对具有超材料的任意形状热隐身体的有限元方法进行分析和数值模拟

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Analysis and numerical simulations of a finite element method for arbitrary shaped thermal cloaks with metamaterial

　　何斌|韩浩浩|李继春|张江刚
甘肃复杂系统分析与控制基础研究中心，兰州交通大学数学与物理学院，中国甘肃省兰州市730070

**摘要**
为了实现任意形状的热隐形效果，本文基于变换热力学推导了具有通用几何形状的热隐形斗篷的材料参数表示方法。这是首次推导出任意形状的热隐形模型。随后，我们为控制方程开发了时域有限元方案，并建立了该方案的严格误差估计。最后，通过数值实验验证了所推导材料参数的正确性，并展示了我们数值方案的有效性。

**引言**
对新材料和设备的追求一直是人类进步的驱动力。它不仅加速了相关产业和技术的发展，还促进了新的工业和技术范式的出现，成为国防和安全技术变革的关键催化剂。在人类社会的历史中，重大的科学和技术突破始终与新材料的发现和发展密切相关。一个显著的例子是20世纪的半导体材料研究，它引发了电子产业的深刻革命，并迎来了以计算机和全球信息网络为特征的信息时代。自21世纪初以来，超材料——一类人工设计的复合材料——引起了全球科学界的广泛关注[1]、[2]、[3]。超材料具有非传统的有效物理参数，表现出自然界中不存在的特性，并且可以定制以实现所需的功能。因此，它们在电磁学、声学和热学等领域展现出巨大的潜力[4]、[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]、[11]。

2006年，Pendry及其同事提出了坐标变换理论，并设计了变换区域所需的非均匀各向异性介电常数和磁导率[12]。这一框架使得电磁波能够在工程介质中沿预定路径传播，从而实现对电磁场的人工控制。通过引导电磁波绕过物体进行衍射，可以实现隐形效果，使外部观察者认为物体不存在[12]、[13]、[14]、[15]。这一概念在电磁隐身应用（尤其是飞机领域）中引起了极大的兴趣。因此，大量的研究工作致力于超材料的理论设计、数值建模和实际实现[6]、[7]、[8]、[9]、[16]、[17]、[18]、[19]、[20]、[21]、[22]、[23]。

作为超材料家族的重要扩展，热超材料自诞生以来就受到了广泛关注[5]、[24]、[25]、[26]。操纵热流的能力在热管理和能源相关技术中至关重要，可以实现热隐形、热集中和热幻觉效果[5]。其中，热隐形斗篷尤其引人注目，因为它可以通过引导热流绕过保护区域来实现热隐身，而不干扰外部温度场，从而使物体在热学上无法被检测到[5]、[27]、[28]。尽管取得了显著进展，但设计和数值研究热隐形斗篷（尤其是具有任意和复杂几何形状的斗篷）仍然具有挑战性。这些挑战主要源于两个因素：制造理想各向异性和空间变化材料参数的难度，以及传统数值方法在准确捕捉瞬态热传递过程中的局限性。需要注意的是，热隐形基于热方程在坐标变换下的形式不变性。任意形状需要通用（非径向、非对称）的映射，在数学上要困难得多。本工作的学术贡献包括：推进了变换热力学的发展，以及成功开发了张量值和空间变化导电率模型。变换热力学使得热超材料的制造成为可能，这些材料在隐形（隐藏热信号）、集中（聚焦热量）和重定向（引导热流）方面具有实际应用。这种任意形状的斗篷会导致强各向异性的张量，甚至可能退化。这为问题的适定性和规则性带来了挑战。

有限元方法在处理复杂几何形状和异质材料属性方面具有显著优势，因此已成为模拟基于超材料的设备的首选工具。2013年，Dede等人[29]使用稳态有限元模拟验证了多层热隐形斗篷的设计；2016年，Li等人[30]基于变换热力学开发了一个有限元框架，用于分析非均匀介质中的稳态热传导。然而，现有研究主要集中在稳态行为上，对瞬态热过程的关注相对较少。为了解决这些局限性，本研究开发了一种时域有限元方法，用于分析和模拟任意形状的热隐形斗篷。据我们所知，这是首次使用时域有限元框架研究任意形状热隐形斗篷的研究。所提出的方法不仅为下一代热超材料的设计和分析提供了有效的计算工具，还深入探讨了潜在的瞬态热隐形机制。

本文的其余部分组织如下：第2节推导了任意形状热隐形斗篷的材料参数，考虑了已知和未知的轮廓边界；第3节对超材料区域内的时域控制方程进行了有限元误差分析；第4节提供了数值实验，验证了所推导材料参数的正确性和所提出数值方案的有效性，同时展示了热流从瞬态行为演变为稳态的物理过程；最后，第5节总结了本文。

**部分内容**
**建模方程和材料参数的推导**
考虑无内部热源的二维（2-D）瞬态热传导方程：
?·(?k?T) + ρC?T?t = 0
其中ρ是密度，C是比热容，k是热导率，t是时间，未知变量T是温度，?是梯度算子，?·是散度算子。在稳态情况下（?T?t = 0），方程（1）简化为傅里叶热传导方程：
?·(?k?T) = 0。

**有限元方案及其分析**
在这里，我们采用有限元方法来求解瞬态热传导方程（1）。为了使问题适定，我们需要施加适当的初始条件和边界条件。为了简化问题，我们假设物理域Ω是一个矩形，初始条件为：
T(x,0) = T0(x) 在 Ω 内；
边界条件为：
1. 狄利克雷边界条件（规定温度）：T = T? 在 ΓD 上；
2. 诺伊曼边界条件（规定热流）：k?T?n = q? 在 ΓN 上，其中 ΓD ∪ ΓN = Γ = ?Ω。

**数值结果**
在本节中，我们提供了一些数值模拟，以证明任意形状热隐形斗篷的材料参数推导的正确性，并验证了我们有限元方案在模拟隐形现象方面的有效性。所有结果都是使用有限元空间 Vhp 中的方案（27）和 p=2 获得的。

**示例1**
这个示例用于测试有限元方案（27）的收敛速率。为此测试，我们选择了计算域。

**结论**
在本文中，我们推导出了任意形状热隐形斗篷的理想材料参数。然后，我们为超材料区域内的控制方程开发了一种时域有限元方法，并对所提出的方案进行了离散误差分析。通过数值实验验证了材料参数的准确性和数值方法的有效性。对于未来的工作，我们计划研究更高效的数值算法。

**未引用参考文献**
[31] CRedi

**作者贡献声明**
何斌：撰写——原始草稿，监督，资金获取，概念化；
韩浩浩：撰写——原始草稿，软件开发，数据整理；
李继春：撰写——审阅与编辑，验证，调查，形式分析；
张江刚：监督，资源提供，资金获取。

**利益冲突声明**
作者声明没有利益冲突。