基于体素的四边形网格生成方法在密度驱动拓扑优化中的应用

《Computer Aided Geometric Design》：Voxel-to-tet meshing for density-based topology optimization

　　徐增浩|王莉莉|翟晓雅|傅晓明
中国科学技术大学数学科学学院，安徽省合肥市，中华人民共和国

**摘要**
基于密度的拓扑优化在体素网格上支持高分辨率的结构和微观结构设计。然而，由此产生的体素化几何形状通常不适合后续使用，因为边界不规则，可能会出现小的孤立部分，并且元素数量可能过多。这些问题降低了有限元分析的准确性，同时也复杂化了网格处理和制造过程。在本文中，我们提出了一种将体素化结果转换为高质量四面体网格的稳健方法。转换后的网格旨在保留几何形状和物理响应。从体素网格开始，检测并修复非流形配置，然后将每个体素细分为一组小的四面体。这一步产生了一个无交集且无翻转的初始网格。接下来构建一个周围的支架（壳）网格，以实现非交集的隐式强制。在整个过程中保持正的元素体积。然后进行多阶段优化：首先使用共形高级等距参数化（AMIPS）能量进行边界平滑处理以保持网格质量；然后通过自适应加权使用等距AMIPS能量减少体积收缩；最后进行特征保留的网格简化，以减少四面体的数量，同时保留轴向对齐的锐利边缘和对称性约束。在标准拓扑优化基准和周期性微观结构上进行了实验。结果表明，转换后的四面体网格更加平滑，元素数量显著减少，体积得到很好的保留，物理场分布与体素模型相当。因此，转换后的网格更适合用于仿真、设计迭代和制造。

**引言**
拓扑优化（Eschenauer和Olhoff，2001；Bendsoe和Sigmund，2013）旨在在规定的设计域内寻找最佳材料分布，以提高结构性能、降低制造成本并实现新的设计概念。它已被广泛应用于航空航天、汽车、建筑和生物医学设计领域。代表性的算法包括基于密度的方法（Andreassen等人，2011）、移动可变形组件（Zhang等人，2016）、移动可变形空洞（Zhang等人，2017）、水平集方法（Wang等人，2003a）和双向进化结构优化（Xie等人，1992；Xie和Steven，1993）。它们的主要区别在于几何表示和更新的方式，从显式参数描述到隐式公式，以及从基于网格的离散化到体素网格。
在这些选项中，基于体素的表示方法有两个显著优势：它们可以忠实地捕捉复杂的几何形状及其相关的异质物理响应，并提供了一种规则、简单的数据结构，便于拓扑优化算法的离散化并降低实现复杂性。然而，拓扑优化生成的体素化结构通常不适合后续应用，如制造和测试。原因有两个：首先，它们的边界呈锯齿状，导致表面粗糙度和几何不准确，这可能对物理性能和实际可制造性产生负面影响；其次，这些结构通常包含孤立或连接薄弱的区域，影响结构完整性，并使后处理步骤（如平滑、网格划分或转换为可制造格式）变得复杂。此外，高分辨率体素网格通常用于捕捉精细的局部特征并提高结构性能，但这需要大量的内存和计算开销，使得后续处理和实际应用变得不切实际。

为了解决这些问题，四面体网格提供了一个可行的替代方案。它们提供了更平滑的边界表示，减少了几何不准确性，并提高了可制造性。此外，它们的自适应特性使得内存使用和计算效率更高，更适合用于有限元分析、制造和性能评估等下游应用。因此，我们专注于将拓扑优化生成的体素形状转换为四面体网格。

**转换应遵循的约束**
首先，四面体形状和体素化形状的几何和物理属性应高度相似，同时确保后续应用的易用性；其次，四面体网格必须是有效的，即无交集且没有负体积的元素（翻转的四面体），以确保其可用性和实用性；最后，四面体网格应具有高质量的元素，边界平滑，并保留锐利特征。然而，由于体素自然与坐标轴对齐，需要注意的是，保留的特征本质上仅限于轴向对齐的方向。

**挑战与解决方案**
这个问题具有双重挑战：首先，算法必须在最小化与输入锯齿状边界的距离的同时，确保输出表面平滑；完美满足这两个条件是不可行的。因此，输入的锯齿状边界不是可靠的参考，这是与以前的四面体网格算法的关键区别。其次，在其他要求下很难保证没有交集和翻转的四面体。这两个挑战阻碍了以前的四面体算法（Danilov，2010；Bronson等人，2013；Hang，2015；Hu等人，2018）直接应用于我们的问题。

在本文中，我们提出了一种将基于密度的拓扑优化生成的体素化形状转换为满足上述目标和约束的四面体网格的新方法。为了避免违反硬性约束，我们的方法首先将输入体素分割成四面体，以获得无交集、无翻转的初始网格，然后在受限空间内进行网格优化和简化。为了克服第一个挑战，我们开发了一个多阶段方法：（1）在几个体素长度宽度的层内平滑边界；（2）恢复与输入相似的体积；（3）在严格控制与上一步获得的网格距离的同时优化和简化网格。此外，我们在输入体素化形状外部引入了一个壳网格，将无交集约束转换为四面体网格的无翻转条件，从而提高了算法的可靠性和效率。

**实验结果**
实验表明，转换后的四面体网格更加平滑，元素数量显著减少，体积得到很好的保留，物理场分布与体素模型相当。因此，转换后的网格更适合用于仿真、设计迭代和制造。

**结论与未来工作**
我们提出了一种将基于体素的拓扑优化输出转换为高质量四面体网格的稳健流程，适用于后续分析和制造。给定一个输入体素网格，首先修复非流形配置，并通过将每个体素细分为一组小的四面体并增加外部支架来构建无翻转的四面体初始网格。然后应用两阶段AMIPS基优化方案来平滑边界。

**作者贡献声明**
徐增浩：撰写——审阅与编辑、撰写——原始草稿、可视化、验证、资源管理、方法论、数据分析、概念化；
王莉莉：撰写——审阅与编辑、撰写——原始草稿、可视化、验证；
翟晓雅：撰写——审阅与编辑、撰写——原始草稿、可视化、验证、方法论；
傅晓明：撰写——审阅与编辑、撰写——原始草稿、可视化、验证、监督、方法论、资金支持。

**利益冲突声明**
作者声明没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

**致谢**
本工作得到了中国国家自然科学基金（92570201）、中国科学技术大学-西南科技大学对口合作与发展联合基金（编号KY0010002501）以及中国教育部基础与交叉学科突破计划（JYB2025XDXM113）的支持。