在协同优化企业采购、生产、返工和质量控制的过程中应用创新的联合控制策略

《PLOS One》：The application of innovative joint control strategies in the synergistic optimization of enterprise procurement, production, rework and quality control

　　摘要
本研究提出了一种创新的联合控制策略，用于机械零部件制造企业在采购、生产、返工和质量控制方面的协同优化。该策略构建了一个综合模型，将供应商选择、返工决策和质量抽样统一起来，解决了以往研究中单一阶段优化的碎片化问题。在采购环节，基于置信区间的模型用于筛选供应商，样本量由二项分布确定，并考虑了两种类型的错误风险以优化成本；生产阶段的成本效益模型用于评估返工的可行性；质量控制阶段则采用分数抽样计划来平衡检测成本和产品质量。该模型使用MATLAB进行求解和仿真，并进行了敏感性分析。分析结果表明，零部件的缺陷率对总利润有显著影响，强调了采购质量控制的重要性；半成品的缺陷率影响较小，表明质量控制措施有效；而成品缺陷率的增加会提高成本并降低利润。这些结果证明了所提出的联合控制策略在优化成本与质量平衡方面的有效性。

1. 引言
在全球化背景下，激烈的市场竞争给企业带来了重大挑战，尤其是对于机械零部件制造企业而言，零部件的精度（如齿轮轴的尺寸准确性）和装配一致性直接决定了产品的可靠性。为了企业的可持续发展，成本控制、库存优化和机器工作负载平衡等多方面的协同作用至关重要[1]。企业的生产和运营是一个复杂的系统工程，采购、生产、返工和质量控制相互交织、相互影响，共同作用于产品质量、成本以及最终的企业利润[2]。然而，多阶段生产过程是非常复杂的系统，任何一部分的变化都可能影响到整个系统[3]。在当前消费者对产品质量期望持续提升的市场环境中，质量已成为企业脱颖而出的关键竞争因素[4]。在现代工业系统中，可靠性和质量问题十分突出，质量检测错误不容忽视，涉及成本、客户满意度、法规合规性和流程改进等因素[5]。质量检测错误主要分为I类错误和II类错误[6]：I类错误是指高质量产品被错误地判为不合格而被拒收的情况，通常称为“生产者风险”；相反，II类错误是指有缺陷的产品被错误地判为合格而被接受，这会对机械零部件制造产生重大影响，例如，在轴承或齿轮采购中发生的II类错误可能需要对半成品进行拆卸和返工，从而增加生产成本[7]。现有研究主要集中在采用综合方法来实现生产、质量和维护的协调控制，适用于汽车零部件制造或电子生产等领域，但很少针对机械零部件制造企业，因为这些企业的设备磨损情况和严格的装配精度要求带来了独特的运营复杂性。在这种情况下，如何在确保特定置信水平的同时实现采购、生产、返工和质量控制的协调优化，准确确定最佳供应商和生产策略，从而最大化企业利润，已成为行业亟需解决的核心问题。为了有效应对这些挑战，学术界和商业界一直在积极探索，并取得了一系列研究成果。在供应商选择方面，Mahmoudi和Javed[9]指出了传统供应商选择框架的局限性（如忽略标准筛查和难以衡量选定供应商的可靠性），并提出了使用基于相似理想解决方案的排序偏好（OPA）方法和Kendall的W指数的一种新的置信水平测量系统[9]；Dinh等人[10]通过关联规则挖掘研究了越南纺织和服装企业的转型需求，发现企业将企业社会责任（CSR）作为供应商选择的首要标准，其次是成本、质量和服务交付[10]。然而，这些研究主要针对非机械行业（如纺织、通用制造），忽略了机械零部件供应商选择的关键因素（如集成统计抽样进行缺陷率控制和I/II类错误风险评估[11]）。在保修和维护领域，Safaei和Taghipour[12]提出了一种针对可维修机械零部件（如齿轮和轴承）的最佳预防性维护策略，结合了完全可再生免费更换保修（FRW）和比例保修（PRW）两种策略，通过构建长期预期成本模型来确定最佳更换时间[12]，但该策略未考虑齿轮齿磨损等机械零部件的独特磨损特性。Shafiee和Chukova[13]通过全面文献综述发现保修和维护密切相关，优化维护策略可以降低保修服务成本，为后续研究提供了明确的分类框架[13]。Karki和Porras[14]强调了数字化在维护服务中的作用，指出数字化可以提高维护服务效率并对可持续发展产生积极影响[14]，但这些研究尚未将采购和质量控制决策整合到机械零部件制造的统一优化框架中。在质量检测方面，传统的属性抽样检测计划以不合格机械零部件的比例作为评估标准，包括基于LTPD和AOQL方案的抽样检测计划[15]；然而，这些计划不太适用于高精度机械零部件，因为微小缺陷可能导致后续装配中的连锁故障。虽然出现了多种改进的抽样计划（如MRGSP，它结合了历史批次质量记录和重复抽样机制[16]），但MRGSP很少考虑工具磨损导致的动态缺陷率变化，限制了其在实时生产环境中的适应性。在复杂的生产决策场景中，通常使用模糊多属性决策来处理信息的不确定性和不完整性[17]，并扩展到直觉模糊编程，用于在不确定性下优化分层调查中的样本分配[18]。数学规划模型在优化生产决策方面也非常重要：多目标规划（MOP）模型可以平衡材料效率、生产精度和利润等多个目标[19]，并在直觉模糊和中立模糊环境下应用于硬件生产计划[20]、多产品硬件输出的最优案例研究[21]、平衡生产成本的锁具行业应用[22]以及多产品网络的直觉模糊供应链物流[23]；线性规划[24]和整数规划模型[25]也可用于其他机械零部件生产场景（如资源分配和设备采购数量确定），但这些模型往往依赖于静态参数，无法反映机械零部件生产的变异性，从而限制了其在动态质量控制决策中的辅助作用。然而，这些传统方法存在明显缺陷：传统的统计抽样检测方法容易受到抽样误差的影响，样本的质量特征可能无法准确反映整体情况，可能导致对产品质量的误判[26]；数学规划模型的约束和参数通常基于假设或历史数据[27]，而实际生产环境复杂多变[20–23]；此外，传统模型往往分别考虑采购、生产和质量控制，未能充分反映这些环节之间的紧密联系。这种碎片化的研究方法构成了一个关键的研究空白：现有研究缺乏一个统一框架，无法同时优化供应商选择（结合统计置信区间）、生产-返工决策（结合成本效益分析）和质量控制（结合自适应抽样策略），并明确考虑I/II类检测错误。本文提出了这种创新的联合控制策略，将采购、生产、返工和质量控制视为一个有机整体，旨在最大化机械零部件制造企业的利润。其主要思想是将每个环节的成本和收益纳入统一的数学框架中，目标函数是最大化总利润。采购控制策略通过基于置信区间构建供应商选择模型并优化检测次数来确保选择高质量的供应商；生产和返工控制策略基于成本效益比较制定科学的返工和拆卸决策，从而降低生产成本并确保机械零部件质量；质量控制策略采用分数抽样计划，平衡检测成本和平均出厂质量，确保机械零部件质量满足客户要求。为了验证该策略的有效性，使用MATLAB建立并求解了一个综合数学模型，并通过一家公开上市的精密齿轮制造商的生产数据进行了实证案例研究，并通过多重共线性诊断确保统计稳健性。此外，还进行了敏感性分析，以检验关键参数对总利润的影响。研究结果表明，本文提出的联合控制策略能够有效平衡采购、生产、返工和质量成本，显著增加企业利润。

