对于 H3(?1) 中 CMC 0 ≤ H < 1 的情形，通过调整后的高斯映射和 Iwasawa 分裂方法，可以得到一种 Weierstrass-Kenmotsu 类型的表示

《Differential Geometry and its Applications》：A Weierstrass-Kenmotsu type representation for CMC 0?≤?H?

　　马格达莱娜·托达（Magdalena Toda）|埃尔汉·古勒（Erhan Güler）|马杜莎·迪尔哈尼·阿坦帕拉格（Madusha Dilhani Atampalage）
美国德克萨斯理工大学数学与统计系，卢博克，德克萨斯州79409

**摘要**
我们为双曲三维空间H3(?1)中平均曲率为0≤H<1的共形浸入开发了一种完整的Weierstrass-Kenmotsu型表示方法。我们的构建基于三个几何支柱：H3(?1)的Hermitian模型、全局Iwasawa分裂SL(2,C)=S?SU(2)，以及Kokubu调整后的高斯映射到具有Kobayashi型度量的二维球面上。我们证明了每个这样的浸入都可以通过一个秩为一的(1,0)-形式η通过一个平坦的SL(2,C)联络?S?1dS=η?λη?局部获得，其中常数?λ∈C?，并且平均曲率为H=1?|λ|2/1+|λ|2。我们给出了与Aiyama-Akutagawa公式的明确联系，分析了周期或单值性问题以及端点的完备性，并提供了模型族以及实用的DPW风格算法（平衡规范、Iwasawa分解、幺正化）。附录中包含了一个带有闭合条件的完整两端示例、对称环面的稳定性（第二变分）分析以及严格的数值误差估计。

**引言**
经典的Enneper-Weierstrass表示方法从全纯数据实现了R3中的极小曲面；相关的族来自于Hopf微分中的相位变化。对于CMC浸入，Kenmotsu公式和Bryant在H3(?1)中的H=1表示方法为研究奠定了基础。正如Chen和Cheng [4]、Dorfmeister、Pedit和Toda [7]、Hélein [8]以及Schmitt等人[9]所展示的，这些方法在常平均曲率及相关曲面理论的研究中起着基础性作用。我们为H3(?1)中0≤H<1的共形CMC浸入提供了一个自包含的表示理论，统一了[1]、[2]、[5]、[6]、[10]的研究成果。我们的关键点是，经过简单的平衡谱调整和Iwasawa分裂后，所有几何结构都可以由一个秩为一的全纯(1,0)-形式η和一个常数复参数λ编码，其中H由|λ|决定。

**主要定理（基本陈述）**
给定秩为一的η和?λ∈C?，平坦方程?S?1dS=η?λη?可以积分到S上，并且?f=SS?是一个在H3(?1)中的共形CMC浸入，其平均曲率为H=(1?|λ|2)/(1+|λ|2)。相反，每个0≤H<1的CMC浸入都可以从这样的数据局部获得；arg?λ可以扫过其相关的S1族。

**本报告的其他新颖贡献：**
(i) 通过Iwasawa简化了平衡模数约束的推导；
(ii) 明确地将方法转换为Aiyama-Akutagawa方法；
(iii) 一个带有幺正化的完整两端示例（两端环面）；
(iv) 稳定性分析；
(v) 对SL(2,C) Magnus流的严格步长/误差控制的数值计算；
(vi) 通过双残差秩一种子实现的非旋转两端闭合。

**组织结构**
第2节建立了Hermitian模型和Lax对。第3节推导了平衡规范和Iwasawa分裂，并详细证明了模数约束。第4节回顾了Kokubu的映射和度量。第5节证明了表示方法。第6节展示了与Aiyama-Akutagawa的规范等价性。第7节讨论了周期性和完备性。第8节给出了局部族。第9节提供了一个带有闭合的全局两端示例。第10节构建了一个非旋转的两端闭合。第11节研究了Jacobi算子。第12节介绍了误差控制的数值计算。第13节扩展了应用。附录收集了辅助推导、符号指数、辅助证明以及在Aiyama-Akutagawa变量中的Jacobi算子推导。

**H3(?1)的Hermitian模型和框架**
我们通过(x?,x?,x?,x?)?X=(x?+x?x?+ix?x??ix?x??x?)将R3,1与Herm(2)识别起来，并配备了Lorentz积〈X,Y〉=?1/2tr(Xσ2Ytσ2)，其中σ2=(0i?i?)。然后?H3(?1)={X∈Herm(2):〈X,X〉=?1,X??>0}，g?X=gXg?，g∈SL(2,C)，并且H3(?1)?SL(2,C)/SU(2)。设f:M→H3(?1)是一个具有度量ds2=e2u|dz|2的共形浸入。一个移动框架F:M→SL(2,C)实现了???e?ufz=F(0100)F?，e?ufzˉ=F(0010)F?，n=F(100?1)F?。

