分组系数表明其刚度严重下降，因此这些构件应优先进行详细检查和干预设计。为此，在规划阶段提出了多层次的修复策略：
- 可以使用高性能树脂基复合材料（如环氧树脂和玻璃纤维）通过微注射技术修复微损伤，以修复裂缝网络并恢复混凝土的微观连续性。
- 在获得遗产保护部门批准的情况下，可以考虑使用碳纤维包裹技术来增加柱截面的有效厚度，从而提高轴向和剪切承载能力。
- 还可以在基部和其他关键位置使用高强度金属锚点进行预应力锚固，以改善应力传递路径并增强整体结构稳定性，但这需要经过详细的设计验证。

**3.6.2 梁结构的系统修复（θ2 = ?0.68）**
地下室梁的分组系数也接近?0.7，表明其刚度显著下降，需要优先进行评估。因此，可以考虑制定全面的修复策略：
- 可以使用环氧树脂粘合剂将高强度不锈钢板（屈服强度≥235 MPa）粘贴在梁的底部和侧面，以提高其抗弯和抗剪性能。
- 可以通过树脂浸渍在梁的受拉区域引入高模量碳纤维织物，形成协同加固系统。
- 可以引入精心设计的钢支撑结构，选择支撑点以改善应力传递路径并减轻局部应力集中。

总体而言，所识别的损伤分布为确定加固位置和选择干预措施提供了定量依据。更新后的模型可作为加固后验证和长期监测的基准。在实际应用中，应根据详细的设计约束对提出的措施进行优化，并在可能的情况下通过加固后的数值分析和/或后续模态测试进行验证。此时，这些建议应严格理解为基于更新模型的设计提案，而非经过验证的加固结果。

**3.7 加固后的验证和模态增强检查**
本研究规定的加固目标是根据DBJ51/T 131-2019 [45]至少提高20%的刚度。为了提高工程可信度，必须通过两个步骤来验证所提出的措施：
- 首先，更新FE模型以反映设计的干预措施（例如，增强构件的截面属性和/或材料刚度），然后重新计算模态属性；
- 其次，在施工完成后进行后续的环境振动测试，以确认现场模态效果的提升。由于目前研究阶段无法获得加固后的测量数据，本节应仅作为验证框架和分析预期，而不能直接证明所提出的加固措施已经实现了预期的效果。

对于质量基本不变的结构系统，自然频率与刚度的平方根成正比。因此，总体刚度提高20%对应于预期频率增加1.095倍（约9.5%）。表3总结了加固后评估前四个测量模式的相应频率值。

**4. 结论**
本研究提出了一种面向应用的工作流程，用于历史建筑的模态基FE模型更新和修复规划。通过结合多指标目标函数、MA优化器和DNN替代模型，案例研究表明，即使只有稀疏的模态信息，也能高效估计分组刚度参数。对于基督教路德教堂建筑，更新后的模型提高了与测量模态频率和模态形状的一致性，并有助于识别需要重点关注的区域，尤其是在地下室结构系统中。然而，报告的系数应被视为用于诊断和优先级的综合有效指标，而非唯一的物理属性，所提出的加固措施仍属于规划阶段的建议，直到完成加固后的模拟和现场测试。这种解释是必要的，因为在现有的稀疏模态数据下，当前的反问题仍然存在不确定性。

因此，本研究展示了如何将现有的更新、优化和替代模型工具应用于遗产建筑的决策支持。它并不声称与贝叶斯更新或其他概率方法有直接的性能对比，也没有解决当前数据集中的不确定性量化问题。未来的工作将集中在考虑不确定性的更新、传感器布局敏感性、与替代优化器和贝叶斯方法的案例特定比较以及加固后的验证上。