2. 系统描述
本研究的目的是为机械零部件制造企业开发并验证一种适用于特定置信水平的联合控制策略，以优化采购、生产、返工和质量控制。其目标是识别最佳机械零部件供应商并确定最佳生产策略，从而实现利润最大化。本节包括三个核心组成部分：与机械零部件制造场景对应的符号定义、操作系统描述以及系统错误分析。

2.1. 符号列表
所讨论的问题依赖于以下符号说明：
- 核心决策变量：
~：表示是否检测n个部件。
~：表示是否检测m种半成品。
~：表示是否检测成品。
~：表示是否拆卸m个半成品。
：表示是否拆卸成品。
：检测部件的比例。
- 与质量相关的参数：
：第一类错误的发生率。
：第二类错误的发生率。
：检测到的缺陷产品率。
：假定的名义缺陷率。
~：更新后的缺陷产品率。
~：更新后的有缺陷半成品率。
：更新后的有缺陷成品率。
：出厂产品质量的平均值，也是成品进入市场时的缺陷产品比例。
：客户设定的平均输出质量上限，也是成品进入市场时的缺陷产品比例上限。
：p的先验分布密度函数。
- 成本和收益参数：
零件成本。
半成品成本。
成品成本。
缺陷成本。
半成品拆卸成本。
成品拆卸成本。
零件购买价格。
组装单价。
零件检测单价。
半成品检测单价。
成品检测单价。
市场价格。
更换单价。
半成品拆卸单价。
拆卸成本。
销售收入。
拆卸成品的利润。
拆卸半成品的利润。
毛利润。
- 数量参数：
样本量。
总采购量。
缺陷产品数量。
半成品数量。
可用于合成的i类型部件数量。
i型半成品的最终数量。
成品的最终数量。
样本中观察到k次的缺陷率。
接受概率
- 统计辅助参数：
表示组合数。
抽样计划中的接受次数。
对应于显著性水平的正态分布临界值。
对应于检验力的正态分布临界值。
有限总体校正系数。
Z：表示符合特定条件的半成品比例。图1详细介绍了在联合控制策略下的产品生命周期系统，该系统描述了一个机械零部件产品的生命周期，从最初的“采购”阶段开始。在这个阶段，根据供应商的最大供应能力和这些零部件的缺陷率来选择供应商。接下来是“加工”阶段，机械零部件被加工成半成品。随后，生命周期进入“检验”阶段，对制造的半成品进行检验，以确保其符合预设的机械零部件质量标准。在检验过程中发现的不合格半成品会在进入“销售”阶段之前进行处理——要么通过返工修复（对于可修复的缺陷），要么退回上游生产流程。对于无法修复的产品，则进入“回收”阶段，将其拆解以回收和重新加工可使用的机械零部件，而完全损坏的产品只能被丢弃。这一过程的目标是确保交付给客户的最终机械产品能够满足他们在数量和质量规格方面的要求。下载：PNG（大图）TIFF（原始图片）