**Lax对和高斯-Codazzi**
写F?1dF=Adz+Bdzˉ，其中A=(1/2uz1/2eu(1+H)?1/4e?uQ?1/2uz)，B=(?1/2uzˉ1/4e?uQˉ1/2eu(1?H)1/2uzˉ)。

**引理2.1 高斯-Codazzi**
Azˉ?Bz?[A,B]=0等价于tzz

**两个谱移动和平衡规范**
根据[10]、[5]，变形(1±H)?s±1(1±H)，s>0；Q?θ?2Q，θ∈S1，然后通过g(θ)=i(0θ1/2θ?1/20)共轭，Rπ/4=(e?iπ/400eiπ/4)。这收集了S1相位中的非对角线元素并引入了±i因子。

**Iwasawa分裂和调整后的框架**
定义3.1 Iwasawa分裂
设S={(aw?a?1):a>0,w∈C}?SL(2,C)。乘法S×SU(2)→SL(2,C)是一个微分同胚。因此F∈SL(2,C)可以唯一分解为F=FsΦ，其中Fs∈S且Φ∈SU(2)（调整后的框架）。由于Φ∈SU(2)，Φ?1dΦ∈su(2)的非对角线幅度为eu2/1?H2。将这些与平衡的Lax对匹配得到：

**命题3.2 平衡模数**
调整后的高斯映射与Kokubu的度量相等

**定义4.1 调整后的（Kokubu）高斯映射**
使用定义3.1中的Φ，定义?G=?Φσ3Φ?∈S2。其立体坐标ζ产生了Kokubu的法线高斯映射。对于0
**通过双残差种子实现的非旋转两端闭合**
我们现在打破了旋转对称性，同时保持了环面上的两个完整端点和一个幺正全纯类。

**对称环面上的稳定性和第二变分**
我们计算了在定理9.2中保持h的对称环面上的法线变化的jacobi算子。设v=φn是一个法线变化。面积的第二变分与拉格朗日乘数强制平均曲率为h，即δ2ah(φ)=∫m(|?φ|2?(|a|2+ric(n,n))φ2)da，其中ric(n,n)=?2在h3(?1)中，且|a|2=2h2+2ke。在我们的表示中，ke=?1/4e??u|q|2，导致jφ=?δφ?(2h2?1/2e??u|q|2?2)φ。

**数值实现与误差控制**
数值方案。为了便于重现性和分析控制，我们以编号形式总结了实现步骤：
(1) magnus(4)方案。使用四阶两点magnus展开ωmagnus=1/2(ω1+ω2)?3/12[ω1,ω2]，采用gauss-legendre节点。对于任何无迹的2×2矩阵，计算exp?x=cosh?σi+(sinh?σ/σ)x，其中σ=1/2tr(x2)。每一步之后，重新标准化s以保持det?s=1。
(2) 自适应步长控制。形成一个嵌入的局部误差估计器，如果?≤1则接受该步长。通过hnew=min?{

**应用和进一步方向**
**展望和联系**
从这个框架自然产生了一些后果和扩展：
(1) willmore视角。当h→0时，目标度量hh收敛到kobayashi度量h?，g变得在(s2,h?)中是调和的。willmore能量密度与|q|2e?2u成正比。
(2) 谱数据和模数。在环面和更高亏格的域上，具有有限多个极点和残数的秩一亚纯形式η决定了有限维的模空间。λ的参数是一个等谱参数。

**结论性评论**
我们提出了一种透明的weierstrass-kenmotsu表示方法，用于h3(?1)中0≤h<1的情况，从秩一的(1,0)数据和常数谱参数λ出发，其中h由|λ|编码。iwasawa分裂隔离了一个su(2)核心，并阐明了调整后的高斯映射。全局闭合（包括非旋转的两端示例）、稳定性和数值计算自然地遵循这个统一的框架。

