用于具有超线性系数的Lévy驱动McKean-Vlasov随机微分方程（SDEs）的Euler型方法：均方误差分析

《Colloids and Surfaces A: Physicochemical and Engineering Aspects》：Euler-type methods for Lévy-driven McKean-Vlasov SDEs with super-linear coefficients: Mean-square error analysis

　　朱静涛|赵玉英|甘思清
中南大学数学与统计学院，湖南师范大学-拉玛数学与应用数学联合实验室，长沙，410083，中国

**摘要**
我们开发并分析了一类适用于Lévy驱动的McKean-Vlasov随机微分方程（SDEs）的Euler型数值方案，其中漂移系数、扩散系数和跳跃系数随状态变量的增长呈现超线性特征。这些方案是通过将投影或非线性变换应用于经典的Euler方法构建的，从而形成了一个包含tanh-Euler、tamed-Euler、sine-Euler及其混合变体的通用框架。在适当的假设下，我们证明了与Lévy驱动的McKean-Vlasov SDEs相关的相互作用粒子系统在均方意义上具有强收敛性，其收敛速率可以任意接近1/2。该分析基于离散时间的先验矩估计，使用二项式型展开，并且不需要对数值方案施加强制性条件。通过几个数值示例来说明收敛行为并验证理论结果。

**引言**
作为连续时间随机动力学的一类重要数学模型，McKean-Vlasov随机微分方程（SDEs），也称为分布依赖型或平均场SDEs，在多个应用领域中得到了广泛研究，例如[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]、[7]。特别是在数学金融[1]、[6]中，McKean-Vlasov SDEs出现在大型投资组合和系统性风险模型中；在平均场博弈中，个体代理的行为受到集体效应的影响。在生物学[3]、[4]中，类似的方程出现在相互作用种群和神经网络模型中，捕捉了由种群层面相互作用机制驱动的集体动态。在物理学[7]、[8]中，它们与相互作用粒子系统和动力学或等离子体模型密切相关，其中平均场极限为复杂的微观动态提供了有效的宏观描述。在许多现实世界系统中，高斯噪声可能无法充分描述动态，尤其是金融、物理和生物学应用中，动态可能表现出突然的冲击、跳跃或不连续性。为了准确捕捉这些行为，需要引入Lévy型扰动[9]、[10]、[11]，这自然引出了对Lévy驱动的McKean-Vlasov SDEs的研究[12]、[13]、[14]、[15]。
通常，大多数Lévy驱动的McKean-Vlasov SDEs很少有显式的封闭形式解，因此数值方法是分析和近似的必要手段。与经典SDEs相比，数值近似McKean-Vlasov SDEs面临额外的挑战，因为除了每个步骤的状态过程外，还需要近似测度流{L(X(t))}t≥0。一种常见的方法是随机粒子方法[16]，其中分布L(X(t))通过大型相互作用粒子系统（IPS）的经验测度来近似，这种近似通过混沌传播（POC）得到验证。然后，可以对这些粒子系统进行离散化，以获得完全离散的数值方案。

**文献综述与研究空白**
一方面，如果测度流{L(X(t))}t≥0已知，Lévy驱动的McKean-Vlasov SDEs简化为经典的跳跃-扩散SDEs，其数值方案及其收敛性分析已经得到了广泛研究，例如[17]、[18]、[19]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]及其中的参考文献。另一方面，如果没有Lévy噪声，模型简化为McKean-Vlasov SDEs。在线性增长条件下，已经证明了Euler-Maruyama（EM）方案对于此类粒子系统的收敛性，例如在[26]、[27]中。现在众所周知，对于具有超线性增长系数的经典SDEs，EM方法在有限时间间隔内可能既不会在强意义上也不会在弱意义上收敛到精确解[28]、[29]。在McKean-Vlasov SDEs中也观察到了类似的发散现象，通常称为“粒子腐败”，这在[30]中得到了广泛研究。因此，最近对具有超线性增长系数的McKean-Vlasov的数值近似引起了大量关注，例如[30]、[31]、[32]、[33]、[34]、[35]、[36]、[37]、[38]、[39]及其中的参考文献。特别是[30]、[31]关注了状态变量具有超线性增长系数且对测度具有线性依赖性的tamed Euler方法的强收敛性。后续工作将分析扩展到扩散系数也可能呈现超线性增长的场景，并开发了相应的方案，例如[32]、[33]、[34]、[35]、[36]、[37]、[38]、[39]。同时，对于具有不规则系数或不连续系数的McKean-Vlasov SDEs的数值近似仍然是一个活跃的研究领域。这些工作[40]、[41]、[42]（没有Lévy噪声）在额外假设下通过H?lder连续或不连续的漂移来处理不规则性，这与本文考虑的超线性增长设置截然不同。
相比之下，对于具有非全局Lipschitz性和超线性增长系数的Lévy驱动的McKean-Vlasov SDEs的完全离散化数值方案的强收敛性分析仍然有限，例如[43]、[44]。Khue Tran等人[43]在漂移和扩散可能呈现超线性增长而跳跃系数保持线性增长的情况下，证明了tamed-adaptive Euler方案的强收敛性。此外，[44]允许跳跃项也呈现超线性增长，但分析依赖于强制性条件（例如其中的假设B-1或（11））。