图1. 产品生命周期图。https://doi.org/10.1371/journal.pone.0349198.g001

故障的发生与设备维护、使用模式和设备设计等因素有关。这些因素可以统一并抽象为一个缺陷率问题。为了减少故障带来的不利影响，系统采用了一种拆解策略。当检测到机械产品不合格时，系统会根据成本效益分析立即决定是否进行拆解，然后将拆解后的机械零件返回生产站。由于缺乏对机械产品的全面检验以及存在检验误差，有缺陷的机械产品不可避免地会进入市场，客户可能会收到有缺陷的机械部件，包括那些在检验过程中未被发现的或有缺陷的部件，这可能会导致严重的后果。由此产生的损失统称为“回收”损失，包括平均出厂质量（AOQ）和客户的售后成本。为了减少此类损失，本文根据总收入确定是否需要修复和拆解回收的产品，然后将拆解后的零件重新发送回生产站。本文的目的是提出一种联合采购、生产、返工和质量控制政策，然后建立一个有效模型以最小化成本并增加利润。利润计算为销售收入加上拆解收入减去生产成本、检验成本和回收成本。最佳解决方案在于实现适当的平衡。

2.3. 系统误差
在机械零部件制造的质量控制中，系统误差经常被忽视，从而导致决策错误。本文重点讨论了“采购”和“生产”过程中的系统误差。“采购”系统误差包括两种类型的检验错误，即误拒合格产品（生产者风险）和误收缺陷产品（消费者风险），这两种情况要么增加了不必要的采购成本（I型错误），要么增加了缺陷部件进入生产流程的风险（II型错误）。“生产”系统误差包括源头误差和链式误差，这些误差会影响生产线的效率。这些误差被抽象为一个随机缺陷率。图2总结了检验和系统误差在机械零部件生产过程中的影响。具体细节如下所述：下载：PNG（大图）TIFF（原始图片）

图2. 由第一类和第二类检验错误引起的生产和营销结构图。https://doi.org/10.1371/journal.pone.0349198.g002

在“采购”步骤（a）中，对产品进行抽样测试，样本比例为f，而剩余的1-f比例的产品无需测试。完成测试过程（b）后，一些产品因不符合标准而被拒绝，而合格并被接受的产品比例为。然而，由于检验过程并非绝对准确（c），可能会发生第一类错误，即错误地拒绝了实际上合格的产品。在这种情况下，一些被拒绝的产品实际上是合格的，但由于检验错误而被错误地拒绝了，这无疑会造成一定的损失。进入“加工”阶段后，被检验的零件将用于产品的制造。在过程中，被拒绝的零件中有部分会被重新利用，成为产品的一部分。值得注意的是，在这个过程中也可能发生第二类错误，即误收实际上不合格的产品。因此，一些被接受的产品实际上是缺陷产品，但由于检验错误，它们进入了后续的生产流程。最终，所有产品，无论是否经过测试，都会被销售给客户（d）。需要强调的是，由于检验过程中的错误以及生产过程中可能存在的缺陷，最终产品批次可以通过两个关键质量指标来定义：有效合格产品的比例，通过方程式1计算；交付给客户的缺陷产品的平均比例，反映交货后的缺陷风险，通过方程式2确定。

3. 控制政策
所提出的政策基于机械零部件制造企业的采购、生产、返工和质量控制的整合。以下是采购、生产和返工以及质量控制这三个政策维度的详细描述，以及相关的决策变量。

3.1. 采购控制策略
在机械零部件制造企业的供应链管理中，对供应商选择可靠性的要求越来越高——企业通常会设定一个特定的可靠性水平r，并排除未能达到这一可靠性的供应商。方程式3表明：
i) 如果置信区间的上限小于或等于名义缺陷率，则可以认为机械零部件的缺陷率没有超过名义值，企业可以接受这批机械零部件。
ii) 如果置信区间的下限大于名义缺陷率，则可以认为机械零部件的缺陷率超过了名义值，企业应拒绝这批机械零部件。