**致谢**
我们感谢josef dorfmeister、franz pedit、alexander bobenko、wayne rossman和junichi inoguchi多年来宝贵的讨论。 h浸入。 **通过双残差种子实现的非旋转两端闭合** 我们现在打破了旋转对称性，同时保持了环面上的两个完整端点和一个幺正全纯类。 **对称环面上的稳定性和第二变分** 我们计算了在定理9.2中保持h的对称环面上的法线变化的jacobi算子。设v=φn是一个法线变化。面积的第二变分与拉格朗日乘数强制平均曲率为H，即δ2AH(φ)=∫M(|?φ|2?(|A|2+Ric(n,n))φ2)dA，其中Ric(n,n)=?2在H3(?1)中，且|A|2=2H2+2Ke。在我们的表示中，Ke=?1/4e??u|Q|2，导致Jφ=?Δφ?(2H2?1/2e??u|Q|2?2)φ。 **数值实现与误差控制** 数值方案。为了便于重现性和分析控制，我们以编号形式总结了实现步骤： (1) magnus(4)方案。使用四阶两点magnus展开ωmagnus=1/2(Ω1+Ω2)?3/12[Ω1,Ω2]，采用Gauss-Legendre节点。对于任何无迹的2×2矩阵，计算exp?X=cosh?σI+(sinh?σ/σ)X，其中σ=1/2tr(X2)。每一步之后，重新标准化S以保持det?S=1。 (2) 自适应步长控制。形成一个嵌入的局部误差估计器，如果?≤1则接受该步长。通过hnew=min?{ **应用和进一步方向** **展望和联系** 从这个框架自然产生了一些后果和扩展： (1) willmore视角。当h→0时，目标度量hh收敛到kobayashi度量h?，g变得在(s2,h?)中是调和的。willmore能量密度与|q|2e?2u成正比。 (2) 谱数据和模数。在环面和更高亏格的域上，具有有限多个极点和残数的秩一亚纯形式η决定了有限维的模空间。λ的参数是一个等谱参数。 **结论性评论** 我们提出了一种透明的weierstrass-kenmotsu表示方法，用于h3(?1)中0≤h<1的情况，从秩一的(1,0)数据和常数谱参数λ出发，其中h由|λ|编码。iwasawa分裂隔离了一个su(2)核心，并阐明了调整后的高斯映射。全局闭合（包括非旋转的两端示例）、稳定性和数值计算自然地遵循这个统一的框架。 **致谢** 我们感谢josef dorfmeister、franz pedit、alexander bobenko、wayne rossman和junichi>
**通过双残差种子实现的非旋转两端闭合**
我们现在打破了旋转对称性，同时保持了环面上的两个完整端点和一个幺正全纯类。

**对称环面上的稳定性和第二变分**
我们计算了在定理9.2中保持h的对称环面上的法线变化的jacobi算子。设v=φn是一个法线变化。面积的第二变分与拉格朗日乘数强制平均曲率为h，即δ2ah(φ)=∫m(|?φ|2?(|a|2+ric(n,n))φ2)da，其中ric(n,n)=?2在h3(?1)中，且|a|2=2h2+2ke。在我们的表示中，ke=?1/4e??u|q|2，导致jφ=?δφ?(2h2?1/2e??u|q|2?2)φ。

**数值实现与误差控制**
数值方案。为了便于重现性和分析控制，我们以编号形式总结了实现步骤：
(1) magnus(4)方案。使用四阶两点magnus展开ωmagnus=1/2(ω1+ω2)?3/12[ω1,ω2]，采用gauss-legendre节点。对于任何无迹的2×2矩阵，计算exp?x=cosh?σi+(sinh?σ/σ)x，其中σ=1/2tr(x2)。每一步之后，重新标准化s以保持det?s=1。
(2) 自适应步长控制。形成一个嵌入的局部误差估计器，如果?≤1则接受该步长。通过hnew=min?{

**应用和进一步方向**
**展望和联系**
从这个框架自然产生了一些后果和扩展：
(1) willmore视角。当h→0时，目标度量hh收敛到kobayashi度量h?，g变得在(s2,h?)中是调和的。willmore能量密度与|q|2e?2u成正比。
(2) 谱数据和模数。在环面和更高亏格的域上，具有有限多个极点和残数的秩一亚纯形式η决定了有限维的模空间。λ的参数是一个等谱参数。

**结论性评论**
我们提出了一种透明的weierstrass-kenmotsu表示方法，用于h3(?1)中0≤h<1的情况，从秩一的(1,0)数据和常数谱参数λ出发，其中h由|λ|编码。iwasawa分裂隔离了一个su(2)核心，并阐明了调整后的高斯映射。全局闭合（包括非旋转的两端示例）、稳定性和数值计算自然地遵循这个统一的框架。

**致谢**
我们感谢josef dorfmeister、franz pedit、alexander bobenko、wayne rossman和junichi inoguchi多年来宝贵的讨论。>