将双2碳（bi-2C）转化为双3碳（bi-3C）的局部化“2-4-3”转化方法 1. 使用特定类型的样条函数（splines）进行转换； 2. 该转化过程适用于特定的化学结构或应用场景

《Computer Aided Geometric Design》：Localized ‘2-4-3’ conversion of bi-2 C 1 splines to bi-3 C 2 splines

　　 Param Gupta | K?stutis Kar?iauskas | J?rg Peters
CISE，佛罗里达大学，盖恩斯维尔，佛罗里达州，美国

**摘要**
低阶多面体网样条（PnS2）在规则网格状控制网的基础上，通过允许使用非网格多面体控制网并生成整体C1级曲面，对张量积C1样条进行了扩展。本文重点关注可以由均匀双二次（简称bi-2）C1样条覆盖的子网。一方面，这些双二次片段本身具有理想的形状单调性；另一方面，片段之间的C1级过渡区域具有更明显的亮点线条，表明其平滑度较低。这激发了我们修改PnS2以包含C2双三次样条的动机，从而覆盖网格的规则部分，同时保持双二次样条的整体形状以及与非规则部分的C1级连续性。这种形状保留机制排除了将这些子网直接解释为双三次B样条控制网的可能性，因为与控制网的较大偏差会破坏与非张量积曲面区域的过渡。因此，面临的挑战有两个方面：首先，将双二次C1样条转换为双三次C2样条需要基于局部运算符；其次，局部转换必须提供非规则配置所需的双二次（而非双三次）Hermite数据。一个可能令人惊讶的解决方案是“2-4-3”构造方法。该方法首先将双二次C1样条转换为双四次C2样条，然后再将其度数降为双三次，同时保持中间双四次C2样条的平滑性和形状。

**引言**
均匀双二次C1样条受限于形成规则网格模式的控制结构。多面体网样条（PnS2）是对均匀张量积双二次B样条的扩展（Peters等人，2023年），它提供了更灵活的非规则控制网配置模型，例如valence n≠4的控制网顶点、n边形面以及减少或增加网格线数量的控制网配置（图5展示了所有情况）。PnS2可以被视为广义细分的一种替代方案，区别在于PnS2曲面由有限数量的平滑连接的张量积多项式片段组成——在非规则曲面区域中，这些片段的度数最多为双三次。与规则网格上的双二次样条相比，适度增加的度数是必要的，以便适应非规则配置。

事实证明，对应于非规则配置的曲面片段在形状上非常优秀（以亮点线条分布或平均曲率衡量，见图1(a)），然而与其旨在扩展双二次张量积（B-）样条的目标相悖的是，PnS2的形状质量主要受到对应于多面体网格规则部分的双二次张量积（B-）样条的形状限制。这些双二次样条曲面通常不适用于高端曲面建模（见图1(a)或图4(b)、c）。因此，本文探讨的问题是：我们是否可以用均匀双三次C2样条替换均匀双二次C1样条，当网格形成网格结构时——从而保留PnS2的低度数同时改善其规则区域的形状。值得注意的是，如果将子网格天真地重新解释为均匀双三次样条的控制网，由于网格与多项式曲面片段之间的关联不同（双二次以面为中心，双三次以顶点为中心，见图11），会在双三次样条与非规则配置片段之间留下间隙。此外，这种天真的重新解释通常会导致形状发生剧烈变化，偏离均匀C1双二次样条（见图2）。最后，即使形状变化可以接受，增加的距离也会阻碍与非规则配置片段的公平（形状良好）过渡。总之，我们希望：
- 保留双二次样条的主要形状，而不是在将网格点天真地解释为均匀双三次样条的控制点时获得的更粗糙的形状；
- 替换后的样条应为度数最多为双三次的C2样条；
- 使用局部规则进行转换，即使用最大尺寸为5×5的模板进行显式线性规则（矩阵）将双二次样条转换为新的C2样条；
- 使用缩小的模板进行过渡到二次Hermite数据的转换，从而与非规则PnS2片段平滑连接。