相应地，在下一阶段，从选定的供应商中选出最佳供应商，并且所需的测试次数较少。根据方程式4的定义，企业根据测试成本和测试效果的重要性来确定w1和w2。如果企业认为测试效果更重要，w2应该更大；如果企业认为降低测试成本更重要，w1应该更大。n的最终值实际上是检测成本和检测效果之间的权衡。

3.2. 生产和返工控制策略
所提出的集成模型的总利润最大化目标内在地解决了机械零部件制造中的生产线平衡问题，并将核心的现代精益管理原则（包括节拍时间优化和价值流分析）纳入多环节决策框架中，而不是将它们视为独立因素。对于存在系统误差和变量缺陷率的生产系统，减少与生产相关的成本需要科学的拆解和返工决策，用于处理不合格的机械零部件。精益导向的决策逻辑体现在每个生产环节的成本效益比较中，以消除浪费并优化流程效率。根据方程式5和方程式6，如果拆解的好处大于检验和回收的成本，则进行拆解；反之则不进行。如果拆解收入大于生产成本，则进行拆解；反之则不进行。

3.3. 质量控制策略
对于机械零部件制造的产品质量控制，基于最优样本量的抽样计划比100%检验策略更为实用。通过将多标准评估系统整合到抽样框架中，传统的单次抽样方法可以扩展以适应多维场景——具体来说，采用分数抽样计划进行质量评估对于机械零部件来说更加经济和科学。在检验过程中会产生直接成本，因此准确确定最优检验数量至关重要。通过将多标准评估系统整合到抽样计划中，传统的单次抽样方法可以扩展以适应多维场景。具体来说，每个标准都必须经过独立测试，只有当所有测试都通过时，产品批次才会被接受，满足预定义的总体不合格率和风险容忍度。在此基础上，在机械零部件采购阶段的抽样程序中引入了一个动态抽样比例f。这种方法允许灵活调节检验过程，在检验成本和机械零部件的质量保证之间实现精确平衡。类似于质量标准必须对应于独立测试，只有当所有测试都通过时，产品批次才会被接受。在此基础上，使用操作特性（OC）曲线和平均出厂质量（AOQ）的范围来优化传统的抽样计划，可以在采购阶段的抽样操作中引入一个参数化的优化模型，以显著降低动态抽样比例f。这种方法允许灵活调节抽样过程，在检验成本和质量保证之间实现精确平衡。类似的优化方法适用于整个过程，同时保持对产品质量的期望置信水平。平均出厂质量（AOQ）方程式7。

最优政策应确保AOQ不超过客户定义的最大平均出厂质量（AOQmax）。然而，如果检测成本大于因未检测而造成的回收成本，可以选择不进行检验。

3.4. OC曲线和I/II型错误与分数抽样
为了为所提出的分数属性抽样计划提供理论依据，并明确量化检验错误，本节介绍了操作特性（OC）曲线分析。对于样本量为n和接受数量为c的单次抽样计划，接受具有真实缺陷率p的批次的概率从二项分布的概率质量函数中推导出来。最近关于新型批次处置抽样计划的研究报告了分数属性检验下OC函数的相关理论基础[28]。在分数抽样方案下，OC函数被正式建立并表示如下，其中的推导完全反映了通过–失败检验结果的二项分布特性。

在分数抽样方案下，OC函数被正式建立并表示如下，其中pa表示接受概率，f是抽样比例，n是批次大小，k表示观察到的缺陷数量，c是接受数量。根据方程式8中的OC曲线公式，I型错误和II型错误被明确建模。在可接受的质量水平p0下，I型错误定义为；在批次容忍度百分比缺陷p1下，II型错误为。这些错误项通过缺陷产品成本项纳入综合目标函数（方程式40）中，从而实现对检验强度和整体系统利润的联合优化。应当注意的是，随着f的减小，OC曲线变得更平坦，导致α和β值升高。因此，分数抽样计划适用于优先考虑成本-质量权衡的一般机械零部件。对于安全关键部件，通常不允许采用分数抽样，通常需要符合AS9100或IATF 16949标准的100%检验或零接受计划。

4. 控制策略的参数优化
本节提供了第3节中研究问题的数学公式。将开发相关的成本和数学模型，以优化所提出的集成政策的参数。

4.1. 更新过程
将机械零件加工成成品需要多个步骤。图3展示了企业在该产品生产过程中的生产流程。该过程主要分为四个步骤。第一步：首先对每个机械部件（从第1部分到第n部分）进行评估，以确定是否需要测试。如果测试结果显示部件不合格，这些部件将直接被丢弃，以确保后续生产过程的质量。对于通过检验的部件，它们将用于组装以形成初步的半成品。接下来，企业决定是否对半成品进行检验。如果发现半成品不合格，将判断是否需要拆卸这些半成品，以保证后续生产过程的质量。对于通过检验的半成品，它们将用于组装以形成最终产品。第二步：一旦制造出成品，就需要进行最终检验。在此步骤中，企业可以选择允许成品不经测试直接进入市场，或者进行测试以确保质量。如果测试结果合格，成品将被允许进入市场；如果测试不合格，则需要拆卸或以其他方式处理。第三步决定是否需要拆卸半成品和成品。如果需要拆卸，则对机械零部件执行第一步的流程；如果不需要拆卸，则直接丢弃它们。第四步：对于进入市场的成品，如果通过市场反馈发现质量问题，这些产品将被召回并更换。对于不合格产品，可以选择直接丢弃而不需拆卸，或者拆卸它们以回收可用部件或材料，从而减少浪费。这一步确保了产品的最终质量和客户满意度。

