使用高斯方法进行拓扑优化

《Computer Aided Geometric Design》：Topology optimization using Gaussian

　　何欣|李梦园|王勤学|王伟明
南京理工大学数学与统计学院，江苏南京

**摘要**
本文提出了一种拓扑优化框架，该框架基于拓扑描述函数使用高斯椭球作为基本组成部分。高斯椭球作为一种灵活高效的表示方法，结合了隐式和显式的特性，自然避免了各个组件之间的自相交，并在组件融合过程中提供了平滑的隐式处理方式，同时能够精确控制组件的几何形状和方向，从而对最终的结构配置产生显著影响。该方法在有限元框架内实现，采用移动可变形渐近线（MMA）方法进行迭代结构优化。利用高斯函数的可微性质，实现了精确的敏感性分析，在保持高质量解的同时减少了设计变量的维度。数值验证表明，该方法生成的结构在机械性能上具有竞争力，并且设计变量数量和计算成本均有所降低。此外，通过利用高斯椭球的曲线特性，引入了额外的几何约束，生成了无交点的多孔结构以减轻结构重量，从而扩展了高斯组件的应用范围。

**引言**
拓扑优化（TO）结合了有限元分析（FEA）和优化算法，旨在在满足几何和物理约束的前提下确定给定设计域内的最佳材料分布。这显著提高了结构性能并减少了材料使用量。从基于固体各向同性材料惩罚（SIMP）的方法（Bends? e, 1989; Sigmund, 2001）、进化方法（Xie and Steven, 1993）和水平集方法（Wang et al., 2003），到拓扑敏感性方法（Suresh, 2010; Deng and Suresh, 2015a），TO已成为一个拥有多种方法的成熟领域。这些方法可以根据其特定特性应用于多个行业，包括航空航天（Guo and Leu, 2013）、工业（Zhu et al., 2016）和医疗（Alabort et al., 2019）等领域。

在实际应用中，面对应力、位移等各种复杂设计问题，这些方法可以在解空间内生成高度灵活的结构配置，提供准确高效的解决方案。然而，大多数方法都是隐式表示TO问题，需要额外的后处理步骤将优化结果转换为可制造的计算机辅助设计（CAD）模型（Jiu et al., 2020）。此外，在隐式TO中，设计变量的数量直接与FEA中的自由度相关，导致计算成本较高——尤其是对于高分辨率问题（Fleury, 2007）。制造技术的最新进展要求在有限的计算资源下最小化设计变量数量以提高整体效率（Xiao et al., 2020）。为了解决这个问题，提出了并行计算（Mahdavi et al., 2006）、降阶建模（Ferro et al., 2019）和数据驱动方法（Li et al., 2023）等途径。然而，这些技术可能仍然存在精度降低和数值不稳定性的问题。

拓扑描述函数（TDF）的概念（Cao and Liu, 2006）作为应对计算资源有限挑战的解决方案被引入。使用TDF代替传统的几何表示方法显著减少了所需参数的数量，从而有效降低了计算成本。移动可变形组件（MMC）方法（Guo et al., 2016）是一种显式TO方法，它用一组移动可变形组件替代了传统的基于单元的设计变量。TDF用于定义组件的方向、形状和位置，从而确定最终结构。然而，构建全局平滑且显式的结构表面表示仍然具有很大挑战性。当两个参数化表面相交时，通常采用布尔运算或内部控制点检测等传统方法来保持全局连续性和边界平滑性（Zhang et al., 2017b）。此外，组件表面可能导致自相交，从而产生不规则和非物理的边界形状。因此，必须引入额外参数来防止自相交。最终，这些框架中的参数曲线或表面由离散坐标点组成，使得无法直接推导出这些点的密度梯度表达式。因此，敏感性分析依赖于有限差分商等数值方法。这些挑战大大增加了问题的复杂性和相关计算成本。

在这项工作中，使用高斯椭球作为基本组成部分来描述结构布局，每个椭球由一个高斯函数表示。这些高斯函数的参数作为所提出的TO方法中的设计变量，控制生成组件的拓扑结构，包括高斯中心的 ?? 以及它们的尺寸和方向。这种显式参数化通过参数调整可以直接控制形状和方向。描述材料分布的密度场是通过组合这些高斯函数隐式生成的。由于高斯函数的平滑性，这些参数相对于密度场是可微的。与基于MMC的方法和其他参数化隐式框架相比，所提出的方法使用的设计变量更少，同时提供了更高的计算效率。此外，与基于RBF的水平集或最近的神经隐式方法不同，后者可能缺乏直接的几何可操作性或需要昂贵的网络训练，我们的方法明确参数化了直观的几何特征。同时，由于密度场由高斯函数隐式表示，不同组件之间的相互交点可以通过L2范数简单融合，避免了复杂的布尔运算。每个高斯椭球自然代表结构中的一个孔隙。为了确保定义明确的多孔结构，引入了一个约束来限制相邻高斯椭球之间的距离。通过将此约束集成到所提出的TO框架中，得到的多孔结构表现出更强的机械强度，并能有效地承受来自多个方向的载荷。所提出方法的有效性已在各种2D和3D基准问题上得到验证。数值实验表明，该方法生成的结构在机械性能上具有竞争力，满足规定的体积约束，同时最小化了柔顺性，并实现了高计算效率。

本文的结构如下：第2节总结了基于MMC的TO方法、隐函数表示方法和多孔结构设计的相关工作。第3节介绍了使用高斯函数进行结构几何表示的初步知识。第4节将介绍所提出的TO框架公式的推导过程。第5节将验证所提出方法的有效性。最后，第6节将总结本文的工作并概述潜在的研究方向。

**相关工作**
拓扑优化领域不断发展，产生了基于MMC的框架、隐函数表示方法和多孔结构设计等各种技术，这些技术旨在降低成本、提高性能或扩展应用范围。

**基于高斯的TDF**
在本节中，首先介绍了高斯函数的数学和几何意义，然后解释了它们的参数如何影响最终的拓扑优化结构。

**基于高斯的TO框架**
在本节中，我们系统地讨论了使用高斯进行TO的数值实现，包括FEA和敏感性分析的数学推导。

**实验结果**
通过一系列2D和3D基准示例，评估了所提出的基于高斯函数的TO框架的有效性。固体材料的杨氏模量和泊松比分别设置为E0=1和ν=0.3。对于2D问题，使用四节点双线性元素进行FEA；对于3D问题，使用八节点三线性立方元素。除非另有说明，最大迭代次数设置为500次。

**讨论与未来工作**
在本文中，我们提出了一种新的TO框架，该框架使用高斯椭球作为拓扑描述函数，基于用于图形渲染和重建的3D高斯分裂方法（Kerbl et al., 2023）。我们的方法自然避免了各个组件之间的自相交，并在复杂结构设计中的组件融合过程中隐式解决了相互交点问题。通过使用高斯椭球作为基本组件，我们利用了它们的隐式和显式特性。

**作者贡献声明**
何欣：撰写——原始草稿、验证、形式分析。
李梦园：撰写——原始草稿、软件、方法论、概念化。
王勤学：可视化、验证、研究。
王伟明：撰写——审阅与编辑、监督、项目管理、资金获取。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

**致谢**
作者感谢国家自然科学基金（编号12401502）的支持。