为实现这一目标，一个关键的曲线构造方法在引理3中得到了验证，其张量类比在定理1中也得到了验证。这种推导的不寻常之处在于它采用2-4-3的方式，即先通过中间的非均匀双四次样条，然后再转换为双三次均匀样条。我们愿意付出的代价是片段数量的增加——每个双二次样条片段被替换为一个度数为双三次的2×2宏片段（见图1(c)）。值得注意的是，如第3节将解释的，这种转换可以通过显式局部规则（模板）实现。这些显式规则可以表示为一个64×25的矩阵，应用于子网格的5×5=25（x,y,z）节点，以生成图1(c)中四个双三次输出片段的4×16=64个Bernstein-Bézier控制点，取代图1(b)中的单个双二次片段。这意味着这些规则可以轻松地添加到现有的样条包中，例如开源实现（Peters等人，2023年）。当然，为了减小iges或step格式的占用空间，这些均匀双三次样条可以聚合成大的B样条形式。

PnS23是PnS2的新变体的缩写，在规则区域生成双三次C2连接的片段，取代了原始的双二次C1样条。图4展示了对于输入控制网图3(e)，PnS23相对于PnS2的全局形状一致性和局部可微性改进。图4(a)、(d)是从上方看的Bernstein-Bézier（BB）网（连接的Bernstein-Bézier点）的视图，在图3(b)、(c)中以侧视图显示。图4的顶部行对应于使用C1连接的原始PnS2片段。底部行对应于通过局部运算符转换为PnS23的2×2双三次片段。规则控制网格的双二次样条解释显示了不希望出现的尖锐过渡和平坦的亮点线条（Beier和Chen，1994年，见图4(b)），以及在图4(c)中平均曲率的突然变化。相比之下，图4(e)和(f)显示了可接受的亮点线条、平滑的过渡和曲率过渡。新生成的PnS23曲面不能孤立存在，必须与非规则配置的PnS2曲面片段连接。挑战在于所有非规则配置曲面片段在其构建中使用了周围的Hermite数据，即位置和横向导数（也称为一阶张量边界或“带状”），这些数据在边界处的度数为2。因此，新生成的PnS23曲面必须过渡到双二次Hermite数据。我们在第4节中通过调整（即简化线性运算符）解决了这一挑战。

**概述**
第2节回顾了相关文献，并建立了符号和技术基础。第3节推导了“2-4-3”算法，其步骤在附录A中进一步说明；第4节推导了用于连接到非规则PnS2配置的过渡片段的简化算法。第5节和附录B比较了PnS2与PnS23在单变量情况以及更复杂模型的双变量规则曲面区域中的平滑性。使用诸如提升度数和比较控制点差异之类的工具（Farin，1988年，第6.10、8.9节；de Boor，1978年；Kaklis和Pandelis，1990年；参见第2节），可以直接将Bernstein-Bézier（BB）形式的多项式片段连接起来，即使它们的度数不同。然后可以将得到的平滑分段多项式视为多度样条，并移除由连续性隐含的BB系数，或者反向过程来“提取”多度样条的Bézier片段（例如，参见Sederberg等人，2003年；Shen和Wang，2010年）。同样，也可以连接不同度数的有理构造（Costantini，1997年；Kar?iauskas和Peters，2011年；Toshniwal等人，2017a），并利用双三次构造（Nguyen和Peters，2016年），其局部细化使得D片段（Reif，1997年）变得有用，Toshniwal等人（2017b）在规则控制网上获得了C2连续性，在不规则控制网上获得了C1连续性。在不同度数的多变量多项式片段之间进行平滑连接也是多片段曲面融合中的常见操作，以便填充多边形间隙，但在此过程中样条会进行变量变换（例如，参见Peters，1990年；Loop和Schaefer，2008年；Kar?iauskas等人，2016年；Marsala等人，2022年）。变量变换也是H?llig和Koch（1996年）建立的改进曲线近似特性的核心。

**结论**
我们的结果引理3——关于紧密近似于C2连接的四次样条的三次C2样条——在文献中似乎是新颖的。该贡献与G构造不同，因为我们没有在样条片段之间改变参数化，并且与多度样条建模不同，因为它专注于已经建模的曲线或曲面的局部平滑度（和度数）的增加。J?rg Peters：写作——审核与编辑、写作——初稿编写、可视化处理、结果验证、项目监督、软件开发、资源获取、项目管理、研究方法论、调查分析、形式化分析以及概念构建。
利益冲突声明：作者声明他们不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益冲突或个人关系。