图3展示了工业制造中机械部件的生产系统。为了实现最佳效率，该系统考虑了一个多层次、多阶段的生产系统，因为生产过程过于复杂。通过这个模型，可以在不同的缺陷率、采购成本、检验成本、拆卸成本和组装成本以及不同的市场价格下，获得n个机械部件组成的最终产品的最大利润。在此基础上，考虑了半成品的存在，形成了多层次的生产过程。此外，还解决了顾客购买的不合格产品问题，以及无条件交换所导致的交换损失。该模型的目的是确定多层次、多阶段生产系统的最佳策略，最终目标是实现利润最大化。

4.2 数学模型
本节提出了问题的数学模型，以下所有方程均基于图1和图3所示的生产流程。在采购质量控制范围内，准确评估机械零部件的缺陷率至关重要。在相关研究中，Al-Bossly等人提出了一种基于二项技术的概率模型方法，为准确评估机械零部件的缺陷率提供了有力支持[29]。基于这一思路，本研究构建了以下假设检验模型：
原假设H0：机械零部件的缺陷率不超过其标称值；
备择假设H1：机械零部件的缺陷率超过其标称值。
根据二项分布的特性，确定了必要的样本量以确保检测结果具有统计学意义。在抽样阶段，随机选取一定数量的机械零部件进行检验，并记录缺陷产品的数量。利用这些数据，计算实际的缺陷率观察值。利用二项分布的概率质量函数（PMF），可以估计在原假设为真的情况下观察到当前或更极端缺陷率的概率，即p值。如果p值低于预设的显著性水平（例如常见的0.05），则拒绝原假设H0并接受备择假设H1，表明机械零部件的缺陷率超过了标称值。相反，如果p值高于显著性水平，则不能拒绝原假设H0，意味着没有足够的统计证据支持机械零部件缺陷率超过标称值的观点。

方程9表明，当样本量小于30时，可以使用它来确定样本中的缺陷率与总体预设比例之间是否存在显著差异。
在无限样本量下，第一类Z检验错误：当方程10显示原假设为真时，错误地拒绝了正确的原假设，并计算出对应于显著性水平的正态分布临界值。
在无限样本量下，第二类Z检验错误：方程11表明当原假设为假时，没有错误地拒绝原假设，并计算出对应于检验力量的正态分布临界值。
样本量n：方程12计算了在无限样本量下的抽样检测所需的样本量。
在样本量有限且较大的情况下，方程13、方程14和方程15显示了通过FPC校正因子对第一类错误的修正。
方程16、方程17和方程18表示在样本量有限的情况下对样本量的FPC校正因子进行修正。

在机械组件开发的多个阶段、制造商发货和客户验收过程中，可靠性测试都是必不可少的，适用于单个部件、半成品和成品系统。鉴于可靠性测试的高时间和材料成本，采用了顺序概率比测试（SPRT）方法来最小化测试单元的数量，并提高机械组件制造的检验效率，其具体的实施程序和缺陷率验证的统计决策标准详细列在方程19至方程22中。
置信区间：方程19计算置信区间，以估计样本缺陷率是否在企业的可接受范围内。如果估计置信区间的上限小于或等于标称缺陷率，可以认为机械零部件的缺陷率不超过标称值，企业可以接受这批机械零部件；如果置信区间的下限大于标称缺陷率，则认为机械零部件的缺陷率超过了标称值，企业应拒绝这批机械零部件。
检测次数：方程20表示原假设H0的接受条件；方程21表示原假设H0相对于备择假设H1的拒绝条件；方程22表示继续抽样的选择条件。这种顺序决策基于似然比，在测试过程中严格控制第一类错误和第二类错误（临界值定义为α和β）。方程19至方程22表明，通过使用SPRT，可以在尽可能减少样本量的同时动态调整检测次数，并仍能满足预设的决策标准。
方程23更新了机械零部件的缺陷率，这意味着将检测结果与企业之前的经验数据（先验概率）结合起来，得到新的缺陷率估计值。通过不断调整缺陷率的概率分布，可以更准确地反映实际情况，从而提高决策的准确性和可靠性。
机械零部件的成本：方程24包括了固定的采购成本和可变的检验成本。
半成品的成本：方程25包括了固定的组装成本和可变的检验成本。
成品的成本：方程26包括了固定的组装成本和可变的检验成本。
缺陷产品的成本：方程27包括了固定的赔偿成本、固定的更换成本和可变的拆卸成本。
半成品的拆卸成本：方程28计算了半成品的拆卸成本。如果半成品未能通过检验，还需要分析是否需要拆卸它们。
成品的拆卸成本：方程29计算了成品的拆卸成本，并分析如果成品未能通过检验是否需要拆卸。
销售利润：方程30表示产品的销售利润。
拆卸收入：方程31计算了半成品拆卸的收入，方程32计算了成品拆卸的收入。在计算过程中，半成品的拆卸与成品的拆卸有所不同。对于半成品，不仅仅基于价格来评估其质量，因此引入了校正因子Zi，表示满足某些条件的半成品的比例。
方程33至方程35表示不同机械部件的数量。
方程36至方程38表示不同半成品的数量。
方程39表示不同成品的数量。
方程40表示模型的目标函数。该模型的目的是降低“采购”成本并增加“生产”。
所提出的数学模型包含了一个目标函数（方程40），用于支持关于n个机械部件、m个半成品和一个成品的检验、拆卸及相关操作的决策。因此，最佳解决方案需要在各种部件、半成品和成品之间取得平衡。为了解决这个优化问题，在MATLAB中开发并实施了两个数值程序。随后通过利用精密齿轮制造商的生产数据进行实证案例研究来验证该模型，并通过多重共线性诊断确保参数估计的统计稳健性。此外，还进行了敏感性分析，系统地考察了关键参数对总利润的影响。