**我们的贡献**
在这项工作中，我们为有限时间区间[0,T]上的Lévy驱动的McKean-Vlasov SDEs开发了一类Euler型方案，允许漂移系数、扩散系数和跳跃系数呈现超线性增长。我们在不对数值方案施加强制性条件的情况下证明了这些Euler型方案的强收敛性。这与[32]、[44]等设置不同，在那些设置中需要这样的条件。相反，我们仅对底层的McKean-Vlasov SDEs施加了强制性条件（见假设2.3）。这是非常非平凡的，特别是因为超线性跳跃与测度依赖性之间的相互作用，使得使用标准的连续时间It?论证来处理矩界限变得困难。为了克服这一困难，我们引入了基于二项式型展开的离散时间先验矩估计，这是一种新的分析工具，使我们能够直接处理随机增量的不同矩缩放及其与超线性项的相互作用。这导致了一个统一的收敛性分析，适用于包括tanh-Euler、sine-Euler、tamed-Euler及其混合变体在内的广泛方案家族。在适当的假设（假设3.8和3.10）下，我们证明了所提出的方案在均方意义上达到接近1/2的强收敛速率，将现有的收敛理论扩展到了一个适用于一般Euler型方案的统一框架。

**论文结构**
本文的主要结构如下：第2节详细阐述了所提出的Lévy驱动的McKean-Vlasov SDEs的公式，概述了对系数的假设，并提供了关于POC的结果。第3节重点介绍了所提出的Euler型方案的构建及其矩有界性和收敛性分析，更多细节可以在附录中找到。第4节提供了数值示例来验证之前的发现，最后一节给出了简要的结论。

**问题设置**
设（Ω,F,P）为一个概率空间，让{Ft}0≤t≤T（T>0）表示由m维布朗运动{W(t)}0≤t≤T和定义在（E,E,φ）上的独立泊松随机测度pφ(dv, dt)生成的过滤，其中E?Rd?{0}，φ是描述跳跃强度的测度，且φ(E)<∞。泊松随机测度的补偿版本由p?φ(dv,dt)给出：=pφ(dv,dt)?φ(dv)dt。我们现在考虑以下Lévy驱动的McKean-Vlasov SDEs：
X(t)=X0+∫0tf(s,X(s),L(X(s)))ds+∫0tg(s,X(s),L(X(s))

**与Lévy驱动的McKean-Vlasov SDEs相关的IPS的数值方案**
我们首先将时间区间[0,T]均匀划分为步长Δt=Tn的网格点tk=kΔt，k=0,1,…,n。对于每个粒子i∈IN，近似IPS（7）的Euler型方案族由以下公式给出：
Ytk+1i,N=Ytki,N+Γ1(f(tk,Ytki,N,ρtkY,N),Δt)Δt+∑j=1mΓ2(gj(tk,Ytki,N,ρtkY,N),Δt)ΔWji(tk)+∫tktk+1∫EΓ3(h(tk,Ytki,N,ρtkY,N,v),Δt)p?φi(dv,ds)，
其中变换算子Γl(?·?)（l=1,2,3）是‘?·?’的近似，gj:M→Rd×1是一个维度为d?×?1的向量函数，ΔWji(tk)=Wji(tk+1)

**数值结果**
我们通过在一个所有系数都可能相对于状态变量呈现超线性增长的跳跃扩展模型上测试Euler型方案（9）来支持我们的理论发现。为了检验第3节中描述的数值方法的收敛速率，我们关注TanhEM（15）、TameEM（16）、SineEM（17）和MixEM（18）。在数值实验中，使用粒子方法在每个时间步tk（k=0,1,…,n）近似L(X(tk))的分布。

**结论与未来工作**
本文介绍了一类适用于具有超线性增长系数的Lévy驱动的McKean-Vlasov SDEs的Euler型数值方案。我们的分析建立了收敛误差界限，其速率可以任意接近1/2，将现有的收敛结果扩展到了不依赖于数值方案本身的强制性条件的统一框架，适用于一般Euler型方案。基于均方根误差的数值实验显示，在对数-对数图中得到的经验斜率是一致的。

**作者贡献声明**
朱静涛：撰写——原始草稿、软件、方法论、概念化。
赵玉英：撰写——原始草稿、方法论、概念化。
甘思清：撰写——审稿与编辑、监督、资金获取。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。