5. 实验和数值计算
本节通过汇总实验数据和数值模拟结果，展示了第3节提出的创新联合采购-生产-返工-质量控制策略的结果，特别关注机械组件制造企业。以下数值程序的参数设置基于本文表1和表2中展示的核心实验数据。这些参数来源于2023年中国机械工业联合会发布的研究数据集，该数据集通过对位于中国长江三角洲和珠江三角洲地区的15家典型机械组件制造企业进行结构化实地调查而编制。零部件采购成本和单位检验费用来自采购和财务记录，缺陷率来自质量检验日志，组装费用来自成本会计数据。用于筛选供应商相关数据的90%置信水平与第3.1节中基于置信区间的供应商选择模型一致，从而确保了后续计算输入参数的可靠性。为了进一步验证所提模型的实际适用性，使用中国一家上市精密齿轮制造企业的生产和财务数据进行了实证案例研究。案例研究参数，包括缺陷率、检验成本和组装费用，是从该公司公开披露的年度报告中提取的，并通过与企业合作获得运营数据进行了补充。结果验证所需的详细数据，包括贝叶斯更新的缺陷率和原始敏感性分析数据，以及用于重现数值计算和可视化的代码，分别提供在支持信息S1文件和S2文件中，以便于验证和再现研究的数值方法和结果。数值程序1：该程序专注于“零部件-成品”两阶段生产场景，验证所提出的联合控制策略如何根据不同的质量和成本条件调整检验决策并优化利润。表1列出了企业在生产过程中遇到的情况，作为该程序的核心输入参数矩阵，涵盖了机械零件制造商的6种典型生产条件。它通过三个关键环节组织关键指标以支持模型计算：零部件环节提供了两种核心零部件的缺陷率、采购价格和单位检验成本，这与第3.1节中的供应商选择方法相匹配；成品环节包括缺陷率、组装成本、单位检验成本和市场价格，这些对于利润计算至关重要；不合格成品处理环节详细说明了替换损失和拆卸成本，这与第3.2节中的返工控制策略相一致。不同的参数组合使人们能够分析参数变化如何影响最优策略和总利润。

数值程序2：该程序模拟了更为复杂的“多零部件-多半成品-成品”三阶段生产过程，这更符合机械零件制造商的实际运营情况。它主要用于验证联合控制策略在多环节协作场景中的适应性。图4中的生产流程图直观地展示了生产过程框架：首先将8种零部件分组为3种半成品，然后将这3种半成品组装成一件成品。图表还暗示了策略中需要的关键质量控制节点。表2提供了与图4相对应的生产过程中遇到的详细输入参数：包括8种零部件的缺陷率、采购价格和单位检验成本，以支持第3.1节中的供应商筛选；3种半成品的缺陷率、组装成本和拆卸成本，以支持第3.2节中的返工决策；以及成品的市场价格、替换损失和单位检验成本，以支持第3.3节中的分层抽样计划。该表涵盖了整个生产链，确保了模拟的真实性，并支持了在复杂场景下联合控制策略的验证。

数学模型解决方案：图5和图6显示了根据数值程序提供的数据进行贝叶斯更新后每个变量的缺陷率。表3展示了数值程序1中每种成品情况的最佳策略及相应的毛利润。图7和图8展示了案例1中每个参数的成本和收益分布。表4显示了数值程序2中整个复杂生产过程的最优解决方案。图9和图10展示了数值程序2中每个决策变量的成本和利润。

为了验证所提出的模型，我们使用了中国一家精密齿轮制造厂的生产数据进行了实证研究。缺陷率是通过基于质量检验记录的贝叶斯更新来估计的，成本参数则来自生产会计系统。表5总结了这些参数，其中部件8的缺陷率与部件5相同，为8.54%，因此被视为异常值并从核心分析中排除。这种排除是有道理的，因为部件8的成本结构（采购成本和检验成本显著较高）偏离了部件成本特征的整体分布，否则会在参数估计和多重共线性诊断中引入统计偏差。

模型通过枚举所有决策组合来求解。最优策略是检查部件1-6，同时跳过缺陷率较低的部件7-8，检查并拆卸所有有缺陷的半成品，并在拆卸时进行最终检验。这样实现的单位利润为1,046.06元人民币，而当前做法下的利润仅为604.20元人民币，提高了73.13%。为了确保这些结果的可靠性，我们使用拉丁超立方抽样法（±30%的变化范围）检查了模型参数之间的潜在多重共线性。方差膨胀因子和条件数是从最优利润对参数值的回归中计算得出的，如表6所示。

为了深入探讨缺陷率对最优解决方案的影响，我们借助数据程序1和数据程序2进行了系统的敏感性分析。图11和图12分别显示了在数值程序1的每种情况下，部件缺陷率增加20%和减少20%对利润的影响。从图中可以清楚地看到，在考虑许多不同因素的组合（如部件缺陷率、部件1的检验成本、部件2的检验成本、成品的检验成本以及不合格成品的替换损失和拆卸成本）的复杂情况下，缺陷率对总利润的影响存在显著差异。这一结果验证了模型在评估缺陷率对最终结果影响的准确性，并进一步确认了模型的合理性和有效性。

在数值程序2中，图13、图14和图15分别展示了在8种零部件、3种半成品、1种成品检验成本以及不合格成品的替换损失和拆卸成本的组合场景下，缺陷率变化20%对总利润的影响。结果表明，不同因素对总利润的影响程度不同。

在本节中，我们对所提出的综合策略与现有替代方案进行了成本效率的比较分析，以展示其在成本方面的优越性。考虑了五种替代策略，使用数值程序2中的数据和条件。每种策略都优化了联合生产、维护和质量控制，并采用了不同的检验策略和误差模型。这些策略的定义如下：（1）推荐策略：采用优化的协作控制策略，结合抽样检验，以平衡成本和质量目标；（2）检验@0%：这种策略不进行任何检验；所有产品直接进入生产或销售流程，适用于对成本敏感但质量要求较低的场景；（3）检验@100%：这种策略使用100%的检验次数以确保每个产品都经过检验，适用于对质量要求高或关键产品的生产环境；（4）AQL（可接受质量水平）：通过抽样检验将生产者的可接受上限设定为10%的缺陷率，以在大规模生产中平衡成本和质量；（5）LTPD（批量容忍缺陷百分比）：将消费者的风险控制阈值设定为10%的缺陷率，重点降低有缺陷产品进入市场的概率。在产品质量管理中，LTPD和AQL是两种抽样检验策略，分别服务于消费者和生产者。LTPD设定较高的缺陷率限制，以确保消费者的缺陷产品比例不超过这一阈值，从而降低消费者风险，适用于高可靠性场景；AQL从生产者的角度定义了可接受的缺陷率，通过抽样来平衡成本和质量，适用于大规模生产。两者都使用有限抽样来评估批次质量。LTPD侧重于保护消费者，而AQL关注生产者的需求。表7展示了五种质量控制策略的性能数据，包括推荐策略、检验@0%、检验@100%、AQL和LTPD，涵盖了总利润、平均出厂质量（AOQ）、检验成本和缺陷率等关键指标。推荐策略在总利润（16.6768）和平均出厂质量（AOQ 0.0189）方面表现优异，展示了其在经济效益和质量控制方面的双重优势。相比之下，不进行任何检验的检验@0%导致缺陷率高达0.1000，AOQ为0.1330，总利润急剧降至-110.6495，反映了质量失控的严重后果。检验@100%通过100%的检验控制了AOQ为0.0181，但检验成本高达20.4615，利润仅为15.1943，成本效益不佳。AQL和LTPD的利润分别为14.1578和15.1861，AOQ分别为0.0390和0.0425，表现稳定但未达到最优水平。表格清楚地显示，推荐策略在多维度指标上实现了更好的平衡。

分析表明，推荐策略在总利润（16.6768）、质量（AOQ 0.0189）和成本控制（检验成本20.2297）方面优于其他策略。缺陷率低至0.0050，显示出高效的质量管理能力。不进行任何检验的检验@0%由于缺乏质量干预，生产成本飙升至347.9747，利润损失严重，证明了检验的必要性。尽管检验@100%在质量控制上非常严格，但检验成本过高，导致利润低于推荐策略。AQL和LTPD采用10%的缺陷率标准，导致缺陷率较高（分别为0.0950和0.0964），质量控制效果有限，因此利润较低。推荐策略的优势在于它结合了动态调整和缺陷建模，能够适应生产系统的变化，最大化利润的同时确保高质量，这在实际制造应用中具有显著优势。结论
本研究探讨了机械零部件制造企业中采购、生产、返工和质量控制的协同优化问题。该行业对精度要求极为严格，同时对于原材料成本波动也极为敏感。为了解决以往研究中的关键局限性——包括零散的单阶段方法以及对检验误差与生产系统动态相互作用的忽视——本研究提出了一种创新的联合控制策略，并通过多层次数学模型加以支持。所提出的策略整合了三个核心组成部分：基于90%置信区间和二项分布确定样本量的供应商筛选、通过成本效益分析进行动态返工决策以及用于质量控制的分数抽样方法。通过纳入第一类和第二类检验误差（生产方和消费方的风险）以及生产系统误差（来源误差和链式误差），该框架实现了针对机械零部件制造实际情况的跨阶段成本-质量优化。

敏感性分析得出了重要发现：备件缺陷率的变化幅度±20%会导致利润发生显著变化，这凸显了采购质量作为效率关键驱动因素的重要性；半成品缺陷率的影响相对较小，证实了过程控制的有效性；而成品缺陷率的增加会放大补偿和更换成本，强调了严格最终检验和售后服务管理的重要性。本研究的独特贡献源于其在行业适用性和方法论严谨性方面的优势，具体体现在以下几点：
（1）本研究开发了一个针对机械零部件制造复杂性的多层次模型，整合了供应商筛选（结合统计抽样进行缺陷控制和误差评估）、半成品拆解（基于收支平衡）以及动态质量抽样，从而填补了以往研究中忽视检验误差与生产系统之间相互依赖性的空白；
（2）使用2023年中国主要地区15家代表性企业的运营数据对模型进行了验证，提高了模型的实际应用性，并采用贝叶斯更新方法克服了传统模型中的静态参数限制，实现了缺陷率的实时调整；
（3）通过敏感性分析量化了缺陷率与利润之间的关系，为企业提供了具体的行动基准；
（4）所提出的策略优于其他方案（0%检验、100%检验、AQL、LTPD），实现了利润16.6768、不良品率0.0189、检验成本20.2297的平衡结果，从经济性角度来看优于100%检验方案（利润15.1943、成本20.4615），在质量上优于AQL/LTPD方案（不良品率0.0390/LTPD：0.0425），同时避免了0%检验方案带来的损失（利润-110.6495、不良品率0.1330）。从理论层面来看，本研究通过将多层次优化应用于具有精度和成本约束的机械零部件制造领域，推动了运作管理的进步；将检验误差和生产系统误差纳入统一框架，超越了以往以模糊优化为重点的研究；并以适应检验成本和不良品率需求的分数抽样替代了僵化的AQL/LTPD计划。

从管理角度来看，本研究为企业提供了实用工具：公式19中的置信区间模型仅在接受供应商批次时才考虑缺陷率的上限是否超过名义值；公式5-6指导了具有成本效益的半成品拆解过程；分数抽样方案在质量与成本之间实现了优化平衡。此外，为两阶段和三阶段情景开发的MATLAB仿真平台为数据驱动的情景测试和参数校准提供了支持。尽管如此，本研究仍存在一些局限性：
（1）模型聚焦于单一成品情景，简化了供应链网络结构，未考虑实际机械零部件制造中常见的多产品共生产复杂性，可能限制其对多产品企业的适用性；
（2）模型中的某些运营参数基于数据集中的行业平均值进行校准，未能完全反映不同规模企业之间的成本结构和运营效率差异；
（3）模型假设原材料供应稳定且购买价格固定，忽略了原材料价格波动（机械零部件制造面临的关键挑战）对采购成本和缺陷率相关决策的影响。

未来的研究将通过以下方式解决这些局限性：
（1）将模型扩展到多产品共生产情景，整合共享资源调度逻辑以提高对复杂生产线的适应性；
（2）引入企业规模的分类变量，根据企业规模和类型校准参数，提升模型在不同运营实体中的适用性；
（3）将原材料价格波动模型纳入采购模块，以便在价格不确定的情况下优化供应商选择和订单数量决策；
（4）开发决策支持系统，实现实时数据驱动的决策制定；
（5）采用在线检验技术提升实时监控和响应能力；
（6）整合预测性维护技术，减少设备相关检验误差并增强供应链韧性。

总之，所提出的联合控制策略为机械零部件制造提供了严谨且实用的解决方案，有效弥补了理论建模与工业应用之间的差距，实现了成本、质量和运营效率的优化。